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11力学竞赛辅导材料力学(实验)


? 实验应变分析专题 一. 电阻应变计法的基本原理
★转换原理及电阻应变片:

导体在一定的应变范围内, 其电阻改变与导体的线应变成正比. 材料的灵敏系数:
? R ?R K? R ? R ?l ? l

?R ? K? R

电阻应变片:

a
l

/>电阻应变片的基本参数是: 灵敏度系数 K、电阻值 R、标距 l 、宽度 a. 当测量某一点的应变, 应选择尽可能小的的应变片: 当需要测不均匀材料 (如混凝土)的应变时, 则应选用足够大的应变片,以得到平均应变值.
2

★应变电桥 (惠斯顿电桥): UBD : 输出电压

B
R1
I1

R2

U BD ? U AB ? U AD ? R1 I1 ? R4 I 4

A
I4

C
R4
R3

U BD



I1 ?

U AC R1 ? R2

I4 ?

U AC R3 ? R4

D

? R1 R4 ? ? U BD ? U AC ? ? ?R ?R R3 ? R4 ? 2 ? 1 ? ? ? R1 R3 ? R2 R4 U BD ? U AC ? ? ( R ? R )( R ? R ) ? ? 2 3 4 ? ? 1
R1 R3 ? R2 R4

U AC
当UBD = 0 称 “电桥平衡”. 此时有:

若上述的4个电阻为应变片, 则受力前, 电桥时平衡的, 而输出电压UBD = 0 . 若受力后各个电阻应变片的电阻分别改变了?Ri , 则经过计算及分析可得:
3

B
R1
I1

R2

? R ?R ? R3 ?R1 ? R2 ?R4 ? R4 ?R2 ? ? U BD ? U AC ? 1 3 ? ? ( R1 ? R2 )( R3 ? R4 ) ? ?

A
I4

C
R4
R3

U BD

若上述4个应变片的电阻值均等于R. 则有:
U BD ? U AC ?

D

??R1 ? ?R3 ? ? ??R2 ? ?R4 ?
4R
?R ? K? R



可知:

U AC

U BD ?

U AC K ?? 1 ? ? 3 ? ? 2 ? ? 4 ? 4

在确定好应变读数值?r 与电桥输出电压值UBD的对应关系后可有

? r ? ?? 1 ? ? 3 ? ? 2 ? ? 4 ?
按上述原理制成的仪器,称为电阻应变仪.
4

B
R1
I1

全桥电路与 半桥电路:
R2

A
I4

C
R4
R3

U BD

上述桥路中4个电阻都是应变片, 这样的电 路为全桥测量电路. 如果上述电路中R1 、 R2 是应变片,而R3 、R4 是应变仪内的 “标 准电阻”.( 标准电阻阻值是不变化的), 这 样的电路为半桥测量电路. 半桥电路中, 标准电阻R3 = R4 = R?, 但?R3 = ?R4 = 0 . 经过计算分析可得:

D

U AC

U BD ?

U AC K ?? 1 ? ? 2 ? 4

应变仪上读数有:
★:温度补偿片与温度补偿电路

? r ? ?1 ? ? 2

实测时, 应变片是粘贴在受力构件上的, 如果温度发生了变化, 因应变片 的线胀系数与构件一般不同, 且应变片的电阻值也会因温度变化而改变, 所以测得的应变值含有温度变化的影响, 不能真实反映因构件受力而引起 的应变值, 故务必要消除温度变化带来的影响. 5

1. 单臂测量与温度补偿电路

F
R1

图示为半桥测量电路, 应变片R1 上因受力和温度影响变 ? 形,其应变值为1 ? ? 1F ? ? T 应变片R2是与R1 相同的应变片, 粘 贴在同样材料,但不受力的试件上, 因温度影响而变形, 其应变值为
R2

B
R1

? 2 ? ?T
C

A

R2
R4
R3

U BD

由半桥测量电路 应变仪上读数有:

F

D

? r ? ?1 ? ? 2 ? ?1
U AC

F

6

2. 半桥温度自动补偿电路

F

图示为半桥测量电路, 参数相同的应变片R1 与R2 如图 互相垂直粘贴在同一 单向应力状态的构件上. 应变片R1同前, 其应变值为

R2

?1 ? ?1 ? ?T
F

R1
R1

B
R2

应变片R2因材料的泊松效应及温度, 应变值为 ? 2 ? ? ??1F ? ? T
C

A

U BD

由半桥测量电路 应变仪上读数有:

F

R4

R3

D

? r ? ? 1 ? ? 2 ? ?1 ? ? ?? 1

F

U AC

这种电路, 使得测量的灵敏度略有提高.
7

3.全桥测量偏心拉伸电路 如果只测量由于轴向拉伸引起的应变可采用如图示的连接.
F



? r ? ?? 1 ? ? 3 ? ? 2 ? ? 4 ?
? r EA
2

? r ? ? 1F ? ? 1 M ? ? T ? ? 3 F ? ? 3 M ? ? T ? ? T ? ? T ? ? 1F ? ? 3 F ? 2? F
R3

R1

由拉压胡克定律

F ? ? F EA ?

