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2012江苏省数学竞赛《提优教程》第49讲四面体与球题目


第9讲
球等.

四面体与球

本节内容主要是四面体和球的性质与计算,球与多面体的关系,四面体的外接球与内切

A 类例题 长方体一个顶点上三条棱的长分别是 3,4,5,且它的八个顶点都在 同一个球面上,这个 球的表面积是(
A.20 2π (1997 年理) 分析:首先求出球的半径. 1 5 2 解

: 易知球的中心为长方体的中心, 长方体的对角为线球的直径, 故 R= 32+42+52= , 2 2 ∴S=4πR2=50π. 答案:C
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]


D.200π

B.25 2π

C.50π

一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 ? ,则球的表面积 为(
(A)8 2π


(B)8π (C)4 2π (D)4π
[来源:学,科,网]

(2005 年·河南河北山西安徽卷) 解:截面圆面积为 π ,∴截面圆半径 r ? 1 , ∴球的半径为 R= OO12+r2= 2,∴球的表面积为 8 π . 答案:B

球面上有 3 个点,错误!未指定书签。其中任意两点的球面距离都等 1 于大圆周长的6,经过这 3 个点的小圆的周长为 4π,那么这个球的 半径为(
A .4 3 (1998 年理) 分析:要弄清楚大圆半径与小圆半径的关系.


B.2 3 C.2 D. 3
A H B C

O

解:设 O 为大圆圆心,A,B,C 为满足条件的三个点. 1 由任意两点的球面距离都等于大圆周长的 知 6 ∠AOB=∠BOC=∠COA=60°. ∴△AOB,△BOC,△COA 都是正三角形.由⊙H 周长为 4π 知⊙H 的半径为 2, ∴AB=2 3.∴球的半径为 2 3. 答案:B

情景再现

木星的体积约是地球体积的 240 30倍, 则它的表面积约是地 球表面积的(
A.60 倍


B.60 30 倍 C.120 倍 D.120 30 倍

正方体的全面积是 a2,它的顶点都在球面上,这个球的表面 积是(
π a2 A. 3


π a2 B. 2 C.2πa2 D.3πa2

(1995 年全国理)

一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面,球心到这个平面的距 离是 4cm,则该球的体积是(
100π A. 3 cm3 208π B. 3 cm3


416 3π 3 D. cm 3

500π C. 3 cm3

(2004 年高考·江苏卷)

矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成 一个直二面角 B-AC-D,则四面体 ABCD 的外接球的体积 为(
125 A. 12 π


125 B. 9 π 125 C. 6 π 125 D. 3 π

B 类例题

如图,A、B、C 是表面积为 48π 的球面上三点,AB=2,BC=4,∠ ABC=60°,O 为球心,则直线 OA 与截面 ABC 所成的角是(
3 A.arcsin 6 C.arcsin 3 3


3 B.arccos 6 D.arccos 3 3

(2004 年高考·福建卷) 分析:首先要求出球及截面圆的半径,然后分析 O 在截面 ABC 的射影 O′的位置. 解:由 AB=2,BC=4,∠ABC=60°知∠BAC=90°,∴BC 为截面圆的直径, ∴O 在截面 ABC 的射影 O′为 BC 中点,截面圆半径 r=2. 又球的表面积为 48π,∴R=2 3.在等腰三角形△OBC 中 O 到 BC 距离为 2 2, 2 2 6 3 ∴sin∠OAO′= = ,即∠OAO′=arccos 3 . 2 3 3 答案:D

已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且下 π 底面过球心,母线与底面所成的角为3, 则圆台的体积与球体积之比_______
(1995 年全国理) 分析:考虑垂截面,从中找到需要的半径等线段的比例. 4 解:设球的半径为 R,则体积为 πR3, 3 1 3 圆台下底面半径为 R,上底面半径为 R,高为 R. 2 2 1 1 R 3 7 则圆台体积为3πR2· 3R-3π( 2 )2· 2 R=24πR3. ∴圆台体积与球体积之比为 7 3 答案: 32 7 3 . 32

