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2014高考数学一轮汇总训练《简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》理 新人教A版


第三节

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[备考方向要明了]

考 什 么

怎 么 考 1.新课标对三个逻辑联结词的要求虽然只是了解,但这三个逻

1.了解逻辑联结词 “或”“且”“非”的含 义. 2.理解全称量词与存在量 词的意义. 3.能正确地对含有一个量 词的命题进行否定.

辑联结词却是高考试题中的常客,多为选择题,其中,综合其 他知识对含有这几个逻辑联结词的命题的判断问题成为高考命 题的一个热点.如 2012 年辽宁 T4 等. 2.对全称量词与存在量词的考查,主要是结合其他知识点考查 含有全称量词与存在量词的命题的判断,多为选择题或填空题, 试题难度一般.如 2011 年湖北 T2 等.

[归纳·知识整合]

1.命题 p∧q、p∨q、綈 p 的真假判定 p
真 真 假 假

q
真 假 真 假

p∧q
真 假 假 假

p∨q
真 真 真 假

綈p 假 假 真 真

[探究] 么关系?

1.逻辑联结词“且”“或”“非”与集合运算中的“交”“并”“补”有什

提示: “且”“或”“非”三个逻辑联结词, 对应着集合运算中的“交”“并”“补”, 因此, 常常借助集合的“交”“并”“补”的意义来解答由“且”“或”“非”三个联结词 构成的命题问题.
1

2.全称量词和存在量词 (1)全称量词有:所有的,任意一个,任给,用符号“? ”表示;存在量词有:存在一 个,至少有一个,有些,用符号“? ”表示. (2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.“对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”用符号 简记为:? x∈M,p(x). (3)含有存在量词的命题,叫做特称命题.“存在 M 中元素 x0,使 p(x0)成立”用符号简 记为:? x0∈M,p(x0). 3.含有一个量词的命题的否定 命题 ? x∈M,p(x) ? x0∈M,p(x0) 命题的否定 ? x0∈M,綈 p(x0) ? x∈M,綈 p(x)

[探究]

2.全称命题(特称命题)的否定还是全称命题(特称命题)吗?其真假性与原命

题有什么关系? 提示:不是.全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,它们的真假性 与原命题恰好相反. [自测·牛刀小试] 1.(教材改编题)下列命题是真命题的是( ①27 是 3 的倍数或 27 是 9 的倍数; ②27 是 3 的倍数且 27 是 9 的倍数; ③平行四边形的对角线互相垂直且平分; ④平行四边形的对角线互相垂直或平分; ⑤1 是方程 x-1=0 的根,且是方程 x -5x+4=0 的根. A.①③⑤ C.①②④⑤ B.①②③⑤ D.①②③④⑤
2

)

解析:选 C 平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直,故③错误. π 2 2.命题 p:“已知 0<x< ,若 xcos x<1,则 xcos x<1”的否定为( 2 π 2 A.已知 x≤0 或 x≥ ,若 xcos x<1,则 xcos x≥1 2 π 2 B.已知 x≤0 或 x≥ ,若 xcos x≥1,则 xcos x≥1 2 π 2 C.已知 0<x< ,若 xcos x<1,则 xcos x≥1 2 )

2

π 2 D.已知 0<x< ,若 xcos x≥1,则 xcos x≥1 2 π 解析:选 C 在命题 p 中,“已知 0<x< ”为大前提,在命题的否定中不能改变,命题 2 π “若 A,则 B”的否定是“若 A,则綈 B”,故命题 p 的否定为:已知 0<x< ,若 xcos x<1, 2 则 xcos x≥1. 3.下列命题中的假命题是( A.? x∈R,2
x-1
2

) B.? x∈N ,(x-1) >0 D.? x0∈R,tan x0=2
x-1
* 2

>0

C.? x0∈R,lg x0<1

解析:选 B A 项,∵x∈R,∴x-1∈R,由指数函数性质得 2

>0;B 项,∵x∈N ,∴

*

1 1 2 2 当 x=1 时,(x-1) =0 与(x-1) >0 矛盾;C 项,当 x0= 时,lg =-1<1;D 项,当 x0 10 10 ∈R 时,tan x0∈R,∴? x0∈R,tan x0=2. 4.(教材改编题)(1)命题 p:任意两个等边三角形都是相似的,则綈 p:__________. (2)命题 p:? x0∈R,x0+2x0+2=0,则綈 p:__________. 解析:(1)全称命题的否定为特称命题,则綈 p:存在两个等边三角形,它们不相似. (2)特称命题的否定为全称命题,则 綈 p:? x∈R,x +2x+2≠0 答案:(1)存在两个等边三角形,它们不相似 (2)? x∈R,x +2x+2≠0 5.已知命题 p:? x0∈R,x0 +
2 2 2 2

