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走向高考·一轮总复习人教A版数学 文科5-2


基础巩固强化 1.(文)(2011· 重庆文)已知向量 a=(1,k),b=(2,2),且 a+b 与 a 共线,那么 a· 的值为( b A.1 [答案] D [解析] ∵a=(1,k),b=(2,2), ∴a+b=(3,k+2), ∵(a+b)∥a, ∴1· (k+2)=3k,∴k=1,∴a=(1,1), ∴a· b=2+2=4. (理)(2012· 沈阳质检)在△ABC 中

,M 为边 BC 上任意一点,N 为 → → → AM 的中点,AN=λAB+μAC,则 λ+μ 的值为( 1 A.2 1 C.4 [答案] A [解析] 本题考查向量的线性运算.据已知 N 为 AM 的中点,可 → 1→ → → → → → 得AN=2AM=λAB+μAC,整理得AM=2λAB+2μAC,由于点 M 在直 1 线 BC 上,故有 2λ+2μ=1,即 λ+μ=2. 1 B.3 D.1 ) B.2 ) C.3 D.4

2. (文)(2011· 蚌埠二中质检)已知点 A(-1,0), B(1,3), 向量 a=(2k → -1,2),若AB⊥a,则实数 k 的值为( A.-2 C.1 [答案] B → → [解析] AB=(2,3),∵AB⊥a, ∴2(2k-1)+3×2=0, ∴k=-1,∴选 B. (理)(2012· 昆明一中检测)已知向量 a=(x,1),b=(2,1),c=(1,y), 若 a⊥(b-c),则 y-x 等于( A.2 [答案] B [解析] ∵b=(2,1),c=(1,y),∴b-c=(1,1-y),∵a⊥(b-c), a=(x,1),∴a· (b-c)=x+(1-y)=0,∴y-x=1. → → 3.(2011· 嘉兴模拟)已知 a,b 是不共线的向量,AB=λa+b,AC =a+μb,λ,μ∈R,那么 A、B、C 三点共线的充要条件为( A.λ+μ=2 C.λμ=-1 B.λ-μ=1 D.λμ=1 ) B.1 ) C.0 D.-1 ) B.-1 D.2

[答案] D → → [解析] ∵AB与AC共线,a 与 b 不共线, ∴λμ-1=0,故选 D. → → 4. (2012· 湖北省孝感模拟)在四边形 ABCD 中, =a+2b, = AB BC → -4a-b, =-5a-3b, CD 其中 a, 不共线, b 则四边形 ABCD 为( A.平行四边形 C.梯形 [答案] C → → → → → [解析] ∵AD=AB+BC+CD=-8a-2b=2BC, ∴四边形 ABCD 为梯形. 5.(2011· 山东高考调研)已知平行四边形 ABCD,点 P 为四边形 → → → 1 内部或者边界上任意一点,向量AP =xAB +yAD ,则“0≤x≤ 2 , 2 0≤y≤3”的概率是( 1 A.3 1 C.4 [答案] A [解析] ) 2 B.3 1 D.2 B.矩形 D.菱形 )

根据平面向量基本定理,点 P 只要在如图所示的区域 AB1C1D1 1 2 1 内即可,这个区域的面积是整个四边形面积的2×3=3,故所求的概 1 率是3. 6.如图,△ABC 中,AD=DB,AE=EC,CD 与 BE 交于 F,设 → → → AB=a,AC=b,AF=xa+yb,则(x,y)为( )

?1 1? A.?2,2? ? ? ?1 1? C.?3,3? ? ?

?2 2? B.?3,3? ? ? ?2 1? D.?3,2? ? ?

[答案] C → → [解析] 设CF=λCD,∵E、D 分别为 AC、AB 的中点, → → → 1 ∴BE=BA+AE=-a+2b,

→ → → 1 BF=BC+CF=(b-a)+λ(2a-b)
?1 ? =?2λ-1?a+(1-λ)b, ? ?