F
A

R1

如果只测量由于偏心引起的弯曲应变可将图示中R3与R2在桥 臂中的接线对换. B 由 ? r ? ?1 ? ? 3 ? ? 2 ? ? 4

?

?

R4 R2
D

C U BD

? r ? ? 1F ? ? 1 M ? ? T ? ? 3 F ? ? 3 M ? ? T ? ? T ? ? T ? ? 1 M ? ? 3 M ? 2? M
?M ?
e?

?r
2

? M ? E? M ?

M Fe ? W W

U AC

EW? r 2F

8

例1. 一圆轴直径为d , 为测定材料的剪切模量G, 在直径两端的表面上各贴有 与轴成450 的电阻应变片两片, 如图所示. 试问: 如何选用这些应变片(可用全 部或部分应变片, 但不另备补偿块. 请写明加载、接线方式及计算公式.
R4

R3

(1) 全桥测量电路

T

T
R1
R2

?1 ? ? n ? ?T

? 2 ? ?? n ? ? T ? 4 ? ?? n ? ? T

? 3 ? ? n ? ?T

? r ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? 4? n
B
R1
R2

由应变转换公式
?? ?
C U BD
0

?x ? ?y 2

?

?x ? ?y 2

cos 2? ?

? xy 2

sin2?

A
R4
R3

? 135 ? ? n ?

? xy
2

? ? r ? 4? n ? 2? xy
G?

? xy ?

?r
2

D


U AC

? xy

T 16T ? ? W p ?d 3

? xy 32T ? ? xy ?d 3? r
9

R4

R3

T

T
R1
R2

(2) 半桥测量电路
?1 ? ? n ? ?T
? 2 ? ?? n ? ? T

? r ? ? 1 ? ? 2 ? 2? n
B
R1
R2

? 135 ? ? n ?
0

? xy
2

? ? r ? 2? n ? ? xy

? xy ? ? r

A
R4
R3

C U BD

? xy

T 16T ? ? W p ?d 3

? xy 16T G? ? ? xy ?d 3? r

D

这里可知, 全桥的测量精度比半桥大一倍.
U AC

10

例2. 在受轴向拉伸和扭转组合的圆截面轴上, 试用应变仪分别测出拉伸 主应变和扭转主应变, 并计算轴上危险点的主应力. 要求:

(1) 用图表示应变片粘贴的部位和方向(片数自定) ; (2) 画出电桥线路图; (3) 写出应变仪读数与所测应变的关系; (4) 用测得的仪器上的读数表达 轴上危险点的主应力的大小和方向. 解: a. 测拉伸(用半桥且 不要补偿块)

P
MT

R3

R4 R1 R2

MT

P

? ra ? ? 12 ? ? 34

?R ? K? R

R2 R1

B
R3

? 12 ?
R4

?R1 ? ?R2 1 ? ?R ?R2 ? 1 ? ?R1 ?R2 ? ? ? 1? ? ?? ? ? K ? R1 ? R2 ? K ? 2 R 2R ? 2K ? R R ?

A
R R

C U BD

D

? 34

U AC

1 ?? 1 ? ? 2 ? ? 1 ?? 1 P ? ? T ? ? 2 P ? ? T ? 2 2 1 ? ?? 1 P ? ? 2 P ? ? ? T ? ? P ? ? T 2 1 1 ? ?? 3 ? ? 4 ? ? ?? ??1 P ? ? T ? ?? 2 P ? ? T ? 2 2 1 ? ? ? ?? 1 P ? ? 2 P ? ? ? T ? ? ?? P ? ? T 2 ?

11

P
MT

R3

R4 R1 R2

MT

P

? ra ? ? 12 ? ? 34
? 12 ? ? P ? ? T

R2 R1

B
R3

R4

? ra ? ? 12 ? ? 34 ? ?1 ? ? ?? P
C U BD

? 34 ? ? ?? P ? ? T

A
R R

(b) 测扭转主应力
R3

R4

D

P
U AC

MT

R2

R1

MT

P

前面一例已做出, 如果是全桥线路: 如果是半桥线路:

? rb ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? 4? M

T

? rb ? ? 1 ? ? 2 ? 2? M

T

12

(4) 用测得的仪器上的读数表达轴上危险点的主应力的大小和方向.
P
MT
R3

R3

R4

MT

? ra ? ? 12 ? ? 34 ? ?1 ? ? ?? P
P

?P ?

