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高二数学轨迹及圆锥曲线综合人教版知识精讲


高二数学轨迹及圆锥曲线综合人教版 高二数学轨迹及圆锥曲线综合人教版 轨迹及圆锥曲线综合
【同步教育信息 同步教育信息】 同步教育信息
一. 本周教学内容 轨迹及圆锥曲线综合 二. 重点、难点 1. 轨迹的求法 (1)直接法 (2)定义法 (3)参数法 (4)转移法 2. 直线与圆锥曲线 l : Ax + By + C = 0

圆锥曲线: F ( x , y ) = 0

? Ax + By + C = 0 2 代入消元: ax + bx + c = 0 ? ?F ( x , y) = 0
当a ≠ 0时 (1) ? < 0 (2) ? = 0 (3) ? > 0

? = b 2 ? 4ac ? 相离 ? 相切 ? 相交

典型例题】 【典型例题】
[例 1] 一动点 P 至直线 x + y = 0 距离的平方等于这动点向 x 轴, y 轴引的垂线与两坐标轴 围成矩形面积,求 P 的轨迹。 (直接法)

2 ∴ x + y + 2 xy = 2 xy
2 2

解: P ( x , y )

(

x+ y

) 2 = xy

xy ≥ 0

x 2 + y 2 = 0 为原点

xy < 0 时 x 2 + y 2 + 4 xy = 0

( y + 2 x + 3 x)( y + 2 x ? 3 x) = 0
∴ 轨迹为两条相交直线 [例 2] Q 为圆 x 2 + y 2 = 4 上的动点,另有点 A( 3 , 0) ,线段 AQ 的垂直平分线交半径 OQ 于 P,当 Q 点在圆周上运动时,求 P 的轨迹。
y

Q P O A x

(定义法) 解:如图 PQ = PA ∴ PO + PA = 2 > 轨迹为椭圆 ( x ?

3 = OA

3 2 y2 =1 ) + 1 2 4 [例 3] a ∈ R 求两直线 y ? ax ? 2( a + 1) = 0 与 ay + x + 2( a ? 1) = 0 的交点的轨迹方程。
解:

? ? 2[(a 2 ? 1) + 2a ] x= ? y ? ax ? 2(a + 1) = 0 ? ? 1+ a2 (参数法) ? x2 + y2 = 8 ?? 2 ?ay + x + 2(a ? 1) = 0 ? y = ? 2[(a ? 1) ? 2a ] ? 1+ a2 ? y?2 y?2 y?2 ? 1) = 0 (交轨法) a = 代入 y + x + 2( x2 + y2 = 8 x+2 x+2 x+2 2 2 [例 4] 求双曲线 x ? y = 2 关于直线 y = ( 2 ? 1) x 的对称的曲线方程。
(转移法) 解:设 P ( x 0 , y 0 ) 在双曲线上关于直线对称的为 Q ( x , y )

? y ? y0 = ?( 2 + 1) ? ∴ ? x ? x0 ?( y + y ) = ( 2 ? 1)( x + x ) 0 0 ?

? 2 ( x + y) ? x0 = ? 2 2 2 代入 x0 ? y 0 = 2 ? ? y = 2 ( x ? y) ? 0 ? 2

1 2 1 ( x + 2 xy + y 2 ) ? ( x 2 ? 2 xy + y 2 ) = 2 xy = 1 2 2 x2 [例 5] 双曲线 ? y 2 = 1 的两个焦点为 F1、F2,如图,垂直于 x 轴的直线交双曲线右支于 3
P、Q,求 F1P 与 F2Q 的交点 M 的轨迹。
y M P

F1

O

F2 Q

x

x 2 解:设 P ( x0 , y 0 ) , Q ( x0 , ? y 0 ) 且 0 ? y 0 = 1 3 y0 ∴ l PF1 : y = ( x + 2) x0 + 2