1 → → 2λ-1 1-λ 2 ∵BE与BF共线,∴ = 1 ,∴λ=3, -1 2 → → → ? 2→ 2?1 ∴AF=AC+CF=b+3CD=b+3?2a-b?
? ?

1 1 1 1 =3a+3b,故 x=3,y=3. 7.(文)(2011· 杭州模拟)已知向量 a=(sinx,1),b=(cosx,-3), 且 a∥b,则 tanx=________. 1 [答案] -3 sinx 1 [解析] ∵a∥b,∴cosx= , -3 1 ∴tanx=-3.
? π π? (理)已知 a=(2,-3),b=(sinα,cos2α),α∈?-2,2?,若 a∥b, ? ?

则 tanα=________. 3 [答案] - 3 sinα cos2α [解析] ∵a∥b,∴ 2 = ,∴2cos2α=-3sinα, -3 ∴2sin2α-3sinα-2=0, 1 ∵|sinα|≤1,∴sinα=-2,

? π π? 3 3 ∵α∈?-2,2?,∴cosα= 2 ,∴tanα=- 3 . ? ?

8.(文)(2012· 西安五校第二次联考)梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB → → → =2CD,M,N 分别是 CD,AB 的中点,设AB=a,AD=b.若MN= n ma+nb,则m=________.

[答案] -4 → → → → 1 1 1 1 [解析] MN=MD+DA+AN=-4a-b+2a=4a-b,∴m=4,n n =-1,∴m=-4. x2 (理)已知 e1=(2,1), 2=(2, e -1),点 P 的坐标(x,y)满足方程 4 - → y =1,若OP=ae1+be2(a,b∈R,O 为坐标原点),则 a、b 满足的一
2

个等式是________. [答案] 4ab=1 → [解析] 因为 e1=(2,1), 2=(2, e -1), 所以OP=ae1+be2=a(2,1) +b(2,-1)=(2a,a)+(2b,-b)=(2a+2b,a-b). → 因为点 P 的坐标为(x,y),所以OP=(x,y),

?x=2a+2b ? x2 2 ? 即 .因为 x,y 满足方程 4 -y =1, ? ?y=a-b

?2a+2b?2 所以 -(a-b)2=1,化简可得 4ab=1, 4 此即为 a、b 满足的一个等式. 9.(文)(2011· 北京朝阳区模拟)如图,在△ABC 中,D、E 分别是 → → → → → BC、AC 的中点,F 为 AB 上一点,且AB=4AF,若AD=xAF+yAE, 则 x=________,y=________.

[答案] 2 1 [解析]

→ → → (如图)因为AD=AE+ED → 1→ → 1 → =AE+2AB=AE+2×4AF → → =AE+2AF. 所以 x=2,y=1.

(理)(2011· 江苏徐州市质检)在△ABC 中,过中线 AD 的中点 E 任 → → → → 作一条直线分别交 AB、AC 于 M、N 两点,若AM=xAB,AN=yAC, 则 4x+y 的最小值为________. 9 [答案] 4 [解析]

→ 1 → → → 1→ 如图所示,由题意知AD=2(AB+AC),AE=2AD, 又 M,E,N 三点共线, → → → 所以AE=λAM+(1-λ)AN(其中 0<λ<1), → → → → 又AM=xAB,AN=yAC, → → 1 → → 所以4(AB+AC)=λxAB+(1-λ)yAC,
?4λx=1, ? 1 1 因此有? 解得 x=4λ,y= , 4?1-λ? ?4?1-λ?y=1, ?

1 令λ =t,∴t>1, 1 1 t 则 4x+y=λ + =t+ 4?1-λ? 4?t-1? 1 5 9 =(t-1)+ +4≥4, 4?t-1?