1

x0 2

≤2;命题 q 是命题 p 的否定,则命题 p、q、p∧q、

p∨q 中是真命题的是________.
解析:x0=±1 时,p 成立,所以 p 真,q 假,p∧q 假,p∨q 真. 答案:p、p∨q

含有逻辑联结词的命题的真假判断

[例 1] 已知命题 p:(a-2) +|b-3|≥0(a,b∈R),命题 q:x -3x+2<0 的解集是 {x|1<x<2},给出下列结论: ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧綈 q”是假命题; ③命题“綈 p∨q”是真命题;
3

2

2

④命题“綈 p∨綈 q”是假命题.其中正确的是( A.②③ C.①③④
2

)

B.①②④ D.①②③④
2

[自主解答] 命题 p:(a-2) +|b-3|≥0(a,b∈R)是真命题,命题 q:x -3x+2<0 的解集是{x|1<x<2}也是真命题, 故①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧綈 q”是假命题; ③命题“綈 p∨q”是真命题;④命题“綈 p∨綈 q”是假命题. [答案] D ————— ——————————————

判断“p∧q”、“p∨q”、“綈 p”形式命题真假的步骤 (1)准确判断简单命题 p、q 的真假; (2)根据真值表判断“p∧q”、“p∨q”、“綈 p”命题的真假.

1.(2013·长春名校联考)命题 p:若 a·b>0,则 a 与 b 的夹角为锐角;命题 q:若函 数 f(x)在(-∞,0]及(0,+∞)上都是减函数,则 f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.下列 说法中正确的是( ) B.“p 或 q”是假命题 D.綈 q 为假命题

A.“p 或 q”是真命题 C.綈 p 为假命题

解析:选 B ∵当 a·b>0 时,a 与 b 的夹角为锐角或零度角,∴命题 p 是假命题;命题

q 是假命题,例如 f(x)=?

?-x+1,x≤0, ? ? ?-x+2,x>0,

综上可知,“p 或 q”是假命题. 全称命题、特称命题的真假判断

[例 2] (1)下列命题中,真命题是(

)

? π? A.? x0∈?0, ?,sin x0+cos x0≥2 2? ?
B.? x∈(3,+∞),x >2x+1 C.? x0∈R,x0 +x0=-1
2 2

?π ? D.? x∈? ,π ?,tan x>sin x ?2 ?
(2)已知 a>0,函数 f(x)=ax +bx+c,若 m 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,则下列选项 中的命题为假命题的是( )
2

A.? x0∈R,f(x0)≤f(m) B.? x0∈R,f(x0)≥f(m) C.? x∈R,f(x)≤f(m)

4

D.? x∈R,f(x)≥f(m)

? π? [自主解答] (1)对于选项 A,sin x+cos x= 2sin?x+ ?≤ 4? ?
2 2 2

2,∴此命题不成立;

对于选项 B,x -2x-1=(x-1) -2,当 x>3 时,(x-1) -2>0,∴此命题成立;对于选项

? 1?2 3 2 2 C,x +x+1=?x+ ? + >0,∴x +x=-1 对任意实数 x 都不成立,∴此命题不成立;对于 ? 2? 4 ?π ? 选项 D,当 x∈? ,π ?时,tan x<0,sin x>0,命题显然不成立. ?2 ?
(2)∵a>0,∴函数 f(x)=ax +bx+c 在 x=- 处取得最小值. 2a ∴f(m)是函数 f(x)的最小值.故 C 错误. [答案] (1)B (2)C
2

b

在本例(2)中,若将“a>0”改为“a<0”,其他条件不变,则如何选择? 解析:选 D 若 a<0,则 f(m)为函数 f(x)的最大值,故选项 D 错误. ————— ——————————————

1.全称命题真假的判断方法 (1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合 M 中的每一个元素 x,证明 p(x) 成立. (2)要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合 M 中的一个特殊值 x=x0,使 p(x0) 不成立即可. 2.特称命题真假的判断方法 要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合 M 中,找到一个 x=x0,使 p(x0)成立 即可,否则这一特称命题就是假命题.