情景再现

将 3 个半径为 1 的球和一个半径为 2-1 的球叠为两层放在 桌面上,上层只放一个较小的球,四个球两两相切,那么上 层小球的最高点到桌面的距离是(
3 2+ 6 A. 3 B. 3+2 6 3 C. 2+2 6 3


2 2+ 6 D. 3

(2002 年希望杯高二)

一根细金属丝下端挂着一个半径为 1 的金属球,将它沉入半 径为 R 的圆柱形容器内的水中,现将金属丝向上提升,当金 属球被提出水面时,客器内的水面下降了________.
(2001 年希望杯)

一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a, 则这个球的体积是____.
(2000 年 全国高中数学联赛)

C 类例题 如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠A1AB=∠A1AC,AB=AC,A1A =A1B=a,侧面 B1BCC1 与底面 ABC 所成的二面角为 120°,E、F 分别是棱 B1C1、A1A 的中点.求经过 A1,A,B,C 四点的球的体 积.
(2005 年高考·天津卷) 分析:利用对称性找到外接球球心的位置. 解:连结 A1C.在△A1AC 和△A1AB 中, ∵AC=AB,∠A1AB=∠A1AC,∴△A1AC≌△A1AB, 故 A1C=A1B.由已知得 A1A=A1B=A1C=a. 又∵A1H⊥平 面 ABC,∴H 为△ABC 的外心. 设所求球的球心为 O,则 O∈A1H,且球心 O 与 AA1 中点的连 线 OF⊥AA1,

A1F 3 在 Rt△A1FO 中,A1O= = a. cos∠AA1H 3 3 4 4 3 故所求球的 半径 R= 3 ,球的体积 V=3πR3= 27 πa3.

在半径为 R 的球内作内接圆柱,则内接圆柱全面积的最大值是(
A.3πR2 B. (1+ 2)πR2 C. (1+ 5)πR2 D. (1+ 3)πR2



分析:用 R 表达出内接圆柱的全面积,然后求最值. 解:设内接圆柱底面半径为 Rsinα,则高为 2Rcosα, 全面积为 2π(Rsinα)2+2πRsinα×2Rcosα=πR2(1+cosα+2sinα) =πR2〔1+ 5sin(α+θ) 〕≤(1+ 5)πR2. 答案:C

求证:各面的面积相等的四面体是等腰四面体(国家集训队训练题).
证明:若 O 为此四面体内切球球心,内切球半径为 r,O1、O2 为内切球与 A 面 BCD、ACD 的切点.则 OO1=OO2=r,且 OO1⊥面 BCD,OO2⊥面 ACD. ∴ CO1=C O2,DO1=DO2,(从球外一点向球引的切线长相等),∠CO1D= O O2 ∠CO2D. B D 即取内切球与四个面的切点,有公共棱的两个面上的切点对此公共棱张角 O1 C 相等. 把此四面体展开如图,作出了其内切球与每个面相切的切点与此面上三个 顶点的连线. 于是有:α+β+γ=α+?+φ=β+?+θ=γ+θ+φ=360° .由此四式,可得: β+γ=? +θ,β+?=γ+φ,?β=φ,θ=α,γ=?. ⑴ 由四个面的面积相等,得 bdsinα+bcsinβ+cdsinγ=bdsinα+absin?+adsinφ =bcsinβ+absin?+acsinθ=cdsinγ+adsinφ+acsinθ. 以⑴代入,得 A bdsinα+bcsinβ+cdsinγ=bdsinα+absinγ+adsinβ a =bcsinβ+absinγ+acsinα=cdsinγ+adsinβ+acsinα . ? ? b ? d ⑵ B D ? b d 由⑵的前二式,得 ? ? b d bcsinβ+cdsinγ= absinγ+adsinβ , ?(bc - ad)sinβ=(ab - c ? ? ? a ? c a ? c ? cd)sinγ.⑶ A' C 由⑵的后二式,得 bcsinβ+absinγ=cds inγ+adsinβ,?(bc-ad)sinβ=(cd-ab)sinγ.⑷ 比较⑶、⑷,得 ab=cd,bc=ad,?b=d,a=c,同理可得,b=c.于是 a=b=c=d. 于是可得,AB=BC,AC=BD,AD=BC,即四面体 ABCD 是等腰四面体.

