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山西省大同一中2014-2015学年高一上学期12月月考数学试卷


山西省大同一中 2014-2015 学年高一上学期 12 月月考数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 1. (3 分)设全集 U={x∈N+|x<6},集合 A={1,3},B={3,5},则?U(A∪B)=() A.{1,4} B.{1,5} C.{2,4} D.{2,5} 2. (3 分)函数 f(x)= A.(﹣2,1) +lg(x+2)的定义域为() C.

B.(﹣2,1]

3. (3 分)已知 a>0 且 a≠1,下列四组函数中表示相等函数的是() A.y=logax 与 y=(logxa) C. 与 y=x
﹣1

B. y=2x 与 y=logaa
2

2x

D.y=logax 与 y=2logax

4. (3 分)用更相减损术求 30 和 18 的最大公约数时,第三次作的减法为() A.18﹣16=6 B.12﹣6=6 C.6﹣6=0 D.30﹣18=12

5. (3 分)已知函数

,若 f(a)=b,则 f(﹣a)=()

A.b

B . ﹣b

C.

D.

6. (3 分)下列函数中值域为(0,+∞)的是() A. B. C. D.

7. (3 分)已知幂函数 y=f(x)的图象过点(3, A. B. ﹣ C. 2

) ,则 log4f(2)的值为() D.﹣2

8. (3 分)执行如图所示的程序框图,若输入的 x,t 均为 2,则输出的 S=()

A.4

B. 5
x

C. 6

D.7

9. (3 分)在下列区间中,函数 f(x)=e +4x﹣3 的零点所在的区间为() A.(﹣ ,0) B.(0, )
3.3

C. ( , )

D.( , )

10. (3 分)三个数 0.99 ,log3π,log20.8 的大小关系为() 3.3 3.3 A.log3π<0.99 <log20.8 B. log20.8<log3π<0.99 3.3 3.3 C. 0.99 <log20.8 l<og3π D.log20.8<0.99 <log3π 11. (3 分)当 x∈(1,2)时,不等式 x﹣1<logax 恒成立,则实数 a 的取值范围为() A.(0,1) B.(1,2) C.(1,2] D.(2,+∞) 12. (3 分)若函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且在(0,+∞)为增函数,又 f(2)=0, 则不等式 ln( )?<0 的解集为() A.(﹣2,0)∪(2,+∞) ∪(0,2) D. B.(﹣∞,﹣2)∪(0,2) (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) C. (﹣2,0)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 6 5 4 3 2 13. (4 分)用秦九韶算法计算 f(x)=9x +3x +4x +6x +x +8x+1,当 x=3 时的值,需要进行 次乘法和次加法运算.

14. (4 分)

则 f(f(2) )的值为.

15. (4 分)已知函数 f(x)=e +|x|,若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是.

|x|

16. (4 分)给出下列四个命题: ①函数 y= 为奇函数;

②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点; ③函数 y=2 的值域是(0,+∞) ;
x

④若函数 f(2x)的定义域为,则函数 f(2 )的定义域为; 2 ⑤函数 y=lg(﹣x +2x)的单调递增区 间是(0,1]. 其中正确命题的序号是. (填上所有正确命题的序号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 40 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (8 分)计算: (Ⅰ) (Ⅱ)lg
2 2

; 8+e
2ln2



18. (8 分)已知集合 A={x|x ﹣2ax﹣8a ≤0}. (Ⅰ)当 a=1 时,求集合?RA; (Ⅱ)若 a>0,且(﹣1,1)?A,求实数 a 的取值范围. 19. (8 分)要使函数 y=1+2 +4 a 在 x∈(﹣∞,1]上 y>0 恒成立,求 a 的取值范围. 20. (8 分)已知 f(x)=2+log3x,x∈,求 y= +f(x )的最大值及 y 取最大值时 x 的值. 21. (8 分)给出 30 个数:1,2,4,7,…,其规律是:第 1 个数是 1,第 2 个数比第 1 个数 大 1, 第 3 个数比第 2 个数大 2,第 4 个数比第 3 个数大 3,依此类推.要计算这 30 个数的和,现 已给出了该问题算法的程序框图(如图所示) : (1)图中①处和②处应填上什么语句,使之能完成该题算法功能; (2)根据程序框图写出程序.
2 2 x x

