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【2013眉山二诊】四川省眉山市2013届高三第二次诊断性考试数学文试题 Word版含答案


眉山市高中 2013 届第二次诊断性考试

数学试题卷(文科)

2013.04.9

注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5

毫米的黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5. 考试结束,将答题卡上交。 参考公式:如果事件 A、B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰 好发生 k 次的概率为 Pn (k ) ? Cn p (1 ? p)
k k n ?k

一、 选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 50 分. 共 在每小题给出的四个备选项中. 只 有一项是符合题目要求的. 1、 i 为虚数单位,则复数 i ? (1 ? i ) 的虚部为 A. i B. ?i
x0

C. 1

D. ?1

2、命题“存在 x0 ? R, 2

? 0 ”的否定是 ?0
B.存在 x0 ? R, 2
x0

A.不存在 x0 ? R, 2

x0

?0
x

C.对任意的 x ? R, 2 ? 0
x

D.对任意的 x ? R, 2 ? 0

3、抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标是
2

A. (1, 0)

B. (0,1)

C. (0,

1 ) 16

D. (0, )

1 8

4、已知直线 l ⊥平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,给出下列命题:① ? ∥ ? ? l ⊥ m , ②? ⊥ ? ? l ∥ m , 命题的序号是 A. ①③ ③l ∥ m ?? ⊥? , ④ l ⊥ m ? ? ∥ ? .其中正确

B. ②③④

C. ①②③

D. ②④

5、将函数 y ? cos x ? ( 变) ,再向左平移

?
3

的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不 )

? 个单位,所得函数的最小正周期为 6

A.π

B.2π

C.4π

D.8π

6、容量为 100 的样本数据,依次分为 8 组,如下表: 组号 频数 1 10 2 13 3 4 5 15 6 13 7 12 8 9

3x


x

则第三组的频率是( A.0.21 B.0.28

C.0.15

D.0.12

7、执行右边的程序框图,若输入的 N 是 6,则输出 p 的值是 A.120 B.720 C.1 440 D.5 040
3 正视图 3 侧视图

8、一个棱锥的三视图如右图所示,则这个棱锥的体积是 A. 6 B. 12 C. 24 D. 36
1 1 1 ? ? 3 , a1a4 ? , a2 a3 2
3 4 俯视图

9、等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 , 则 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? A. 64 B. 31
3 2

C. 32

D .63

10、已知函数 g (x)=ax +bx +cx+d (a≠0)的导函数为 f ( x) , a+b+c=0 ,且 f (0) ? f (1)>0 , 设 x1 ,x2 是方程 f ( x) =0 的两根,则| x1 ? x2 |的取值范围是( )

A. [

3 2 , ) 3 3

B. [ ,

1 4 ) 3 9

C. [ ,

1 3 ) 3 3

D. [ , ) 围

1 1 9 3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡相应位置上. 11、 (1 ? 2 x) 的展开式中 x 3 的系数等于
5



12、已知向量 a ? (2 x ? 3,1) , b ? ( x, ?2) ,若 a ? b ? 0 , 则实数 x 的取值范围是

?

?

? ?



?x ? 2 ? , 则z ? 2 x ? y 的最大值为______. 13、已知实数 x 、 y 满足约束条件 ? y ? 2 ?x ? y ? 6 ?
14、已知 2 ?

2 2 3 3 4 4 b b ? 22 ? ,3 ? ? 32 ? , 4 ? ? 42 ? ,?? ,若 9 ? ? 92 ? ( a, b 为 3 3 8 8 15 15 a a 正整数)则 a ? b =________.
关于函数 g ( x) 的四个论断:

15、如图所示, f ( x) 是定义在区间 [?c, c](c ? 0) 上的奇函数,令 g ( x) ? af ( x) ? b ,并有

①若 a ? 0 ,对于 [?1,1] 内的任意实数 m, n(m ? n) ,

g (n) ? g (m) ? 0 恒成立; n?m
②函数 g ( x) 是奇函数的充要条件是 b=0; ③ ?a ? R , g ( x) 的导函数 g ?( x) 有两个零点. ④若 a ? 1, b ? 0 ,则方程 g ( x) ? 0 必有 3 个实数根; 其中所有正确结论的序号是________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16、 (本小题 12 分)在三角形 ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,

m ? (2b ? c, cos C ) , n ? ( a, cos A) ,且 m ∥ n .
(1)求角 A 的大小; (2)当角 B 为钝角时,求函数

y ? 2sin 2 B ? cos( ? 2 B) 的值域. 3

?

17、某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级.现从一批该零件中随机抽取 20 个,对其等 级进行统计分析,得到频率分布表如下: 等级 频率 1

2

3 0.15

4

5

0.05

m

0.35

n

(1)在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,求 m, n ; (2)在(1)的条件下,从等级为 3 和 5 的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个 零件等级恰好相同的概率. 18、 (本小题 12 分) 如图所示,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,

AD ? CD, AB // CD, CD ? 2 AB ? 2 AD .
(Ⅰ)求证: BC ? BE ; (Ⅱ)在 EC 上找一点 M ,使得 BM // 平面 ADEF ,请确定 M 点的位置,并给出证明. 19、(12 分)已知数列 ?an ?为等差数列, ?an ?的前 n 项和 为 Sn , a1 ? a 3 ?

