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安徽省皖江名校2016届高三数学12月联考试题 理(含解析)


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2016 届皖江名校联盟高三联考(12 月) 理科数学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第 I 卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ卷第 3 至 第4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题:本大题共 12

小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. (1)设集合 P={y|y =2cosx},Q={x∈N|y =log5(2-x)},则 P∩Q= A.{x|-2≤x≤2) B.{x|-2≤x<2} C.{0,1,2} D.{0,1} (2)命题 p:存在 x∈[0,

?
2

],使 sinx +cosx> 2 ;命题 q:命题“ ? xo∈(0,+∞),lnxo=xo-1”

的否定是 ? x∈(0,+∞),lnx≠x-1,则四个命题( ? p) V( ? q)、p ? q、( ? p) ? q、p V( ? q)中,正 确命题的个 数为 A.l B.2 C.3 D.4 (3)已知数列{an}的首项为 2,且数列{an}满足 A.504 B.588 C.-588 ,数列{an}的前 n 项的和为 Sn,则 S2016 为 D.-504

??? ? ???? ??? ? ???? ? (4)在△ABC 中,已知向量 AB =(2,2), | AC | =2, AB ? AC = -4,则△ABC 的面积为
A.4 B.5 C.2 D.3 2 (5)定义在[-2,2]上的函数 f(x)满足(x1- x2)[f(x1)-f(x2)]>0,x1≠x2,且 f(a -a>[(2a -2),则 实数 a 的范围为 A.[一 l,2) B.[0,2) C.[0,1) D.[一 1,1) (6)设 f(x)= sinx+cosx,则函数 f(x)在点(-

?
4

,0)处的切线方程为

A. y ?

2x ?

2? 4 2? ? 2 4

B. y ?

2x ?

2? 4 2? ? 2 4
2
)的图象如图所示,则该函数的

C. y ?

2x ?

D. y ?

2x ?

(7)已知函数 y=Acos(ax+ ? )+b(a>0,0< ? < 解析式可能是 A.y=2cos(2x+ C.y=2cos(x+

?
? ?
3

?
3

)-1

B.y=2cos(x 一 D.y=2cos(2x 一

)-1 )一 1

?

6

)-1

6

(8)已知 Sn 是各项为正数的等比数列{an}的前 n 项和,a2·a4 =16,S3 =7,则 a8=
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A.32 B.64 C.128 D.256 x 3 2 (9)已知函数 f(x)=e - 2ax,函数 g(x)=-x -ax . 若不存在 x1,x2∈R,使得 f'(x1)=g'(x2) ,则 实数 a 的取值范围为 A. (-2,3) B. (-6,0) C.[-2,3] D.[-6,0] (10)已知锐角△ABC 中,角 a+ 则 cos2a 的值为 A.

?
6

的终边过点 P( sinB - cosA,cosB - sinA),且 cos(a+

?
6

)=

3 , 3

3? 2 6

B. ?

2 1 ? 3 6

C.

1 3 ? 2 6

D. ?

6 1 ? 3 6
2 3 ? a b

(11)已知实数 x, y 满足 的最小值为 A.

, 若目标函数 z= ax+by +5 (a>0, b>0) 的最小值为 2, 则

8 ? 2 14 3

B.

4?2 6 3

C.

9 ? 2 15 3

D.

10 ? 4 6 3

(12)若 y=ax+b 为函数 f(x)= A.-4 B.-1

x ln x 图象的一条切线,则 a+b 的最小值为 x
C.1 D.2 第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)

考生注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试卷上作答无效. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置. 2 (13)奇函数 f(x) 的周期为 4, 且 x∈[0, 2], f(x)=2x-x , 则 f(2014)+f(2015)+f(2016)的值为
2 2



(14)在平面直角坐标系内,已知 B(-3,一 3 3 ),C(3,-3 3 ) ,且 H(x,y)是曲线 x +y =1 任 意一点, 则 BH ? CH 的最大值为

???? ????