22. (8 分)已知函数 f(x)=log4(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数 (1)求 k 的值; (2)设 g(x)=log4(a?2 ﹣ a) ,若函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,求实 数 a 的取值范围.
x

x

山西省大同一中 2014-2015 学年高一上学期 12 月月考数学 试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 1. (3 分)设全集 U={x∈N+|x<6},集合 A={1,3},B={3,5},则?U(A∪B)=() A.{1,4} B.{1,5} C.{2,4} D.{2,5} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 由全集 U={x∈N+|x<6},可得 U={1,2,3,4,5},然后根据集合混合运算的法则即 可求解. 解答: 解:∵A={1,3},B={3,5}, ∴A∪B={1,3,5}, ∵U={x∈N+|x<6}={1,2,3,4,5}, ∴?U(A∪B)={2,4}, 故选 C. 点评: 本题考查了集合的基本运算,属于基础知识,注意细心运算.

2. (3 分)函数 f(x)= A.(﹣2,1)

+lg(x+2)的定义域为() C.

B.(﹣2,1]

考点: 函数的定义域及其求法;对数函数的定义域. 专 题: 计算题. 分析: 根据题意可得 ,解不等式可得定义域.

解答: 解:根据题意可得 解得﹣2<x≤1 所以函数的定义域为(﹣2,1] 故选 B 点评: 本题考查了求函数的定义域的最基本的类型①分式型:分母不为 0②对数函数:真 数大于 0,求函数定义域的关键是根据条件寻求函数有意义的条件,建立不等式(组) ,进而 解不等式(组) . 3. (3 分)已知 a>0 且 a≠1,下列四组函数中表示相等函数的是() A.y=logax 与 y=(logxa) C. 与 y=x
﹣1

B. y=2x 与 y=logaa
2

2x

D.y=logax 与 y=2logax

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,判断函数的定义域与对应关系是否相同即可. 解答: 解:A:y=logax 的定义域为(0,+∞) , ﹣1 y=(logxa) 的定义域为(0,1)∪(1,+∞) ; 故不相等; B:y=2x 的定义域为 R, 2x y=logaa =2x 的定义域为 R; 故相等; C: 的定义域为(0,+∞) ,

y=x 的定义域为 R; 故不相等; D:y=2logax 的定义域为(0,+∞) , 2 y=logax 的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) ; 故不相等. 故选 B. 点评: 本题考查了函数相等的判断,属于基础题. 4. (3 分)用更相减损术求 30 和 18 的最大公约数时,第三次作的减法为( )

A.18﹣16=6

B.12﹣6=6

C.6﹣6=0

D.30﹣18=12

考点: 辗转相除法. 专题: 计算题. 分析: 根据更相减损术:用较大的数字减去较小的数字,得到差,仍用差和减数中较大的 数字减去较小的数字,这样依次做下去,等做到减数和差相等时,即可得到答案. 解答: 解:由题意得,30﹣18=12, 18﹣12=6, 12﹣6=6, 6﹣6=0, 所以第三次作的减法为:12﹣6=6, 故选:B. 点评: 本题考查更相减损术,熟练掌握更相减损术求最大公约数的方法和步骤是解答本题 的关键.

5. (3 分)已知函数

,若 f(a)=b,则 f(﹣a)=()

A.b

B . ﹣b

C.

D.

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 f(x)的表达式,利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可. 解答: 解:∵函数 ,

∴f(﹣x)=



∴函数 f(x)为奇函数, ∴f(﹣a)=﹣f(a)=﹣b, 故选:B. 点评: 本题主要考查函数值的计算,利用函数特点,判断函数是奇函数是解决本题的关键. 6. (3 分)下列函数中值域为(0,+∞)的是() A. B. C. D.

考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据 x 的范围、利用基本函数的性质、基本不等式,求出每个函数的值域,从而得 出结论.

解答: 解:∵

≠0,∴y=

≠1,∴y=

的值域不是(0,+∞) ,故排除 A.