R1 R2

? rb ? ? 1 ? ? 2 ? 2? M
对于拉伸

T

?M ?
T

? rb
2

? ra 1? ?

R4

? x ? E? P ?

P

MT

R2

R1

MT

E? ra 1? ?

P

对于扭转 由应变转换公式
?? ? ?x ? ?y 2 ? ?x ? ?y 2 cos 2? ? ? xy 2 sin2?

? M ? ? 45 ? ?
T 0

? xy
2

?

? rb
2

? xy ? ?? rb

? xy ? G? xy ? ?

E? rb 2?1 ? ? ?

2 2 2 ? max ? x ?x E? ra E 2? ra E 2? rb E 2 2 2 ? ? ? ? xy ? ? ? ? ? ra ? ? ra ? ? rb 2 2 ? min 2 4 2?1 ? ? ? 2?1 ? ? ? 4?1 ? ? ? 4?1 ? ? ?

?

?

?1 ?

E 2 2 ? ra ? ? ra ? ? rb 2?1 ? ? ?

?

?
tan? ? ?

?2 ? 0

2? xy

?3 ?

E 2 2 ? ra ? ? ra ? ? rb 2?1 ? ? ?

?

?

?x

?

? rb ? ra
13

例3. 图示所示传感器, AB和CD为铜片, 其厚度为h, 宽为b, 长为l , 材料的弹性 模量为E, 它们在自由端与刚性杆BD固接. (1) 试求截面K – K 的轴力和弯矩; (2) 如果采用电测法测量截面K – K 的轴力和弯矩, 试确定贴片与接线的方案 (选择测量精度较高的方案)并建立由测试应变表示的内力表达式.

b
l 3

(第五届力学竞赛试题)
C

A
K

解:

a

K

(1) 由整体平衡及两铜片相同的弯 曲变形(不考虑轴向变化), 可推得 A、C处水平力均等于F/2. 取AB片分析受力

l

h
B D
F 2

FA

F
A

M A ? MB ?
MA

Fl 2

A



?B ? 0
EI
Fl 4 Fl 4

? F ?l 2 ? M B l ? 0 2
2 EI
B
F 2

? MB ? MA ?

MB

B

F 2

MB

FB

FB

14

FA
A

MA ?
MA

Fl 4

?m

A

?0

? MK ?

F l Fl ? ? ?0 2 3 4

MK ?

Fl 12

F 2

l 3

整体分析受力 同理可分析DC片得知
MC ? M A ? Fl 4

K
MK

F 2

?m
FC

C

?0

FA
F 2

FK

b
MA
l 3

F ? a ? M C ? M A ? FA ? b ? 0
MC

A
K

F 2

C

Fl F ?a ? ? FA ? b ? 0 2
FA ? F ?2a ? l ? 2b

a

K

l

h
B D

? FK ?

F

F ?2a ? l ? 2b
15

例3. 图示所示传感器, AB和CD为铜片, 其厚度为h, 宽为b, 长为l , 材料的弹性 模量为E, 它们在自由端与刚性杆BD固接. (1) 试求截面K – K 的轴力和弯矩; (2) 如果采用电测法测量截面K – K 的轴力和弯矩, 试确定贴片与接线的方案 (选择测量精度较高的方案)并建立由测试应变表示的内力表达式.

l 3

A
K

F ?2a ? l ? FB ? 2b

F ?2a ? l ? FK ? 2b

Fl MB ? 4

MK ?

Fl 12

K

(2)采用全桥测量电路
?1 ? ? F ? ? M ? ?T

贴片如图
? 2 ? ? F ? ? M ? ?T
B
R1
R2

? 3 ? ? 4 ? ?T

MB

B

F 2

a. 测弯矩电路
A

FB

C U BD
R4
R3

R1

R2

D
K
R3

K

R4

U AC

? r ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4

16

B
R1
R2

?1 ? ? F ? ? M ? ?T
C U BD

? 2 ? ? F ? ? M ? ?T

? 3 ? ? 4 ? ?T

A
R4
R3

a. 测弯矩电路 (考虑两侧弯曲应力和拉伸应力符号)

