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选修4-1几何证明选讲 配套资料教师用书+教案


选修 4-1 几何证明选讲 第一节 平行截割定理与相似三角形

内容 考纲 传真 A 相似三角形的判定 与性质定理 射影定理 √

要求 B √ C

1.平行截割定理 (1)平行线等分线段定理及其推论 ①定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在 任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等. ②推论:经过梯形一腰中点而平行于底边的直线平分另一腰. (2)平行截割定理及其推论 ①定理:两条直线与一组平行线相交,它们被这组平行线截得的

对应线段成比例. ②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边,截得的三角形与 原三角形的对应边成比例. (3)三角形角平分线的性质 三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度 的比. (4)梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半. 2.相似三角形 (1)相似三角形的判定 ①判定定理 (ⅰ)两角对应相等的两个三角形相似. (ⅱ)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. (ⅲ)三边对应成比例的两个三角形相似. ②推论:如果一条直线与三角形的一条边平行,且与三角形另两 条边相交,则截得的三角形与原三角形相似. ③直角三角形相似的判定定理: 斜边与一条直角边对应成比例的 两个直角三角形相似. (2)直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与斜 边的乘积;斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积.

1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的

打“×”) (1)一组平行线在一条直线上截得的线段相等,则在其他直线上 截得的线段也相等.( )

(2)两组对应边成比例,一组对应边所对的角相等的两三角形相 似.( ) ) )

(3)三角形相似不具有传递性.(

(4)相似多边形不具有面积比等于相似比的平方的性质.(

[解析] 根据平行线等分线段定理知(1)正确;两组对边成比例, 且夹角相等的一组三角形相似,故 (2)错;三角形相似具有传递性, 故(3)错;相似多边形具有面积比等于相似比的平方的性质,故(4)错。 [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×

2.(教材习题改编)如图 1,EF∥BC,FD∥AB,AE=1.8 cm,BE =1.2 cm,CD=1.4 cm,则 BD=________cm.

图1 AF AE 3 [解析] 因为 EF∥BC,所以CF=BE=2, BD AF 3 3 又因为 FD∥AB,所以DC=CF=2,即 BD=2DC=2.1. [答案] 2.1 3.如图 2 所示,∠C=90° ,∠A=30° ,E 是 AB 的中点,DE⊥AB 于 E,则△ADE 与△ABC 的相似比是________.

图2 3 DE 3 [解析] 令 BC=1,则 AE=BE=1,DE= 3 ,所以BC= 3 . [答案] 3 3

4.(2014· 广东高考) 如图 3,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB=2AE,AC △CDF的面积 与 DE 交于点 F,则 =________. △AEF的面积

图3 [解析] 由 CD∥AE,得△CDF∽△AEF,于是 CD ( AE )2=9. [答案] 9 5.(2013· 陕西高考)如图 4,AB 与 CD 相交于点 E,过 E 作 BC 的 平行线与 AD 的延长线交于点 P,已知∠A=∠C,PD=2DA=2,则 PE=________. △CDF的面积 = △AEF的面积

图4 [解析] 因为 PE∥BC,所以∠C=∠PED.

又因为∠C=∠A,所以∠A=∠PED. PD PE 又∠P=∠P,所以△PDE∽△PEA,则 PE = PA , 即 PE2=PD· PA=2×3=6, 故 PE= 6. [答案] 6

考向 1 平行线分线段成比例定理 【典例 1】 (1)如图 5 所示,已知在△ABC 中,∠C=90° ,正方形 DEFC 内 接于△ ABC , DE ∥ AC , EF ∥ BC , AC = 1 , BC = 2 ,则 AF ∶ FC = ________.

图5 (2)(2013· 惠州调研)如图 6,在△ABC 中,DE∥BC,DF∥AC, AE∶AC=3∶5,DE=6,则 BF=________.

图6 EF FG (3)如图 7,在四边形 ABCD 中,EF∥BC,FG∥AD,则BC+AD =________.

图7 [解析] AF EF 1-FC FC 2 (1)∵EF∥BC,∴AC=BC即 1 = 2 得 CF=3,AF

1 AF 1 =3,故CF=2. DE AE 3 (2)由 DE∥BC,得 BC=AC=5.∵DE=6,∴BC=10. BF BD CE 2 ∵DF∥AC,∴BC= AB =AC=5,即 BF=4. EF AF FG FC (3)∵EF∥BC,∴BC=AC,∵FG∥AD,∴AD=AC. EF FG AF FC AC ∴BC+AD=AC+AC=AC=1. 1 [答案] (1)2 (2)4 (3)1 【规律方法】 1.利用平行线分线段成比例定理来计算或证明,首先要观察平 行线组,再确定所截直线,进而确定比例线段及比例式,同时注意合 比性质、等比性质的运用. 2.比例线段常用平行线产生,利用平行线转移比例是常用的证 题技巧,当题中没有平行线条件而有必要转移比例时,也常添加辅助 平行线,从而达到转移比例的目的. 【变式训练 1】 如图 8,等边三角形 DEF 内接于△ABC,且 DE∥BC,已知 AH⊥BC 于点 H,BC=4,AH= 3,则△DEF 的边 长为________.

图8 [解析] 设 DE=x,AH 交 DE 于点 M,显然 MH 的长度与等边 DE AM AH-MH 三角形 DEF 的高相等,又 DE∥BC,则 BC= AH = AH , 3 3- 2 x 2-x x 4 ∴4= = 2 ,解得 x=3. 3 4 [答案] 3 考向 2 相似三角形的判定与性质 【典例 2】 (2014· 辽宁模拟)已知:如图 9,在等腰梯形 ABCD

中,AD∥BC,AB=DC,过点 D 作 AC 的平行线 DE,交 BA 的延长 线于点 E.求证:

图9 (1)△ABC≌△DCB; (2)DE· DC=AE· BD. [解] 证明:(1)∵四边形 ABCD 是等腰梯形, ∴AC=DB. ∵AB=DC,BC=CB,

∴△ABC≌△DCB. (2)∵△ABC≌△DCB, ∴∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB. ∵AD∥BD,∴∠DAC=∠ACB,∠EAD=∠ABC, ∵ED∥AC,∴∠EDA=∠DAC. ∴∠EDA=∠DBC,∠EAD=∠DCB. ∴△ADE∽△CBD. ∴DE∶BD=AE∶CD, ∴DE· DC=AE· BD. 【规律方法】 1.证明乘积式通常改为比例式,然后根据比例式,找出相应的 三角形,证明三角形相似. 2.相似三角形的性质可用来证明线段成比例,角相等;也可间 接证明线段相等.

图 10 【变式训练 2】 如图 10,△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,P 为 AD 上一点,CF∥AB,BP 延长线交 AC、CF 于 E、F,求证:PB2 =PE· PF. 【证明】 连结 PC,易证 PC=PB,∠ABP=∠ACP. ∵CF∥AB, ∴∠F=∠ABP,从而∠F=∠ACP. 又∠EPC 为△CPE 与△EPC 的公共角,

从而△CPE∽△FPC, CP PE ∴FP =PC. ∴PC2=PE· PF. 又 PC=PB,∴PB2=PE· PF. 考向 3 射影定理及其应用(高频考点) 命题视角 射影定理及其应用是历年高考重点. 主要命题角度:(1)证明线段成比例、角相等;(2)证明三角形相 似;(3)证明线段相等,求线段的比值. 【典例 3】 (2013· 湖北高考题改编)如图 11,△ABC 中,∠ACB =90° , CD 为斜边 AB 边的高, O 为 AB 的中点, DE⊥CO, AB=3AD. CE 求EO.

图 11 【思路点拨】 分别在 Rt△ABC,Rt△CDO 中,利用射影定理 求解. [解] ∵AC⊥BC,AB=3AD,O 是 AB 中点, 1 2 1 1 ∴AD=3AB,BD=3AB,OD=6AB,OC=2AB. 1 2 2 2 在 Rt△ABC 中, 利用射影定理得 CD2=AD· BD=3AB· AB = 3 9AB . 1 在 Rt△CDO 中,利用射影定理得 CD2=CE· CO=CE· 2AB,

1 2 2 4 ∴CE· AB = AB ,∴ CE = 2 9 9AB.① 1 1 在 Rt△CDO 中,利用射影定理得 OD2=OE· OC,36AB2=OE· 2 AB, 1 得 OE=18AB.② CE 由①②得EO=8. 【通关锦囊】 1.应用射影定理有两个前提条件:(1)是直角三角形;(2)是斜边 上的高,要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”. 2.证题时,要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常 用的方法. 【变式训练 3】 已知,Rt△ABC 中,∠BAC=90° ,AD⊥BC, 垂足为 D,DF⊥AC,垂足为 F,DE⊥AB,垂足为 E.

