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直线的参数方程及其应用(学案)


参数方程学案

直线的参数方程及应用
目标点击:
1.掌握直线参数方程的标准形式和一般形式,理解参数的几何意义; 2.熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化; 3.利用直线的参数方程求线段的长,求距离、求轨迹、与中点有关等问题;

Q P= y ? y 0



y ? y0 =

t sin ?

? x ? x 0 ? t cos ? 即? 是所求的直线 l 的参数方程 ? y ? y 0 ? t sin ?

∵P0P=t,t 为参数,t 的几何意义是:有向直线 l 上从已知点 P0( x0 , y0 )到点 P( x , y )的有向线段的数量,且|P0P|=|t| ①当 t>0 时,点 P 在点 P0 的上方; ②当 t=0 时,点 P 与点 P0 重合; ③当 t<0 时,点 P 在点 P0 的下方;
? x ? x0 ? t 特别地,若直线 l 的倾斜角 ? =0 时,直线 l 的参数方程为 ? y ? y ? y0 h ④当 t>0 时,点 P 在点 P0 的右侧; P0 P( x , y ) l ⑤当 t=0 时,点 P 与点 P0 重合; h x ⑥当 t<0 时,点 P 在点 P0 的左侧; 0 问题 2:直线 l 上的点与对应的参数 t 是不是一 h l y 对应关系? h 我们把直线 l 看作是实数轴, P0 以直线 l 向上的方向为正方向,以定点 P0 h 为原点,以原坐标系的单位长为单位长, P 这样参数 t 便和这条实数轴上的点 P 建立了 0 一一对应关系. h 问题 3:P1、P2 为直线 l 上两点所对应的参数分别为 t1、t2 , 则 P1P2=?,∣P1P2∣=? P1P2=P1P0+P0P2=-t1+t2=t2-t1,∣P1P2∣=∣ t2-t1∣ 问题 4:若 P0 为直线 l 上两点 P1、P2 的中点,P1、P2 所对应的 参数分别为 t1、t2 ,则 t1、t2 之间有何关系? l y P2 根据直线 l 参数方程 t 的几何意义, h P1P=t1,P2P=t2,∵P0 为直线 l P0 上两点 P1、P2 的中点,∴|P1P|=|P2P| h P 1 P1P=-P2P,即 t1=-t2, t1t2<0 一般地,若 P1、P2、P3 是直线 l 上的点, 0 所对应的参数分别为 t1、t2、t3,P3 为 P1、P2 的中点 h

基础知识点击:
1、直线参数方程的标准式 (1)过点 P0( x0 , y0 ),倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程是

? ? x ? x0 ? t c o s (t 为参数)t 的几何意义:t 表示有向线段 P0 P 的数量,P( x , y ) ? ? ? y ? y0 ? t s i n P0P=t ∣P0P∣=t 为直线上任意一点. (2)若 P1、P2 是直线上两点,所对应的参数分别为 t1、t2, 则 P1P2=t2-t1 ∣P1P2∣=∣t 2-t 1∣ (3) 若 P1、P2、P3 是直线上的点,所对应的参数分别为 t1、t2、t3 t ?t 则 P1P2 中点 P3 的参数为 t3= 1 2 ,∣P0P3∣= t1 ? t 2 2 2
(4)若 P0 为 P1P2 的中点,则 t1+t2=0,t1?t2<0 2、直线参数方程的一般式 b 过点 P0( x0 , y0 ),斜率为 k ? 的直线的参数方程是 a
? x ? x 0 ? at ? ? y ? y 0 ? bt

x

(t 为参数)

点击直线参数方程: 一、直线的参数方程
问题 1: (直线由点和方向确定) 求经过点 P0( x0 , y0 ),倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程. y 设点 P( x , y )是直线 l 上任意一点, (规定向上的 h 方向为直线 L 的正方向)过点 P 作 y 轴的平行线,过 P0 作 x 轴的平行线,两条直线相交于 Q 点. 0 1)当 P0 P 与直线 l 同方向或 P0 和 P 重合时, P0P=|P0P| 则 P0Q=P0Pcos ? Q P=P0Psin ? 2)当 P0 P 与直线 l 反方向时,P0P、P0Q、Q P 同时改变符号 P0P=-|P0P| P0Q=P0Pcos ? Q P=P0Psin ? 仍成立 设 P0P=t,t 为参数, 又∵P0Q= x ? x0 , x ? x0 =tcos ?
0 h h P0 h?