D

? r ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? 2? M
?M ?
M K 6M K E? r ? ? E? M ? W bh2 2

U AC
R1 R2

E? r bh2 ? MK ? 12
K
R3

K

R4

b. 测轴力电路
B
R1
R3

? r ? ? 1 ? ? 3 ? ? 2 ? ? 4 ? 2? F
?F ?
FK FK E? r ? ? E? F ? A bh 2

A
l 3

A
R4 R2

C U BD

K
MK

F 2

D

E? r bh FK ? 2
17

FK

U AC

例4. 平均直径为D、壁厚为? ( ? ≤D/20 ) 的薄壁圆筒承受均匀内压p, 如图示, 为测得圆筒的强度和内压p, 用全桥接线的方式两次测得应变仪的读数为?r1 = 4.5×10-4 和?r2 = 2.5×10-4 . 圆筒材料的弹性模量E = 200GPa, 泊松比为? = 0.25, 许用应力[?] = 120MPa. 试求圆筒的内压, 并校核其强度.

Ra

?a
Rb

解: 由应变仪接线方式可得
?b

p

?b

A

? r 1 ? ? a ? ? b ? 4.5 ? 10?4

?a
R R
B
Ra

? r 2 ? ? a ? ? b ? 2.5 ? 10?4
?4 ? a ? 3.5 ? 10?4 ? b ? 1.0 ? 10

(补偿片)
B

求解可得

由胡克定律
Rb

R

Ra

?a ?
C U BD

A
R
Rb

C

U BD A
R R

1 ?? a ? ?? b ? E

?b ?

1 ?? b ? ?? a ? E

3.5 ? 10? 4 ? 1.0 ? 10? 4 ?

? ? 1 ? ?? a ? b ? 200? 103 ? 4 ?
? ? 1 ? ? ? a? 3 ? b 200? 10 ? 4 ?
18

D

D

U AC

U AC

(1)

(2)

Ra

Rb

p
?a
(补偿片)

3.5 ? 10? 4 ?

? ? 1 ? ?? a ? b ? 200? 103 ? 4 ?
? ? 1 ? ?? b ? a ? 200? 103 ? 4 ?

1.0 ? 10? 4 ?

R R

?b

A

?b

? b ? 40? MPa?

? a ? 80? MPa?

?a
由于贴片的应变方向为该点的应力主方向, 在各向同性材料中,应变主方 向与应力主方向同轴. ?3 ? 0 ? 2 ? ? b ? 40? MPa? ? 1 ? ? a ? 80? MPa?
若按第三强度理论校核
? r 3 ? ? 1 ? ? 3 ? 80?MPa? ? ?? ?

故材料的所测点在该应力状态下满足强度条件, 为安全工作状态.
?a ?
pD 2?

?p?

2?? a ? a ? ? 8.0? MPa? D 10
19

例5. 平均半径为R的开口薄壁圆环, 其开口量为?, 圆环壁厚t < R/10 , 抗弯刚 度为EI. 为使开口闭合, 将此开口圆环置于试验机上缓慢加压. 求: 当使用电测 法监控开口圆环正好闭合时, 试验机所加的压力F, 写出相应应变的读数?d 与 闭合量?的关系式. F 解: 先求?与力F的关系 由对称性, 其一半圆环分析
R
?
?? ? M ? FR cos? ? 0 ? ? ? ? 2? ?
M ? R?1 ? cos? ? ?0 ? ? ? ? ?

O

?2 ?1

弯矩方程:

A

A
F

? 1 ? 2 2 ? ?02 FR cos? ? cos ? ds 2 EI

?

?

B
R1
R2

F
? 2

R

2FR3 ?? EI

? ?cos? ? cos ? ?d?
2 0 2

?

?

? ? 2 FR ? ? ?1 ? ? 4 ? EI ?
F?

3

A
R R

C U BD

1
R

2 EI? ?4 ? ? ?R 3
20

D

?

U AC

例5. 平均半径为R的开口薄壁圆环, 其开口量为?, 圆环壁厚t < R/10 , 抗弯刚 度为EI. 为使开口闭合, 将此开口圆环置于试验机上缓慢加压. 求: 当使用电测 法监控开口圆环正好闭合时, 试验机所加的压力F, 写出相应应变的读数?d 与 闭合量?的关系式. 2 EI? M A ? FR F? F 3

?4 ? ? ?R
1

由弯曲变形
R
?

?

?

M EI

这里
t 2R

1 M A FR ? ? R EI EI

O

?2 ?1

? ?M ?

y

A

A

?

? ? 1M ?