图 12 求证:(1)AB· AC=AD· BC; (2)AD3=BC· BE· CF. [解] 证明:(1)∵△ABD∽△CBA, AB BC ∴AD=AC,即 AB· AC=AD· BC. (2)∵由射影定理知 AD2=AE· AB, DF BE AB ED 又由三角形相似可知CF =ED,BC=AD,且 DF=AE,

∴AE· AB· AD=BC· CF· BE,结合射影定理, ∴AD3=BC· BE· CF.

抓住 1 个关键 平行线分线段成比例定理, 射影定理是通过三角 形相似证明的,故掌握好三角形相似的判定是解决本节问题的关键. 做到 2 个防范 1.防止写三角形相似时,两个三角形的顶点不对 应. 2.防止应用射影定理时,线段的位置记错. 熟记 3 种方法 判定三角形相似有三种常用的方法: 1.两组对应角分别相等,两三角形相似. 2.一组对应角相等, 且角的两边对应成比例,两三角形相似. 3.三边对应成比例,两三 角形相似.

规范解答之 16

利用线段的等量关系证明三角形相似

(12 分)(2012· 课标全国卷)如图 13, D, E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F,G 两点.若 CF∥AB,证明:

图 13

(1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD. ——————— [规范解答示例] ——————— (1)因为 D,E 分别为 AB,AC 的中点,所以 DE∥BC.(1 分) 又已知 CF∥AB, 故四边形 BCFD 是平行四边形, 所以 CF=BD=AD.(3 分) 而 CF∥AD, 连结 AF, 所以四边形 ADCF 是平行四边形, 故 CD=AF. 因为 CF∥AB,所以 BC=AF,故 CD=BC.(5 分) (2)因为 FG∥BC,故 GB=CF. 由(1)可知 BD=CF, 所以 GB=BD,所以∠BGD=∠BDG.(8 分) 由 BC=CD 知∠CBD=∠CDB, 又因为∠DGB=∠EFC=∠DBC, 所以△BCD∽△GBD.(12 分) —————— [构建答题模板] ——————— 第一步 证明四边形 BCFD 是平行四边形,从而 CF=AD; ? 第二步 证明四边形 ADCF 是平行四边形,从而 CD=AF; ? 第三步 根据 CF∥AB,得到 BC=AF,从而 CD=BC; ?

第四步 证明∠BGD=∠BDG,∠CBD=∠CDB; ? 第五步 通过证明∠DGB=∠DBC,从而△BCD∽△GBD.

【智慧心语】 易错提示:(1)不能证明四边形 ADCF 是平行四边形,从而得不 到 CD=AF. (2)在证明△BCD∽△GBD 时,不能根据∠BGD=∠EFC,得到 ∠BGD=∠DBC,从而无法证明结论成立. 防范措施:(1)根据平行四边形得到边角之间的关系是证明中常 用的方法,证明时要注意挖掘条件中的平行关系和相等关系. (2)在圆中利用同弧所对的圆周角相等,可把一些看似无关的角 联系起来,达到证明的目的. 【类题通关】 (2014· 河南开封一模)如图 14,在平行四边形 ABCD 中,过点 B 作 BE⊥CD,垂足为 E,连结 AE,F 为 AE 上一点,且∠BFE=∠C.

图 14 (1)求证:△ABF∽△EAD; (2)若∠BAE=30° ,AD=3,求 BF 的长. [解] (1)证明:∵AB∥CD, ∴∠BAF=∠AED. 又∵∠BFE=∠C, ∠BFE+∠BFA=∠C+∠EDA, ∴∠BFA=∠ADE. ∴△ABF∽△EAD. (2)∵∠BAE=30° ,∴∠AEB=60° ,

AB ∴AE=sin 60° , BF AB AB 3 3 又AD=AE,∴BF=AE· AD= 2 . 课后限时自测 [A 级 基础达标练]

一、填空题 1.

图 15 如图 15,在△ABC 中,DE∥BC,EF∥CD,且 AB=2,AD= 2, 则 AF=________. AD AE AF 2 x [解析] 设 AF=x,∵DB=EC=DF,∴ = ,解得 x 2- 2 2 -x =1. [答案] 1 2.如图 16,平行四边形 ABCD 中,AE∶EB=1∶2,△AEF 的 面积为 6,则△ADF 的面积为________.

图 16 [解析] △AEF∽△CDF 且相似比为 1∶3, 由△AEF 的面积为 6, 得△CDF 的面积为 54,又 S△ADF∶S△CDF=1∶3.∴S△ADF=18.

[答案] 18

图 17 3.(2014· 湖北三校联考)如图 17,矩形 ABCD 中,E 是 BC 上的 点,AE⊥DE,BE=4,EC=1,则 AB 的长为________. [解析] 由题意知,AB2=BE· EC=4,∴AB=2. [答案] 2 4.如图 18,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,EF 是中位线,BD 交 EF 于 P,已知 EP∶PF=1∶2,AD=7 cm,则 BC=________cm.

图 18 [解析] EF 是梯形中位线,得 EF∥AD∥BC, PE PE BE 1 PF DF 1 ∴AD= 7 =AB=2,BC=CD=2 又 PE∶PF=1∶2,∴BC=2PF=14. [答案] 14 5.如图 19,在△ABC 中,∠ACB=90° ,M 是 BC 的中点,CD⊥ AM,垂足为 D.则△AMB∽________.

图 19 [解析] 在 Rt△ACM 中,根据射影定理有 CM2=MD· MA, BM MA 又 CM=BM,故有 BM2=MD· MA,即MD=BM,又∠BMD=∠ AMB,所以△AMB∽△BMD. [答案] △BMD 6.

图 20 如图 20,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90° ,且 AB=6,AC= 4,AD=12,则 BE=________. [解析] 由∠B=∠D,∠AEB=∠ACD=90° 得△ABE∽△ADC, AB AE 6 AE ∴AD=AC,12= 4 ,AE=2,BE= AB2-AE2=4 2. [答案] 4 2 7.在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=2,BC=5,点 E,F 分别 AE 3 在 AB,CD 上,且 EF∥AD,若EB=4,则 EF 的长为________. [解析]

如图,过点 D 作 DG∥AB 交 EF 于 H,交 BC 于 G,则 CG=3, DH AE 3 DG=AB=7, 在△DGC 中,HF∥GC, HF DH 3 9 则有CG=DG=7,∴HF=7. 9 23 故 EF=EH+HF=2+7= 7 . [答案] 23 7

8.(2013· 陕西高考)如图 21,弦 AB 与 CD 相交于⊙O 内一点 E, 过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线交于点 P,已知 PD=2DA=2, 则 PE=________.

图 21 [解析] ∵BC∥PE,∴∠C=∠PED. ∵∠C=∠A,∴∠A=∠PED. 在△PED 和△PAE 中, ∠PED=∠A,∠P=∠P, PE PD ∴△PED∽△PAE,∴ PA = PE . ∵PA=PD+DA=3,PD=2, ∴PE2=PA· PD=3×2=6,∴PE= 6. [答案] 6

二、解答题 9.

图 22 如图 22,在△ABC 中,CD⊥AB 于 D,DE⊥AC 于 E,DF⊥BC 于 F. 求证:△CEF∽△CBA. 【证明】 ∵CD⊥AB,DE⊥AC, ∴由射影定理得 CD2=CE· CA,① 又∵CD⊥AB,DF⊥BC, ∴由射影定理得 CD2=CF· CB,② 由①②得 CE· CA=CF· CB, CE CB ∴CF=CA,又∠ECF=∠BCA, ∴△CEF∽△CBA.

图 23 10.已知:如图 23,在△ABC 中,M、E 分别是 AC、AB 上的点, ED AC ME、CB 延长线交于一点 D,且EM=BC.求证:AM=DB. 【证明】 过 M 作 MN∥DC 交 AB 于点 N. AM AC MN EM ∴MN=BC, DB = ED . ED AC ED DB ∵EM=BC,且EM=MN;

AM DB ∴MN=MN,∴AM=DB. [B 级 能力提升练]

一、填空题 1.

图 24 如图 24,在四边形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,EC∥AD,DE∥ BC,若 S△BEC=1,S△ADE=3,则 S△CDE=________. [解析] ∵EC∥AD,∴S△DCE∶S△ADE=EC∶AD, ∵DE∥BC,∴S△BCE∶S△CDE=BC∶ED, 又因为∠ECB=∠DEC=∠ADE, ∠BEC=∠EAD, ∴△BEC∽△EAD,∴EC∶AD=BC∶ED. ∴S△DCE∶S△ADE=S△BCE∶S△CDE,于是 S△CDE= 3. [答案] 2. 3

图 25 (2013· 广东高考)如图 25,在矩形 ABCD 中,AB= 3,BC=3, BE⊥AC,垂足为 E,则 ED=________. BA 3 [解析] 因为 tan∠BCA=BC= 3 ,所以∠BCA=30° ,∠ECD=

90° -∠BCA=60° . 3 3 在 Rt△BCE 中,CE=BC· cos∠BCA=3cos 30° = 2 .在△ECD 中,由余弦定理得 ED= CE2+CD2-2CE· CD·cos∠ECD = 3 3 3 3 1 ? 2 ?2+? 3?2-2× 2 × 3×2

21 = 2 . [答案] 21 2

二、解答题 3.如图 26,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的中点, AE 交 BC 于 F.