2.下列命题中是假命题的是(

)

A.存在 α ,β ∈R,使 tan(α +β )=tan α +tan β B.对任意 x>0,有 lg x+lg x+1>0 C.△ABC 中,A>B 的充要条件是 sin A>sin B D.对任意 φ ∈R,函数 y=sin(2x+φ )都不是偶函数 解析:选 D 对于 A,当 α =β =0 时,tan(α +β )=0=tan α +tan β ,因此选项 1?2 3 3 ? 2 A 是真命题;对于 B,注意到 lg x+lg x+1=?lg x+ ? + ≥ >0,因此选项 B 是真命题; 2? 4 4 ? 对于 C,在△ABC 中,A>B?a>b?2Rsin A>2Rsin B?sin A>sin B(其中 R 是△ABC 的外接圆 π 半径),因此选项 C 是真命题;对于 D,注意到当 φ = 时,y=sin(2x+φ )=cos 2x 是偶 2
5
2

函数,因此选项 D 是假命题. 含有一个量词的命题的否定

[例 3] 写出下列命题的否定,并判断其真假. 1 2 (1)p:? x∈R,x -x+ ≥0; 4 (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:? x0∈R,x0+2x0+2≤0; (4)s:至少有一个实数 x0,使 x0+1=0. 1 2 [自主解答] (1)綈 p:? x0∈R,x0-x0+ <0,假命题. 4 (2)綈 q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题. (3)綈 r:? x∈R,x +2x+2>0,真命题. (4)綈 s:? x∈R,x +1≠0,假命题. ————— ——————————————
3 2 3 2

1.对含有一个量词的命题进行否定的方法 一般地, 写含有一个量词的命题的否定, 首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题, 并找到其量词的位置及相应结论, 然后把命题中的全称量词改成存在量词, 存在量词改成全 称量词,同时否定结论. 2.常见词语的否定形式 正面词语 是 都是 > 至少有 一个 一个也 没有 至多有一 个 至少有两 个 对任意 x∈A 使 p(x)真 存在 x0∈A, 使 p(x0)假

否定词语

不是

不都是



3.命题“能被 5 整除的数,末位是 0”的否定是________. 解析:省略了全称量词“任何一个”,否定为:有些可以被 5 整除的数,末位不是 0. 答案:有些可以被 5 整除的数,末位不是 0

根据命题真假确定参数的取值范围

[例 4] (2013·济宁模拟)已知命题 p:关于 x 的方程 x -ax+4=0 有实根;命题 q: 关于 x 的函数 y=2x +ax+4 在[3, +∞)上是增函数. p 或 q 是真命题, 且 q 是假命题, 若 p
2

2

6

则实数 a 的取值范围是(

)

A.(-12,-4]∪[4,+∞) B.[-12,-4]∪[4,+∞) C.(-∞,-12)∪(-4,4) D.[-12,+∞) [自主解答] 命题 p 等价于 Δ =a -16≥0,即 a≤-4 或 a≥4;命题 q 等价于- ≤3, 4 即 a≥-12.由 p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题知,命题 p 和 q 一真一假.若 p 真 q 假,则
2

a

a<-12;若 p 假 q 真,则-4<a<4.故 a 的取值范围是(-∞,-1 2)∪(-4,4).
[答案] C

保持本例条件不变,若 p∧q 为真,则如何选择? 解析:选 B p∧q 为真,∴p 和 q 均为真. ∴a 的取值范围为[-12,-4]∪[4,+∞).

—————

—————————————— 根据命题真假求参数的方法步骤

(1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况); (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.

4.已知 c>0,且 c≠1,设 p:函数 y=c 在 R 上单调递减;q:函数 f(x)=x -2cx+1

x

2

?1 ? 在? ,+∞?上为增函数,若“p 且 q”为假,“p 或 q”为真,求实数 c 的取值范围. ?2 ?
解:∵函数 y=c 在 R 上单调递减,∴0<c<1. 即 p:0<c<1,∵c>0 且 c≠1,∴綈 p:c>1. 1 1 ?1 ? 2 又∵f(x)=x -2cx+1 在? ,+∞?上为增函数, c≤ .即 q: c≤ ,∵c>0 且 c≠1, ∴ 0< 2 2 ?2 ? 1 ∴綈 q:c> 且 c≠1. 2 又∵“p 或 q”为真,“p 且 q”为假, ∴p 真 q 假或 p 假 q 真.
? ? ? 1 ? 1 ①当 p 真,q 假时,{c|0<c<1}∩?c|c> 且c≠1?=?c| <c<1?. 2 ? ? ? 2 ? ? 1? ②当 p 假,q 真时,{c|c>1}∩?c|0<c≤ ?=?. 2? ? 7
x

? 1 ? 综上所述,实数 c 的取值范围是?c| <c<1?. ? 2 ?