? 2M ? ?

t 2R

由半桥测量电路

? d ? ? 1 ? ? 2 ? ? 1 M ? ? 1F ? ? T ? ?? ? 2 M ? ? ? 2 F ? ? T ? ? 1 M ? ? 2 M

B
R1
R2

F
C U BD

?d ?

t FRt 2 EI? Rt 2? ? t ? ? ? ? ?4 ? ? ?R 3 EI ?4 ? ? ?R 2 EI R
? 1M ?
FRt 2I FRt 2I ?? 1M ? FRt 2 EI
21

A
R R

(另解) A点的弯曲应力极值 同理
? 2M ? ?

FRt 2 EI

? 2M ? ?

D

? ? d ? ? 1 ? ? 2 ? ? 1M ? ? 2 M ?

2? ? t FRt ? ?4 ? ? ?R 2 EI

U AC

? 材料力学中应记忆的概念和公式 轴向拉压
横截面上的应力:
斜截面上的应力与 横截面应力关系:

??

FN A

? ? ? ? ?1 ? cos 2? ? 2
(胡克定律)
2 N

? ? ? ? sin2? 2
纵向应变
横向应变 功能关系

纵向伸长

FN l ?l ? EA

??

? E

?' ? ???

弹性应变能

F l V? ? 2 EA
2

W ?U

1 ? 弹性应变能密度 v? ? ? ? ? ? 2 2E

n F2 l 1 Ni i P? ? ? 2 i ? 1 2 E i Ai

22

圆轴扭转
基本公式: 横截面上的应力: 斜截面上的应力与 横截面应力关系: 相对扭转角
???
l

?? ?

T ?? Ip

? max ?

T?R T ? Ip Wt

? ? ? ? ? sin2?
T dx 0 GI p
?? ?

? ? ? ? cos 2?
?? T ?l GI p


d? T ? dx GI p

( T在l 长内为常量 )

单位长度扭转角
剪切弹性应变能密度 剪应力互等定理:

1 ?2 v? ? ? ? ? ? 2 2G

在互相垂直的平面上, 剪应力必然成对存在, 且数值相等, 两者垂直于二 23 平面的交线, 方向同指或同背离此交线.

I p ? ?? ? 2dA
D

极惯矩

Wt ?

Ip R

抗扭截面系数.

实心圆轴

R

Ip ?

1 4 1 ?R ? ?D 4 2 32 1 3 1 ?R ? ?D 3 2 16

Wt ?

空心圆轴

Ip ?
Wt ?

1 4 1 ?R 1 ? ? 4 ? ?D 4 1 ? ? 4 2 32
1 3 1 ?R 1 ? ? 4 ? ?D 3 1 ? ? 4 2 16
2?

?

?

?

?

r

R

?

?

?

?

?

薄壁圆筒

I p ? ? R2?Rd? ? 2?R3?
0

R

Wt ? 2?R ?
2

?

?

T 2?r0 ?
2

?

T 2 A0 ?
24

平面弯曲中横截面上弯曲正应力的公式
1. 几何变形
? ?
y

?

Mz ? ? EI z 1

2. 物理方程(胡克定律) 3. 静力学关系

? ? ?E ? E

y

?

?? ?dA? y ? M
A

??

z

Mz y Iz

★: 平面纯弯曲梁上的横截面只存在正应力, 以中性轴为界分为拉力 区和压力区.中性轴过截面的形心.
? min

M

M

x

z
y

? max
25

I z ? ?? y 2dA
A

横截面对z 轴的惯性矩
横截面对y 轴的惯性矩
Wz ? Iz y max

??
??

Mz ? y Iz
My ?z Iy

I y ? ?? z 2dA
A

? max ?

M ? ymax M ? Iz Wz

抗弯截面系数

? 常用截面的轴惯矩:
矩形截面
y

bh3 Iz ? 12
h
z

bh2 Wz ? 6
b2h Wy ? 6
26

b3h Iy ? 12

b

y

Iz ? I y ?

?R 4
4

?

?d 4
64

d

z

Wz ? W y ?

?R 3
4

?

?d 3
32

y

1 1 I z ? I y ? ?R 4 1 ? ? 4 ? ?D 4 1 ? ? 4 4 64

?

?

?

?
?

r

R

1 1 Wz ? W y ? ?R 3 1 ? ? 4 ? ?D 3 1 ? ? 4 z 4 64

?

?

?

平移轴定理: 截面对某一轴的惯性矩, 等于该截面对平行此轴且过质心的 轴的惯性矩加上该截面面积乘以两轴距离的平方.