∵x>0 时,y=x+ ≥2, 故 y=x+ (x>0)的值域为 D. (2,+∞)

考点: 函数恒成立问题. 分析: 根据二次函数和对数函数的图象和性质,由已知中当 x∈(1,2)时,不等式 x﹣1< logax 恒成立,则 y=logax 必为增函数,且当 x=2 时的函数值不小于 1,由此构造关于 a 的不等 式,解不等式即可得到答案. 解答: 解:∵函数 y=x﹣1 在区间(1,2)上单调递增, ∴当 x∈(1,2)时,y=x﹣1∈(0,1) , 若不等式 x﹣1<logax 恒成立, 则 a>1 且 1≤loga2 即 a∈(1,2], 故选 C. 点评: 本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点,其中根据二次函数和对数函数的 图象和性质,结合已知条件构造关于 a 的不等式,是解答本题的关键. 12. (3 分)若函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且在(0,+∞)为增函数,又 f(2)=0, 则不等式 ln( )?<0 的解集为() A.(﹣2,0)∪(2,+∞) ∪(0, 2) D. B.(﹣∞,﹣2)∪(0,2) (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) C. (﹣2,0)

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的奇偶性和单调性得到 f(x)在(﹣∞,0)上也是增函数,由不等式 ln( ) ?<0 得到 xf(x)>0.分类后可得不等式的解集. 解答: 解:∵奇函数的图象关于原点对称,且 f(x)在(0,+∞)为增函数, 则 f(x)在(﹣∞,0)上也是增函数, 又 f(2)=0, ∴f(﹣2)=0. 不等式 ln( )?<0 同解于 xf(x)>0. 当 x>0 时,有 f(x)>0,得 x>2; 当 x<9 时,有 f(x)<0,得 x <﹣2. ∴不等式 ln( )?<0 的解集为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) . 故选:D.

点评: 本题考查了函数奇偶性和单调性的性质,考查了数学转化思想方法和分类讨论的数 学思想方法,是中档题. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 6 5 4 3 2 13. (4 分)用秦九韶算法计算 f(x)=9x +3x +4x +6x +x +8x+1,当 x=3 时的值,需要进行 12 次乘法和次加法运算. 考点: 秦九韶算法. 专题: 算法和程序框图. 分析: 在用秦九韶算法计算多项式的值时,计算的乘法的次数与多项式的未知数的最高次 项的指数相同,加法运算的次数在多项式有常数项的条件下与乘法的次数相同,得到结论. 解答: 解:用秦九韶算法计算多项式的值时, 计算的乘法的次数与多项式的未知数的最高次项的指数相同, 6 5 4 3 2 ∵f(x)=9x +3x +4x +6x +x +8x+1 的解析式为 6 次式, ∴一共进行了 6 次乘法运算, 加法运算的次数在多项式有常数项的条件下与乘法的次数相同, ∴一共进行了 6 次加法运算, 由 6+6=12 得, 共进行了 12 次乘法和次加法运算, 故答案为:12 点评: 本题考查用秦九韶算法进行求多项式的值的运算,不是求具体的运算值而是要我们 观察乘法和加法的运算次数,本题是一个基础题.

14. (4 分)

则 f(f(2) )的值为 2.

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值. 专题: 计算题. 分析: 本题是一个分段函数, 且是一个复合函数求值型的,故求解本题应先求内层的 f(2) , 再以之作为外层的函数值求复合函数的函数值, 求解过程中应注意自变量的范围选择相应的解 析式求值. 解答: 解:由题意,自变量为 2, 2 故内层函数 f(2)=log3(2 ﹣1)=1<2, 1﹣1 故有 f(1)=2×e =2, 1﹣1 即 f(f(2) )=f(1)=2×e =2, 故答案为 2 点评: 本题的考点分段函数,考查复合函数求值,由于对应法则是分段型的,故求解时应 根据自变量的范围选择合适的解析式,此是分段函数求值的特点. 15. (4 分)已知函数 f(x)=e +|x|,若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是(1,+∞) . 考点: 函 数的零点与方程根的关系.
|x|

专题: 数形结合;函数的性质及应用. 分析: 根据函数 f(x)=e +|x|的图象可判断 y=k,与 f(x)的图象的有两个不同的交点, 满足的条件. |x| 解答: 解:∵函数 f(x)=e +|x|,作图如下: ∵ 关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,
|x|

∴y=k,与 f(x)的图象的有两个不同的交点, ∴k>1, 故答案为: (1,+∞) 点评: 本题考查了运用函数的图象解决方程的根的问题,属于中档题,关键是画图象. 16. (4 分)给出下列四个命题: ①函数 y= 为奇函数;