(15)已知函数 f(x)=sinx+ ? cosx 的图象关于 x= 再将

?
4

对称,把函数 f(x)的图象向右平移

?
6

个单位,

横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到函数 g(x)的图象,则函数 g(x)在 x∈[- ? , ? ] 上的 单调递减区间为__ (16)数列{an}满足:a1= 。

4 ,且 an+1= 3

,(n∈N*),则

1 2 3 2016 ? ? ? ?? ? a1 a2 a3 a2016



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三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答应写在 答题卡 上的指定区域内. (17)(本小题满分 10 分) 已知向量 a=(

3 1 1 , sinx+ cosx)与向量 b=(1,y)共线,设函数 y=f(x) . 2 2 2

( I)求函数 f(x)的最小正周期及最大值; (Ⅱ)已知△ABC 中的三个锐角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若角 A 满足 f(A 一 b=5, c=8,D,E 分别在 AB,BC 边上,且 AB =4AD,BC =2BE,试求 DE 的长.

?
3

)= 3 ,且

(18)(本小题满分 12 分】 已知 a=(sinx,

1 ? 3 ) ,b=(cosx,cos(2x+ ))f(x)=a·b+ . 2 6 2
}的前

(I)试求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在 y 轴右侧的极大值点从小到大依次组成的数列为{an},试求数列{ n 项的和 Tn. (19)(本小题满分 12 分) 在锐角△ABC 中,内角 A、B、C 对边分别为 a,b,c,已知 ( I)求∠C; (Ⅱ)求函数 f(A)= +1 的最大值.

(20){本小题满分 12 分) 已知函数 f(x) 为一次函数, 且单调递增, 满足 f[f(x)]= a2 =2,an+1=4f(an)-an 一 l+4(n≥2). (I)试求数列{an}的通项公式;

1 3 x一 , 若对于数列{an}满足:a1= -1, 4 4

(Ⅱ)设 bn=

,数列{bn}的前 n 项的和为 Sn,求证:Sn<4

(21)(本小题满分 12 分)
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已知函数 f(x)= axlnx( a≠0,a∈R). (I)证明:当 a>0 时,f(x)≥a(x-1) ; (Ⅱ)当 x∈(1,e)时,不等式

x ?1 <lnx 恒成立,求实数 a 的取值范围. a

(22)(本小题满分 12 分) 已知 f(x)=lnx +2. (I)试分析方程 f(x)=kx+k(k>0)在[1,e]上是否有实根,若有实数根,求出 k 的取值范围; 否 则,请说明理由; (Ⅱ)若函数 h(x)=f(x)-x-l,数列{an}的通项公式为 an=

1 ,其前 n 项和为 Sn,根据函数 h(x) n

的性质,求证:2×3 ×4×?×n>e

(n-Sn)

.

2016 届皖江名校联盟高三联考 理科数学参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 ) 1. 【 答 案 】 D 【 解 析 】

{x ? N | y=log5 (2-x)} , Q P ? { y | ?2 ? y ? 2} ?Q=

故选 D. ? 2 ? x ? 0, x ? N ,?Q ? {0,1} ?M ? N= {y | -2 ? y ? 2} ?{0,1}=?0,1?. 2. 【答案】B【解析】因为 sin x ? cos x ?

) ? 2 ,故命题 p 为假命题; 特称命题的否 4 (?p)( ? ?q) ( ? p) ? q 真, 定为全称命题,根据命题的否定知命题 q 为真命题, 真, p ? q 假,

2 sin( x ?

?

p? ( ? q) 假.
3.【答案】C 【解析】∵ a1 =2, an ?1 ?

an ? 1 1 1 ,∴ a2 = ,∴ a3 = ? ,∴ a4 = ?3 ,∴ a5 =2,∴数 3 2 an ? 1

7 7 ∴ S2016 = 504 ? (? ) ? ?588 ,故选. C 6 6 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 4. 【答案】C【解析】? AB ? (2, 2) ,? | AB |? 22 ? 22 ? 2 2 , AB ? AC ?| AB | ? | AC | cos A
列{ an }的周期 4,? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ?

? 2 ? 2 2 cos ?A ? ?4
? S? ABC ?

,

cos A ? ?

