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高考数学第一轮基础复习训练题3


班级______

高考数学基础知识训练(5) 姓名_________ 学号_______

得分_______

一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 1.定义:区间 ? x1 , x2 ? ? x1 ? x2 ? 的长度为 x2 ? x1 .已知函数 y ? 2| x| 的定义域为 ? a, b? ,值域 为 ?

1, 2? ,则区间 ? a, b? 的长度的最大值与最小值的差为_________. 2.设集合 A={ x | x <-1 或 x >1},B={ x | log2 x >0},则 A∩B= _______________. 3. 已知扇形的圆心角为 150 ? ,面积为

? , 则此扇形的周长为_______________. 15

4.一钟表分针长 10cm,经 40 分钟,分针端点所转过的弧长是_________ cm. 5. 在以原点为圆心, 半径为 1 的单位圆中, 一条弦 AB 的长度为 3 , AB 所对圆心角 ? 的 弧度数为_______________. 6.已知角 ? 的终边经过点 P(? x, ?6) ,且 cos ? ? ? 7. ? 是第四象限角, tan ? ? ? 8.已知 sin( 540 ? ? ) ? ?
0

5 ,则 x 的值是_______________. 13

5 ,则 sin ? ? _______________. 12

4 , 则 cos(? ? 900 ) ? _______________. 5 f ( a ? h) ? f ( a ) 无限趋近于_________. 2h

9.已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 4,那么这个圆心角所对弧长为______________. 10. 若 f ' (a)=2,则当 h 无限趋近于 0 时,

11.已知 tan ? ? ?2 ,则 sin ? cos ? 的值为_______________. 12.若角 ? 的终边上一点的坐标为 ? sin

? ?

?
6

, cos

2? 3

? ? ,则 2 sin ? ? tan ? 的值为_____. ?

13.已知 ? 是三角形的内角,若 sin a ? cos a ? 14.给出下列四个结论:

1 ,则 tan a ? _______________. 5
2

①命题“ ?x ? R, x ? x ? 0" 的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 0 ” ;
2

②“若 am ? bm , 则 a ? b ”的逆命题为真;
2 2

③函数 f ( x) ? x ? sin x (x ? R )有 3 个零点; ④对于任意实数 x,有 f (? x) ? ? f ( x), g ( ? x) ? g ( x), 且 x>0 时, f ?( x) ? 0, g ?( x) ? 0, 则 x<0 时 f ?( x) ? g ?( x). 其中正确结论的序号是 .(填上所有正确结论的序号)

二、解答题(共 90 分,写出详细的解题步骤) 15.(14 分) 已知 f (? ) ?

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ) tan(?? ? ? ) sin(?? ? ? )

(1)化简 f (? ) . (2)若 ? 是第三象限角,且 cos( ? ?

3? 1 ) ? , 求 f (? ) 的值. 2 5

16.(14 分)已知 tan ? ? ? (2)

6 sin ? ? cos ? 2 2 的值; (3) 3 sin ? ? 4 sin ? cos? ? 5 cos ? 的值. 3sin ? ? 2 cos ?

4 ? ,求: (1) tan(? ? ) 的值; 3 4

17.(15 分)已知二次函数 f(x)满足:①在 x=1 时有极值;②图象过点(0,-3),且在该点处的 切线与直线 2x+y=0 平行. ⑴求 f(x)的解析式; 2 ⑵求函数 g(x)=f(x )的单调递增区间.

18.(15 分) 某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为

1 C ? x ? ,当年产量不足 80 千件时, C ? x ? ? x 2 ? 10 x (万元);当年产量不小于 80 千件 3 10000 ? 1450 (万元).通过市场分析,若每件售价为 500 元时,该厂年内 时, C ? x ? ? 51x ? x
生产的商品能全部售完.

(1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式. (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

2 19.(16 分)已知函数 f ( x) ? ? sin x ? sin x ? a ,若 1 ? f ( x) ? 4 对一切 x ? R

恒成立.求实数 a 的取值范围.

20.(16 分)设函数 f ( x) ? x 4 ? ax3 ? 2x 2 ? b( x ? R, )其中a, b ? R. (1)当 a ? ?