A"

已知 一个四面体 ABCD,AB=a,CD=b,异面直线 AB、CD 的距 离为 d,所成角为?,这个四面体被平行于棱 AB 与 CD 的平面 γ 截成两 部分,如果 AB、CD 到 γ 的距离比为 k,试求这两部分的体积比.
源:学 ,科 ,网] [来

(IMO—7—3) 分析:求体积比可以不用 a,b,d,?这些数据. 解: 如图, 截面 γ 分别与相应的棱交于 Q、 R、 S、 T, 设四面体 ABCD 的体积 为 V,ABQRST 的体积为 V1,CDQRST 的体积为 V2. 取面 PQR∥面 BCD,AB、CD 的公垂线为 MN,AB、MN 确定的平 面与 QRST 交于 EF,MN 与 EF 交于 G.则 EF∥AB,MN⊥面 γ,?MN ⊥EF. ∵ AB、CD 与平面 γ 的距离之比为 k,?NG∶GM=k, ∴ EF∶AB=MG∶MN=1∶(k+1); AP∶AB=k∶(k+1).
[来源:学+科+网]

A P N B T F C E ? Q G S M D R

k3 ∴ VA—PQR∶V=k3∶(k+1)3.VA—PQR= V. (k+1)3 三棱柱 PQR—BTS 的高∶三棱锥 A—BCD 的高=1∶(k+1). ∴ VPQR—BTS=( k 2 1 3 k2 k3+3k2 3k+1 )· ( )V· 3= V,V2=V-V1= V. 3V,∴ V1= k+1 k+1 (k+1) (k+1)3 (k+1)3

∴ V1∶V2=(k3+3k2)∶(3k+1).

情景再现

在正三棱锥 S-ABC 中,M、N 分别是棱 SC、BC 的中点,且 MN⊥AM,若侧棱 SA=2 3,则此正三棱锥 S-ABC 外接球的 表面积是(
A.12π


B.32π C.36π D.48

将 8 个半径为 1 的球放分两层放置在一个圆柱内,使得每个 球与其相邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相 切,求圆柱的高.
(2003 年全国高中数学联赛) 习题九

把长和宽分别为 8 和 6 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折成二 面角 B—AC—D,则 A、B、C、D 四点共球的球表面积与球 内接正方体的表面积之比为(
π A. 2 π B. 3 π C. 4


π D. 6

已知球的表面积为 20π,球面上有 A、B、C 三点.如果 AB= AC=BC=2 3,则球心到平面 ABC 的距离为(
A .1 B. 2 C. 3 D.2 (2004 年高考·甘肃、青海、宁夏、贵州、新疆卷)



A 是直径为 25 的球面上的一点,在这个球面上有一圆,圆上 所有的点到 A 的距离都是 15,那么这个圆的半径是(
A.12 B.10 C.15 D.6



一个球的内接圆锥的最大体积 与这个球的体积之比为 _______
(1995 年全国高中数学联赛)

球面上有三点 A、 B、 C 组成这个球的一个截面的内接三角形, AB=18,BC=24,AC=30,且球心到该截面的距离为球半 径的一半,那么这个球的体积是______. 纬度为 α的纬线圈上有 A、B 两点,这两点间纬线圈上弧长为 πRcosα ( R 为 地 球 半 径 ) ,则两点间的球面距离为 _____________. 圆锥内有一个表面积为 4π 的内切球, 求所有这样的圆锥中体 积最小时的表面积. A、 B 两地可以看作地球表面上的两点, 它们分别在北纬 60° 和 30°的纬线圈上,且经度差为 90°,设地球半径为 R,求 A、B 两点间的球面距离. 高为 8 的圆台内有一个半径为 2 的球 O1,球心 O1 在圆台的 轴上.球 O1 与圆台上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一 个半径为 3 的球 O2,使得球 O2 与球 O1、圆台的下底面及侧 面都只有一个公共点.除球 O2,圆台内最多还能放入半径为 3 的球的个数是(
A. 1 B.2