? 1 个规律——含逻辑联结词的命题的真假判断规律 (1)p∨q:p、q 中有一个为真,则 p∨q 为真,即一真全真; (2)p∧q:p、q 中有一个为假,则 p∧q 为假,即一假即假; (3)綈 p:与 p 的真假相反,即一真一假,真假相反. ? 2 种方法——含量词的命题的否定及真假判断方法 (1)全称命题真假的判断方法(见例 2); (2)特称命题真假的判断方法(见例 2); (3)含量词的命题的否定方法是“改量词,否结论”,即把全称量词与存在量词互换, 然后否定原命题的结论. ? 2 个易错点——命题否定中的两个易错点 (1)对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再 写出命题的否定. (2)p 或 q 的否定为:綈 p 且綈 q;p 且 q 的否定为:綈 p 或綈 q.

易误警示——辨析含有量词的命题的否定中的易误点 [典例] (2012·辽宁高考)已知命题 p:? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则 綈 p 是( )

A.? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 [解析] 题目中命题的意思是“对任意的 x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0 都成 立”,要否定它,只要找到至少一组 x1,x2,使得(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 即可,故命题 “? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0”的否定是“? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-

x1)<0”.
[答案] C [易误辨析] 1.因忽视对量词的改写,错 选 D;因忽视对不等号的改写,误选 B;因对量词的改写 不准确,误选 A. 2.此类问题,还易出现以下错误: 有的全称命题的全称量词往往可以不写, 从而在进行命题否定时将全称命题只否定判断
8

词, 而不否定省略了的全称量词. 如命题“三角形的两边之和大于第三边”的否定应为“有 些三角形的两边之和小于或等于第三边”而不是“三角形的两边之和小于或等于第三边”. 3.为避免上述错误,对含有一个量词的命题进行否定时,应重点关注以下几点: (1)正确理解含有一个量词的命题的否定的含义,从整体上把握, 明确其否定的实质. (2)明确命题的类型,是全称命题还是特称命题. (3)记住一些常用 的词语的否定形式及其规律. [变式训练] 1.命题“? x0∈R,x0-2x0+1<0”的否定是( A.? x0∈R,x0-2x0+1≥0 B.? x0∈R,x0-2x0+1>0 C.? x∈R,x -2x+1≥0 D.? x∈R,x -2x+1<0 解析:选 C 因为特称命题 p:? x0∈A,P(x0),它的否定是綈 p:? x∈A,綈 P(x),所 以命题“? x0∈R,x0-2x0+1<0”的否定是“? x∈R,x -2x+1≥0”.
2 2 2 2 2 2 2

)

? π π? 2.若命题 p:? x∈?- , ?,tan x>sin x,则命题綈 p:( ? 2 2? ? π π? A.? x0∈?- , ?,tan x0≥sin x0 ? 2 2? ? π π? B.? x0∈?- , ?,tan x0>sin x0 ? 2 2? ? π π? C.? x0∈?- , ?,tan x0≤sin x0 ? 2 2?
π ? ?π ? ? D.? x0∈?-∞,- ?∪? ,+∞?,tan x0>sin x0 2? ?2 ? ?

)

? π π? 解析:选 C ? x 的否定为? x0,>的否定为≤,所以命题綈 p 为? x0∈?- , ?,tan ? 2 2?
x0≤sin x0.

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.(2013·长沙模拟)设 p、q 是两个命题,则“复合命题 p 或 q 为真,p 且 q 为假”的 充要条件是( ) B.p、q 中至少有一个为假 D.p 为真,q 为假

A.p、q 中至少有一个为真 C.p、q 中有且只有一个为真

解析:选 C ∵p 或 q 为真? p、q 中至少有一个为真;p 且 q 为假? p、q 中至少有一个

9

为假, ∴“命题 p 或 q 为真,p 且 q 为假”? p 与 q 一真一假. 而由 C 选项? “命题 p 或 q 为真,p 且 q 为假”. 2.下列四个命题中的真命题为( A.? x0∈Z,1<4x0<3 C.? x∈R,x -1=0
2

) B.? x0∈Z,5x0+1=0 D.? x∈R,x +x+2>0
2

1 3 1 解析:选 D 1<4x0<3, <x0< ,这样的整数 x0 不存在,故 A 错误;5x0+1=0,x0=- ? 4 4 5

? 1?2 7 2 2 Z,故 B 错误;x -1=0,x=±1,故 C 错误;对任意实数 x,都有 x +x+2=?x+ ? + >0. ? 2? 4
5 2 3.(2013·揭阳模拟)已知命题 p:? x0∈R,cos x0= ;命题 q:? x∈R,x -x+1>0, 4 则下列结论正确的是( )