3 2 当且仅当 t=2,即 λ=3时取得等号. → → → 10.(文)已知 O(0,0)、A(2,-1)、B(1,3)、OP=OA+tOB,求 (1)t 为何值时, P 在 x 轴上?点 P 在 y 轴上?点 P 在第四象限? 点 (2)四点 O、A、B、P 能否成为平行四边形的四个顶点,说明你 的理由. → → → [解析] (1)OP=OA+tOB=(t+2,3t-1). 1 若点 P 在 x 轴上,则 3t-1=0,∴t=3; 若点 P 在 y 轴上,则 t+2=0,∴t=-2;
? ?t+2>0 1 若点 P 在第四象限,则? ,∴-2<t<3. ? ?3t-1<0

→ → (2)OA=(2,-1),PB=(-t-1,-3t+4). → → 若四边形 OABP 为平行四边形,则OA=PB.
?-t-1=2 ? ∴? 无解. ?-3t+4=-1 ?

∴ 四边形 OABP 不可能为平行四边形. 同理可知,当 t=1 时,四边形 OAPB 为平行四边形,当 t=-1 时,四边形 OPAB 为平行四边形. (理)(2011· 杭州市质检)已知向量 a=(1,2),b=(cosα,sinα),设 m =a+tb(t 为实数). π (1)若 α=4,求当|m|取最小值时实数 t 的值; (2)若 a⊥b,问:是否存在实数 t,使得向量 a-b 和向量 m 的夹

π 角为4,若存在,请求出 t;若不存在,请说明理由. π 2 2 3 2 [解析] (1)∵α=4,∴b=( 2 , 2 ),a· b= 2 , ∴|m|= ?a+tb?2= 5+t2+2ta· b = t2+3 2t+5= 3 2 1 ?t+ 2 ?2+2,

3 2 2 ∴当 t=- 2 时,|m|取到最小值,最小值为 2 . ?a+tb? π ?a-b?· (2)由条件得 cos4= , |a-b||a+tb| ∵|a-b|= ?a-b?2= 6,|a+tb|= ?a+tb?2= 5+t2,(a-b)· (a +tb)=5-t, ∴ 5-t 2 = 2 ,且 t<5, 6 5+t2

-5± 5 3 ∴t2+5t-5=0,∴存在 t= 满足条件. 2 能力拓展提升 11.(2011· 湖南十二校第二次联考)平面上有四个互异的点 A、B、 → → → → C、D,满足(AB-BC)· -CD)=0,则三角形 ABC 是( (AD A.直角三角形 C.等腰直角三角形 [答案] B → → → → [解析] (AB-BC)· -CD) (AD → → → → =(AB-BC)· +DC) (AD → → → → → → → =(AB-BC)· =(AB-BC)· +BC) AC (AB B.等腰三角形 D.等边三角形 )

→ → 2 =|AB| -|BC|2=0, → → 故|AB|=|BC|,即△ABC 是等腰三角形. 12.(2011· 青岛模拟)如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC=CD= → → → 1, 且∠B=90° ∠BCD=135° 记向量AB=a, =b, , , AC 则AD=( )

2 A. 2a-(1+ 2 )b 2 B.- 2a+(1+ 2 )b 2 C.- 2a+(1- 2 )b 2 D. 2a+(1- 2 )b [答案] B [解析]

根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形,由∠BCD=135° ,得∠ ACD=135° -45° =90° ,以 B 为原点,AB 所在直线为 x 轴,BC 所在 直线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系, 并作 DE⊥y 轴于点 E, 则△ 2 CDE 也为等腰直角三角形,由 CD=1,得 CE=ED= 2 ,则 A(1,0), → → → 2 2 B(0,0),C(0,1),D( 2 ,1+ 2 ),∴AB=(-1,0),AC=(-1,1),AD= → → → 2 2 ( 2 -1,1+ 2 ),令AD=λAB+μAC,

?-λ-μ= 22-1, 则有? 2 μ=1+ 2 , ?
→ 2 ∴AD=- 2a+(1+ 2 )b. 13.

?λ=- 2, 得? 2 μ=1+ 2 . ?

