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一道第49届IMO赛题的类比


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中学数学研究

2014年第2期

故南≤学(1+嚣2脯地彬)≤∑雨2x
≤学(3+x2+广∽=学慨
证法二:若菇,Y,z中有一个为O,设茗=0,则火菇,

半)=半,故以”,=)=∑茗+xyz?
+广+,)÷:挲,即证.

=告(历+压+佩≤寻(字+字+

y,z)=),+z<2<学‘故不妨假设彬≠o,则并,

∑五1≤掣≤吾(12“+12)÷(石2

,,,:∈(o,1),注意到南=省+焉,故火", z)=∑菇+舻∑忐,注意到1一弘≥1一 V…’,…’ 半:世:堑车生≥2汜醪:2省9

‘--?- - -~一-- - _- .- ■,?__ _ _一’’
,,
,’7

需要说明的是,数学之美是无处不在的!在我们 平常的学习中,如果我们能多一些思考与积累,多一
些变式探究,或许不经意间其他的“姊妹”数学问题

.,■‘一矿^,。r

就此产生,从这个角度来讲,数学之美与学数学之乐
趣也是并存的!



,^,

压故彬∑再1≤x2yz(、孺1+去+孺1)
一道第4 9届IMO赛题的类比
浙江省杭州市安吉路实验学校(310006)
第49届国际效学奥林匹克数学竞赛第2题是:

有名辉

由均值不等式可知a4+2a2b2+62‘c2+2e2口2= 口4+口262+a2b2+62c2+c2口2+c2口2≥6 6口26c;② 同理b4+2口262+2b2亡2+c2口2≥6
ab2e I≥ I口2be I≥

而+南+砑引‘ 南+南+南孔
命题1

设实数x,y,:都不等于1,满足xyz=1,则

本文给出上述不等式的一个类比:

则南+南+南弓
面丽≥_.

设实数茹,Y,z都不等于一1,且彬=1,

6ab2c;③ c4+口262+262c2+2c2口2≥6 I口6c2

I≥甜.④、

把②、③、④三式相加,即得①式.命题1得证. ‘注:特别地,在命题I中,当x,y,z限定为正数

证明:结合条件舻=1,设菇=蚤,y=竺,==

时,取菇=詈,Y=旦,:=旦,则命题1中的不等式

妄,孵等式转化为面岛+石‰+

化为南+志+南≥寻诧稽
式即《数学通报》2011年第10期问题2023解答中证
明的一个不等式,显然本文的证明更简洁,结论也更 一般.结合原赛题和命题1,笔者提出如下猜想:
..2

由柯西不等式可得[南+瓦了等萨r+ 南][(6c+口2)2+(c口+62)2+(口6+c2)2] Ay,n都不等于-1,且xyz=.1,则南+
≥(口2+b2+c2)2. 以下只需证明4(n2+b2+c2)2≥3[(bc+口2)2

猜想设实数A,x,y,z满足:一1<A<1,从,

+(c口+b2)2+(ab+c2)2].即-证(口4+b4+c4)+
5(口2b2+b2c2+c2n2)≥6(口2bc+b2c口+c2ab).aD

丁五矛+丁万矛≥而
v2 z2



万方数据


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