l
P( x , y )

Q

x

x

y h P( x , y )

l

P0 h Q

则 t3= t1 ? t 2 (∵P1P3=-P2P3, 根据直线 l 参数方程 t 的几何意义,
2

∴P1P3= t3-t1, P2P3= t3-t2, ∴t3-t1=-(t3-t2,) )

基础知识点拨:
x
1、参数方程与普通方程的互化
1

?

参数方程学案

例 1:化直线 l1 的普通方程 x ? 3 y ? 1 =0 为参数方程,并说明参数的几何意 义,说明∣t∣的几何意义. 解:令 y=0,得 x =1,∴直线 l1 过定点(1,0). k=- 1 =- 3
3
3

例 3:已知直线 l 过点 M0(1,3) ,倾斜角为

? ? ? ,判断方程 ? ? 3

1 x ? 1 ? t (t 为参数)和方程 2 ?y ? 3 ? 3 t ? 2 ?

设倾斜角为 ? ,tg ? =- 3 , ? = 5 ? , cos ? =- 3 , sin ? = 1
3

6

2

2

? 3 l1 的参数方程为 ? ?x ? 1 ? 2 t ? ? y ? 1t ? 2 ?

(t 为参数)

? x ? 1? t (t 为参数)是否为直线 l 的参数方程?如果是直线 l 的参数方程,指出方程 ? ?y ? 3 ? 3 t 中的参数 t 是否具有标准形式中参数 t 的几何意义. 解:由于以上两个参数方程消去参数后,均可以得到直线 l 的的普通方程 3x ? y ? 3 ? 3 ? 0 ,所以,以上两个方程都是直线 l 的参数方程,其中
1 ? x ? 1? t ? ? 2 ? ?y ? 3 ? 3 t ? 2 ?

t 是直线 l1 上定点 M0(1,0)到 t 对应的点 M( x , y )的有向线段 M 0 M 的数量.由
? 3 t ?x ? 1 ? ? ? 2 ? ?y ? 1 t ? 2 ? (1) (2)

cos ? = 1 , sin ? = 3 ,是标准形式,参数 t 是有向线段 M 0 M 的数量.,而
2
2

(1)、(2)两式平方相加,得 ( x ? 1) ? y ? t
2 2

2

∣t∣= ( x ? 1) 2 ? y 2 ∣t∣是定点 M0(1,0)到 t 对应的点 M( x , y )的有向线段

M 0 M 的长. 点拨:求直线的参数方程先确定定点,再求倾斜角,注意参数的几何意义. ? x ? ?3 ? t 例 2:化直线 l 2 的参数方程 ? (t 为参数)为普通方程,并求倾斜角, ?y ? 1? 3 t 说明∣t∣的几何意义.
解:原方程组变形为 ? ?
x?3? t ?y ?1 ? 3 t (1) (2)

? x ? 1? t 方程 ? 是非标准形式,参数 t 不具有上述的几何意义. y ? 3 ? 3 t ? 点拨:直线的参数方程不唯一,对于给定的参数方程能辨别其标准形式,会利用参数 t 的几何意义解决有关问题. ? x ? 1? t 问题 5:直线的参数方程 ? 能否化为标准形式? ?y ? 3 ? 3 t 是可以的,只需作参数 t 的代换.(构造勾股数,实现标准化)
? ? x ? 1? t ? ? ? ? ?y ? 3 ? 3 t ? ? ? ? x ? 1? y ? 3? 1 1 ? ( 3) 3
2 2 2

( 12 ? ( 3 ) 2 t ) ( 12 ? ( 3 ) 2 t )

(1)代入(2)消去参数 t, 可见 k= 3 , tg ? = 3 ,倾斜角 ? =

令 t?= 12 ? ( 3 ) 2 t

得 y ? 1 ? 3( x ? 3) 普通方程为

(点斜式)

? 3

1 ? ( 3)

2

3x ? y ? 3 3 ? 1 ? 0
( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 2

(1)、(2)两式平方相加,得 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4t 2 ∴∣t∣=

? ? x ? 1? 得到直线 l 参数方程的标准形式 ? ? ?y ? 3 ? ? ?