C.3 D.4

(1996 年全国高中数学联赛)

将半径都为 1 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里, 这个正四面体的高的最小值为(
A. 3+2 6 3 2 6 B.2+ 3


4 3+2 6 D. 3

2 6 C.4+ 3

(2005 高考·吉林、黑龙江、广西卷)

以棱长为 1 的正四面体的各棱为直径作球, S 是所作六个球的 交集.证明 S 中没有一对点的距离大于
(第 2 届 IMO)
学科网

1 . 6

[来源:学。科。网 Z。 X。 X。 K]

第9讲
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 答案:C 答案:B 答案:C 答案:C 答:A 答案: 答案: 4 3R 2 2 3 πa 24

四面体与球答案

答案:C 解:如图,由已知,上下层四个球的球心 A′,B′,C′,D′和 A,B,C,D 分别是 上下两个边 长为 2 的正方形的定点, 且 以它们外接圆⊙O′和⊙O 为上下底构成圆柱. 同 ⌒ 时 A′在下底面的射影必是 AB 的中点 M. 在△A′AB 中, A′A =A′B=AB=2. 设 AB 中点为 N, 则 A′N= 3. 又 OM = OA = 2 , ON = 1 , ∴ MN = 2 - 1 . A ′ M = A′N2-MN2= 8.故所求原来圆柱的高为 2+ 8.
4 4

10. 解:设 AC 中点为 O,长方形折叠成 A、B、C、D 四点 共球的三棱锥后,OA=OB=OC=OD,O 为球心,球半径是 5,球表面积是 100 π ,此 π 球内接正方体的表面积是 200,所求的比值是 . 2 答案:A 11. 答案:A 12. 答案:D. 1 13. 解:设球半径为 1,内接圆锥半径为 sinα,则高为 1+cosα,体积为 πsin2α(1+cosα) 3 1 1 32 8 =3π·2(1+cosα) (2-2cosα) (1+cosα)≤81π,故体积之比为27. 8 答案: 27 14. 解:由 AC =AB +BC 知Δ ABC 是直角三角形.设 AC 中点为 D,球心为 O,则 OD 1 4 =2R,在 RtΔ ODC 中得 R=10 3,所以球的体积为 V=3πR3=4000 3π. 答案:10 3
2 2 2
[来源:学#科#网] [来源:Zxxk.Com]

15. 解: 设球心为 O, 纬线圈圆心为 O1, r 为⊙O1 半径, n 为∠?AO1B 的弧度, 则可求得 πRcosα r =πR· =nr,在△AOB 中又由余弦定理求得 cos∠AOB=cos(π-2?)最后由弧长公 R 式求得两点间的球面距离. 答案: (π-2?)R 16. 解一:如图所示为轴截面图.设球半径为 r,圆锥底面半径为 R,高为 h,则

h 1 π h2 π 由 4πr2=4π,△POD∽△PCB 有 r=1,R2= .∴V=3πR2h= 3 · = (h h-2 h-2 3 +2+ -2= 4 π 4 π )= 3 〔4+(h-2)+ 〕≥ 3 〔4+2 h-2 h-2 4 8π (h-2) 〕= 3 .当且仅当 h h -2

4 时,V 有最小值,得 h =4,此时 R2=2,母线 l= h2+R2=3 2.∴圆锥表面 h-2

积 S=πRl+πR2=8π. 解二:设∠ OCB = ? ,可得 BC = cot? , PB = 2 1 2 2π , V = πcot2α = 3 1-tan2α 1-tan2α 3

1 2 ,当且仅当 tan2??=1-tan2?,即 tan??= 2 时,tan2?(1-tan2?) tan2α(1-tan2α) 有最大值,此时 V 有最小值,BC= 2,PB=4.
[来源:学科网 ZXXK]

17. 分析:欲求 A、B 两点间的球面距离,只需求出 ∠AOB 的大小,设两纬度圈小圆中心分 别为 C、D,球心为 O,那么 A、C、B、O 可看成一个四棱锥的四个顶点,从而可在此 四棱锥中求出∠AOB.