②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点; ③函数 y=2 的值域是(0,+∞) ;
x

④若函数 f(2x)的定义域为,则函数 f(2 )的定义域为; 2 ⑤函数 y=lg(﹣x +2x)的单调递增区间是(0,1]. 其中正确命题的序号是①④⑤. (填上所有正确命题的序号) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 阅读型;函数的性质及应用. 分析: ①通过函数的定义域化简,得到 y= ②比如奇函数 y= 的图象,即可判断; ③由定义域和指数函数的值域,即可判断; ④函数的定义域的定义:自变量 x 的取值集合,即可判断; ⑤运用复合函数的单调性:同增异减,注意函数的定义域. ,再由奇 偶性的定义,即可判断;

解答: 解:①函数首先必须满足 1﹣x ≥0,即﹣1≤x≤1,1≤x+2≤3, 则函数化简为 y= ,定义域为,关于原点对称,且 f(﹣x)=﹣f(x) ,

2

即函数为奇函数,故①对; ②比如奇函数 y= 的图象不过原点,故②错; ③由于 x≠0,则 y≠1,函数 y=2 的值域是(0,1)∪(1,+∞) .故③错;
x

④若函数 f(2x)的定义域为,则 f(x)的定义域为,令 2≤2 ≤4,1≤x≤2, x 则函数 f(2 )的定义域为,故④对; 2 ⑤令 z=2x﹣x (0<x<2) ,则 y=lgz,当 x∈(0,1]时,函数 z 增,同时 y 也是增,故⑤对. 故答案为:①④⑤ 点评: 本题考查函数的性质和运用,考查函数的奇偶性、单调性及运用,以及抽象函数的 定义域问题,是一道易错题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 40 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (8 分)计算: (Ⅰ) (Ⅱ)lg 8+e
2ln2

; .

考点: 专题: 分析: 解答:

对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 函数的性质及应用. 根据对数的运算法则计算即可. 解: (Ⅰ) = + +10

0﹣100= + (Ⅱ)lg +4= .

=

; 8+e
2ln2

=lg( × ×

)﹣

+4=1﹣

点评: 本题考查了对数的运算法则,培养了学生的计算能力和转化能力,属于基础题 18. (8 分)已知集合 A={x|x ﹣2ax﹣8a ≤0}. (Ⅰ)当 a=1 时,求集合?RA; (Ⅱ)若 a>0,且(﹣1,1)?A,求实数 a 的取值范围. 考点: 一元二次不等式的解法;集合的包含关系判断及应用.
2 2

专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)直接把 a=1 代入 x ﹣2ax﹣8a ≤0,然后求解一元二次不等式化简 A,由补集概 念得答案; 2 2 (Ⅱ)求解不等式 x ﹣2ax﹣8a ≤0 化简 A,然后由(﹣1,1)?A 结合两集合端点值间的关系 列不等式组得答案. 2 2 2 解答: 解: (Ⅰ)当 a=1 时,x ﹣2ax﹣8a ≤0 化为 x ﹣2x﹣8≤0, 解得:﹣2≤x≤4. ∴A={x|﹣2≤x≤4}. ?RA={x|x<﹣2 或 x>4}; 2 2 (Ⅱ)由|x ﹣2ax﹣8a ≤0,且 a>0,得﹣2a≤x≤4a. ∴A={x|﹣2a≤x≤4a}. 由(﹣1,1)?A,得 ,解得 a ∴实数 a 的取值范围是 . .
2 2

点评: 本题考查了一元二次不等式的解法,考查了集合包含关系的判断与应用,是基础题. 19. (8 分)要使函数 y=1+2 +4 a 在 x∈(﹣∞,1]上 y>0 恒成立,求 a 的取值范围. 考点: 函数单调性的性质;函数最值的应用. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 由题设条件知 1+2 +4 a>0 在 x∈ (﹣∞, 1]上恒成立, 再由﹣
x x x x x

=﹣ ( ) ﹣ ( )

2x

=﹣ + ,知当 x∈(﹣∞,1]时值域为(﹣∞,﹣ ],分析可得答案.
x x

2

解答: 解:由题意,得 1+2 +4 a>0 在 x∈(﹣∞,1]上恒成立, 即 a>﹣ 在 x∈(﹣∞,1]上恒成立.