图 26 EF (1)求FC的值; (2)若△BEF 的面积为 S1,四边形 CDEF 的面积为 S2,求 S1∶S2 的值. [解 ]

(1)取 BC 中点 H,连结 EH

1 ∵BE=ED,BH=CH,∴EH 綊2CD. 1 ∵AD=DC,∴EH=4AC. FH EH 1 又∵FC= AC,∴FH=4FC. ∴CH=BH=3FH, BF 2FH 1 ∴FC=4FH=2. (2)∵BE=ED,由(1)知 FC=2BF, ∴ S△BEF 1 1 1 = × = . S△BCD 2 3 6

∴S1∶S2=1∶5.

第二节

圆周角定理与圆的切线、直线与圆

内容 A 圆的切线的判定与性质定理 圆周角定理,弦切角定理 相交弦定理,割线定理,切割线定理 圆内接四边形的判定与性质定理

要求 B √ √ √ √ C





1.圆周角定理 (1)圆周角定理:圆周角的度数等于其所对弧度数的一半. (2)圆周角定理的推论 推论 1 同弧(或等弧)上的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的

圆周角所对的弧相等. 推论 2 半圆(或直径)上的圆周角等于 90° ;反之,90° 的圆周角

所对的弦为直径. 2.圆的切线 (1)圆的切线的判定定理: 过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线. (2)圆的切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论 1 过圆心垂直于切线的直线必经过切点. 推论 2 过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心. (3)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线长相等. 3.弦切角定理与推论 (1)定理:弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半. (2)推论:同弧(或等弧)上的弦切角相等,同弧(或等弧)上的弦切 角与圆周角相等. 4.与圆有关的比例线段

相交弦定理

圆内的两条相交弦, 被交点分成的两条线段长的积相 等 PA· PB=PC· PD 从圆外一点引圆的两条割线, 这一点到每条割线与圆 的交点的两条线段长的积相等 PA· PB=PC· PD 从圆外一点引圆的切线和割线, 切线长是这点到割线 与圆交点的两条线段长的比例中项 PA· PB=PC2

割线 定理

切割线定理

1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的 打“×”) (1)相等的圆周角所对的弧也相等.( ) )

(2)在同圆或等圆中同一条弦所对的圆周角相等.( (3)任意一个四边形,三角形都有外接圆.( (4)弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数.( ) )

[解析] 根据圆周角定理的推论知(1)错; (2)中的圆周角相等或互 补故错;只有对角互补的四边形才有外接圆,所以 (3)错;根据弦切 角定理知(4)错. [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×

2. (选修 4-1P40 习题 9 改编)如图 27, 点 P 在圆 O 直径 AB 的延 长线上,且 PB=OB=2,PC 切圆 O 于 C 点,CD⊥AB 于 D 点,则 PC=________,CD=________.

图 27 [解析] 连结 OC,由切割线定理得 PC2=PB· PA=12,∴PC=2 3

1 1 又 OC=2OP,∴∠P=30° ,∴CD=2PC= 3. [答案] 3

3.如图 28,已知⊙O 的弦 AB 交半径 OC 于点 D.若 AD=3,BD =2,且 D 为 OC 的中点,则 CD=________.

图 28 [解析] 延长 CO 交⊙O 于点 E,设⊙O 半径为 r,由相交弦定理 得 CD· DE=AD· DB 1 1 r ( r + 2 2r)=3×2 r=2 2,∴CD= 2. [答案] 2

4.(2014· 湖南高考)如图 29,已知 AB,BC 是⊙O 的两条弦,AO ⊥BC,AB= 3,BC=2 2,则⊙O 的半径等于________.

图 29

[解析] 设 AO,BC 的交点为 D,由已知可得 D 为 BC 的中点, 则在直角三角形 ABD 中,AD= AB2-BD2=1,设圆的半径为 r,延 长 AO 交圆 O 于点 E, 由圆的相交弦定理可知 BD· CD=AD· DE, 即( 2)2 3 =2r-1,解得 r=2. 3 [答案] 2 5.如图 30 所示,圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点,BC=3, 过 C 作圆的切线 l,过 A 作 l 的垂线 AD,垂足为 D,则∠DAC= ________.

图 30 [解析] 由弦切角定理得∠DCA=∠B=60° ,又 AD=⊥l,故∠ DAC=30° . [答案] 30°

考向 1 圆周角与弦切角定理及应用(高频考点) 命题视角 圆周角与弦切角定理及应用是历年高考重点. 主要命 题角度:(1)证明角相等;(2)证明线段相等;(3)证明三角形相似.

【典例 1】 (2014· 江苏高考)如图 31,AB 是圆 O 的直径,C,D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点,证明:∠OCB=∠D

图 31 【思路点拨】 只需证明∠OCB 和∠D 都和∠B 相等. [解] ∵B、C 是圆 O 上的两点, ∴OB=OC. ∴∠OCB=∠B. 又∵C,D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点, ∴∠B,∠D 为同弧所对的两个圆周角. ∴∠B=∠D. ∴∠OCB=∠D. 【通关锦囊】 1.圆周角定理常用的三种转化 (1)圆周角与圆周角之间的转化. (2)圆周角与圆心角之间的转化. (3)弧的度数与圆心角和圆周角之间的转化. 2.圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的 关系,从而证明三角形全等或相似,可求线段的长度或角的大小. 【变式训练 1】 (2012· 江苏高考)如图 32,AB 是圆 O 的直径, D,E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点,连结 BD 并延长至点 C,使 BD =DC,连结 AC,AE,DE.求证:∠E=∠C.

图 32 [解] 连结 AD. ∵AB 是圆 O 的直径, ∴∠ADB=90° , ∴AD⊥BD. 又∵BD=DC, ∴AD 是线段 BC 的中垂线. ∴AB=AC,∴∠B=∠C, 又∵∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角, ∴∠B=∠E, ∴∠E=∠C. 考向 2 圆内接四边形的判定与性质 【典例 2】 如图 33,已知△ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相 交于 H,∠B=60° ,F 在 AC 上,且 AE=AF.证明:

图 33 (1)B、D、H、E 四点共圆; (2)CE 平分∠DEF.

【证明】 在△ABC 中,因为∠B=60° , 所以∠BAC+∠BCA=120° . 因为 AD、CE 分别是∠BAC、∠DCF 的平分线, 所以∠HAC+∠HCA=60° , 故∠AHC=120° . 于是∠EHD=∠AHC=120° . 所以∠EBD+∠EHD=180° , 所以 B、D、H、E 四点共圆. (2)连结 BH,则 BH 为∠ABC 的平分线,得∠HBD=30° . 由(1)知 B、D、H、E 四点共圆, 所以∠CED=∠HBD=30° . 又∠AHE=∠EBD=60° , 由已知可得 EF⊥AD,可得∠CEF=30° . 所以 CE 平分∠DEF. 【规律方法】 1. (1)要证四点共圆, 关键是证四边形 BDHE 的一组对角互补. 所 以要从角的关系入手. (2)证明 CE 平分∠DEF,就是要证∠CED=∠CEF,可从找这两 个角的关系入手. 2.判断四点共圆的步骤 (1)观察几何图形,找到一对对角或一外角与其内对角; (2)判断 四边形的一对对角的和是否为 180° 或判断四边形一外角与其内对角 是否相等;(3)下结论. 【变式训练 2】 如图 34,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点,且 EC=ED.

图 34 (1)证明:CD∥AB; (2)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A,B, G,F 四点共圆. [解] (1)因为 EC=ED, 所以∠EDC=∠ECD. 因为 A、B、C、D 四点在同一圆上, 所以∠EDC=∠EBA, 故∠ECD=∠EBA.所以 CD∥AB. (2)由(1)知,AE=BE,因为 EF=EG,故∠EFD=∠EGC, 从而∠FED=∠GEC.连结 AF,BG,则△EFA≌△EGB, 故∠FAE=∠GBE.又 CD∥AB,∠EDC=∠ECD, 所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180° , 故 A,B,G,F 四点共圆. 考向 3 相交弦定理、切割线定理的应用 【典例 3】 (2014· 课标全国卷Ⅱ)如图 35,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E.证明:

图 35 (1)BE=EC; (2)AD· DE=2PB2. [解] (1)连结 AB,AC. 由题设知 PA=PD,故∠PAD= ∠PDA. 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA, ∠DCA=∠PAB, 所以∠DAC=∠BAD,从而 BE = EC . 因此 BE=EC.