? ???? 1 ??? | AB | ? | AC | sin A ? 2 . 2 5. 【答案】 C 【解析】 所以函数在 [?2, 2] ? 函数 f ( x) 满足在 ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ,x1 ? x2 ,
上单调递 增, ? , ? ? ??2 ? 2a ? 2 ? 2 ? ?0 ? a ? 2
? 2a ? 2 ? a 2 ? a ? ??2 ? a 2 ? a ? 2

2 2

,

?0 ? A ? ?

,

? sin A=

2 2

,

? ?1 ? a ? 2 ? a ? 1或a ? 2 ?

,? 0 ? a ? 1 ,故选 C.

6 【 答 案 】 A 【 解 析 】 由 f ? x ?=sin x ? cos x, 得 f ? ? x ?=cos x ? sin x, .根据题意知

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f ?(? ) ? cos(? ) ? sin(? )= 2 , 且 4 4 4

?

?

?

f (? ) ? 0 ), 即 所 以 切 线 方 程 为 y ? 2 (x ? , 4 4

?

?

y ? 2x ?

2? . 4

(2 ? 7.【答案】A【解析】由图知 T ? ? ,? a ? 2 , cos
0,? A cos

?
3

+?) =-1 ,?? ?

?
3

.在 x ? 0 处函数值为

?
3

? b ? 0 ? A ? ?2b ①,在 x ?

?
3

处的函数值为 ?3 ,?? A ? b ? ?3 ②,由①、②知

? A ? 2,b ? ?1,所以函数的解析式为 y ? 2 cos(2 x ? ) ? 1, 故选 A. 3
2 2 8. 【 答 案 】 C 【 解 析 】 ∵ a2 ? a4 ? 16 , ∵ a2 ? a 4 ? (a ) 3 , ∴ a3 ? 4 , ∵ a3 ? a1q ? 4 ,

S3 ? 7 ? S2 ?

2 2 2 a1 (1 ? q 2 ) ? 3 ,? 3q ? 4q ? 4 ? 0 ? q ? ? 或 q=2,因为数列递增,∴ q ? ? 舍去, 3 3 1? q
7

∴ q =2, a1 ? 1 ∴ a8 ? 2 ? 128

.
2

9.【答案】D【解析】依题意, f ' ? x ? ? ex ? 2a ? ?2a , g ' ? x ? ? ?3x ? 2ax ?

a2 a2 ? ?2a ,解得 ,故 3 3
?ABC
, 所 以 ,

?6 ? a ? 0 .
10. 【 答 案 】 D 【 解 析 】 因 为 锐 角 三 角 形

A?

B? 2

?

?B

?
2

?

A sA ?i n ? B s i ?n ?( c Ao ? s) , 2

?



sin B ? cos A ? 0

cos B ? sin A ? cos B ? sin A ? 0 ,所以角 ? ?

?
6

为第四象限, sin(? ?

?
6

)??

6 , 3

6 1 6 ? ? ? ? ? ? 1 ,? cos 2? ? 2cos 2 ? ? 1 ? ? ? , ? cos ? ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? )cos ? sin(? ? )sin ? ? 6 6 6 6 6 6 2 3 6 6
故选 D.
8

11. 【答案】 D 【解析】

首先作出可行域,把目标函数 z ? ax ? by ? 5(a ? 0, b ? 0) ,变形可得
6 4

x+ y-2=0

y
2

1 -1

x-2y-2=0
1 2 3

15

10

5

-3

-2

2x-y+2=0

O
-1
2

x

5

10

15

a z 5 y ? ? x ? ? ,斜率为负数,当 z 取得最小值时, b b b
联立求出交点 A 的坐标 ?

-2) z= ax+ by-5 A (-2,
4

6

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? A(?2, ?2) ,当目标函数 z ? ax ? by ? 5(a ? 0, b ? 0) 过点 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

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A 时,取最小值, a ? b ?

3 2 3 2 2 3 2 2b 3a 10 ? 4 6 ,所以 ? ? (a ? b)( ? ) ? (5 ? ,当且 ? )? 2 a b 3 a b 3 a b 3

仅当 3a ? 2b 时,取最大值,故选 D.