又∵﹣

=﹣( ) ﹣( ) =﹣ + ,

2x

x

2

当 x∈(﹣∞,1]时值域为(﹣∞,﹣ ], ∴a>﹣ . 点评: 本题考查函数的性质和应用,将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这 类问题常用的方法. 20. (8 分)已知 f(x)=2+l og3x,x∈,求 y= +f(x )的最大值及 y 取最大值时 x 的值. 考点: 对数函数的值域与最值;二次函数的性质;对数的运算性质.
2 2

专题: 计算题. 分析: 由 f(x)=2+log3x,x∈,可得 y= +f(x )=(log3x) +6log3x+6,且
2 2 2 2 2



1≤x≤3,则 t∈,令 t=log3x,则 t∈,从而有 y=t +6t+6=(t+3) ﹣3,结合二次函数的性质可求 函数的最大值及取得最大值的 x 解答: 解:∵f(x)=2+log3x,x∈, 2 2 2 2 ∴y= +f(x )=(2+log3x) +(2+log3x ) 2 =(log3x) +6log3x+6,令 t=log3x 由题意可得
2 2

即 1≤x≤3,则 t∈

∴y=t +6t+6=(t+3) ﹣3 在上单调递增 当 t=1 即 x=3 时,函数有最大值,ymax=13 点评: 本题主要考查了对数的运算性质的应用,二次函数闭区间上的最值的求解,解答本 题时容易漏掉考虑复合函数的定义域,还把所求的函数的定义域当作 1≤x≤9,而出现最大值为 22 21. (8 分)给出 30 个数:1,2,4,7,…,其规律是:第 1 个数是 1,第 2 个数比第 1 个数 大 1, 第 3 个数比第 2 个数大 2,第 4 个数比第 3 个数大 3,依此类推.要计算这 30 个数的和,现 已给出了该问题算法的程序框图(如图所示) : (1)图中①处和②处应填上什么语句,使之能完成该题算法功能; (2)根据程序框图写出程序.

考点: 伪代码;循环结构. 专题: 综合题. 分析: (1)由已知中参加累加的数共有 30 个,且循环变量 i 的初值为 1,步长为 1,故进 入循环的条件应为 i≤30,再由满足①处条件时,进行循环,即可得到满足条件的结论,而② 的功能显然是累加,由已知中的累加法则,即可得到答案.

(2)由已知中程序的框图,我们可使用“当”型 循环结构来编写程序,根据已知中各变量的初 值及循环体中的语句,可得程序语句. 解答: 解: (1)①处应填 i≤30. ; (2 分) ②处应填 p=p+i; (2 分) (2)程序如下所示(10 分) i=1 p=1 S=0 WHILE i<=30 S=S+p p=p+i i=i+1 WEND PRINT S 点评: 本题考查的知识点是伪代码及循环结构, 其中根据已知中累加运算的规则, 求出满 足 条件的语句,进而再写出对应的程序语句是解答本题的关键. 22. (8 分)已知函数 f(x)=log4(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数 (1)求 k 的值; (2)设 g(x)=log4(a?2 ﹣ a) ,若函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,求实 数 a 的取值范围. 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据偶函数的定义建立方程关系即可求 k 的值; (2)根据函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,即可得到结论. 解答: 解(1)∵函数 f(x)=log4(4 +1)+kx(k∈R) )是偶函数 ∴f(﹣x)=log4(4 +1)﹣kx)=log4( ∴﹣(k+1)=k,则 k=
x
﹣x

x

x

x

)﹣kx=log4(4 +1)+kx(k∈R)恒成立

x



(2)g(x)=log4(a?2 ﹣ a) , 函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,即 方程 f(x)=g(x)只有一个解 由已知得 log4(4 +1)
x

x=log4(a?2 ﹣ a) ,

x

∴log4(

)=log4(a?2 ﹣ a) ,

x

方程等价于



设 2 =t,t>0,则(a﹣1)t ﹣
2

x

2

﹣1=0 有一解 ﹣1,

若 a﹣1>0,设 h(t)=(a﹣1)t ﹣ ∵h(0)=﹣1<0,∴恰好有一正解 ∴a>1 满足题意 若 a ﹣1=0,即 a=1 时,不满足题意 若 a﹣1<0,即 a<1 时,由 当 a=﹣ 3 时,t= 满足题意 当 a= 时,t=﹣2(舍去)

,得 a=﹣3 或 a= ,

综上所述实数 a 的取值范围是{a|a>1 或 a=﹣3}. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,以及对数的基本运算,考查学生的运算能力,综 合性较强.



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