(2)由切割线线定理得 PA2=PB· PC. 因为 PA=PD=DC,所以 DC=2PB,BD=PB. 由相交弦定理得 AD· DE=BD· DC, 所以 AD· DE=2PB2. 【规律方法】 1.(1)连结 AB,AC,由条件易知 PD=PA,得∠PAD=∠PDA, 利用弦切角性质可得∠DAC=∠BAD, 从而有 BE=EC.(2)利用切割线 1 1 定理及 PC=2PA,可得 PB=2PA,进而有 BD=2PA.再结合相交弦定

理 AD· DE=BD· DC 得证. 2.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 (1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论;(2)当比例式(等积式) 中的线段分别在两个三角形中时,可转化为证明三角形相似,一般思 路为“相似三角形→比例式→等积式”. 在证明中有时还要借助中间 比来代换,解题时应灵活把握. 【变式训练 3】 (2014· 南京盐城高三数学二模数学试卷 )如图

36,△ABC 为圆的内接三角形,AB=AC,BD 为圆的弦,且 BD∥AC. 过点 A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点 E,AD 与 BC 交于点 F.

图 36 (1)求证:四边形 ACBE 为平行四边形; (2)若 AE=6,BD=5,求线段 CF 的长. [解] (1)因为 AE 与圆相切于点 A,所以∠BAE=∠ACB. 因为 AB=AC,所以∠ABC=∠ACB. 所以∠ABC=∠BAE. 所以 AE∥BC.因为 BD∥AC,所以四边形 ACBE 为平行四边形. (2)因为 AE 与圆相切于点 A,所以 AE2=EB· (EB+BD),即 62= EB· (EB+5),解得 BE=4. 根据(1)有 AC=BE=4,BC=AE=6.

AC CF 4 x 8 设 CF=x,由 BD∥AC,得BD=BF ,即5= ,解得 x=3,即 6-x 8 CF=3.

掌握 1 个结论 切点与圆心的连线与圆的切线垂直; 过切点且与 圆的切线垂直的直线过圆心; 熟记 3 种方法 与圆有关的比例线段(等积式)的证明常有以下三 种方法:1.利用相似三角形;2.利用切割线定理、相交弦定理; 3.利 用角平分线定理.

规范解答之 17

与圆有关的证明与计算问题

(12 分)(2014· 辽宁高考)如图 37, EP 交圆于 E, C 两点, PD 切圆于 D,G 为 CE 上一点且 PG=PD,连结 DG 并延长交圆于 点 A,作弦 AB 垂直 EP,垂足为 F.

图 37 (1)求证:AB 为圆的直径; (2)若 AC=BD,求证:AB=ED.

——————— [规范解答示例] ——————— (1)∵PD=PG,∴∠PDG=∠PGD. ∵PD 为切线, ∴∠PDA=∠DBA.(1 分) 又∵∠PGD=∠EGA, ∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD. ∴∠BDA=∠PFA.(3 分) ∵AF⊥EP, ∴∠PFA=90° ,∠BDA=90° . ∴AB 是直径.(5 分) (2)连结 BC,DC. ∵由(1)知 AB 是直径, ∴∠BDA=∠ACB=90° .(7 分) ∵在 Rt△BDA 与 Rt△ACB 中,AB=BA,AC=BD, ∴Rt△BDA≌Rt△ACB. ∴∠DAB=∠CBA.∵∠DCB=∠DAB, ∴∠DCB=∠CBA. ∴DC∥AB.(10 分) ∵AB⊥EP, ∴DC⊥EP,∠DCE 为直角. ∴ED 为直径,由(1)得 ED=AB.(12 分) ——————— [构建答题模板] ——————— 第一步 根据弦切角定理证明∠ DBA=∠ PGD,从而证明了∠ BDA =∠ PFA. ?

第二步 根据已知条件 AB⊥EP 及圆周角定理推论得 AB 是圆的直径. ? 第三步 根据(1)中结论,证明 Rt△BDA≌Rt△ACB,从而得∠DAB=∠ CBA. ? 第四步 再利用圆周角定理证明 DC∥AB,从而证明 ED 为直径.

【智慧心语】 易错提示:(1)遇到圆的切线问题时不注意弦切角的转化,导致 无法求解. (2)不会利用 AB⊥EP 这一条件,从而无法入手. 防范措施:(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用 于推出角的关系, 从而证明三角形全等或相似, 可求线段或角的大小. (2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化;关于圆周上的点, 常作直径(或半径)或向弦(弦)两端画圆周角或作弦切角. 【类题通关】 A,B,C,D 四点在同一圆上,BC 与 AD 的延

长线交于点 E,点 F 在 BA 的延长线上.

图 38 EC 1 ED DC (1)若CB=3,DA=1,求 AB 的值; (2)若 EF2=FA· FB,证明:EF∥CD. [解] (1)∵A,B,C,D 四点共圆, ∴∠EDC=∠EBF,又∠AEB 为公共角, ∴△ECD∽△EAB, DC EC ED ∴ AB =EA = EB . DC EC ED EC ED 1 1 1 ∴( AB )2=EA · EB =EB · EA =4· 2=8. DC 2 ∴ AB = 4 . (2)∵EF2=FA· FB,

EF FB ∴ FA =FE. 又∠EFA=∠BFE, ∴△FAE∽△FEB, ∴∠FEA=∠EBF, 又 A, B, C, D 四点共圆, ∴∠DEC=∠EBF, ∴∠FEA=∠EDC, ∴EF∥CD. 课后限时自测 [A 级 基础达标练]

一、填空题 1.一个圆的两弦相交,一条弦被分为 12 cm 和 18 cm 两段,另 一弦被分为 3∶8,则另一弦的长为________. [解析] 设另一弦被分的两段长分别为 3k,8k(k>0),由相交弦定

理得 3k· 8k=12×18,得 k=3,所求弦长为 3k+8k=33(cm) [答案] 33 cm 2.

图 39 (南京市、盐城市 2014 届高三第一次模拟考试)如图 39,AB,CD 9 是半径为 1 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P,若 PC=8, 1 OP=2,则 PD=________.

3 [解析] ∵P 为 AB 中点,∴OP⊥AB,∴PB= r2-OP2= 2 , 3 9 2 又∵PC· PD=PA· PB=PB2=4,由 PC=8,得 PD=3. 2 [答案] 3 3.

图 40 (2014· 陕西高考)如图 40,△ABC 中,BC=6,以 BC 为直径的半 圆分别交 AB,AC 于点 E,F,若 AC=2AE,则 EF=________. [解析] ∵B,C,F,E 四点在同一个圆上, ∴∠AEF=∠ACB,又∠A=∠A AE EF 1 EF ∴△AEF∽△ACB,∴AC=BC,即2= 6 ,EF=3. [答案] 3

图 41 4.(2014· 江南十校联考)如图 41,在圆的内接四边形 ABCD 中, ∠ABC=90° , ∠ABD=30° , ∠BDC=45° , AD=1, 则 BC=________. [解析] 连结 AC,∵∠ABC=90° ,∴AC 为圆的直径,

又∵∠ACD=∠ABD=30° ,∴AC=2AD=2. 又∠BAC=∠BDC=45° .故 BC= 2. [答案] 5. 2

图 42 如图 42 所示,AB 是⊙O 的直径,P 是 AB 延长线上的一点,过 P 作⊙O 的切线,切点为 C,PC=2 3,若∠CAP=30° ,则⊙O 的直 径 AB 等于________. [解析] 连结 OC,则由 PC 是切线知 OC⊥PC.

由∠CAP=30° ,知∠COP=60° , 故∠CPA=30° . ∵PC=2 3. ∴OC=2,∴AB=4. [答案] 4 6.

图 43

(2014· 湖北高考)如图 43,P 为⊙O 外一点,过 P 点作⊙O 的两 条切线,切点分别为 A,B.过 PA 的中点 Q 作割线交⊙O 于 C,D 两 点,若 QC=1,CD=3,则 PB=________. [解析] 由切割线定理得 QA2=QC· QD=4,∴QA=2 则 PB=PA=2QA=4. [答案] 4 7.

图 44 (2013· 重庆高考)如图 44,在△ABC 中,∠ACB=90° ,∠A=60° , AB=20,过 C 作△ABC 的外接圆的切线 CD,BD⊥CD,BD 与外接 圆交于点 E,则 DE 的长为________. [解析] 在 Rt△ACB 中,∠ACB=90° ,∠A=60° , ∴∠ABC=30° . ∵AB=20,∴AC=10,BC=10 3. ∵CD 为切线,∴∠BCD=∠A=60° . ∵∠BDC=90° , ∴BD=15,CD=5 3. 由切割线定理得 DC2=DE· DB,即(5 3)2=15DE,∴DE=5. [答案] 5 8.