1 t? 2 3 t? 2

t?的几何意义是有向线段

∣t∣是定点 M0(3,1)到 t 对应的点 M( x , y )的有向线段 M 0 M 的长的一半. 点拨:注意在例 1、例 2 中,参数 t 的几何意义是不同的,直线 l1 的参数方程
?x ? 1 ? 为? ? ? ? ? ?

5 ? 3 t 即 ? x ? 1 ? t cos ? 6 2 ? 5 1 ? y ? t sin ? y? t 6 ? 2

M 0 M 的数量. 2、直线非标准参数方程的标准化 一 般 地 , 对 于 倾 斜 角 为 ? 、 过 点 M0( x0 , y0 ) 直 线 l 参 数 方 程 的 一 般 式 为 , .
? x ? x 0 ? at ? ? y ? y 0 ? bt
(t 为参数) , 斜率为 k ? tg? ?

是直线方程的标准形式,(- 3 )2+( 1 )2=1, t 的几何意义是
2

2

b a

? x ? ?3 ? t 有向线段 M 0 M 的数量.直线 l 2 的参数方程为 ? 是非标准的形式, 12+( 3 )2=4 ?y ? 1? 3 t ≠1,此时 t 的几何意义是有向线段 M 0 M 的数量的一半.

(1) 当 a 2 ? b 2 =1 时,则 t 的几何意义是有向线段 M 0 M 的数量. (2) 当 a 2 ? b 2 ≠1 时,则 t 不具有上述的几何意义.

你会区分直线参数方程的标准形式?
2

参数方程学案

a ? x ? x0 ? ( a 2 ? b 2 t) ? ? x ? x 0 ? at 2 2 a ?b 可化为 ? 令 t?= a 2 ? b 2 t ? ? b ? y ? y 0 ? bt ? y ? y0 ? ( a 2 ? b 2 t) 2 2 ? a ?b ? a ? x ? x0 ? t? ? 2 a ? b2 则可得到标准式 ? t?的几何意义是有向线段 M 0 M 的数量. ? b ? y ? y0 ? t? 2 2 ? a ? b ? 3? 例 4:写出经过点 M0(-2,3) ,倾斜角为 的直线 l 的标准参数方程,并且 4 求出直线 l 上与点 M0 相距为 2 的点的坐标.
3 ? 解:直线 l 的标准参数方程为 ? x ? ?2 ? t cos 4 ? ? 3 ? y ? 3 ? t sin ? 4 ?
? x ? ?2 ? 即? ? ? ? y ? 3? ? ? 2 t (1) 2 (t 为参数) 2 t 2

1 ? x ?1? t ? 5 (t 为参数)的斜率和倾斜角分别是( 3、 直线 ? ? 2 ? y ? ?1 ? t ? 5 ?
A) -2 和 arctg(-2) C) -2 和 ? -arctg2 4、 已知直线 ? B) - 1 和 arctg(- 1 ) 2 2 1 D) - 和 ? -arctg 1 2 2

)

? x ? x 0 ? t cos ? ? y ? y 0 ? t sin ?

(t 为参数)上的点 A、B 所对应的参数分别为 t1,t2,点 P 分线段 .

BA 所成的比为 ? ( ? ≠-1) ,则 P 所对应的参数是 5、直线 l 的方程: 那么|AB|等于( ) A ∣t 1-t 2∣ B

? x ? x 0 ? at ? ? y ? y 0 ? bt

(t 为参数)A、B 是直线 l 上的两个点,分别对应参数值 t1、t2,

设直线 l 上与已知点 M0 相距为 2 的点为 M 点,且 M 点对应的参数为 t, 则| M0M|=|t| =2, ∴t=±2 将 t 的值代入(1)式 当 t=2 时,M 点在 M0 点的上方,其坐标为(-2- 2 ,3+ 2 ) ; 当 t=-2 时,M 点在 M0 点的下方,其坐标为(-2+ 2 ,3- 2 ). 点拨:若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求 M 点的坐标较麻烦, 而使用直线的参数方程,充分利用参数 t 的几何意义求 M 点的坐标较 容易.
? x ? 3 ? t sin 20 ? 例 5:直线 ? (t 为参数)的倾斜角 ? ? y ? 4 ? t cos 20

a 2 ? b 2 ∣t 1-t 2∣

C

t1 ? t 2 a2 ? b2

D ∣t 1∣+∣t 2∣

6、 已知直线 l : ? 到点 P 的距离.

x ? 1? t (t 为参数)与直线 m: x ? y ? 2 3 ? 0 交于 P 点,求点 M(1,-5) ? y ? ?5 ? 3 t ?