10 时, 讨论函数 f ( x) 的单调性; 3

(2)若函数 f ( x)仅有x ? 0处有极值 , 求a 的取值范围; (3)若对于任意的 a ? [?2,2],不等式f ( x) ? 1在[?1,0] 上恒成立,求 b 的取值范围.

参考答案: 1. 1 2.{ x | x >1} 3.

?

3 40? 4. 3 2 5. ? 3 5 6. 2

?

4 5

7. ? 8. 9.

5 13

4 5 4 sin 1

10. -1

2 5 12. ?2 4 13. ? 3
11. ? 14. ①④ 15.解: (1)

f (? ) ?

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ) tan(?? ? ? ) sin(?? ? ? ) sin ? cos? (? tan a)(? tan? ) ? ? sin a tan? sin ?
3 ? 1 ? ) ? cos( ? ? ) ? ? sin ? ? 2 2 5

(2) cos( ? ?

1 2 6 ? sin ? ? ? , ?? 为第三象限角,? cos? ? ? 5 5

? f (? ) ? sin a tan a ? ?

6 . 60

4 ? ?1 ? 1 4 ? tan ? ? 1 = 3 16.解: (1) tan(? ? ) ? ? ? ???(7 分) ? 4 4 1 ? tan ? tan 1 ? tan ? 1 ? 7 4 3 4 (2)由(1)知, tanα=- , 3 4 6(? ) ? 1 7 6 sin ? ? cos ? 6 tan ? ? 1 3 所以 = = ? ????????(10 分) 4 3sin ? ? 2 cos ? 3 tan ? ? 2 3(? ) ? 2 6 3 tan ? ? tan
(3) 3 sin ? ? 4 sin ? cos? ? 5 cos ? ?
2 2

?

3 sin 2 ? ? 4 sin ? cos? ? 5 cos2 ? sin 2 ? ? cos2 ?

=

3 tan2 ? ? 4 tan? ? 5 9 ? 5 tan2 ? ? 1
2

????????????????? (14 分)

17.解:⑴设 f(x)=ax +bx+c,则 f ?(x)=2ax+b.

? f ?(1) ? 0, ?2a ? b ? 0, ?a ? 1, ? ? ? 由题设可得: ? f ?(0) ? ?2, 即 ?b ? ?2, 解得 ?b ? ?2, ? f (0) ? ?3, ?c ? ? 3 . ?c ? ? 3 . ? ? ?
所以 f(x)=x -2x-3. 2 4 2 3 ⑵g(x)=f(x )=x -2x -3,g ?(x)=4x -4x=4x(x-1)(x+1).列表:
2

x f?(x) f(x)

(-∞,-1) - ↘

-1 0

(-1,0) + ↗

0 0

(0,1) - ↘

1 0

(1,+∞) + ↗

由表可得:函数 g(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞). 18.解:⑴当 0 ? x ? 80, x ? N * 时,

L ? x? ?

500 ?1000 x 1 2 1 ? x ? 10 x ? 250 ? ? x 2 ? 40 x ? 250 ????(2 分) 10000 3 3
*

当 x ? 80, x ? N 时,

L ? x? ?

500 ?1000 x 10000 10000 ? ? ? 51x ? ? 1450 ? 250 ? 1200 ? ? x ? ? 10000 x x ? ?

??(4 分)

? 1 2 ? x ? 40 x ? 250, ? 0 ? x ? 80, x ? N * ? ? ? 3 ? L ? x? ? ? 10000 ? * ?1200 ? ? x? ? ? , ? x ? 80, x ? N ? ? x ? ? ?
⑵当 0 ? x ? 80, x ? N * 时, L ? x ? ? ?

