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2018届人教A版 导数的综合应用问题 检测卷


重组四 大题冲关——导数的综合应用问题 测试时间:120 分钟 程或演算步骤) 1.[2017· 吉林实验中学模拟](本小题满分 15 分)已知函数 f(x)= mx+ln x,其中 m 为常数,e 为自然对数的底数. (1)当 m=-1 时,求 f(x)的最大值; (2)若 f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求 m 的值. 解 (1)当 m=-1 时,f(x)=-x+ln x,定义域为(0,+∞). 1 求导得 f′(x)=-1+x ,(2 分) 令 f′(x)=0,得 x=1,当 x 变化时,f′(x),f(x)变化情况如下: 满分:150 分 解答题(本题共 8 小题,共 150 分,解答应写出文字说明、证明过 (5 分) 由表可知 f(x)的最大值为 f(1)=-1.(7 分) 1 (2)求导得 f′(x)=m+x. ①当 m≥0 时,f′(x)>0 恒成立,此时 f(x)在(0,e]上单调递增, 4 最大值为 f(e)=me+1=-3,解得 m=-e,不符合要求;(9 分) 1 ②当 m<0 时,令 f′(x)=0,得 x=-m, 1 若-m≥e,此时 f′(x)≥0 在(0,e]上恒成立,此时 f(x)在(0,e] 4 上单调递增, 最大值为 f(e)=me+1=-3, 解得 m=-e, 不符合要求; (12 分) 1? ? ? 1 ? 1 若-m<e,此时 f′(x)>0 在?0,-m?上成立,f′(x)<0 在?-m,e? ? ? ? ? ? 1? ? 1? 上成立, 此时 f(x)在(0, e]上先增后减, 最大值为 f?-m?=-1+ln ?-m? ? ? ? ? =-3,解得 m=-e2,符合要求.(14 分) 综上可知,m 的值为-e2.(15 分) 2.[2016· 天津十二区联考](本小题满分 15 分)已知函数 f(x)=ln x 1 -x,g(x)=ax+b. (1)若函数 h(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数 a 的取 值范围; 1 (2)若直线 g(x)=ax+b 是函数 f(x)=ln x-x 图象的切线,求 a+b 的最小值. 解 (2 分) ∵h(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上单调递增, 1 1 ∴对?x>0,都有 h′(x)=x+x2-a≥0,(3 分) 1 1 即对?x>0,都有 a≤x +x2,(5 分) 1 1 ∵x+x2>0,∴a≤0, 故实数 a 的取值范围是(-∞,0].(7 分) 1? ? (2)设切点?x0,ln x0-x ?,则切线方程为 ? 0? 1 1 1 (1)h(x)=f(x)-g(x)=ln x-x-ax-b,则 h′(x)=x +x2-a, 1? ?1 1? ? y-?ln x0-x ?=?x +x2?(x-x0), ? 0? ? 0 0? 1? ?1 1? ?1 1? ? 即 y=?x +x2?x-?x +x2?x0+?ln x0-x ?,亦即 ? 0 0? ? 0 0? ? 0? 2 ?1 1? ? ? y=?x +x2?x+?ln x0-x -1?,(10 分) ? 0 0? ? 0 ? 1 1 1 2 令x =t>0,由题意得 a=x +x2=t+t2,b=ln x0-x -1=-ln t- 0 0 0 0 2t-1, 1 令 a + b = φ(t) =- ln t + t2 - t - 1 ,则 φ′(t) =- t + 2t - 1 = ?2t+1??t-1? ,当 t∈(0


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