1 ) ,则切线方程为 x0 1 1 1 1 1 1 1 1 y ? (ln x0 ? ) ? ( ? 2 )( x ? x0 ) ,即 y ? ( ? 2 ) x ? ( ? 2 ) x0 ? (ln x0 ? ) , x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 1 1 1 2 亦 即 , 由 题 y?( ? ) x 0? ( xl n? , 令 ? 1 ? )t ?0 2 x0 x0 x0 x0 1 1 2 a ? ? 2 ? t ? t 2 , b ? ln x0 ? ? 1 ? ? ln t ? 2t ? 1 , x0 x0 x0 1 (2t ? 1)(t ? 1) 令 a ? b ? ? (t ) ? ? ln t ? t 2 ? t ?1 ,则 ? ?(t ) ? ? ? 2t ? 1 ? , t t 当 t ? (0,1) 时 , ? ?(t ) ? 0 , ? (t ) 在 (0,1) 上单调递减; 当 t ? (1, ??) 时, ? ?(t ) ? 0 , ? (t ) 在 (1, ??) 上单调递增, ∴ a ? b ? ? (t ) ? ? (1) ? ?1 ,故 a ? b 的最小值为 ?1.
12.【答案】B【解析】设切点 ( x0 , ln x0 ? 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填在题中的横线上。 )
2 13. 【答案】?1【解析】 函数 f ( x) 是奇函数, 则 f (0) ? 0 , 由 f (x) ? 2x ? x ,x ? [ 0 ,2 ]





知 f (1) ? 1 ,

f (2) ? 0 ,所以 f (2014) ? f (2015) ? f (2016) ? f (2) ? f (3) ? f (0) ? f (?1) ? ? f (1) ? ?1 .
14.【答案】 6 3 ? 19 【解析】由题意: ? B(?3, ?3 3), C(3, ?3 3) , H ( x, y ),

???? ???? BH ? ( x ? 3, y ? 3 3), CH ? ( x ? 3, y ? 3 3)

???? ???? BH ? CH ? ( x ? 3, y ? 3 3) ? ( x ? 3, y ? 3 3)

? x2 ? y2 ? 9 ? 6 3y ? 27 ? 6 3 y ? 19 ? 6 3+19 当且仅当 y ? 1 时取最大值.
15. 【 答 案 】 [

5? ? , ] 【 解 析 】 由 题 意 : 6

f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ?

?

4

) 向右平移
,

? ,横坐标扩大到原来的 2 倍得到函数 6
?
2 ? 2 k? ? 1 ? 3? x? ? ? 2 k? , k ? Z 2 12 2


f (0) ? f ( ) , 可 得 ? ? 1 , 所 以 2

?

1 ? ? 1 ? g ( x) ? 2 sin( x ? ? ) ? 2 sin( x ? ) 2 4 6 2 12

?

5? 17? 5? 5? ? 4 k? ? x ? ? 4k? ,当 k ? 0 时, x ? [ , ? ] ,即 g ( x) 在区间 [ , ? ] 上单调递减. 6 6 6 6

16. 【答案】2015

2 1 n ?1 3 1 n n ?1 1 n 1 1 ? 【解析】 可知 ? ? ? ? ? 1 ? ( ? 1), ? 1 ? ? , 2016 3 3? 4 an?1 4 4 an an?1 4 an a1 4

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1 1 (1 ? n ) 1 2 3 n n 1 4 ? n?1 ? 1? 1 , 所以 ? 1 ? n ,所以 ? ? ? ? ? ? n ? 4 1 an 4 a1 a2 a3 an 3 3 4n 1? 4
可知

2 1 1 2 3 2016 1 1 1 . ? ? ??? ? 2016 ? ? ? 2016 = 2015 ? 3 3 ? 4 2016 a1 a2 a3 a2016 3 3 4

三、解答题(本大题共 6 小 题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17.【解析】 (1)? a, b 共线,可得

? ?

1 1 3 y ? ( sin x ? cos x) ? 0 , 2 2 2

则 y ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ?

?
3

) ,所以函数的最小正周期为 T ?

2? ? 2? , 1
C E



x ? 2 k? ?

?
6

,k ? z





f (x

m

? )

a

x, 2

---------------6 分 ( 2 )

A

B D

f (A ? ) ? 3 3
? n 3

?







2

As ?

?
3

i

?