解:如图,设 A、B 所在纬线圈圆心各为 C、D,球心为 O,作出 A、C、B、D 为顶点的

R 3 四棱锥.∵A、B 分别在北纬 60°和北纬 30°,AC=Rcos60°= ,OC=Rsin60° = 2 2 3 R,DB=Rcos30° = 2 R.

?7 3?R2.∵A、 在Δ OCB 中, BC2=OC2+OB2-2OC· OB· cos∠COB= - B 两地经度 差 ?4 2 ?
为 90°,∴平面 ACO⊥平面 BCO.又 AC⊥CO,故 AC⊥面 BCO,AC⊥BC.在 RtΔ AO2+BO2-AB2 3? ? BCA 中,AB2=BC2+CA2= 2- 2 R2,在Δ AOB 中,cos∠AOB= = ? ? 2AO·BO 3 3 3 3 ∴∠AOB=arccos 4 . ∴l=Rarccos 4 . 所以 A、 B 两点的球面距离为 Rarccos 4 . 4, 18. 解:

如图,计算出各个线段的长度.

?

4 8 第二个图中,两个同心圆最内层的圆半径为 2× = ,最外层的圆的半径为 4, 5 5 24 4 +4 -? ? ?5?
2 2 2

cosα=

2×4×4

7 =25,计算可知 4α<360°<5α.

答案:D

19. 解:易知当四个钢球两两相切的时候正四面体高最小,此时四个钢球的球心 A,B,C, D 构成了一个边长为 2 的正四面体 A-BCD.则 A-BCD 体的中心 O 也是装四个钢球的 外正四面体的中心. 6 2 6 易得 OH= 6 ,AH= 3 ,而 O 到外正四面体底面的距离为 OH+1= 6 +1, 6
O B H E C D A

6 +1 6 h 2 6 ∴ = ,∴h=4+ 3 6 2 6 6 3 答案:C
[来源:Zxxk.Com]

20. 分析:考虑平面上的类比命题:“边长为 1 的正三角形,以各边为直径作圆,S 是所作三 个圆的交集”,通过探索 S 的类似性质,以寻求本题的论证 思路. 3 为半径的圆 6
C

如图,易知 S 包含于以正三角形重心为圆心,以

3 内.因此 S 内任意两点的距离不大于 .了解这个方法就可获得 3 解决本题的思路.

A

B

证明:如图,正四面体 ABCD 中,M、N 分别为 BC、AD 的中 点, G 为△BCD 的中心, MN∩AG=O. 显然 O 是正四面体 ABCD 1 1 的中心.易知 OG= AG= ,并且可以推得以 O 为球心、OG 4 2 6 为半径的球内任 意两点间的距离不大于 现证明如下: 1 .球 O 必包含 S. 6

根据对称性,不妨考察空间区域四面体 OM CG.设 P 为四面体 OMCG 内任一点,且 P 不在球 O 内,现证 P 亦不在 S 内.若球 O 交 OC 于 T 点,△TON 中, ON= 2 1 OM ,OT= ,cos∠TON=cos(π-∠TOM)=- .由余弦定理 TN2=ON2+OT2+ 4 OC 2 6

OM 1 1 1 2ON·OT· = ,∴TN= .又在 Rt△AGD 中,N 是 AD 的中点,∴GN= .由 GN=NT= OC 4 2 2

1 ,OG=OT,ON=ON,得△GON≌△TON.∴∠TON=∠GON,且均为钝角.于是显然在 2 1 △GOC 内,不属于球 O 的任何点 P,均有∠PON>∠TON,即有 PN>TN= ,P 点在 N 为球 2 心,AD 为直径的球外,P 点不属于 区域 S.由此可见,球 O 包含六个球的交集 S,即 S 中不 存在两点,使其距离大于 1 . 6

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