二、直线参数方程的应用
例 6:已知直线 l 过点 P(2,0) ,斜率为 4 ,直线 l
3

.

y

y ?4 解法 1:消参数 t,的 x ?3 =-ctg20°=tg110° ? x ? 3 ? (?t )t cos110? 解法 2:化为标准形式: ? (-t 为参数) ? ? y ? 4 ? (?t ) sin 110

∴此直线的倾斜角为 110°

基础知识测试 1:
1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是 3 的直线 l 的标准参数方程. 2 2、 直线 l 的方程: ? A 65°

和抛物线 y 2 ? 2 x 相交于 A、B 两点, M 设线段 AB 的中点为 M,求: x (1)P、M 两点间的距离|PM|; 0 P (2,0) (2)M 点的坐标; A (3)线段 AB 的长|AB| 解:(1)∵直线 l 过点 P(2,0) ,斜率为 4 ,设直线的倾斜角为 ? ,tg ? = 4
3 3

B

cos ?
)

? x ? 1 ? t sin 25
B 25°

?

? ? y ? 2 ? t cos 25

(t 为参数) ,那么直线 l 的倾斜角( C 155° D 115°

3 ? = 3 , sin ? = 4 ∴直线 l 的标准参数方程为 ? x ? 2 ? 5 t (t ? 5 5 4 ? y? t 5 ?

为参数)*

∵直线 l 和抛物线相交,将直线的参数方程代入抛物线方程 y 2 ? 2 x 中, 整理得 8t2-15t-50=0 Δ =152+4?8?50>0,设这个二次方程的两个根为 t1、 t2,由韦达定理得 t1+t2=
15 , 8

t1t2= ?

25 ,由 M 为线段 AB 的中点,根据 t 的几何意 4

3

参数方程学案

15 义,得| PM|= t1 ? t 2 =

2

16

∵中点 M 所对应的参数为 t M=

15 ,将此值代入直线的标准参数方程*, 16 3 15 41 ? 3 41 M 点的坐标为 ? x ? 2 ? 5 ? 16 ? 16 即 M( , ) ? 4 16 4 15 3
? y? ? ? 5 16 4 ?

5 73 8 点拨:利用直线 l 的标准参数方程中参数 t 的几何意义,在解决诸如直线 l 上两点间的 距离、直线 l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时,比用直线 l 的普通方程来解 决显得比较灵活和简捷.

(3) |AB|=∣t 2-t 1∣=

(t1 ? t 2 ) 2 ? 4t 1 t 2 =

例 7:已知直线 l 经过点 P(1,-3 3 ),倾斜角为 ? ,
3

直线 y=2 x +7 被抛物线截得的线段长是 4 10 ,求抛物线方程. 解:由题意,得抛物线的对称轴方程为 y=2.设抛物线顶点坐标为( a ,2) 方程为(y―2)2=2P(x- a ) (P>0) ① 2 ∵点 B(-1,-2)在抛物线上,∴(―2―2) =2P(-1- a ) 2 a P=-8-P 代入① 得(y―2) =2P x +2P+16 ② 将直线方程 y=2 x +7 化为标准的参数方程 tg ? =2, ? 为锐角, 1 ? x ? ?1 ? t ? ? 1 2 5 cos ? = , sin ? = 得? (t 为参数) ③ 2 5 5 ? y ? 5? t ? 5 ? ∵直线与抛物线相交于 A,B, ∴将③代入②并化简得: 4( P ? 6) 2 4 2 12 ? 2 P ? 35 >0,可设方程的两根为 t1、t2, t ? t ? 7 =0 ,由Δ = 5 5 5 又∵|AB|=∣t 2-t 1∣=

(1)求直线 l 与直线 l ? : y ? x ? 2 3 的交点 Q 与 P 点的距离| PQ|; (2)求直线 l 和圆 x 2 ? y 2 =16 的两个交点 A,B 与 P 点的距离之积. 解:(1)∵直线 l 经过点 P(1,-3 3 ),倾斜角为 ? ,∴直线 l 的标准参数方 3 程为 ?
? 3 ? ? ? y ? ?3 3 ? t sin 3 ? x ? 1 ? t cos

(t1 ? t 2 ) 2 ? 4t 1 t 2 =4 10

?