?????????(7 分)

1 2 ? x ? 60 ? ? 950 , 3

? 当 x ? 60 时, L ? x ? 取得最大值 L ? 60? ? 950 (万元)??????(9 分)
当 x ? 80, x ? N 时,
*

10000 ? 10000 ? L ? x ? ? 1200 ? ? x ? ? 1200 ? 200 ? 1000 ???(12 分) ? ? 1200 ? 2 x x ? x ?
?当x ? 10000 ,即x ? 100 时, L ? x ? 取得最大值 1000 万元,即生产量为 100 千件时, x

该厂在这一商品的生产中所获利润最大 ??????????????(14 分)

19.解:∵ y ? f ( x) ? ? sin 2 x ? sin x ? a , 令 t ? sin x ,则 y ? ?t 2 ? t ? a ( ?1 ? t ? 1) , 由于 y ? ?t 2 ? t ? a 的对称轴是 t ?

1 , 2

∴在 ?1 ? t ? 1上,根据二次函数的单调性,有: 当t ?

1 1 2 1 1 时, y 取得最大值, ymax ? ?( ) ? ? a ? ? a , 2 2 2 4

当 t ? ?1 时, y 取得最小值, ymin ? ?(?1)2 ? (?1) ? a ? a ? 2 , 又∵ 1 ? f ( x) ? 4 对一切 x ? R 恒成立,

, 恒成立, 即: 1 ? y ? ?t 2 ? t ? a ? 4 对一切 t ? [?11]

?1 ? ymax ? 4 15 ? ?a?4 ?3? a ? 所以有: ? ,即 ? 4 , 4 ? ymin ? 1 ? ?a ? 2 ? 1
∴实数 a 的取值范围是 ?3, ? . 4

? 15 ? ? ?

3 2 2 20. 解: (1) f ?( x) ? 4x ? 3ax ? 4 x ? x(4 x ? 3ax ? 4).

10 时, f ?( x) ? x(4 x 2 ? 10 x ? 4) ? 2 x(2 x ? 1)( x ? 2). 3 1 令 f ?( x) ? 0, 得x1 ? 0, x 2 ? , x3 ? 2. 3分 2
当a ? ? 当 x变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)
f ( x)

(??,0)
单调递减

0 0 极小值

1 (0, ) 2
+ 单调递增

1 2
0 极大值

1 ( ,2) 2
单调递减

2 0 极小值

(2,??)
+ 单调递增

所以 f ( x)在(0, )和(2,?? ) 上是增函数, 在区间 (?? ,0)和( ,2) 上是减函数

1 2

1 2

6分

(2) f ?( x) ? x(4x 2 ? 3ax ? 4),显然x ? 0不是方程 4x 2 ? 3ax ? 4 ? 0 的根。

? f ( x)仅在x ? 0 处有极值。
则方程 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 有两个相等的实根或无实根,
2

? ? 9a 2 ? 4 ? 16 ? 0.
解此不等式,得 ?

8分

8 8 ?a? , 3 3

这时, f (0) ? b 是唯一极值。 因此满足条件的 a的取值范围是 [? , ]

8 8 3 3

10 分

2 注:若未考虑 ? ? 9a ? 4 ? 0.进而得到 a的范围为 [? , ] ,扣 2 分。

8 8 3 3

(3)由(2)知,当 a ? [?2,2]时,4 x 2 ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立。 当 x ? 0时, f ?( x) ? 0, f ( x)在区间 (??,0]上是减函数, 因此函数 f ( x)在[?1,0]上的最大值是 f (?1). 12 分

又? 对任意的 a ? [?2,2],不等式f ( x) ? 1在[?1,0] 上恒成立。

? f (?1) ? 1,即3 ? a ? b ? 1.
于是 b ? a ? 2在a ? [?2,2] 上恒成立。

? b ? ?2 ? 2,即b ? ?4.
因此满足条件的 b的取值范围是 (??,?4). 14 分

班级______

高考数学基础知识训练(6) 姓名_________ 学号_______

得分_______

一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 1. sin 600 =___________
0

2. 已知 a 2 ?

1

4 (a>0) ,则 log 2 a ? 9 3

.

3. 复数

1? i ? __________ 2?i

4. 若 x ? 0, 则 (2 x 4 ? 32 ) ? (2 x 4 ? 32 ) ? 4 x

1

3

1

3

?