2

l QF2 : y =

? y0 ( x ? 2) x0 ? 2
2

x 1? 0 2 ? y0 2 相乘: y = 2 ( x 2 ? 4) = 2 3 ( x 2 ? 4) x0 ? 4 x0 ? 4 16 1? 2 2 3x ( x 2 ? 4) 相除: x0 x = 4 代入上式 y = 16 ?4 x2 x2 y2 4 ∴ + =1 x1 > 3 x ∈ (0 , ) 右半个椭圆 16 4 3 3 3 x2 y2 [例 6] P 为双曲线 2 ? 2 = 1 上任一点,F1、F2 是双曲线的焦点,从 F1 作 ∠F1 PF2 的角平 a b
分线的垂线,垂足为 Q,求 Q 的轨迹。

y P F1 O

F2

x

Q

K
(定义法) 延长 PF 交 F1Q 于 K ∵ PQ 为 ∠F1 PF2 的角平分线且 PQ ⊥ F1Q ∴ F2 K = PK ? PF2 = 2a 连 OQ Q 为 F1K 中点 O 为 F1F2 中点

∴ PF1 = PK

// ∴ OQ = =

1 F2 K 2

∴ OQ = a [例 7] 椭圆 C:

∴ 轨迹为 x 2 + y 2 = a 2

x2 y2 + = 1 试确定 m 的取值范围,使得对于直线 l : y = 4 x + m ,椭圆上 4 3

有不同的两点,关于该直线对称。

1 ? ?y = ? 4 x + n ? 解: l AB : ? 2 2 ?x + y =1 ?4 3 ?

13 x 2 ? 8nx + 16n 2 ? 48 = 0 (1)

13 13 , ) 2 2 x + x 2 8n 1 y1 + y 2 1 1 1 24 1 由(1)式 1 = ? = (? x1 + n)(? x 2 + n) = n? 2 13 2 2 4 4 2 13 2 13 在 y = 4x + m n=? m 4 13 13 13 2 13 2 13 <? m< ∴ m ∈ (? , ) ∴ ? 2 4 2 13 13 x ? 1 ? ?y = ? 4 + n x + x2 4 4 ? ?y = ? x + n ? 1 = n ? x = ( n ? m) 4 ? 2 ? 2 2 13 17 ?x + y =1 ? y = 4x + m ? ?4 3 ? 4 4 m 2 9m 2 ∴ ( n ? m) = n ∴ 交点 ( ?m , ? 3m) 在椭圆内 + <1 17 13 4 3 [例 8] 直线 y = ax + 1 与双曲线 3 x 2 ? y 2 = 1 交于 A、B,若以 AB 为直径的圆过原点,求 a
? > 0 ? n ∈ (?
的值。

? y = ax + 1 ? 2 2 ?3x ? y = 1

(3 ? a 2 ) x 2 ? 2ax ? 2 = 0

OA ⊥ OB ∴ x1 x 2 + y1 y 2 = 0 x1 x 2 + (ax1 + 1)(ax 2 + 1) = 0 ?2 2a (1 + a 2 ) ? + a 2 + 1 = 0 ∴ a = ±1 2 3?a 3a [例 9] 抛物线 y 2 = 4 x 上两定点 A、 (A 在 x 轴上方, 在 x 轴下方) 为焦点, AF = 2 , B B F
AB 为直径过原点

BF = 5 ,P 在抛物线 AOB 这一段上一点,求 S ?PAB 面积最大值。 由已知 F (1 , 0) 准线 x = ?1 AF = 2 BF = 5
AB = 3 5
2

∴ xA + 1 = 2 ∴ xB + 1 = 5

∴ A(1 , 2) ∴ B ( 4 , ? 4)

l AB : 2 x + y ? 4 = 0

y0 , y0 ) 为抛物线上点 y 0 ∈ ( ? 4 , 2) 4 2 y0 + y0 ? 4 ( y 0 + 1) 2 ? 9 2 d ( p , l AB ) = = ∴ y 0 = ?1 5 2 5 1 9 27 1 ∴ S ? max = ? 3 5 ? = P ( , ? 1) 2 4 4 2 5 P(

d max =

9 2 5

模拟试题】 【模拟试题】 x2 y2 1. 与椭圆 + = 1 共焦点,且过点 (?2 , 10 ) 的双曲线方程为( 16 25



A.