? ,即 ?

?

? ? y ? ?3 3 ? 3 t ? 2 ?

1 x ? 1? t 2

(t 为参数)代入直线 l ? :

1 3 t ) ? 2 3 ? 0 整理,解得 t=4+2 3 y ? x ? 2 3 得 (1 ? t ) ? (?3 3 ? 2 2 t=4+2 3 即为直线 l 与直线 l ? 的交点 Q 所对应的参数值,根据参数 t 的几

何意义可知:|t|=| PQ|,∴| PQ|=4+2 3 . (2) 把直线 l 的标准参数方程为 ? ?
? ? ? y ? ?3 3 ? 3 t ? 2 ? 1 x ? 1? t 2

(t 为参数)代入圆的方程

1 3 2 t ) ? 16,整理得:t2-8t+12=0, x 2 ? y 2 =16,得 (1 ? t ) 2 ? (?3 3 ? 2 2 Δ =82-4?12>0,设此二次方程的两个根为 t1、t2 则 t1t2=12 根据参数 t 的几何意义,t1、t2 分别为直线和圆 x 2 ? y 2 =16 的两个交点 A, B 所对应的参数值,则|t1|=| PA|,|t2|=| PB|, 所以| PA|?| PB|=|t1 t2|=12 点拨: 利用直线标准参数方程中的参数 t 的几何意义解决距离问题、 距离的乘积 (或商) 的问题,比使用直线的普通方程,与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间 的距离公式简便. 例 8:设抛物线过两点 A(-1,6)和 B(-1,-2),对称轴与 x 轴平行,开口向右,
4

5 (12 ? 2 P) 2 35 2 化简,得(6-P)2=100 ] ? 4 ? =(4 10 ) 4 4 ∴ P=16 或 P=-4(舍去) 所求的抛物线方程为(y―2)2=32 x +48 点拨:(1)(对称性) 由两点 A(-1,6)和 B(-1,-2)的对称性及抛物线的对称性质, 设出抛物线的方程(含 P 一个未知量,由弦长 AB 的值求得 P). (2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛 物线方程联立后,求弦长。对于有些题使用直线的参数方程相对简便些. ( x ? 1) 2 y 2 ? ? 1 ,AB 是通过左焦点 F1 的弦,F2 为右焦点, 例 9:已知椭圆 4 3 求| F2A|?| F2B|的最大值. 解:由椭圆方程知 a =2,b= 3 ,c=1, F1(0,0),F2(2,0),设过的弦所在直线的 ? x ? t cos? 参数方程为 ? (t 为参数) 代入椭圆方程整理得 ? y ? t sin ? (3+sin2 ? )t2-6 t cos ? -9=0 ,Δ =36cos2 ? +36(3+sin2 ? )>0 此方程的解为 t1、t2,分别为 A、B 两点 6 cos ? ?9 对应的参数,由韦达定理 t1+t2= t1 t2 = 2 3 ? sin ? 3 ? sin 2 ? 根据参数 t 的几何意义,t1、t2 分别为过点 F1 的直线和椭圆的两个交点 A, B 所对应的参数值,| F1A|=|t1| |F1B|=|t2| 12 |AB|=∣t 2-t 1∣= (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t 1 t 2 = 3 ? sin 2 ? | F1A|?|F1B|=|t1|?|t2|=|t1t2| [