1 2

? (x ? x2 ) =

1



5. 函数 y ? ( )

1 2

x2 ? 2 x ?3

的值域为



6. 函数 f(x)=x3+x+1(x ? R),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为



7. 设 P和Q 是两个集合,定义集合 P ? Q ? ?x | x ? P, 且x ? Q ?,若 P ? ? 1,2,3,4?,

? 1 Q ? ? x | x ? ? 2, x ? R ?,则 P ? Q ? 2 ?

.

8. 为了保证信息安全传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下: 明文

加密
x

密文

发 送

密文

明文

已知加密为 y ? a ? 2 ( x 为明文、 y 为密文 ) ,如果明文“ 3 ”通过加密后得到密文为“ 6 ”, 再发送,接受方通过解密得到明文“ 3 ”,若接受方接到密文为“14 ”,则原发的明文是 .

9. 方程 2

?x

? x 2 ? 3 的实数解的个数为



10. 已知数列 ?an ? ,则“数列 ?an ? 为等比数列”是“数列 ?lg an ? 为等差数列”的______ 条件 (填写:充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)

11.关于函数 f ( x) ? x ?

a (a ? 0), 有下列四命题 : x
② f ( x) 是奇函数;

① f ( x)的值域是 (??,0) ? (0,??) ;

③ f ( x)在(??,0) 及 (0, ??) 上单调递增;④方程 | f ( x) |? b(b ? 0) 总有四个不同的解; 其中正确的有 .

12. 若函数 y ? x2 ? 2x ? 3 在闭区间 [0, m] 上有最大值 3,最小值 2;则 m 的取值集合为 .

13. y ? f ( x) 在 (0, 2) 上是增函数, y ? f ( x ? 2) 是偶函数,则 f (1), f ( ), f ( ) 的大小关 系是 .

5 2

7 2

2 14. 已知 t 为常数,函数 y ? x ? 2 x ? t 在区间[0,3]上的最大值为 2,则 t=________.

二、解答题(共 90 分,写出详细的解题步骤)
2 2 2 15 . ( 14 分)已知集合 A ? { x x ? 2 x ? 15 ≤0} , B={ x x ? (2m ? 9) x ? m ? 9m ≥0 ,

m? R }
(1)若 A ? B ? ??3,3? ,求实数 m 的值; (2)设全集为 R,若 A ? CR B ,求实数 m 的取值范围.

16. (14 分)已知函数 f ( x) ? m n 其中 m ? (sin ? x ? cos ? x, 3 cos ? x)

? n ? (cos ? x ? sin ? x, 2sin ? x), 其中? ? 0, 若f ( x) 相邻两对称轴间的距离不小于 . 2
(Ⅰ)求 ? 的取值范围; (Ⅱ)在 ?ABC中 , a, b, c分别是角 A, B, C的对边, a ? 3, b ? c ? 3, 当?最大时,

f ( A) ? 1, 求?ABC 的面积.

17. (14 分)已知数列 {a n }是首项为 a1 ?

1 1 , 公比 q ? 的等比数列 ,设 4 4

bn ? 2 ? 3 log1 an (n ? N *) ,数列 {cn }满足cn ? an ? bn
4

(1)求证: {bn } 是等差数列; (2)求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn.

18. (16 分)某厂家拟在 2010 年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂 的年产量) x 万件与年促销费用 m ( m ≥0)万元满足 x ? 3 ?

k ( k 为常数) ,如果不搞促 m ?1

销活动,则该产品的年销售量是 1 万件. 已知 2010 年生产该产品的固定投入为 8 万元,每 生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成 本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用) . (1)将 2010 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数; (2)该厂家 2010 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

19. (16 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? a2 x2 ? ax(a ? R) . (1)当 a=1 时,求函数 f ( x ) 最大值; (2)若函数 f ( x ) 在区间(1,+∞)上是减函数,求实数 a 的取值范围.

20. (16 分)已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1和函数 g ( x) ?

bx ? 1 , a 2 x ? 2b

(1)若 f ( x) 为偶函数,试判断 g ( x) 的奇偶性; (2)若方程 g ( x) ? x 有两个不等的实根 x1, x2 x1 ? x2 ,则 ①证明函数 f ( x) 在(-1,1)上是单调函数; ②若方程 f ( x) ? 0 的两实根为 x3 , x4 ?x3 ? x4 ? , 求使 x3 ? x1 ? x2 ? x4 成立的 a 的 取值范围.