y2 x2 ? =1 5 4

B.

x2 y2 ? =1 5 4

C.

y2 x2 ? =1 5 3

D.

x2 y2 ? =1 5 3

2. F1、F2 是双曲线 则 ∠F1 PF2 为( A. 钝角 3. α ∈ (

x2 y2 ? = 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足 PF1 ? PF2 = 32 , 9 16
) B. 直角 C. 锐角 D. 以上均有可能 )

π

2

, π ) 方程 x 2 ? sin α + y 2 ? cos α = 1 表示是(

A. 焦点在 x 轴的双曲线 C. 焦点在 x 轴的椭圆
2

B. 焦点在 y 轴的双曲线 D. 焦点在 y 轴的椭圆
2

4. 动点 P 过 B ( 2 , 0) 且与圆 ( x + 2) + y = 1 外切, 则运动圆圆心 P 的轨迹方程为 (



4 2 4 2 2 y =1 B. 4 x ? y = 1( x > 0 ) 15 15 4 2 4 2 2 C. 4 x ? y = 1 ( x < 0) D. x ? 4y2 = 1( x > 0 ) 15 15 2 2 ) 5. 双曲线 8mx ? my = 8 的焦距为 6,则 m = ( 7 A. 1 B. ± 1 C. ? D. 8 9 x2 y2 6. 双曲线 2 ? 2 = 1 ( a > 0 , b > 0 )的渐近线与一条准线所围成的三角形面积是 a b
A. 4 x ?
2

( A.



ab abc 2 2 C. abc D. 2 2c 2 2 7. 已知抛物线 y = 2 x 的焦点为 F,定点 A(3 , 2) 在 y 2 = 2 x 上取动点 P,则 PA + PF
B. 为最小时,P 点坐标为( A. ( ?2 , 2)
2

a 3b c2



B. (1 ,

2)

C. ( 2 , 2)

D. (1 , ? 2 )

8. 抛物线 y = x 上有 A、B、C 三点横坐标依次为 ? 1 、2、3 在 y 轴一点 D 纵坐标为 6, 则四边形 ABCD 为( ) A. 正方形 B. 菱形
2

C. 平行四边形 C. 12 3
2 2

D. 任意四边形 )

9. 等边 ?ABC ,内接于抛物线 y = 2 x , A(0 , 0) 则 S ?ABC = ( A. 3 B. 3 3 D. 无法判断

10. 过定点 A(?4 , 0) 作直线 l 交圆 x + y = 4 于 M、N,P 为 MN 中点,求 P 的轨迹。 11. 过抛物线 y 2 = 4 px ( p > 0) 的顶点 O 作两条互相垂直的弦 OA、OB,求 O 在 AB 上 的射影 H 的轨迹。

试题答案】 【试题答案】
1. A 8. C 10. ?
2

2. B 9. C

3. A

4. B

5. B

6. A

7. C

? y = k ( x + 4) ?x + y = 4
2

(1 + k 2 ) + 8k 2 x + 16k 2 ? 4 = 0

? x + x 2 ? 4k 2 x= 1 = ? ? 2 1+ k 2 ∴ ? (参数法) ? y = k ( x + 4) = k 4 k ? 1+ k 2 ? 2 2 2 消参: x( x + 4) + y = 0 ∴ ( x + 2) + y = 4 在圆内的部分 1 2p 4p 11. 解: l OA : y = kx l OB : y = ? x 代入 A( 2 , ) B (4 pk 2 , ? 4 pk ) k k k y0 ? ?y = x x 2 4 2 0 ? ? ? x0 = 4 pk /( k ? k + 1) 设 H ( x0 , y 0 ) ? ?? 2p ? y 0 = 4 pk (k 2 ? 1) /(k 4 ? k 2 + 1) ( x ? 2 p) ?y = 4 p ? ? ? 4 pk k ? 消 k x 2 + y 2 ? 4 px = 0 ( x ≠ 0) ∴ 轨迹为以 OM 为直径的圆 另有 AB 与 x 轴交点为 M (2 p , 0)
y

A x

O

2p

B


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