3 (? A

, )? A

?

2

3 ? , 3

s

i

n

,

???? ??? ? ??? ? 3 ??? ? 1 ??? ? 3 ??? ? 1 ???? ??? ? 1 ??? ? 1 ???? DE ? DB ? BE ? AB ? BC ? AB ? ( AC ? AB ) ? AB ? AC ,------------8 分 4 2 4 2 4 2
???? 2 ? 1 ???? ? 2 1 ???? 2 1 ??? ? ???? 1 ??? 1 ??? 平方可得 DE ? ( AB ? AC ) 2 ? AB ? AC ? AB ? AC ? 4 2 16 4 4

1 1 1 ? 61 61 ? 82 ? ? 52 ? ? 8 ? 5 ? cos ? ,故 DE ? . 16 4 4 3 4 2 ? 1 ? ? 18.【解析】 (1)? a ? (sin x, ), b ? (cos x, cos(2 x ? )) , 2 6

----------------- 10 分

? ? 3 1 ? 3 1 1 ? 3 f ( x) ? a ? b ? ? sin x cos x ? cos(2 x ? ) ? ? sin 2 x ? cos(2 x ? ) ? ? 3 ? 1 sin(2x ? ? ) 2 2 6 2 2 2 6 2 2 2 3

函数的单调递增区间 2k? ?

?

2 3 2 5? ? , k? ? ](k ? Z ) . 所以单调递增区间为 [k? ? ----------------------6 分 12 12 3 1 ? ? ? ? (2) f ( x) ? ? sin(2 x ? ) 取到极大值时 2 x ? ? 2k? ? , x ? k? ? , 2 2 3 3 2 12 ? ? ? 11 , a2 ? ? ? , an ? ? (n ? 1)? ? n? ? ? , 所以 a1 ? 12 12 12 12
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? 2x ?

?

? 2 k? ?

?

, k? ?

5? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 12 12

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设 bn ?

?2
an an ?1

? (n ?

1 11 11 )(n ? 1 ? ) 12 12

?

1 1 ? , 11 11 n? n ?1? 12 12

则 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 11 11 11 11 11 11 1? 1?1? 1?1? 2 ?1? n? n ?1? 12 12 12 12 12 12
----------------------12 分

?

1 1 144n . ? ? 11 11 12n ? 1 1? n ?1? 12 12

19. 【 解 析 】 由

sin B c?b?a b c?b?a ? ? ,由正弦定理得: ,化简即为 sin A ? sin C c?b c?b , a?c

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? ? ,因为 0 ? C ? ? ,所以 ?C ? . a ? b ? c ? ab ,再由余弦定理可得 cos C ? 3 2ab 2
2 2 2

-- -6 分 (2) f ( A) ? 1 ?

2(cos 2 A ? sin 2 A) ? ? 1 ? 2cos 2 A ? 2sinAcosA ? 2sin(2 A ? ) sin A 4 1? cos A

在锐角 ?ABC 中,

?
6

2 12 4 3? 故当 2 A ? ? , A ? 时, f ( A)max ? 2 . 4 2 8

? A?

?



?

? 2A ?

?

?

?

?

3? 4
---------12 分 ) 设

20.











1

f(

? x)

? a

(x , ?

b 0

) a

f ( x) ? ax ? b(a ? 0) ? f [ f ( x)] ?

1 3 1 3 x ? ,? a (ax ? b) ? b ? x ? , 4 4 4 4

1 1 1 ? ? ? a2 ? a?? a? ? ? ? 1 1 ? ? ? 4 2 2 ,? ? 或? ,舍去,故 f ( x) ? x ? ,-----------------2 分 ? 2 2 ?ab ? b ? ? 3 ?b ? ? 1 ? b ? ? 3 ? ? ? 4 ? 2 ? 2 ?