?

?

参考答案: 1、

?

3 2
1

2. 解:由 a 2 ? 答案:4.

4 2 2 4 4 2 得 a ? ( ) ? ( ) , ∴ log 2 a ? log 2 ( )4 ? 4 . 9 3 9 3 3 3

3、

1 ? 3i 5
1 4 3 2 1 4 3 2 ? 1 2 1 2
1 2 3 1 2

4.解: (2 x ? 3 )(2 x ? 3 ) ? 4 x ( x ? x ) ? 4 x ? 3 ? 4 x ? 4 ? ?23 . 答案:-23.
2 5. 解:设 y ? ( ) , u ? x ? 2 x ? 3 ? 2 ,所以结合函数图象知,函数 y 的值域为 (0, ] .
u

1 2

1 4

答案: (0, ] .

1 4

6. 解: f ( x) ? 1 ? x ? x 为奇函数,又 f (a ) ? 2 ? f (a ) ? 1? 1,故 f (?a) ? 1 ? ?1 ,即
3

f (?a ) ? 0.
答案:0. 7.解:由定义 P ? Q ? ?x | x ? P, 且x ? Q ?,求 P ? Q 可检验 P ? ? 1,2,3,4?中的元素在不在

? 1 Q ? ? x | x ? ? 2, x ? R ?中,所有在 P 中不在 Q 中的元素即为 P ? Q 中的元素,故 2 ?
P ? Q ? ?4?.
答案: ?4?.

3 8. 解:由已知,当 x=3 时 y=6,所以 a ? 2 ? 6 ,解得 a ? 2 ;∴ y ? 2x ? 2 ;当 y=14 时,

有 2 ? 2 ? 14 ,解得 x=4.
x

答案:“ 4 ”. 9.解:画出函数 y ? 2? x 与 y ? 3 ? x 2 的图象,它们有两个交点,故方程

2? x ? x 2 ? 3 的实数解的个数为 2 个.
答案:2. 10、 必要不充分条件 11.解: x ?

a 时 f ( x) ? 0 ,故①不正确; | f ( x) |? 0 只有 2 个解,故④不正确;

∴正确的有②③. 答案:②③. 12. 解:由 y ? x ? 2x ? 3 即 y ? ( x ?1) ? 2 ,结合图象分析知 m 的取值范围为 [1, 2] 时,
2 2

能使得函数取到最大值 3 和最小值 2. 答案: [1, 2] .

13. 解: 结合图象分析知: y ? f ( x) 的图象是由 y ? f ( x ? 2) 的图象向右平移两个单位而得 到的;而 y ? f ( x ? 2) 是偶函数,即 y ? f ( x ? 2) 的图象关于 y 轴对称,所以 y ? f ( x) 的 图象关于 x=2 对称,画出图象可以得到 f ( ) ? f (1) ? f ( ) . 答案: f ( ) ? f (1) ? f ( ) .

7 2

5 2

7 2

5 2

2 2 14.解:二次函数 y ? x ? 2 x ? t 图像的对称轴为 x ? 1, 函数 y ? x ? 2 x ? t 的图像是将二

次函数 y ? x2 ? 2 x ? t 图像在 x 轴下方部分翻到 x 轴上方( x 轴上方部分不变)得到的.由 区间 [0 , 3] 上的最大值为 2 ,知 ymax ? f (3) ? 3? t ? 2,解得 t ? 1或5 ;检验 t ? 5 时,

f (0) ? 5 ? 2 不符,而 t ? 1 时满足题意.
答案:1. 15. 解:(Ⅰ)∵ A ? [?3,5] , B ? ? ??, m ? 9? ??m, ???