3 , S5 ? 5 2

(1)求数列 ?an ?的通项公式;

1 , Tn ? b1b2 ? b2 b3 ? b3 b4 ? ? ? bn bn ?1 ,求 Tn . 4 y2 x2 20、 (13 分).设 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的两点,已知 a b x1 y1 x2 y 2 m ? ( , ), n ? ( , ) ,若 m ? n ? 0 ,椭圆的离心率 e ? 3 ,短轴长为 2, 2 b a b a
O 为坐标原点。 (1)求椭圆的方程; (2)若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c) 为半焦距) (c ,求直线 AB 的斜率 k 的值; (3)试问:△ AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由。 21、 (14 分)已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) (1)求函数 f (x) 的单调区间; (2)若函数 y ? f (x) 的图象在点 (2, f (2)) 处的切线的倾斜角为 45°,对于任意的

(2)若数列 ?bn ?满足 a n bn ?

t ? [1,2] ,函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 ? [ f ' ( x) ? m ] 在区间 (t ,3) 内总不是单调函数, 2
求 m 的取值范围; (3)求证:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 ? ? ??? ? (n ? 2, n ? N *) 2 3 4 n n

眉山市高中 2013 届第二次诊断性考试 数学 参考答案(文科)
一、选择题: 1 C 2 D 3 C 4 A 5 C 6 A 7 B 8 B 9 D 10 A

二、填空题: 11. 12. 13. 14 89 15 ②、③

?80
三、解答题:

(??, ?1] ? [2, ??) 10
?

16、解 : (Ⅰ)由 m ∥ n 得 (2b ? c) cos A ? a cos C ? 0 , 由正弦定理得 2sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C ? 0

?

?2sin B cos A ? sin B ? 0 ,? B 、 A ? (0, ? ) , sin B ? 0 ,得 A ?
(Ⅱ) y ? 1 ?

?
3

………5 分

1 3 ? ··7 ·· cos 2 B ? sin 2 B ? sin(2 B ? ) ? 1 ··· 分 2 2 6

?? ? B ?? ? 当角 B 为钝角时,角 C 为锐角,则 ? 2 ? 2? ? ? ? 0? 3

?B?

?
2

    ?

?
2

?B?

2? 3

......8 分

5? ? 7? ? 1 1 1 3 ,?   B ? ) ? (? , ) ,? y ? ( , ) ·· 分 ·· ·11 ?   ? 2B ? ? sin(2 6 6 6 2 2 6 2 2 1 3 综上,所求函数的值域为 ( , ) .····· 分 ····· ····12 2 2 17、 (Ⅰ)解:由频率颁布表得 0 . 0 ? m ? 0 .? 5 ? n3 5 , 5 1 0. ? 1 即 m ? n ? 0.45 . ?????????????????2 分
由抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,

2 ????????????????4 分 ? 0.1 . 20 所以 m ? 0.45 ? 0.1 ? 0.35 . ???????????????5 分
得n ? 解:由(Ⅰ)得,等级为 3 的零件有 3 个,记作 x1 : x2 : x3;等级为 5 的零件有 2 个,记作 y1 : y2. 从 x1 : x2 : x3 : y1 : y2 中任意抽取 2 个零件,所有可能的结果为: (x1 : x2):(x1 : x3):(x1 : y2):(x1 : y2):(x2 : x3):(x2 : y1):(x2 : y2):(x3 : y1):(x3 : y2):(y1 : y2) 共计 10 种. ?????????????????9 分 记事件 A 为“从零件 x1 : x2 : x3 : y1 : y2 中任取 2 件,其等级相等”. 则 A 包含的基本事件为(x1 : x2):(x1 : x3):(x2 : x3):(y1 : y2)共 4 个. ????11 分 概率为 P( A) ?

4 ? 0.4 . ??????????????????12 分 10

18、证明: (Ⅰ)因为正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, DE ? AD 所以 DE ? 平面 ABCD ? DE ? BC ………………………………………1 分 因为 AB ? AD ,所以 ?ADB ? ?BDC ? 取 CD 中点 N ,连接 BN 则由题意知:四边形 ABND 为正方形 所以 BC ?

?
4

, BD ? AD 2 ? AB 2 ? 2 AD

1 BN 2 ? CN 2 ? AD 2 ? CD 2 ? AD 2 ? AD 2 ? 2 AD , BD ? BC 4
E M F D N A C

则 ?BDC 为等腰直角三角形 则 BD ? BC …………5 分 则 BC ? 平面 BDE 则 BC ? BE ………………7 分 (Ⅱ)取 EC 中点 M ,则有 B

BM // 平面 ADEF …………8 分
证明如下:连接 MN 由(Ⅰ)知 BN // AD ,所以 BN // 平面 ADEF

又因为 M 、 N 分别为 CE 、 CD 的中点,所以 MN // DE 则 MN // 平面 ADEF ………………10 分 则平面 BMN // 平面 ADEF ,所以 BM // 平面 ADEF ……………………12 分 19、 解:由 a1 ? a 3 ?