I Z ? I Zc ? A ? d 2

27

用积分法求弯曲变形
d 2w M ?x? ? 2 dx EI
第一次积分

dw M ?x? ?? ?? dx ? C dx EI
? M ?x? ? w ? ? ?? dx ? C ?dx ? D ? EI ?

第二次积分

如果EI = 常数

EIw?? ? M ? x ?

EIw ? ? ? M ? x ?dx ? C ? EIw ? ?

?? M ? x ?dx ? C ??dx ? D?
28

由梁的约束条件和连续性条件定积分常数

用叠加法求弯曲变形
(一). 载荷叠加法 在小变形的前提下, 挠曲线方程是线性微分方程. 线性微分方程服从叠加原理, 在这里的一个重要应用是:复杂载荷下方程的解是对应的有限简单载荷下解 的叠加. 就是说, 当梁上有若干载荷同时作用时,可分别求出每一个载荷下单 独引起的变形, 把所得的变形叠加即得最终的结果. (二). 逐段刚化求和法 在小变形的前提下, 首先分别计算梁上分解的各段的变形在需求位移处引起 的位移, 然后叠加, 即得最后的结果.在逐段分析中, 除视所研究的梁段发生 变形外, 其余各段均视为刚体. C ?1 B D F2 C A
F2 F1
F1
M ? F1a

A

D
F2

B

C C
F1

C

?2

B

F1

C
F1
29

A

?3

(三). 用叠加法求梁的转角和挠度 几个常用结构简单载荷下最大挠度和转角值,设梁长为l , EI = 常数

M
A B

P
B

Ml ?B ? ? EI
Pl 2 ?B ? ? 2 EI ql 3 ?B ? ? 6 EI

Ml 2 wB ? ? 2 EI

A

Pl 2 WB ? ? 3 EI
ql 4 wB ? ? 8 EI

q
A
A B

M
B

Ml ?A ? 6 EI

Ml ?B ? ? 3 EI

Ml 2 W l ? 2 16EI
Pl 3 ?? 48EI

P
A
B
Pl 2 ? A ? ?? B ? ? 16EI ql 3 ? A ? ?? B ? ? 24EI W
l 2

q
A B

5ql 4 W l ?? 2 384EI
30

★平面 应力状态分析
表现一点应力状态的介质或媒体 — 单元体 单元体: 表现一点应力状态的无限小的闭合多面体. 一般取正六面体.
?y

主平面: 单元体上无切应力的平面称为主平面. 主应力: 主平面上的正应力, 称为主应力.
?z

? yx

? xy

?x

一点的应力状态, 对于正六面体的单元体, 至多有三对主应力.
如果有一对主应力不为零, 称此点的应力状态为单向应力状态; 如果有两对主应力不为零, 称此点的应力状态为平面应力状态; 如果三对主应力都不为零, 称此点的应力状态为空间应力状态.

31

y
?y

任意一点平面应力状态下应力随截面的变化规律

? yx ? xy
?x
? ?

?x

x

?? ?
?? ?

?x ? ?y 2
?x ? ?y 2

?

?x ? ?y 2

cos 2? ? ? xy sin2?

?I ?

? xy ? yx

?y

sin 2? ? ? xy cos 2?

?II ?

1. 注意 ( I ) 、( II ) 式中所设坐标轴x、y 的取向.
2. ?角是所求截面外法线与 x 轴正向的夹角, 以逆时针为正, 顺时针为负. 3. 上面各公式左边各项本身均为代数量.( 含正负号)
32

主应力和主平面

? max ? x ? ? y ? ? x ?? y ? 2 ? ? ? xy ? ? ? ? ? min 2 2 ? ? ?
2



tan 2? 0 ?

2? xy

可得上两个主应力平面法向与x 轴正向的夹角
?0

? y ?? x

和 ?0 ? 2
?? x ?? y ? ? ? ? 2
2 2 ? ? ? xy ? ?

?

最大最小剪应力值.

? max ?? ? min

★ 1. 平面应力状态下的任一点都存在两个互相正交的主平面. 主平面上

剪应力为零, 正应力分别有极大值或极小值.
2. 主平面与最大最小剪应力平面相差450角. 3. 对于空间上的一个点来讲, 平面应力状态下的自由面为应力为零的

主平面. 所以, 一点的主应力总有三个: ?1 、?2 、?3 , 它们的大小
按其代数量值排序.
33

平面 应力状态分析— 图解法(应力圆法)
?? ? ?x ? ?y 2 ?x ? ?y
2

?

?x ? ?y 2

cos 2? ? ? xy sin2?

?I ?

?? ?

sin 2? ? ? xy cos 2?

