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2014高二圆锥曲线测试题及答案


高二圆锥曲线测试题
一、选择题:
2 2 1、已知动点 M 的坐标满足方程 13 x ? y ?| 12 x ? 5 y ? 12 | ,则动点 M 的轨迹是(



A、抛物线

B、双曲线

C、椭圆

D、以上都不对

2、设 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0, F1 、F2 分别是双曲线的 9 a2

左、右焦点,若 | PF1 A、1 或 5

|? 5 ,则 | PF2 |? (
B、1 或 9

) C、1 D、9

3、 设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、 F2, 过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P, 若△F1PF2 为等腰直角三角形, 则椭圆的离心率是( ). A、

2 2

B、

2 ?1 2

C、 2 ? 2

D、 2 ? 1

4、过点(2,-1)引直线与抛物线 y ? x 只有一个公共点,这样的直线共有(
2

)条

A、1

B、2

C、3

D、4

5、已知点 A(?2,0) 、 B(3,0) ,动点 P( x, y )满足 PA ? PB ? y ,则点 P 的轨迹是 (
2

)

A、圆

B、椭圆

C、双曲线

D、抛物线

6、如果椭圆

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) 36 9 A、 x ? 2 y ? 0 B、 x ? 2 y ? 4 ? 0 C、 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 D、 x ? 2 y ? 8 ? 0
2 2

7、无论 ? 为何值,方程 x ? 2 sin ? ? y ? 1 所表示的曲线必不是( A、双曲线 B、抛物线 C、椭圆



D、以上都不对

2 8、方程 mx ? ny ? 0 与 mx ? ny ? 1 ( m ? n ? 0) 的曲线在同一坐标系中的示意图应是(
2 2



A、 二、填空题:

B、

C、

D、

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1

9、对于椭圆

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 和双曲线 ? ? 1 有下列命题: 16 9 7 9
②、双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ④、椭圆与双曲线有两个顶点相同.

①、椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ③、双曲线与椭圆共焦点; 其中正确命题的序号是 .

10、若直线 (1 ? a) x ? y ? 1 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值为
2 2

11、抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距离的最小值是
2

12、抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标



13、椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 中点在 y 轴上,那么|PF1|是|PF2|的 12 3

14、若曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦点为定点,则焦点坐标是 a?4 a?5

.;

三、解答题:

x2 y2 14 ? ? 1 共焦点,它们的离心率之和为 ,求双曲线方程.(12 分) 15、已知双曲线与椭圆 9 25 5

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2

2 2 16、P 为椭圆 x ? y ? 1 上一点, F1 、 F2 为左右焦点,若 ?F1 PF2 ? 60? 25 9 (1)求△ F1 PF2 的面积; (2)求 P 点的坐标. (14 分)

17、求两条渐近线为 x ? 2 y ? 0 且截直线 x ? y ? 3 ? 0 所得弦长为

8 3 的双曲线方程.(14 分) 3

18、知抛物线 y ? 4 x ,焦点为 F,顶点为 O,点 P 在抛物线上移动,Q 是 OP 的中点,M 是 FQ 的中点,
2

求点 M 的轨迹方程. (12 分)

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3

19、某工程要将直线公路 l 一侧的土石,通过公路上的两个道口 A 和 B,沿着道路 AP、BP 运往公路另一 侧的 P 处,PA=100m,PB=150m,∠APB=60°,试说明怎样运土石最省工?

x2 y2 20、点 A、B 分别是椭圆 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且位 36 20
于 x 轴上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于

| MB | ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值。

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4

高二理科数学圆锥曲线测试题答案 一、选择题 1—8: A、D、D、C、D、D、B、A; 二、填空题:

9、①②
三、解答题:

10、-1

11、

4 3

1 12、 ( ,1 ) 4

13、7 倍

14、 (0,±3)

15、(12 分)
解 : 由于椭圆焦点为 F(0, ? 4), 离心率为 e= c=4,a=2,b=2 3 .

4 , 所以双曲线的焦点为 F(0, ? 4), 离心率为 2, 从而 5 y2 x2 所以求双曲线方程为: ? ?1 4 12


16、[解析]:∵a=5,b=3?c=4 (1)设 | PF1 |?t 1 , | PF2 |? t 2 ,则 t1 ? t 2 ? 10
2 t12 ? t 2 ? 2t1t 2 ? cos 60? ? 8 2

②,由①2-②得 t1t 2 ? 12

? S ?F1PF2 ?