图 45 (2013· 广东高考)如图 45, AB 是圆 O 的直径, 点 C 在圆 O 上. 延 长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E.若 AB=6, ED=2,则 BC=________. [解析] 因为 AB 为圆 O 的直径,所以 AC⊥BC. 又 BC=CD,所以△ABD 是等腰三角形,

所以 AD=AB=6,∠DAC=∠BAC. 因为 CE 切圆 O 于点 C,所以∠ECA=∠ABC.又因为∠BAC+∠ ABC=90° ,所以∠DAC+∠ECA=90° ,故 CE⊥AD. 故 CD2=DE· DA=2×6=12,所以 BC=CD=2 3. [答案] 2 3 二、解答题

图 46 9.(2014· 苏、锡、常、镇四市调研)如图 46,⊙O 为四边形 ABCD 的外接圆,且 AB=AD,E 是 CB 延长线上一点,直线 EA 与圆 O 相 切.

CD AB 求证: AB =BE. [解] 证明:连结 AC.∵EA 是圆 O 的切线,∴∠EAB=∠ACB. ∵AB=AD,∴∠ACD=∠ACB.∴∠ACD=∠EAB. ∵圆 O 是四边形 ABCD 的外接圆,∴∠D=∠ABE. ∴△CDA∽△ABE. CD DA CD AB ∴ AB = BE ,∵AB=AD,∴ AB =BE.

图 47 10.(苏州市 2014 届高三调研测试)如图 47,MN 为两圆的公共 弦,一条直线与两圆及公共弦依次交于 A,B,C,D,E, 求证:AB· CD=BC· DE. [证明] 由相交弦定理,得 AC· CD=MC· NC, BC· CE=MC· NC, ∴AC· CD=BC· CE, 即(AB+BC)· CD=BC· (CD+DE), 即 AB· CD+BC· CD=BC· CD+DC· DE. ∴AB· CD=BC· DE. [B 级 能力提升练]

一、填空题 1.

图 48 如图 48 所示, 过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A, B,且 PB=7,C 是圆上一点使得 BC=5,∠BAC=∠APB,则 AB= ________. [解析] 由弦切角定理得∠PAB=∠ACB,又∵∠BAC=∠APB, AB PB ∴△PAB∽△ACB,∴BC=AB,将 PB=7,BC=5, 代入得 AB= 35. [答案] 35

2.(2014· 天津高考)

图 49 如图 49,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点 D,交 BC 于点 E,过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F,在 上述条件下,给出下列四个结论: ①BD 平分∠CBF; ②FB2=FD· FA; ③AE· CE=BE· DE; ④AF· BD =AB· BF. 则 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是

___________________________________________________________ _____________.

[解析] ∵∠BAD=∠FBD= BD ,∠DBC=∠DAC= CD , 又 AE 平分∠CBF ∴∠BAD=∠DAC,∴∠FBD=∠DBC,∴BD 平分∠CBF.结论 AB BD ①正确;易证△ABF∽△BDF,∴AF= BF ,∴AB· BF=AF· BD,结论 AF BF ④正确;由BF=DF,得 BF2=AF· DF,结论②正确. [答案] ①②④ 二、解答题 3.

图 50 (2013· 课标全国卷Ⅰ)如图 50,直线 AB 为圆的切线,切点为 B, 点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆 于点 D. (1)证明:DB=DC; (2)设圆的半径为 1,BC= 3,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径.

[解] (1)如图,连结 DE,交 BC 于点 G. 由弦切角定理,得∠ABE=∠BCE, 又∠ABE=∠CBE, 故∠CBE=∠BCE,所以 BE=CE.

又因为 DB⊥BE, 所以 DE 为圆的直径,∠DCE=90° . 由勾股定理可得 DB=DC. (2)由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC, 3 故 DG 是 BC 边的中垂线,所以 BG= 2 . 设 DE 的中点为 O,连结 BO,则∠BOG=60° , 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30° ,所以 CF⊥BF. 3 故 Rt△BCF 外接圆的半径等于 2 .

选修 4-2 矩阵与变换选修 4-2 矩阵与变换 第一节 二阶矩阵、平面变换与矩阵的乘法

内容 A 考纲 传真 矩阵的概念 二阶矩阵与平面向量 常见的平面变换 矩阵的乘法 √ √

要求 B C





1.矩阵的概念 (1)矩阵:排成的矩形数字(或字母)阵列称做矩阵.组成矩阵的每 一个数(或字母)称为矩阵的元素.

(2)二阶矩阵:2 行 2 列的矩阵称为二阶矩阵.通常记为 2×2 矩 阵. (3)零矩阵:所有元素都为 0 的矩阵叫做零矩阵,记为 0. (4)单位矩阵:矩阵?
?1

0? ?称为单位矩阵.记为 E. ?0 1?

(5)矩阵相等,对于两个矩阵 A、B,只有当 A、B 的行数与列数 分别相等,并且对应位置的元素也分别相等时,A 和 B 才相等,记作 A=B. 2.二阶矩阵与平面向量的乘法
?b11? ?b11? (1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵? ?的乘法规则为[a11 a12] ? ? = ?b21? ?b21?

[a11× b11+a12× b21].
?a11 a12? ?x0? ?a11 a12? ?x0? ?与列向量? ?的乘法规则为? ? ? ?= (2)二阶矩阵? ?a21 a22? ?y0? ?a21 a22? ?y0? ?a11×x0+a12×y0? ? ? ?a ×x +a ×y ?. ? 21 0 22 0?

3.二阶矩阵的乘法 (1)设 A=?
?a1 ? c1

b1? ?a2 b2? ?,B=? ?, d1 ? ? c2 d 2 ?

a1a2+b1c2 a1b2+b1d2? ?a1 b1??a2 b2? ? ? ?? ?=? 则 AB=? . ? ?c1 d1 ??c2 d2 ? ?c1a2+d1c2 c1b2+d1d2 ? ? (2)矩阵乘法满足结合律(AB)C=A(BC),但不满足交换律和消去 律. 4.常见的平面变换 (1)常见的平面变换有恒等变换、伸压变换、旋转变换、反射变 换、投影变换、切变变换. (2)性质:二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直

线(或一点).

1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的 打“×”)
?0? ?0 0? ?都是零矩阵,那么它们相等.( (1)已知 A=? ?,B=? ?0? ?0 0?

)

(2)矩阵?

?0

1? ?为单位矩阵.( ?1 0?

) )

(3)矩阵的乘法满足交换律,AB=BA.( (4) 变 换 ? 换.( )
?1 ?0

0 ? ?p?

?p ? ?? ?=? ? 的 几 何意 义 为 关 于 x 轴的 反 射 变 -1? ?q? ?-q?

[解析] (1)中 A 为列矩阵,B 为二阶矩阵,故(1)错;单位矩阵为
?1 ? ?0

0? ?,故(2)错;矩阵的乘法不满足变换律,AB≠BA,故(3)错. 1? [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ -1? 1 ?对应的变换作用下 2 ?

?1 2. (教材习题改编)求点 A(3,6)在矩阵? ?0
得到的点的坐标________. [解析]

?1 ? ?0

-1 ? 1 2

?3? ? ?=? 1 ?? ?6? 0×3+ ×6

?

1×3+?-1?×6? ?-3? = ? ? 3?,故点 A(3,6)变 ? ? ? ? 2

为 A′(-3,3). [答案] (-3,3)

3.已知点 P(x,y)在矩阵 M 的作用下变换为点 P′(-y,-x), 求矩阵 M. [解 ]
?a11 设 M=? ?a21

a12? ?x? ?-y? ? ?,则 M? ?=? , ? a22? ?y? ?-x? ?

-y? ?a11 a12??x? ? ? ?? ?=? 即? ? ?a21 a22??y? ?-x? ? a ? ?a ∴? a ? ?a
11=0, 12=-1, 21=-1,

? ?a11x+a12y=-y, 即? ?a21x+a22y=-x, ?

∴M=? ?

?0

-1? ? 0? ?

?-1

.

22=0,

4. (南京市、 盐城市 2014 届高三第一次模拟)已知曲线 C: xy=1,

? 22 若矩阵 M=? 2 ?2
C′的方程.

2 -2 2 2

? ?对应的变换将曲线 C 变为曲线 C′,求曲线 ?