???????? 4 分

A ? B ? ??3,3? ,
(Ⅱ)



?m ? 9 ? 3 ? ?m ? 5

∴ m ? 12

???????? 7 分

CR B ? {x m ? 9 ? x ? m} ???????? 9 分
∴ m ? 5, 或m ? 9 ? ?3 ,???????? 12 分

∵ A ? CR B

∴ 5 ? m ? 6 ????????14 分 16.解: (Ⅰ) f ( x) ? m ? n ? cos2 ?x ? sin 2 ?x ? 2 3 cos?x ? sin ?x

? cos2?x ? 3 sin 2?x ? 2 sin( 2?x ?
? ? ? 0 ?函数 f ( x)的周期 T ?
由题意可知

?
6

) ??????3 分

T ? ? ? ? ,即 ? , 2 2 2? 2

2? ? ? , ?????4 分 2? ?

解得 0 ? ? ? 1,即?的取值范围是 {? | 0 ? ? ? 1} ????????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ? 的最大值为 1,

? f ( x) ? 2 sin( 2 x ?


?

?
6

? 2A ?

?
6

?

13 ? 5 ? ? ? 2 A ? ? ? ? A ? ??????10 分 6 6 6 3

6

) ? f ( A) ? 1 ? sin( 2 A ?

?
6

)?

1 ?????8 分 2

由余弦定理知 cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2bc

?b ? c ? bc ? 3, 又b ? c ? 3 ?12

2

2

联立解得 ?

?b ? 2 ?b ? 1 1 3 ???11 分? S ?ABC ? bc sin A ? ??14 分 或? 2 2 ?c ? 1 ?c ? 2

注:或用配方法不求 b,c 值亦可 17. 解: (1)由题意知, a n ? ( ) (n ? N *)

1 n 4 ? bn ? 3 log1 an ? 2, b1 ? 3 log1 a1 ? 2 ? 1
4 4

? bn?1 ? bn ? 3 log1 an?1 ? 3 log1 an ? 3 log 1
4 4 4

an?1 ? 3 log1 q ? 3 an 4

∴数列 {bn }是首项b1 ? 1, 公差d ? 3 的等差数列????????7 分 (2)由(1)知, a n ? ( ) , bn ? 3n ? 2(n ? N *)
n

1 4

1 ? c n ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N *) 4 1 1 1 1 1 ? S n ? 1 ? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4

1 1 1 1 1 1 S n ? 1 ? ( ) 2 ? 4 ? ( ) 3 ? 7 ? ( ) 4 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 4 3 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 两式相减得 S n ? ? 3[( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? (3n ? 2) ? ( ) 4 4 4 4 4 4 1 1 ? ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 . 2 4 2 12 n ? 8 1 n ?1 ? Sn ? ? ? ( ) (n ? N *) ????????14 分 3 3 4 18. 解: (1)由题意可知,当 m ? 0 时, x ? 1 ,∴ 1 ? 3 ? k 即 k ? 2 , 2 8 ? 16 x ∴ x ? 3? ,每件产品的销售价格为 1.5 ? 元. m ?1 x 8 ? 16 x ] ? (8 ? 16 x ? m ) ∴2010 年的利润 y ? x[1.5 ? x 2 16 ? 4 ? 8 x ? m ? 4 ? 8(3 ? ) ? m ? ?[ ? ( m ? 1)] ? 29( m ? 0) …8 分 m ?1 m ?1 16 ? (m ? 1) ? 2 16 ? 8 . (2)∵ m ? 0 时, m ?1 16 ? m ? 1 ,即 m ? 3 时, ymax ? 21 .………………15 分 ∴ y ? ?8 ? 29 ? 21 ,当且仅当 m ?1
答:该厂家 2010 年的促销费用投入 3 万元时,厂家的利润最大,最大为 21 万元.……16 分 注:导数法求解酌情给分 19. 解: (1)当 a=1 时, f ( x) ? ln x ? x ? x ,其定义域是 (0, ??) ,--------2

1分

? f ?( x) ?

1 2x2 ? x ?1 ? 2x ?1 ? ? x x

-------------------

2分

1 2 x2 ? x ?1 ? 0 ,解得 x ? ? 或 x ? 1 . 令 f ?( x) ? 0 ,即 ? 2 x
Q x ? 0 ,? x ? ?