A.命题 p∧q 是真命题 B.命题 p∧綈 q 是真命题 C.命题綈 p∧q 是真命题 D.命题綈 p∨綈 q 是假命题 解析:选 C 命 题 p 是假命题,命题 q 是真命题, ∴p∧q 是假命题,p∧綈 q 是假命题, 綈 p∧q 是真命题,綈 q∨綈 p 是真命题. 1 ? π? 4.已知命题 p:? x0∈?0, ?,sin x 0= ,则綈 p 为( 2? 2 ? 1 ? π? A.? x∈?0, ?,sin x= 2? 2 ? 1 ? π? B.? x∈?0, ?,sin x≠ 2? 2 ? 1 ? π? C.? x0∈?0, ?,sin x0≠ 2? 2 ? 1 ? π? D.? x0∈?0, ?,sin x0> 2? 2 ? 1 ? π? 解析:选 B 依题意得,命题綈 p 应为:? x∈?0, ?,sin x≠ . 2? 2 ? 1 2 5.已知命题 p:抛物线 y=2x 的准线方程为 y=- ;命题 q:若函数 f(x+1)为偶函 2 数,则 f(x)关于 x=1 对称.则下列命题是真命题的是( A.p∧q C.(綈 p)∧(綈 q) B.p∨(綈 q) D.p∨q
10

)

)

1 1 2 2 解析:选 D 抛物线 y=2x ,即 x = y 的准线方程是 y=- ;当函数 f(x+1)为偶函数 2 8 时,函数 f(x+1)的图象关于直线 x=0 对称,函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称(注:将 函数 f(x)的图象向左平移一个单位长度可得到函数 f(x+1)的图象), 因此命题 p 是假命题,

q 是真命题,p∧q、p∨(綈 q)、(綈 p)∧(綈 q)都是假命题,p∨q 是真命题.
6.(2013·南昌模拟)下列命题正确的是( A.已知 p: 1 1 >0,则綈 p: ≤0 x+1 x+1 )

B.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,则 a>b 是 cos A<cos B 的充要条件 C.命题 p:对任意的 x∈R,x +x+1>0,则綈 p:对任意的 x∈R,x +x+1≤0 π D.存在实数 x∈R,使 sin x+cos x= 成立 2 解析: B 对于 A,綈 p 应是 x+1≤0,因此 A 不正确; 选 对于 B,在△ABC 中,a>b?A>B ?cos A<cos B,因此 B 正确;对于 C,命题綈 p 应是? x0∈R,x0+x0+1≤0,因此 C 不正确; π ? π? 对于 D,注意到 sin x+cos x= 2sin?x+ ?∈[- 2, 2 ],且 ?[- 2, 2 ],因此 4? 2 ? π 不存在实数 x∈R,使 sin x+cos x= 成立,D 不正确. 2 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.命题“对任何 x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是____________. 解析:全称命题的否定为特称命题,所以该命题的否定为:? x0∈R,|x0-2|+|x0- 4|≤3. 答案:? x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3 8.命题 p:若 a,b∈R,则 ab=0 是 a=0 的充分条件,命题 q:函数 y= x-3的定义 域是[3,+∞),则“p∨q”、“p∧q”、“綈 p”中是真命题的有________. 解析:依题意 p 假,q 真,所以 p∨q,綈 p 为真. 答案:p∨q,綈 p 9.若命题“? x∈R,ax -ax-2≤0”是真命题,则实数 a 的取值范围是________.
? ?a<0, 解析:当 a=0 时,不等式显然成立;当 a≠0 时,由题意知 ? 2 ?Δ =a +8a≤0, ?
2 2 2 2

得-

8≤a<0.综上,-8≤a≤0. 答案:[-8,0] 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.写出下列命题的否定,并判断真假. (1)q:? x∈R,x 不是 5x-12=0 的根;