?II ?

将(I) 式改写为: ? ? ?

? x ?? y
2

?
2

? x ?? y
2

cos 2? ? ? xy sin 2?
2

?I ? ?

?I ? ? ? ?II ?
2

2

? ? ?y ? ? ? ? ??y ? 2 ? ?? ? x ? ? ?? ? ? x ? ? ?2 xy ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ?

?III ?

由于?x 、?y 、?xy 是已知量, (III)式是以 ?? 、?? 为变量的圆周方程.
对比

? x ? a ?2 ? y 2 ? R 2
?? x ?? y ? ? , 0 ? ? ? 2 ? ?

横座标轴为?? 轴, 纵座标轴为?? 轴. 圆心座标为

半径为 R ? ? max

? ? x ?? y ? 2 ? ? ? xy ? ? ? 2 ? ? ?
2

34

?
?y

D

??

x

, ? xy

?

? yx

? xy
?x

??

?? ? ,? ? ? G
?x

2? O 2
C 2? O
B E

?

?

?? 3 , 0?
B1

2? O1

??
? yx
?y

? xy

??1 , 0? ?
A1

C点横座标:

OC ? OB ?

OE ? OB 2 ? x ?? y ? x ?? y ??y ? ? 2 2

D'

??

y

, ? yx

?
2

? 1 ? OA1 ? OC ? CA1
?? x ?? y ? 2 ? ? ? xy ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 3 ? OB1 ? OC ? CB1 ?

半径:

CD ? ?

?CE ?2 ? ? DE ?2
?? x ?? y ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? xy ? ?
2

? x ?? y

? x ?? y
2

?? x ?? y ? 2 ? ? ? xy ? ? ? ? 2 ? ?
2

35

平面应力下应变状态分析的基本公式
应变状态分析较应力状态分析复杂一些, 这里从略. 最基本的结果是: 在小变形的范围内, 一点应变状态的变换公式与此点应力状态的变换公 式是相似的. 在平面应变状态的分析中, 若已知某一点的正应变 和切应变
? x , ? y , ? xy 可得任意方向 ? 的应变公式:
?? ? ?? ? ?x ? ?y 2 ?x ? ?y 2 ? ?x ? ?y 2 cos 2? ? cos 2? ? xy 2 sin2?

sin 2? ?

? xy 2

主应变和应变主方向

? max ? max

?

?x ? ?y 2

? ? x ? ? y ? ? ? xy ? ? ? ? 2 ? ?? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

2

2

tg 2? o ?

? xy ?y ? ?x

若用上述公式求某点最大的伸长应变和所在的方向, 必须已知 ?x 、 ?y 、 ?xy . 但是在实际上 ?x 、 ?y 容易测出 , 而 ?xy 是很难测得的. 所以, 在实验 中, 用仪器直接测定三个方向的正应变, 而用上述公式计算出?x 、 ?y 、 ?xy , 进而计算出 ?max 和?0 . 36

广义胡克定律
运用单向拉压下的胡克定律和泊松效应, 和平面纯剪切下的胡克定律,我 们可得到复杂应力状态下的广义胡克定律.
?y

? yz
?x
?z
?y

? yx

? xy
?x

? zy
? zx ? xz

1 ?x ? ? x ? ? ? y ??z E

?

?

??

? xy ?

? xy
G

1 ? y ? ? y ? ? ?? z ? ? x ? E

?

?

? yz ?
? yz ?

? yz
G

?z ?

1 ?z ? ? ? x ?? y E

?

?

??
E 2?1 ? ? ?

? zx
G

各向同性材料三个常数间的关系式

G?

在各向同性材料及小变形的条件下, 正应力产生正应变, 剪应力产生剪应变.
37

?y

对于平面应力状态

? yx ? xy
?x
?y

?x

?z ? 0

? yz ? 0

? zx ? 0
1 ? y ? ? y ? ?? x E

? xy ? yx

1 ? x ? ? x ? ?? y E

?

? ?

?

?

?z ? ?

?? E

?

x

?? y

? xy ?

? xy
G

或者表达为

E ?x ? ? x ? ?? y 1? ?2

?

?

?y ?

E ? y ? ?? x 2 1? ?

?

?

?z ? 0

? xy ? G? xy

38

?2
?3

在受力点的主平面上只有正应力 则胡克定律用主应力表达为:

?1
?3

?1

?1 ?

1 ?? 1 ? ? ?? 2 ? ? 3 ?? E 1 ?? 2 ? ? ?? 3 ? ? 1 ?? E 1 ?? 3 ? ? ?? 1 ? ? 2 ?? E

?2 ? ?3 ?