[解] 设曲线 C′上一点(x′, y′)对应于曲线 C′上一点(x, y),

? 22 ?2 ?2

2 -2 2 2

??x′? ?x? 2 2 2 2 ?? ?=? ?,∴ 2 x′- 2 y′=x, 2 x′+ 2 y′ ??y′? ?y?

x+y y-x x+y y-x =y,x′= ,y′= ,∴x′y′= · =1, 2 2 2 2 ∴曲线 C′的方程为 y2-x2=2. 5.在直角坐标系中,已知椭圆 x2+4y2=1,矩阵 M=? =?
?0 ?0

1? ?,N ?1 0?

2? ?,求椭圆 x2+4y2=1 在矩阵 MN 作用下变换所得到的图形的 ?1 0?

面积.

[解] MN=?

?0

1??0 2? ?1 0? ?? ?=? ?. ?1 0??1 0? ?0 2?

设(x0,y0)为椭圆 x2+4y2=1 上任一点,它在 MN 的作用下所对 应的点为(x,y),
?x? ?1 则? ?=? ?y? ?0

?x0=x, ? 0??x0? ?x0 ? ?x=x0 ?? ?=? ?,∴? ,即? , y 2??y0? ?2y0? ?y=2y0 y ? 0= ? 2

2 2 2 代入 x2 0+4y0=1,得 x +y =1,∴S=π.

考向 1 几种常见的变换 【典例 1】 (苏北四市 2014 届高三第一次质量检测)设矩阵 M=
?a ? ?0

0? ?(其中 a>0,b>0),若曲线 C:x2+y2=1 在矩阵 M 所对应的变 b?

x2 2 换作用下得到曲线 C′: 4 +y =1,求 a+b 的值. [解] 设曲线 C′:x2+y2=1 上任意一点 P(x,y),在矩阵 M 所 对应的变换作用下得到点 P1(x1,y1), 则?
?ax=x1 0??x? ?x1? ? ?? ?=? ?,即? . ?0 b??y? ?y1? ?by=y1 ? ?a

x2 2 x2 ax2 1 2 又点 P1(x1,y1)在曲线 C′: 4 +y =1 上,所以 4 +y1=1,则 4 +by2=1 为曲线 C′的方程. 又曲线 C′的方程为 x2+y2=1,故 a2=4,b2=1, 因为 a>0,b>0,所以 a+b=3. 【规律方法】 1.本题可先求出曲线 C′在矩阵 M 所对应的变换作用下得到曲

x2 2 线 C′的方程再与方程 4 +y =1 加以比较得出 a,b 的值,也可在曲 线 C′上取两特殊点经阵 M 所对应的变换作用下得到点在曲线 C′ 上,代入 C′方程,求出 a,b 的值. 2.二阶矩阵与线性变换涉及变换矩阵,变换前的曲线方程,变 换后的曲线方程三个要素,知其二可求第三个. 【变式训练 1】 a,b∈R,若 M=?
?

(2014 届苏州市高三调研测试)矩阵与变换已知 a? b 3?
?所对应的变换 TM 把直线 2x-y=3 变换成

?-1

自身,试求实数 a,b. [解] 设?
? ?-1

x′? a??x? ? ? ?? ?=? , ? b 3??y? ?y′? ?

? ?x′=-x+ay, 则? ?y′=bx+3y. ?

∵2x′-y′=3,∴2(-x+ay)-(bx+3y)=3. 即(-2-b)x+(2a-3)y=3. 此直线即为 2x-y=3. ∴-2-b=2,2a-3=-1. 则 a=1,b=-4. 考向 2 矩阵的乘法 【典例 2】
?1 ? ?2

(2014· 江 苏 高 考 ) 已 知矩 阵 A = ?
?

?-1

2?

1 x?

?,B=

?2? ?,向量 α=? ?,x,y 为实数,若 Aα=Bα,求 x,y 的值. -1? ?y ?

1?

[解] 由已知得 Aα=?
?

? -1

-2+2y? 2??2? ? ? ?? ?=? , ? 1 x ??y ? ?2+xy ? ?

Bα=?

?1 ?2

?2+y? ? ?? ?=? ? -1??y ? ?4-y? ?

1??2?

因为 Aα=Bα,所以? ?

?-2+2y? ?2+y? ? ? ? =? ? ?, ?2+xy ? ?4-y?

?x=- , ? ?-2+2y=2+y, 2 故? 解得? ?2+xy=4-y, ? ?y=4,
【规律方法】

1

7 所以 x+y=2.

1.利用矩阵乘法规则进行矩阵与向量的运算. 2.这类题目一般先作矩阵的乘法,再根据矩阵相等列方程组求 解. 【变式训练 2】 已知矩阵 A=? 求向量 α,使得 A2α=β.
?1 1??1 1? ?3 2? ?? ?=? ?, [解] A2=? ?2 1??2 1? ?4 3? ?x? ?3 2??x? ?1? ?? ?=? ?, 设 α=? ?,由 A2α=β 得? ?y? ?4 3??y? ?2? ?3x+2y=1 ?-1? ? 从而? 解得 x=-1,y=2,所以 α=? ?. ? ? 2? ?4x+3y=2 ?1

1? ?1? ?,向量 β=? ?. ?2 1? ?2?

考向 3 矩阵与变换的综合应用(高频考点) 命题视角 矩阵与变换的综合应用是历年高考重点主要命题角

度:(1)二阶矩阵的乘法;(2)矩阵与向量的乘法;(3)平面曲线的变换. 【典例 3】 (2014· 通州高级中学期中试题)变换 T1 是逆时针旋转 π 2的旋转变换,对应的变换矩阵是 M1;变换 T2 对应用的变换矩阵是
?1 1? ?. M2=? ?0 1?

(1)求点 P(2,1)在 T1 作用下的点 P′的坐标; (2)求函数 y=x2 的图象依次在 T1, T2 变换的作用下所得曲线的方 程. 【思路点拨】 (1)根据旋转矩阵的定义 M=?
?cos α ?sin α

-sin α? cos α?

? .求

矩阵 M1.(2)由题中先按 T1 变换,后按 T2 变换,根据变换的几何意义 合起来为 M=M2×M1,这样可计算出矩阵 M,再由变换前曲线上任
?x′? ?x? ?a b??x? ? ? ?? ?= 取一点? ?和变换后曲线上任取一点? , 及矩阵公式 M = ?y′? ?y? ?c d ??y? ? ? ?ax+by? ? ? ?cx+dy ?求解. ? ?

[解 ]

?0 (1)M1=? ?1

-1?

?2? ?0 ?,M1? ?=? ?1? ?1 0?

-1??2? ?-1? ?? ?=? ?, 0??1? ? 2?

所以点 P(2,1)在 T1 作用下的点 P′的坐标是 P′(-1,2). (2)M=M2M1=?
?1 ?1

-1? 0?

?,

?x? ?x0? 设? ?是变换后图像上任一点,与之对应的变换前的点是? ?,则 ?y? ?y0? ?x0? ?x? M? ?=? ?, ?y0? ?y? ? ? ?x0-y0=x, ?x0=y, ? 也就是 即? ?x0=y, ? ? ?y0=y-x,

所以所求曲线的方程是 y-x=y2. 【通关锦囊】 1.二阶矩阵与线性变换的题目往往和矩阵的基本运算相结合命 题.包括二阶矩阵的乘法,矩阵与向量的乘法等. 2.在解决通过矩阵进行平面曲线的变换问题时,要把变换前后

的变量区别清楚,防止混淆. 【变式训练 3】 二阶矩阵 M 对应的变换将点(1,-1)与(-2,1) 分别变换成点(-1,-1)与(0,-2). (1)求矩阵 M; (2)设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m:x-y=4,求 l 的方 程. [解] (1)设 M=?
?a ? ?c ?a ?c

-1? b? ?a b?? 1? ? ? ?,则有? ?? ?=? , ? d? ?c d ??-1? ?-1? ?

b??-2? ? 0? ?? ? =? ?, d ?? 1? ?-2?

? ? ?a-b=-1, ?-2a+b=0, ? 所以 且? ? ? ?c-d=-1, ?-2c+d=-2.

a=1, ? ?b=2, 解得? c=3, ? ?d=4. (2)因为? ?
?x′? ?1 ? ? ?= ?y′? ?3

?1 2? ?. 所以 M=? ?3 4?

x+2y ? 2??x? ? ? ?? ?=? 且 m:x′-y′=4, ? 4??y? ?3x+4y? ?

所以(x+2y)-(3x+4y)=4, 即 x+y+2=0, 它便是直线 l 的方程.

明确 1 种对应 二阶矩阵与平面上的线性变换是一一对应的.

勿忘 2 点注意 1.矩阵的乘法只满足结合律. 2.矩阵乘法 MN 与 NM 的几何意义不同.