参数方程学案

由椭圆的第一定义| F1A|+| F2A|=2 a =4, | F1B|+| F2B|=2 a =4 | F2A|?| F2B|=(4-| F1A|)(4-| F1B|)=16-4|AB|+| F1A|?|F1B| 12 9 =16-4∣t 2-t 1∣+|t1t2|=16-4 + 2 3 ? sin ? 3 ? sin 2 ? 39 =163 ? sin 2 ? 25 当 sin2 ? =1 时,| F2A|?| F2B|有最大值 4 点拨:求过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积,利用直线的参数方程解 题,此题中两定点 F1(0,0),F2(2,0),显然 F1 坐标简单,因此选择过 F1 的直线的参数方程,利用椭圆的定义将| F2A|?| F2B| 转化为| F1A|?|F1B|. 点拨:此题利用直线参数方程形式比普通方程求 a 的范围运算量相对要 小,注意使用直线上两个点的中点的参数. ? x ? x 0 ? t cos ? 方法总结:利用直线 l 的参数方程 ? (t 为参数) ,给研究直线与圆锥曲 ? y ? y 0 ? t sin ? 线 C:F( x, y )=0 的位置关系提供了简便的方法. 一般地,把 l 的参数方程代入圆锥曲线 C:F( x, y )=0 后,可得一个关于 t 的一元 二次方程, f (t ) =0, 1、(1)当Δ <0 时, l 与 C 相离;(2) 当Δ =0 时, l 与 C 相切;(3) 当Δ >0 时, l 与 C 相交有两个交点; 2、当Δ >0 时,方程 f (t ) =0 的两个根分别记为 t1、t2,把 t1、t2 分别代入 l 的参数方程即 可求的 l 与 C 的两个交点 A 和 B 的坐标. 3、定点 P0( x0 , y0 )是弦 AB 中点 ? t1+t2=0 4、 l 被 C 截得的弦 AB 的长|AB|=|t1-t2|;P0A?P0B= t1?t2;弦 AB 中点 M 点对应的 t1 ? t 2 t ?t 参数为 1 2 ;| P0M |= 2 2

1 ? ? x ? 2? 2t 9、 直线 ? (t 为参数)与圆 x 2 ? y 2 ? 1 有两个交点 A、B,若 P 点的坐 1 ? y ? ?1 ? t 2 ?
标为(2,-1),则|PA|?|PB|=

? 7 10、过点 P(6, 7 )的直线 ? (t 为参数)与抛物线 y2=2 x 相交于 A、B 两点, y ? ? t 2 ? ? 2
则点 P 到 A,B 距离之积为 .

? x ? 6 ? 2t

参数方程 1 答案
1、D 2、D 3、D 4、A 5、D (3) ?

? x ? atg? 6、 (1) ? ? y ? actg?
7、D

4 1 2 ? ?x ? 5 ? 5 t (2) ? 4 1 ?y ? ? t3 5 5 ?
2

? x ? 2 ? cos? ? x ? 2 ? cos? 或? ? y ? 2 sin ? ? y ? 2 sin ?

8、 抛物线 x =- 1 (y-2)上包含-1≤x≤1 的一段弧 2 直线的参数方程答案 ? 3 t ? ? t1 t ?x ? 6 ? 1、 ? 2、D 3、C 4、 2 5、B 6、4 3 2 ? 1? ? 1
? y ? 7? t ? 2 ?

7、 B

8、

C

9、4

10、

5 4

基础知识测试 2:
7、 直线 ?

? x ? 1? t 2 2 (t 为参数)与椭圆 x ? 2 y ? 8 交于 A、B 两点,则|AB|等于( ? y ? ?2 ? t
B

)

A 2 2 8、直线 ? A

4 3 3

C

2

D

6 3
)

? x ? x 0 ? t cos ? ? y ? y 0 ? t sin ?
|t1+t2|

(t 为参数)与二次曲线 A、B 两点,则|AB|等于(

B |t1|+|t2|

C |t1-t2|

D

t1 ? t 2 2
5


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2.2.3直线的参数方程(教学设计)

2.2.3直线的参数方程(教学设计)_数学_高中教育_教育专区。SCH 南极数学高中...通过直线参数方程的推导与应用,培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力,...


2.1.2圆的参数方程及应用(教学设计)

SCH 南极数学高中同步教学设计人教 A 版选修 4-4《坐标系与参数方程》 2.1.2 教学目标: 圆的参数方程及应用(教学设计) 知识与技能:分析圆的几何性质,选择...

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