? an?1 ? 4 f (an ) ? an?1 ? 4(n ? 2) ,可得 an?1 ? 2an ? an?1 ? 2 ? (an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ? 2
且 a2 ? a1 ? 3 ,故数列 {an ? an?1} 是以首项为 3,公差为 2 的等差数列,

an ? an?1 ? 3 ? (n ? 2) ? 2 ? 2n ?1 ,

----- ----------------4 分

所以 (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? (2n ?1) ? (2n ? 3) ? ?? 3 , 故 an ? ?1 ? 3 ? ?? (2n ?1) ? ?2 ? [1? 3 ? ?? (2n ?1)] ? n2 ? 2(n ? 2) ,
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因为 12 ? 2 ? ?1 ? a1 适合通项,故数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 ? 2 .-- -------6 分

an ? 2 1 n ?1 1 ? ( ) ,可得 bn ? n( ) n ?1 n 2 2 1 0 1 1 2 1 n ?1 可得 S n ? 1? ( ) ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? n( ) ① 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 n 则 S n ? 1 ? ( ) ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? n( ) ② 2 2 2 2 2 1 1 0 1 1 2 1 n ?1 1 n ②-①可得 S n ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? n( ) 2 2 2 2 2 2 n?2 n?2 ? S n ? 4 ? n ?1 , n ?1 ? 0 , ------ ---------------------12 分 ? Sn ? 4 . 2 2
(2)由 bn ? 21.【解析】 (1)依题意,要证 f ? x ? ? a ? x ?1? ,即证 ax ln x ? a ? x ?1? ; 因为 a ? 0 ,即证 x ln x ? x ? 1 ;即证 x ln x ? x ? 1 ? 0 ; 令 g ? x ? ? x ln x ? x ? 1,故 g ' ? x ? ? ln x ?1 ?1 ? ln x , 故 g ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增,故 ? ? g ? x ?? ? min ? g ?1? ? 0 ; 故当 a ? 0 时, g ? x ? ? 0 ,即 f ? x ? ? a ? x ?1? ; (2)当 a ? 0 时, ---------------------------- 5 分

x ?1 ? ln x 在 ?1,e ? 上恒成立,故 a ? 0 ; a
x ?1 x ?1 ? ln x ? a ? ; a ln x

当 a ? 0 时,因为 x ? ?1,e ? ,故 ln x ? 0 ,故 令 h ? x? ?

x ?1 x ln x ? x ? 1 ,故 h ' ? x ? ? ; 2 ln x x ? ln x ?

由(1)可知,当 x ? ?1,e ? 时, x ln x ? x ? 1 ? 0 ,故 h ' ? x ? ? 0 , 故 h ? x? ? 故 实

x ?1 在 ?1,e ? 上单调递增,故 h ? x ? ? h(e) ? e?1,故 a ? e? 1 , ln x


a













?e?1, ??? U(??,0)

.

--------------------------------------12 分 22.【解析】 (1) k ( x ? 1) ? ln x ? 2(1 ? x ? e), k ?

ln x ? 2 x ?1

1 1 ( x ? 1) ? (ln x ? 2) ? ln x ? 1 ln x ? 2 x , g '( x) ? x ? 令 g ( x) ? x ?1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2
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令 m( x ) ?

1 1 1 ? ln x ? 1(1 ? x ? e), m '( x) ? ? 2 ? ? 0 x x x

故 m(x)在[1,e]上递减,m(x) ? m(1)=0,而 g '( x) ? 故 g ( x) ?

m( x ) ?0 ( x ? 1) 2

ln x ? 2 3 ? g (e) ? g ( x) ? g (1) ? 1 在[1,e]上也递减, x ?1 e ?1

故方程有解的充要条件是

3 ? k ? 1 -----------------------------------------------------6 分 e ?1 1 (2)? h( x) ? f ( x) ? x ? 1 ? ln x ? x ? 1 ,当 0 ? x ? 1 时, h?( x ) ? ? 1 ? 0 x
在 x ? (0,1) , h( x) ? 0 恒成立,即 ln x ? x ? 1 ,

1 1 1 ,得 ln ? ? 1 n n n 1 1 1 1 1 1 1 累加得? ln ? ln ? ln ? ... ? ln ? n ? 1 ? ? ? ... ? , 2 3 4 n 2 3 n
令x? 即? n ? ln(2 ? 3? 4 ? ...? n) ? Sn ,

ln(2 ? 3 ? 4 ? ... ? n) ? n ? Sn ,? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ? e( n? Sn ) .---------------------------12 分

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