11

(2)r:有些素数是奇数; (3)s:? x0∈R,|x0|>0. 解:(1)綈 q:? x0∈R,x0 是 5x-12=0 的根,真命题. (2)綈 r:每一个素数都不是奇数,假命题. (3)綈 s:? x∈R,|x|≤0,假命题. 11.已知命题 p:? x∈[1,2],x -a≥0,命题 q:? x0∈R,x0+2ax0+2-a=0,若“p 且 q”为真命题,求实数 a 的取值范围. 解:由“p 且 q”为真命题,则 p,q 都是真命题.
2 2

p:x2≥a 在[1,2]上恒成立,只需 a≤(x2)min=1,
所以命题 p:a≤1;

q:设 f(x)=x2+2ax+2-a,存在 x0∈R 使 f(x0)=0,
只需 Δ =4a -4(2-a)≥0, 即 a +a-2≥0? a≥1 或 a≤-2, 所以命题 q:a≥1 或 a≤-2. 由?
?a≤1, ? ? ?a≥1或a≤-2
2 2

得 a=1 或 a≤-2

故实数 a 的取值范围是 a=1 或 a≤-2. 12.已知命题 p:存在实数 m,使方程 x +mx+1=0 有两个不等的负根;命题 q:存在 实数 m,使方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实根.若“p∨q”为真,“p∧q”为假,求 m 的取 值范围. 解:存在实数 m,使方程 x
2 2 2

?Δ =m -4>0, ? +mx+1=0 有两个不等的负根,则? ? ?m>0,

2

解得

m>2,
即 m> 2 时,p 真. 存在实数 m,使方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实根, 则 Δ =16(m-2) -16=16(m -4m+3)<0, 解得 1<m<3,即 1<m<3 时,q 真. 因“p∨q”为真,所以命题 p、q 至少有一个为真, 又“p∧q”为假,所以命题 p、q 至少有一个为假, 因此,命题 p、q 应为一真一假,即命题 p 为真,命题 q 为假或命题 p 为假,命题 q 为 真. 故?
? ?m>2, ? ?m≤1或m≥3, ? ?m≤2, 或? ? ?1<m<3,
2 2 2

解得 m≥3 或 1<m≤2.
12

1.若 p 是真命题,q 是假命题,则( A.p∧q 是真命题 C.綈 p 是真命题

) B.p∨q 是假命题 D.綈 q 是真命题

解析:选 D 本题主要考查含有逻辑联结词的命题的真假判断.直接利用真值表进行判 断即可. 2.命题“存在 x0∈R,2 0≤0”的否定是( A.不存在 x0∈R,2 0>0 B.存在 x0∈R,2 0≥0 C.对任意的 x∈R,2 ≤0 D.对任意的 x∈R,2 >0 解析:选 D 原命题的否定可写为:“不存在 x0∈R,2 0≤0”.其等价命题是:“对任 意的 x∈R,2 >0”. 3.已知命题 p1:函数 y=2 -2 在 R 上为增函数,
x
-x

x

)

x

x

x

x

x

x

p2:函数 y=2x+2-x 在 R 上为减函数.
则在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(綈 p1)∨p2 和 q4:p1∧(綈 p2)中,真命题是( A.q1,q3 C.q1, q4 B.q2,q3 D.q2,q4 )

解析:选 C p1 是真命题,则綈 p1 为假命题;p2 是假命题,则綈 p2 为真命题.所以 q1:

p1∨p2 是真命题, 2: 1∧p2 是假命题, 3: p1)∨p2 为假命题, 4: 1∧(綈 p2)为真命题. q p q (綈 q p 即
真命题是 q1,q4. 4.已知命题 p:方程 x -(2+a)x+2a=0 在[-1,1]上有且仅有一解;命题 q:存在实 数 x 使不等式 x +2ax+2a≤0 成立.若命题“p∧q”是真命题,求 a 的取值范围. 解:由 x -(2+a)x+2a=0,得(x-2)(x-a)=0, ∴x=2 或 x=a. 又方程 x -(2+a)x+2a=0 在[-1,1]上有且仅有一解, ∴-1≤a≤1. ∵存在实数 x 满足不等式 x +2ax+2a≤0, ∴Δ =4a -8a≥0,解得 a≤0 或 a≥2. 又∵命题“p∧q”是真命题,∴命题 p 和命题 q 都是真命题. ∴a 的取值范围为{a|-1≤a≤0}.
2 2 2 2 2 2

13

三法破解集合运算和充要条件判断的问题

一、三法定乾坤——谈集合运算问题的三种方法 集合的基本运算主要包括交集、并集、补集,集合是历年高考的必考内容,解决集合的 基本运算问题,首先要明确集合中元素的性质,通过解不等式求出每个集合,然后弄清几个 集合之间的关系,最后利用列举法、借助数轴或 Venn 图等根据交集、并集、补集的定义进 行基本运算,从而得出结果. 1.列举法 列举法就是通过枚举集合中所有的元素, 然后根据集合基本运算的定义求解的方法. 此 类方法适用于数集的有关运算以及集合的新定义运算问题.其基本的解题步骤是:

[例 1] 设 P,Q 为两个非空实数集合,定义集合 P*Q={z|z=a÷b,a∈P,b∈Q},若

P={-1,0,1},Q={-2,2},则集合 P*Q 中元素的个数是(
A.2 C.4 B.3 D.5

)

[解析] 当 a=0 时,无论 b 取何值,z=a÷b=0; 1 当 a=-1,b=-2 时,z=(-1)÷(-2)= ; 2 1 当 a=-1,b=2 时,z=(-1)÷2=- ; 2 1 当 a=1,b=-2 时,z=1÷(-2)=- ; 2 1 当 a=1,b=2 时,z=1÷2= . 2
? 1 1? 故 P*Q=?0,- , ?,该集合中共有 3 个元素. 2 2? ?

[答案] B [点评] 求解两个集合之间的运算应该注意三个问题: 一是集合中元素的形式, 元素是 数还是有序数对, 是函数的定义域还是函数的值域等; 二是注意集合中对应不等式端点值的 处理, 尤其是求解集合补集的运算, 一定要搞清端点值的取舍; 三是求解集合的补集运算时, 一定要先求出原来的集合,然后求其补集,不要直接转化条件而导致漏解出错,如集合 A=
14

1? 1 ?x|log x≥1? ? ? ? ? ?的补集不是 B=?x|log 1 x<2?,而是 B=?x|log 1 x<2,或x≤0?. 1 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2.数形结合法 数形结合法就是利用数轴或 Venn 图表示出相关集合,然后根据图形求解集合的补集或 者进行相关集合的交集、并集的基本运算.其求解的基本步骤是:

[ 例 2]
? ? ?2x-3 ?x? <0 ? ? x ?

(2013· 嘉 兴 模 拟 ) 已 知 全 集 U = R , 集 合 A = {x|log
? ? ?,则 B∩(?UA)=( ? ?

1 2

(x - 1)>0} , B =

) B.[0,1) D.(0,1]

A.[0,1] C.(0,1)

[解析] 由 log 1 (x-1)>0,得 0<x-1<1,即 1<x<2,
2

∴A=(1,2). 由 2x-3 3 <0,得 x(2x-3)<0,即 0<x< , x 2

? 3? ∴B= ?0, ?. ? 2?
如图所示,在数轴上表示出集合 A,B. 则?UA= (-∞,1]∪[2,+∞), ∴B∩(?UA)=(0,1].

[答案] D [点评] 数形结合法主要是利用图形的直观性来进行集合的基本运算, 应注意利用数轴 表示集合时, 要根据端点值的取舍情况正确选用实心点或空心点标注对应集合, 避免因区间 端点值的取舍不当造成增解或漏解. 3.属性分析法 属性分析法就是根据元素与集合之间的确定关系来进行集合基本运算的方法, 主要是解 决点集问题中某个集合与已知集合之间的关系问题.解决此类问题的基本步骤是:

15

[例 3] ( ) A.M∩N

已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},M={3,4,5},N={1,3,6},则集合{2,7}=

B.(?UM)∩(?UN) D.M∪N

C.(?UM)∪(?UN) [解析] 显然 2∈U,2?M,2?N,

所以 2∈?UM,2∈?UN,所以 2∈(?UM)∩(?UN); 而 7∈U,7?M,7?N, 所以 7∈?UM,7∈?UN,所以 7∈(?UM)∩(?UN). 综上,易知{2,7}=(?UM)∩(?UN). [答案] B [点评] 属性分析法的实质是利用集合中元素的确定性, 即元素与集合之间的关系: 属 于与不属于.在推理过程中还要注意已知集合之间的关系,如 a∈U,a?A 且 A? U,则必有 a ∈?UA. 二、三法破解充要条件的判断问题 充要条件是历年高考的必考内容,主要包括两个方面:一是以函数、数列、不等式、立 体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断;二是根据充要条件求解参数的取值范 围,这两类问题常以填空题的形式进行考查,试题难度不大. 充要条件的判断问题要注意“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件 是 q”这两种叙述方式的差异,先将问题转化为第一种基本的叙述方式,然后再判断.利用 充要条件之间的关系求解参数的取值范围可将其转化为两个集合之间的关系, 然后构造相应 的不等式进行处理. 1.定义法 定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若 p, q”与“若 q, p”的判 则 则 断,根据两个命题是否正确,来确定 p 与 q 之间的充要关系.其基本步骤是:

16

π 2 [例 1] 设 0<x< ,则“xsin x<1”是“xsin x<1”的________条件. 2 π [解析] 因为 0<x< ,所以 0<sin x<1, 2 不等式 xsin x<1 两边同乘 sin x,可得 xsin x<sin x,所以有 xsin x<sin x<1.即 xsin
2 2

x<1? xsin2x<1;
1 1 2 不等式 xsin x<1 两边同除以 sin x,可得 xsin x< ,而由 0<sin x<1,知 >1, sin x sin x 故 xsin x<1 不一定成立,即 xsin x<1? / xsin x<1. 综上,可知“xsin x<1”是“xsin x<1”的必要不充分条件. [答案] 必要不充分 [点评] 判断 p、q 之间的关系,只需判断两个命题 A:“若 p,则 q”和 B:“若 q, 则 p”的真假.两命题的真假与 p、q 之间的关系如下表所示: 命题 A 真 真 假 假 2.等价转化法 等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时, 根据原命 题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断. 其基本步骤 为: 命题 B 真 假 真 假
2 2

p、q 之间的关系 p 为 q 的充分必要条件 p 为 q 的充分不必要条件 p 为 q 的必要不充分条件 p 为 q 的既不充分又不必要条件

[例 2] 已知条件 p:

4

x-1

≤-1,条件 q:x -x<a -a,且綈 q 的一个充分不必要条件

2

2

是綈 p,则 a 的取值范围是________. [解析] 解
2 2

4

x-1

≤-1,得-3≤x<1.

由 x -x<a -a,即(x-a)[x+(a-1)]<0, 1 当 a>1-a,即 a> 时,不等式的解为 1-a<x<a; 2 1 当 a=1-a,即 a= 时,不等式的解为?; 2
17

1 当 a<1-a,即 a< 时,不等式的解为 a<x<1-a. 2 由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p,可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,即 p 为 q 的 一个必要不充分条件,即条件 q 对应的 x 取值集合是条件 p 对应的 x 取值集合的真子集.
?-3≤1-a, ? 1 当 a> 时,由{x|1-a<x<a}?{x|-3≤x<1},得? 2 ? ?1≥a,

1 解得 <a≤1; 2

1 当 a= 时,因为空集是任意一个非空集合的真子集,所以满足条件; 2
? ?-3≤a, 1 当 a< 时,由{x|a<x<1-a}?{x|-3≤x<1},得? 2 ?1≥1-a, ?

1 解得 0≤a< . 2

综上,a 的取值范围是[0,1]. [答案] [0,1] [点评] 判断两个命题綈 p 和綈 q 之间的关系, 一般是直接利用定义法, 寻找两者之间 的关系, 或利用集合的方法寻找与之对应的两个集合之间的关系, 当两种方法都较难判断时, 可转化为 p、q 之间的关系,再利用互为逆否命题的等价性进行判断.它们之间的对应关系 如下表所示:

p、q 之间的关 系 p 是 q 的充分不必要条件 p 是 q 的必要不充分条件 p 是 q 的充要条件 p 是 q 的既不充分也不必要条件
3.集合法

綈 p 和綈 q 之间的关系 綈 p 是綈 q 的必要不充分条件 綈 p 是綈 q 的充分不必要条件 綈 p 是綈 q 的充要条件 綈 p 是綈 q 的既不充分也不必要条件

集合法就是利用满足两个条件的参数取值集合之间的关系来判断充要关系的方法. 主要 解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题.其解决的一般步骤是:

[例 3] 若 A:log2a<1,B:x 的二次方程 x +(a+1)x+a-2=0 的一个根大于零,另 一根小于零,则 A 是 B 的________条件. [解析] 由 log2a<1, 解得 0<a<2, 所以满足条件 A 的参数 a 的取值集合为 M={a|0<a<2}; 而方程 x +(a+1)x+a-2=0 的一根大于零,另一根小于零的充要条件是 f(0)<0,即 a- 2<0,解得 a<2,即满足条件 B 的参数 a 的取值集合为 N={a|a<2},显然 M?N,所以 A 是 B
18
2

2

的充分不必要条件. [答案] 充分不必要 [点评] 设 p、q 对应的集合分别记为 A、B.则 p、q 之间的关系可转化为与之相应的两 个集合之间的关系.它们之间的关系如下表所示:

A、B 之间的关系 A=B A?B A?B A? B 且 B? A

p、q 之间的关系 p 为 q 的充分必要条件 p 为 q 的充分不必要条件 p 为 q 的必要不充分条件 p 为 q 的既不充分又不必要条件

19


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