3 , S 5 ? 5 ,得 2

1 1 …………………………3 分 ,d ? 2 4 n ?1 ∴ an ? ……………………………5 分 4 n ? 1 , a b ? 1 ,?b ? 1 (2)? a n ? ………………………7 分 n n n 4 4 n ?1 1 1 1 bn bn ?1 ? ? ? ………………………9 分 (n ? 1)( n ? 2) n ? 1 n ? 2 ?Tn ? b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? ? ? bnbn?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ( 1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) 2 3 3 4 4 5 n ?1 n ? 2 2 3 3 4 1 ? 1) ?? ? ( 1 ? 1 ) ? 1 ? 1 ? n …………………12 分 ?( 4 5 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2(n ? 2) a1 ?
20. 解: (1) 2b ? 2 ? b ? 1, e ? 所以椭圆的方程为

c ? a 2 ? b 2 ? 3 ? a ? 2, c ? 3 a a 2

y2 ? x 2 ? 1 ……………………………………4 分 4 (2)由题意,设 AB 的方程为 y=kx+ 3 ? y ? kx ? 3 ? 2 ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2 3kx ? 1 ? 0 ?y ? x2 ? 1 ?4 ? ? ………………………………6 分 x1 ? x2 ? ? 2 3k , x1 x2 ? 2 1 k2 ? 4 k ?4 由已知 m ? n ? 0 ,得 x1 x 2 y1 y2 ? 2 ? x1 x2 ? 1 (kx1 ? 3 )( kx2 ? 3 ) 2 4 b a 2 ? (1 ? k ) x1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 3 4 4 4 2 k ? 4 (? 1 ) ? 3k ? ? 2 3k ? 3 ? 0 = 4 4 k2 ? 4 4 k2 ? 4 解得 k ? ? 2 ……………………………………………………………8 分
(3)是,证明如下: 当直线 AB 的斜率不存在时,即 x1 ? x2 , y1 ? ? y2

y12 ? 0 ? y12 ? 4 x12 4 4x 2 2 , | y |? 2 2 又 A(x1,y1)在椭圆上,所以 x1 ? 1 ? 1 ?| x1 |? 1 4 2
2 当 m ? n ? 0 ,得 x1 ?

所以 S ?

1 | x || y ? y |? 1 | x | 2 | y |? 1 ………………………………………10 分 2 1 2 1 1 2 1

当直线 AB 的斜率存在时,设 AB 的方程为 y=kx+b

? y ? kx ? b ? 2 ? 2kb , x x ? b 2 ? 4 2 2 ? y ? x 2 ? 1 ? (k ? 4) x ? 2kbx? b 2 ? 4 ? 0 得到 x1 ? x2 ? 2 1 2 k ?4 k2 ? 4 ?4 ? (kx1 ? b)( kx2 ? b) yy x1 x2 ? 1 2 ? 0 ? x1 x2 ? ? 0 代入整理,得 2b 2 ? k 2 ? 4 , 4 4 1 |b| 1 | b | 4k 2 ? 4b 2 ? 16 4b 2 S? | AB |? | b | ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? ? ?1 2 1? k2 2 2|b| k2 ? 4
所以三角形的面积为定值 …………………………………………13 分 21. (1) f ' ( x) ?

a(1 ? x) ( x ? 0) , x

当 a>0, f (x) 的增区间为(0,1) ,减区间为(1,+∞) ; 当 a<0, f (x) 的增区间为(1,+∞) ,减区间为(0,1) ; 当 a=0 时, f (x) 不是单调函数。 (2)由(1)得 f ' (2) ? ? ……………………………4 分

? f ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3, ? g ( x) ? x 3 ? ( m ? 2) x 2 ? 2 x 2 ? g ' ( x) ? 3x 2 ? (m ? 4) x ? 2 ………………………………………6 分 ? g (x) 在区间(t,3)内总不是单调函数,且 g '(0) ? ?2 ? ? g '' (t ) ? 0 ? g (3) ? 0 ? 由题意知,对于任意的 t ? [1,2], g ' (t ) ? 0恒成立 又 g' (0) ? 0 ? g '(3) ? 0, 可以得到 37 g '(t ) ? 0恒成立 m?? 3 2 37 (m ? 4)t ? 2 ? 3t 2 ? (m ? 4) ? ? 3t (t ?[1, 2]) ? m ? ?9所以- ? m ? ?9 ……8 分 t 3 (3)令 a ? ?1,? f ( x) ? ? ln x ? x ? 3 ………………………………………………………………10 分 ? f (1) ? ?2 由(1)知 f ( x) ? ? ln x ? x ? 3在(1, ??) 上单调递增, f ( x) ? f (1) ? ? ln x ? x ? 3 ? ?2 ? ln x ? x ?1 ln n n ? 1 ?0 ? ? , n n ………14 分 ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 2 3 n ?1 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? (n ? 2, n ? N *) 2 3 4 n 2 3 4 n n

a ? 1 ,即 a=-2……………………………5 分 2

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