(2012· 江西八校联考)如图所示,设 P、Q 为△ABC 内的两点,且 → 2→ 1→ → 2→ 1→ AP=5AB+5AC,AQ=3AB+4AC,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积 之比为________. 4 [答案] 5 [分析] 因三角形的面积与底和高有关,所以可利用“同底三角 形面积比等于高之比”的结论计算待求三角形的面积比. 题设条件中 → → → → 用AB和AC给出了点 P 和点 Q, 故可利用AP和AQ构造平行四边形将面 积比转化为向量长度的比解决. → 2→ → 1→ [解析] 根据题意,设AM=5AB,AN=5AC,则由平行四边形法 → → → 则, 得AP=AM+AN, 且四边形 AMPN 为平行四边形, 于是 NP∥AB, → S△ABP |AN| 1 S△ABQ 1 S△ABP 4 所以 = → =5,同理,可得 = .故 = . S△ABC S△ABC 4 S△ABQ 5 |AC| 14.设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 c 3? ? =2b,向量 m=?sinA,2?,n=(1,sinA+ 3cosA),且 m 与 n 共线.
? ?

(1)求角 A 的大小;

a (2)求c的值. π? ? 3 [解析] (1)∵m∥n, ∴sinA(sinA+ 3cosA)-2=0, sin?2A-6? 即 ? ? =1. π ? π 11π? ∵A∈(0,π),∴2A-6∈?-6, 6 ?.
? ?

π π π ∴2A-6=2.∴A=3. π (2)由余弦定理及 c=2b、A=3得,
? c? c π a2=?2?2+c2-2·· 3, ccos 2 ? ?

3 a 3 a2=4c2,∴c= 2 . 15.已知圆 C:(x-3)2+(y-3)2=4 及定点 A(1,1),M 为圆 C 上 → → 任意一点,点 N 在 MA 的延长线上,且MA=2AN,求动点 N 的轨迹 方程. → → [解析] 设 N(x,y),M(x0,y0),则由MA=2AN得, (1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1),
?1-x0=2x-2, ?x0=3-2x, ? ? ? ∴ 即? ?1-y0=2y-2, ?y0=3-2y. ? ?

代入(x-3)2+(y-3)2=4,得 x2+y2=1. 16.设 a、b 是不共线的两个非零向量, → → → (1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求证:A、B、C 三 点共线; (2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值;

→ → → (3)设OM=ma,ON=nb,OP=αa+βb,其中 m、n、α、β 均为 α β 实数,m≠0,n≠0,若 M、P、N 三点共线,求证:m+n=1. [解析] → → (1)∵AB=(3a+b)-(2a-b)=a+2b. 而BC=(a-3b)-

→ (3a+b)=-2a-4b=-2AB, → → ∴AB与BC共线,且有公共端点 B,∴A、B、C 三点共线. (2)∵8a+kb 与 ka+2b 共线,∴存在实数 λ 使得 (8a+kb)=λ(ka+2b)?(8-λk)a+(k-2λ)b=0,
? ?8-λk=0, ∵a 与 b 不共线,∴? ?8=2λ2?λ=± 2, ?k-2λ=0. ?

∴k=2λ=± 4. → → (3)证法 1:∵M、P、N 三点共线,∴存在实数 λ,使得MP=λPN, → → → OM+λON m λn ∴OP= = a+ b, 1+λ 1+λ 1+λ ∵a、b 不共线,

?α=1+λ, ∴? λn β= ? 1+λ
m

α β 1 λ ∴m+n= + =1. 1+λ 1+λ

→ → → 证法 2:∵M、P、N 三点共线,∴OP=xOM+yON且 x+y=1, 由已知可得:xma+ynb=αa+βb, α β α β ∴x=m,y=n,∴m+n=1.