1 舍去. 2

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . ∴函数 f ( x ) 在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减 ∴当 x=1 时,函数 f ( x ) 取得最大值,其值为 f (1) ? ln1 ?12 ? 1 ? 0 .--- 6 分 (2)法一:因为 f ( x) ? ln x ? a 2 x 2 ? ax 其定义域为 (0, ??) , 所以 f ?( x) ?

1 ?2a 2 x 2 ? ax ? 1 ?(2ax ? 1)(ax ? 1) 2 ? 2a x ? a ? ? x x x
1 ? 0,? f (x )在区间 (0, ??) 上为增函数,不合题意 x
---------------------------------分 8

①当 a=0 时, f ?( x) ?

②当 a>0 时, f ?( x) ? 0( x ? 0) 等价于 (2ax ? 1)(ax ? 1) ? 0( x ? 0) ,即 x ? 此时 f ( x ) 的单调递减区间为 ( , ??) .

1 . a

1 a

?1 ? ? 1, 依题意,得 ? a 解之得 a ? 1 .------------------? ? a ? 0.

12 分

③当 a<0 时, f ?( x) ? 0( x ? 0) 等价于 (2ax ? 1)(ax ?1) ? ( x ? 0) ,即 x ?

1 · 2a
14 分

? 1 ? 1, 1 1 ?? , ??) ,? ? 2a 此时 f ( x ) 的单调递减区间为 (? 得a ? ? 2a 2 ? ?a ? 0.
综上,实数 a 的取值范围是 (??, ? ] U[1, ??) ----------法二: Q f ( x) ? ln x ? a x ? ax, x ? (0, ??)
2 2

1 2

16 分

? f ?( x) ?

?2a 2 x 2 ? ax ? 1 x

由 f ( x ) 在区间 (1, ??) 上是减函数,可得

?2a 2 x2 ? ax ? 1 ? 0 在区间 (1, ??) 上恒成立.----------------------------------8
① 当 a ? 0 时, 1 ? 0 不合题意 ---------------------------------10

1 ? 1 ? a ? 或a ? 0, ?1 ? ? ?a ? 或a ? 0, ? ? 1, 4 ?? ② 当 a ? 0 时,可得 ? 4a 即? 4 2 ? a ? 1或a ? ? 1 ? ? f (1) ? 0 ? ??2a ? a ? 1 ? 0 ? ? 2
--------------------------------- 14 注:发现必过定点(0,1)解题亦可

1 ? a ? (??, ? ] U[1, ??) 2

----------------------------------16

20. (Ⅰ)∵ f ( x) 为偶函数,∴ f (? x) ? f ( x) ,∴ bx ? 0 ,∴ b ? 0

1 ,∴函数 g ( x) 为奇函数;??(4 分) a2 x bx ? 1 ? x 得方程 a2 x2 ? bx ? 1 ? 0(*)有不等实根 (Ⅱ)⑴由 g ( x) ? 2 a x ? 2b
∴ g ( x) ? ?
2 2 ∴△ ? b ? 4a ? 0 及 a ? 0 得

b b b ? ?1或 ? ?1 ? 1即 ? 2a 2a 2a

又 f ( x) 的对称轴 x ? ?

b ? ?? 1,1? 2a

故 f ( x) 在(-1,1)上是单调函数……………………………………………(10 分) ⑵ x1 , x2 是方程(*)的根, ∴ a2 x1 ? bx1 ? 1 ? 0 ∴ bx1 ? ?a2 x1 ? 1 , 同理 bx2 ? ?a 2 x2 ? 1 ∴ f ( x1 ) ? ax12 ? bx1 ? 1 ? ax12 ? a2 x12 ? (a ? a 2 ) x1
2

2

2

2

同理 f ( x2 ) ? (a ? a2 ) x2

2

?a ? 0 ?a ? 0 ? 要使 x3 ? x1 ? x2 ? x4 ,只需 ? f ( x1 ) ? 0 即 ? ,∴ a ? 1 2 a ? a ? 0 ? ? f (x ) ? 0 2 ? ?a ? 0 ?a ? 0 ? 或 ? f ( x1 ) ? 0 即 ? ,解集为 ? 2 ? f ( x ) ? 0 ?a ? a ? 0 2 ?
故 a 的取值范围 a ? 1 ??(16 分)


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