?2

平面应力状态下
1 ? 1 ? ?? 1 ? ?? 2 ? E

?1 ?

E ?? 1 ? ?? 2 ? 2 1? ? E ?? 2 ? ??1 ? 2 1? ?

1 ? 2 ? ?? 2 ? ??1 ? E ? ? 3 ? ? ?? 1 ? ? 2 ? E

?2 ?

?3 ? 0
39

体积应变

??

V1 ? V0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 V0

对于各向同性的线弹性材料, 代入广义胡克定律后有,
? ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ?
1 ? 2? ?? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 ? 2? ? x ? ? y ? ? z E E

?

?

为今后使用方便, 将其改写成如下形式:
??
3(1 ? 2? ) ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? m ? ? E 3 K

K?

E 3?1 ? 2? ?
?1 ? ? 2 ? ? 3
3 ?

体积弹性模量(体弹模量)
? x ?? y ??z
3
40

?m ?

平均应力

最大拉应力理论( 第一强度理论)
无论什么应力状态下, 只要最大拉应力达到材料的极限值, 材料就会断裂. 将?b 除以安全因数可得许用应力[ ? ] , 由第一强度理论建立的强度条件是:

? 1 ? ?? ?

最大伸长线应变理论( 第二强度理论)
无论什么应力状态下, 只要最大伸长应变?1达到材料允许的极限值, 材 料就会断裂. 将?b 除以安全因数可得许用应力[ ? ] , 由第二强度理论建立的强度条件是:

? 1 ? ? ?? 2 ? ? 3 ? ? ?? ?

最大切应力理论( 第三强度理论)
无论在什么应力状态下, 只要最大切应力达到材料的屈服极限, 材料就会 发生破坏. 将?s 除以安全因数可得许用应力[ ? ] , 由第三强度理论建立的强度条件是:

? 1 ? ? 3 ? ?? ?

41

畸变能密度理论( 第四强度理论)
无论是什么应力状态,只要畸变能密度vd 达到一极限值, 材料就会屈服而失效. 将?s除以安全因数可得许用应力[?] , 于是, 按第四强度理论得到的材料的 强度条件是:
1 ?? 1 ? ? 2 ?2 ? ?? 2 ? ? 3 ?2 ? ?? 3 ? ? 1 ?2 ? ?? ? 2

?

?

我们可把四个强度理论的强度条件写成如下的统一形式:

? r ? ?? ?
显然有:

?r 称为 “相当应力”.

? r1 ? ? 1 ? r 2 ? ? 1 ? ? ?? 2 ? ? 3 ?
? r3 ? ?1 ? ? 3
1 ?? 1 ? ? 2 ?2 ? ?? 2 ? ? 3 ?2 ? ?? 3 ? ? 1 ?2 2

? r4 ?

?

?

42

?: 四个强度理论的一般使用原则:
在单向、双向及一般的三向应力状态下, 铸铁、石料、混凝土、玻璃等脆 性材料, 通常以断裂的形式破坏, 故宜采用第一和第二强度理论. 而碳钢、 铝、铜等塑性材料, 通常以屈服的形式破坏, 宜采用第三和第四强度理论. 但是, 无论是脆性材料还是塑性材料, 在三向拉应力相近的应力状态中, 都 将以断裂的形式破坏, 故宜采用第一强度理论.在三向压应力相近的应力状 态中, 都将以屈服滑移的形式破坏, 故宜采用第三或第四强度理论. 单向拉压与纯剪切组合下第三强度理论判据: 等截面圆轴弯扭组合下第三强度理论判据: 单向拉压与纯剪切组合下第四强度理论判据: 等截面圆轴弯扭组合下第四强度理论判据:
1 W
? 2 ? 4? 2 ? ?? ?

M 2 ? T 2 ? ?? ?

? 2 ? 3? 2 ? ?? ?
1 W M 2 ? 0.75T 2 ? ?? ?
43

冲击应力(动载荷)
重要参数: 动荷因数: 如图示
h

在冲击过程中机械能 转化为弹性结构的变形能
k
?d ? st

? st
Kd ?

?d
Md ? Kd M

? d ? K d?

P

v
T

?d

?d

P
Kd ? 1 ? 1 ? 2T P? st

B

v

2h Kd ? 1 ? 1 ? ? st

l

EI

1 P 2 1 v ? Fd ? d 2 g 2
Kd v ? l 3 EI ? Pgl

? 无静力作功的一项
v 2 3 EI ? gPl 3 v2 g? st

A

44

45


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