1 1 3 t1t 2 ? sin 60? ? ? 12 ? ?3 3 2 2 2
1 2

(2)设 P ( x, y ) ,由 S ?F PF ? 1 ? 2c? | y |? 4? | y | 得
2

4 | y |? 3 3 ?| y |? 3 3
4

? y??

3 3 4

,将 y ? ? 3

3 4

代入

椭圆方程解得 x ? ? 5

17、解:设双曲线方程为 x -4y = ? .
2 2

13 4

,? P( 5

13 3 3 或 5 13 3 3 或 5 13 3 3 或 5 13 3 3 , ) P(? , ) P( ,? ) P(? ,? ) 4 4 4 4 4 4 4 4

联立方程组得: ?

? x 2 -4y 2 =? ?x ? y ? 3 ? 0

,消去 y 得,3x -24x+(36+ ? )=0
2

x1 ? x2 ? 8 ? ? 36 ? ? ? x1 x2 ? 设直线被双曲线截得的弦为 AB,且 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),那么: ? 3 ? 2 ? ? ? ? 24 ? 12(36 ? ? ) ? 0 36 ? ? 8(12 ? ? ) 8 3 2 2 2
那么:|AB|= (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? 1)(8 ? 4 ? 解得: ? =4,所以,所求双曲线方程是:
2

3

)?

3

?

3

x ? y2 ? 1 4 18、解:设 M( x, y ) ,P( x1 , y1 ) ,Q( x 2 , y 2 ) ,易求 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的坐标为(1,0) 1 ? x2 ? x? ? ? 2 x2 ? 2 x ? 1 ∵M 是 FQ 的中点,∴ ? , ?? 2 ? y ? y2 ? 2 y ?y ? ? 2 ?
x ? ? x1 ? 2 x 2 ? 4 x ? 2 x2 ? 1 ? 2 ?? 又 Q 是 OP 的中点∴ ? , ? y1 ? 2 y 2 ? 4 y ? y ?y ? 1 2 ? 2 ?

∵P 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,∴ (4 y) 2 ? 4(4 x ? 2) ,所以 M 点的轨迹方程为 y 2 ? x ? 1 .
2

19、解析:设直线 l 与椭圆交于 P1(x1,y1)、P2(x2,y2), 将 P1、P2 两点坐标代入椭圆方程相减得直线 l 斜率
快乐的学习, 快乐的考试! 5

x1 ? x2 y ?y x ?x x2 1 2 k ? 1 2 ?? 1 2 ?? ?? ?? y ?y x1 ? x2 4( y1 ? y2 ) 3 2 4 1 2 2 由点斜式可得 l 的方程为 x+2y-8=0. 答案:x+2y-8=0
19、解:以直线 l 为 x 轴,线段 AB 的中点为原点对立直角坐标系,则在 l 一侧必存在经 A 到 P 和经 B 到 P 路程相等的点,设这样的点为 M,则 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|, 即|MA|-|MB|=|BP|-|AP|=50,

? | AB |? 50 7 ,

∴M 在双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右支上. 25 2 25 2 ? 6

故曲线右侧的土石层经道口 B 沿 BP 运往 P 处,曲线左侧的土石层经道口 A 沿 AP 运往 P 处,按这种方法运土石最省工。
20、 (1)由已知可得点 A(-6,0),F(0,4) 设点 P( x , y ),则 AP =( x +6, y ), FP =( x -4, y ),由已知可得

??? ?

??? ?

? x2 y 2 ?1 ? ? ? 36 20 ?( x ? 6)( x ? 4) ? y 2 ? 0 ?
则 2 x +9 x -18=0, x =
2

3 或 x =-6. 2

由于 y >0,只能 x =

5 3 3 ,于是 y = . 2 2

∴点 P 的坐标是(

3 5 3 , ) 2 2

(2) 直线 AP 的方程是 x - 3 y +6=0. 设点 M( m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是 椭圆上的点( x , y )到点 M 的距离 d 有

m?6 2

.

于是

m?6 2

= m ? 6 ,又-6≤ m ≤6,解得 m =2.

5 9 2 2 2 4 d2 ? ( x ?2 ) ? y 2 ? x ?4 x ?4 ?2 0 ? x ? (x ? 2 ) , ?1 5 9 9 2 9 由于-6≤ m ≤6, ∴当 x = 时,d 取得最小值 15 2
说明:在解析几何中求最值:一是建立函数关系,利用代数方法求出相应的最值;再是利用圆锥曲线的 几何性质或者曲线的参数方程求最值。

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6


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