规范解答之 18

矩阵变换中参数的求解方法

(10 分)(2013· 福建高考)已知直线:l:ax+y=1 在矩阵 A=?
?1

2? ?对应的变换作用下变为直线 l′:x+by=1. ?0 1? (1)求实数 a,b 的值;
?x0? ?x0? ? ? ? (2)若点 P(x0,y0)在直线 l 上,且 A? ?y0?=?y0?,求点 P 的坐标.

——————

[规范解答示例] ———————

(1)设直线 l: ax+y=1 上任意点 M(x, y)在矩阵 A 对应的变换作 用下的像是 M′(x′,y′). 由? ?
?x′? ?1 ? ? ?= ?y′? ?0 ?x′=x+2y, 2??x? ?x+2y? ? ?? ?=? ?,得? (3 分) 1??y? ?y ? ? ?y′=y.

又点 M′(x′,y′)在 l′上,所以 x′+by′=1, 即 x+(b+2)y=1.
?a=1, ?a=1, ? ? 依题意,得? 解得? (6 分) ? ? ?b+2=1, ?b=-1. ? ?x0=x0+2y0, ?x0? ?x0? ? ? ? ? (2)由 A?y0?=?y0?,得? 解得 y0=0. ?y0=y0, ?

又点 P(x0,y0)在直线 l 上,所以 x0=1. 故点 P 的坐标为(1,0).(10 分) ——————— [构建答题模板] ———————

第一步 利用矩阵变换寻找 x′,y′与 x,y 的关系. ? 第二步 比较系数求 a,b 的值. ? 第三步
?x0? ?x0? 根据 A? ?=? ?列方程组,求 y0. ?y0? ?y0?

? 第四步 把点 P(x0,y0)代入直线 l 的方程,求 x0. 【智慧心语】 易错提示:(1)在矩阵变换下,变换前后的关系搞错,导致错误 结果. (2)在作矩阵乘法时,运算出错. 防范措施:(1)弄清变换前后点的坐标关系,是求解的关键. (2)牢记矩阵乘法的运算法则是矩阵运算的前提. 【类题通关】 =?
?0

(2014· 常州调研)已知直线 l:ax-y=0 在矩阵 A

1? ?对应的变换作用下得到直线 l′,若直线 l′过点(1,1),求实 ?1 2?

数 a 的值. [解] 设 P(x,y)为直线 l 上任意一点,在矩阵 A 对应的变换下变 为直线 l′上的点 P′(x′,y′),则? ?
?x′? ?0 ? ? ?= ?y′? ?1

1??x? ?? ?, 2??y?

? ?x=-2y+y′, 化简,得? ?y=x′. ?

代入 ax-y=0,整理得-(2a+1)x′+ay′=0. 将点(1,1)代入上述方程,解得 a=-1. 课后限时自测 [A 级 基础达标练]
? ?1 ?在矩阵? ?2 ?-4?

1.求向量 α=?

2?

2? ?作用下变换得到的向量. 1?

1×2+2×?-4?? ?1 2?? 2? ? -6? ? ? ?? ? =? ? ?. [解 ] ? = ? ?2 1??-4? ? ?2×2+1×?-4?? ? 0?
?0 1? ?作用下变换得到的图形解 2.求直线 y=-3x 在矩阵 M=? ?1 0?

析式. [解] 由?
?x′=y, ? x′? 1??x? ? ?x=y′, ? ? ? ? ?? ?=? 知 即 ? ?y′=x, ?1 0??y? ? ?y=x′, ?y′? ? ? ?0

1 所以 x′=-3y′即 y=-3x. 3. 已知在一个二阶矩阵 M 对应的变换作用下, 将点(1,1)、 (-1,2) 分别变换成(1,1)、(-2,4),求矩阵 M. [解] 设 M=? 则?
?a ?c ?a ?c

b? ?, d?

? b??1? ?1? ?a+b=1, ?? ?=? ?,即? d ??1? ?1? ?c+d=1. ?

因为矩阵 M 对应的变换将点(-1,2)变换成(-2,4),

所以?

?a ?c

b??-1? ?-2? ?? ? =? ?, d ?? 2? ? 4?

? ?-a+2b=-2, 即? 联立两个方程组, ?-c+2d=4, ?

?a=3, ? 1 ?b=-3, 解得? 2 c=-3, ? 5 ? d = ? 3.

4

? 4 ? 3 即矩阵 M= ?-2 ? 3

1 -3?

?. 5? 3?

?x′? ?1 ? 4.在线性变换? ?y′?=? ? ? ?2

1??x? ?? ?下,直线 x+y=k(k 为常数)上的 2??y?

所有点都变为一个点.求此点坐标.
?x′? ?1 1??x? ? ?? ?, [解 ] ? ?y′?=? ? ? ?2 2??y? ?x′=x+y=k, ? 即? ? ?y′=2x+2y=2k.

所以直线 x+y=k(k 为常数)上的所有点都变为一个点(k,2k). 5. 若△ABC 在矩阵 M 对应的旋转变换作用下得到△A′B′C′, 其中 A(0,0),B(1, 3),C(0,2),A′(0,0),C′(- 3,1),求点 B′ 的坐标. [解] 由题意旋转中心为原点,设逆时针旋转角为 α(0≤α≤2π), 则旋转变换矩形为 M=?
?cos α ?sin α

-sin α? cos α?

?,

∴?

?cos α ?sin α

-sin α??0? ? - 3? ? ?? ?=? ? ? cos α??2? ?1 ?

? ?-2sin α=- 3, ∴? ? ?2cos α=1,

π ∴α=3, 1 3 -2? ?2 ∴M=? . 3 1 ? ?2 2 ? 1 3 - ? ? 2 2 ?? 1 ? ? ?x? ?-1? ? ? 设 B′(x,y),则? ?=? = ?, ?y? 3 1?? 3? ? ? 3? ? 2 2? ∴B′(-1, 3). 6.(2014· 苏、锡、常、镇四市模拟)已知点 A(0,0),B(2,0),C(2,2) 在矩阵 M=?
?a ?c

b? ?对应变换的作用下, 得到的对应点分别为 A′(0,0), d?

B′( 3,1),C′(0,2),求矩阵 M. [解] 由条件得?
?a ?c

b??2? ? 3? ?? ?=? ?. d ??0? ?1 ?

? ?2a= 3, 3 1 所以? 解得 a= 2 且 c=2. ?2c=1, ?

又?

?a ?c

b??2? ?0? ?? ?=? ?, d ??2? ?2?

? ?2a+2b=0, 所以? ?2c+2d=2, ?

3 1 解得 b=- 2 且 d=2.

? 23 所以矩阵 M=? 1 ?2

3 -2 1 2

? ?. ?
? ? 4 -1? 2 -1? ? ? ? , N = ,求二 ? ? 3? 1? ?-4 ?-3 ?

7.(2014· 南京模拟)已知 M=? ? 阶矩阵 X,使 MX=N. [解] 设 X=?
?x ?z

y? ?, w?

? 2 -1? ?x y ? ? 4 -1? ? ? ? ?=? 按题意有? . ?-4 ? ? z w ? ? -3 3? ? 1? ? ?

2x-z=4, ? ?2y-w=-1, 根据矩阵乘法法则有? -4x+3z=-3, ? ?-4y+3w=1.

?x=2, ? 解之得?y=-1, ?z=5, ?w=-1.
?0 ? ?a

9

?9 ∴X=?2 ?5

-1

? ?. -1?

8.(2014· 镇江模拟)直角坐标系 xOy 中,点(2,-2)在矩阵 M= 1? ?对应变换作用下得到点(-2,4), 曲线 C: x2+y2=1 在矩阵 M 对 0?

应变换作用下得到曲线 C′,求曲线 C′的方程. [解] 由? 1?? 2? ?-2? ?? ?=? ?得 2a=4,a=2. ?a 0??-2? ? 4?
?0

设点(x, y)是曲线 C 上任意一点, 在矩阵 M 对应的变换作用下得
?x′? ?0 ? 到点(x′,y′),则? ?y′?=? ? ? ?2

1??x? ?? ?, 0??y?

?x= y′, ? ?x′=y, ? 即 ∴? 2 ? y ′ = 2 x , ? ?y=x′.
1 ∴C′:4y′2+x′2=1, 1 ∴曲线 C′的方程为 x2+4y2=1.
?1 9.求使等式? ?3

1

2? ?1 0? ?1 ?=? ?M? 4? ?0 2? ?0

0? -1?

?成立的矩阵 M.

[解] 设 M=? ∴? ∴?
?a

?a ?c

b? ?1 0??a b? ?a b ? ?,? ?? ?=? ?, d ? ?0 2??c d ? ?2c 2d?