1.(2012· 江西七校联考)已知两不共线向量 a=(cosα,sinα),b= (cosβ,sinβ),则下列说法不正确的是( A.(a+b)⊥(a-b) B.a 与 b 的夹角等于 α-β C.|a+b|+|a-b|>2 D.a 与 b 在 a+b 方向上的投影相等 [答案] B [解析] 注意到|a|=|b|=1,因此(a+b)· (a-b)=a2-b2=0,所以 (a+b)⊥(a-b);注意到 α-β 未必属于(0,π),因此 a,b 的夹角未必 等于 α-β;由三角形法则可知, |a+b|+|a-b| >1,于是有|a+b|+|a 2 )

-b|>2;结合三角形法则及一个向量在另一个向量上的投影的意义可 知,a,b 在 a+b 方向上的投影相等.综上所述,其中不正确的说法 是 B,选 B. → 2.(2011· 深圳模拟)在平面直角坐标系中,O 为原点,设向量OA → → =a, =b, OB 其中 a=(3,1), b=(1,3). 若OC=λa+μb, 0≤λ≤μ≤1, 且 C 点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是( )

[答案] A → [解析] OC=λa+μb=(3λ+μ,λ+3μ), → 令OC=(x,y),则 x-y=(3λ+μ)-(λ+3μ) =2(λ-μ)≤0, ∴点 C 对应区域在直线 y=x 的上方,故选 A. 3. (2012· 北京文)已知正方形 ABCD 的边长为 1, E 是 AB 边上 点 → → → → 的动点,则DE· 的值为________,DE· 的最大值为________. CB DC [答案] 1 1 [解析] 本题考查平面向量的数量积,建立平面直角坐标系如

→ → 图, B(1,0), 则 C(1,1), D(0,1), E(x0,0), 设 则CB=(0, -1), =(1,0), DC → DE=(x0,-1),

→ → ∴DE· =(x0,-1)(0,-1)=1, CB → → ∴DE· =x0,而 0≤x0≤1, DC → → ∴DE· 的最大值为 1. DC [点评] 将问题转化为坐标运算使问题迎刃而解. 4.已知 G 是△ABC 的重心,直线 EF 过点 G 且与边 AB、AC 分 → → → → 1 1 别交于点 E、F,AE=αAB,AF=βAC,则α+β=________. [答案] 3 → [解析] 连结 AG 并延长交 BC 于 D, 是△ABC 的重心, ∵G ∴AG → → 2→ 1 → → =3AD=3(AB+AC),设EG=λGF, → → → → → 1 → λ → ∴AG-AE=λ(AF-AG),∴AG= AE+ AF, 1+λ 1+λ 1→ 1→ α → λβ → ∴3AB+3AC= AB+ AC, 1+λ 1+λ

?1+λ=3, ∴? λβ 1 ?1+λ=3,
1

α

?α=1+λ, ∴? 1 3λ ?β=1+λ,
1 3

1 1 ∴α+β=3.

5.(2011· 衡阳期末)平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c =(4,1),请解答下列问题: (1)求满足 a=mb+nc 的实数 m、n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (3)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= 5,求 d.

[解析] (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),
?-m+4n=3, ? 所以? ? ?2m+n=2,

?m=5, ? 9 得? 8 ?n=9. ?

(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ∵(a+kc)∥(2b-a), 16 ∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=-13. (3)设 d=(x,y),则 d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),
?4?x-4?-2?y-1?=0 ? 由题意得? , 2 2 ? ??x-4? +?y-1? =5 ?x=3 ?x=5 ? ? ? 解得 或? ,∴d=(3,-1)或 d=(5,3). ?y=-1 ?y=3 ? ?

6.若 a,b 是两个不共线的向量,a 与 b 起点相同,则当 t 为何 1 值时,a,tb,3(a+b)三向量的终点在同一条直线上? → → → 1 [解析] 设OA=a,OB=tb,OC=3(a+b), → → → 2 1 ∴AC=OC-OA=-3a+3b, → → → AB=OB-OA=tb-a. → → 要使 A、B、C 三点共线,只需AC=λAB. 2 1 即-3a+3b=λtb-λa.

?-2=-λ, ? 3 ∴有? 1 ?3=λt, ?

?λ=2, ? 3 ?? 1 ?t=2. ?

1 ∴当 t=2时,三向量终点在同一直线上.


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