0? ? a -b ? b ??1 ? ?? ?=? , ? ?2c 2d??0 -1? ?2c -2d? ? a -b ? 2? ? ? ?=? , ? ?3 4? ?2c -2d? ?
?1

? ?2=-b, ∴? 3=2c, ? ?4=-2d,
1=a, (- 2, 2).

=1, ?a ?b=-2, ∴? 3 c=2, ? ?d=-2,

?1 ∴M=?3 ?2

-2? ?. -2?

10.已知变换 T 把平面上的点(1,0),(0, 2)分别变换成点(1,1),

(1)试求变换 T 对应的矩阵 M; (2)求曲线 x2-y2=1 在变换 T 的作用下所得到的曲线的方程. [解] (1)设矩阵 M=?
?x′? ?a ? ? ?y′?=? ? ? ?c ?a ?c

b? ?,依题意得 d?

? b??x? ?x′=ax+by, ?? ?,所以? d ??y? ?y′=cx+dy, ?

由(1,0)变换为(1,1)得 a=1,c=1;

由(0, 2)变换为(- 2, 2)得 b=-1,d=1. 所以矩阵 M=?
?1 ?1

-1? 1 ?

?.

? ?x′=x-y, (2)变换 T 所对应关系? ?y′=x+y, ?

y′ , ?x=x′+ 2 解得? y′-x′ y = . ? 2

代入 x2-y2=1 得 x′y′=1. 故 x2-y2=1 在变换 T 的作用下所得到的曲线方程为 xy=1. [B 级 能力提升练]

1.(2013· 盐城二模)求曲线 2x2-2xy+1=0 在矩阵 MN 对应的变
? 1 0? ?1 0? ?,N=? ?. 换作用下得到的曲线方程,其中 M=? ?0 2? ?-1 1?

[解] MN=?

0?? 1 0? ? 1 0? ?? ?=? ?, ?0 2??-1 1? ?-2 2?
?1

设 P(x′,y′)是曲线 2x2-2xy+1=0 上任意一点,点 P 在矩阵 MN 对应的变换下变为点 P′(x,y).
?x? ? 1 则有? ?=? ?y? ?-2 ? 0?? ?x′? ? ? x′ ? ? ?? =? , ? 2??y′? ?-2x′+2y′? ?

y 于是 x′=x,y′=x+2. 代入 2x′2-2x′y′+1=0,得 xy=1, ∴曲线 2x2-2xy+1=0 在 MN 对应的变换作用下得到的曲线方 程为 xy=1. 2. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(0,0), B(-2,0), C(-2,1), 设 k 为非零实数,矩阵 M=?
?k

0? ?0 1? ?,N=? ?,点 A,B,C 在矩阵 ?0 1? ?1 0?

MN 对应的变换下得到的点分别为 A1,B1,C1,△A1B1C1 的面积是△ ABC 的面积的 2 倍,求 k 的值. [解] 由题设得 MN=? =? 由?
?0 ? ?1 ?0 ?k

0 ??0 1? ?? ? ?0 1??1 0?

k? ?. ?1 0? k ??0? ?0? ?0 k ??-2? ? 0? ?? ?=? ?,? ?? ?=? ?, ?1 0??0? ?0? ?1 0?? 0? ?-2?
?0

k ??-2? ? k ? ?? ? =? ?, 0?? 1? ?-2?

可知 A1(0,0),B1(0,-2),C1(k,-2). 计算得△ABC 的面积是 1,△A1B1C1 的面积是|k|, 则由题设知|k|=2×1=2. 所以 k 的值为-2 或 2. 3.(2013· 泰州调研)已知变换 T 把平面上的点(1,0),(0, 2)分别 变换成点(1,1),(- 2, 2). (1)试求变换 T 对应的矩阵 M; (2)求曲线 x2-y2=1 在变换 T 的作用下所得到的曲线方程. [解] (1)设矩阵 M=? 依题意得? ?
?x′? ?a ? ? ?= ?y′? ?c ?a ?c

b? ?, d?

b??x? ?? ?, d ??y?

? ?x′=ax+by, ∴? 由(1,0)变换为(1,1)得 a=1, c=1, 由(0, 2), ?y′=cx+dy, ?

变换为(- 2, 2)得 b=-1,d=1. 所求矩阵 M=?
?1 ?1

-1? 1?

?.

? ?x′=x-y, (2)变换 T 所对应关系? ?y′=x+y, ?

y′ , ?x=x′+ 2 解得? y′-x′ y = . ? 2

代入 x2-y2=1 得 x′y′=1, 故 x2-y2=1 在变换 T 的作用下所得到的曲线方程为 xy=1. 第二节 逆矩阵、特征值与特征向量

内容 A 考纲 传真 二阶逆矩阵 二阶矩阵的特征值 与特征向量 二阶矩阵的简单应用

要求 B √ √ √ C

1.逆矩阵 (1)逆矩阵概念:对于二阶矩阵 A,B,若有 AB=BA=E,则称 A 是可逆的,B 称为 A 的逆矩阵. (2)逆矩阵的求法 一般地,对于二阶可逆矩阵 A=? -b d ?ad- ? bc ad-bc ? ? = . - c a ? ? ? ad-bc ad-bc?
?a ?c

b? ?(ad-bc≠0),它的逆矩阵 d?

为 A-1

(3)逆矩阵的性质 ①若二阶矩阵 A, B 均存在逆矩阵, 则 AB 也存在逆矩阵, 且(AB)
-1

=B-1A-1. ②已知 A,B,C 为二阶矩阵,且 AB=AC,若矩阵 A 存在逆矩

阵,则 B=C. 2.二阶行列式与逆矩阵
?a b? ?称为二阶行列式,它的运算结果是一个数值(或 (1)我们把? ?c d ?

多项式),记为 det(A)=?

?a ?c

b? ?=ad-bc. d?

(2) 定理:如果关于变量 x , y 的二元一次方程组 ( 线性方程
?ax+by=e ?a b? ? ?可逆,那么该方程组有唯一解 组)? 的系数矩阵 A=? ?c d ? ? ?cx+dy=f

?x? ?a ? ? =? ?y? ?c

b?-1?e? ? ? ?. d ? ?f ?

3.特征值与特征向量 设 A 是一个二阶矩阵,如果对于实数 λ,存在一个非零向量 α, 使得 Aα=λα,那 λ 称为 A 的一个特征值,而 α 称为 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量. 4.特征多项式 设 A=?
?λ-a ? ?-c ? ?a ?c

b? ? 是 一 个 二 阶 矩 阵 , λ ∈ R , 把 行 列 式 f(λ) = d?
2

=λ -(a+d)λ+ad-bc,称为 A 的特征多项式. λ-d ? ?

-b? ?

1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的 打“×”) (1)已知 A,B,C 为二阶矩阵,且 AB=AC,则 B=C.( )

(2)若二阶矩阵 A, B 均存在逆矩阵, 则 AB 也存在逆矩阵, 且(AB)
-1

=A-1B-1.(

) )

(3)对于一个二阶矩阵,它的特征向量是唯一的.( (4)它的特征向量由它的特征值来确定.( )

[解析] (1)中只有矩阵 A 存在逆矩阵时成立, 故错; (2)中应有(AB)
-1

=B-1A-1,故错;因为一个二阶矩阵的特征向量是由它的特征值来

确定,故(3)错(4)对. [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√

2 . ( 教材习题改编 )设矩阵

? 23 M=? 1 ?2
1 2

1 -2

? 的逆矩阵是 3? 2?

M-1=

?a ? ?c

b? ?,求 a+c. d?
?a M =? ?c
-1

[解 ]

3 ? 2 b? ?=? d? 1 - ? 2

? 3 ,所以 a= 2 , ? 3 2?

3-1 1 c=-2,a+c= 2 . 3.设矩阵 A=? ?
?x ?2

-1 ? ? 2-x? ?

的一个特征值为-1,求 x.

[解] 矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)=λ2-(x+2-x)λ+x(2-x)+2. 因为 A 的一个特征值为-1, 所以 f(-1)=1+2+x(2-x)+2=0, 整理得 x2-2x-5=0,解之得 x=1± 6. 4.(2014· 扬州中学月考试题)已知二阶矩阵 M 有特征值 λ=8 及
?1? 对应的一个特征向量 e1=? ?,并且矩阵 M 对应的变换将点(-1,2)变 ?1?

换成(-2,4),求矩阵 M. [解 ]
?a ?c ?a 设 M=? ?c ? b? ?a b??1? ?1? ?8? ?a+b=8, ?,则? ?? ?=8? ?=? ?,故? d? ?c d ??1? ?1? ?8? ? ?c+d=8.

又?

? b??-1? ?-2? ?-a+2b=-2, ?? ?=? ?,故? d ?? 2? ? 4? ?-c+2d=4. ?

联立以上两方程组解得 a=6,b=2,c=4,d=4, 故 M=?
?6

2? ?. ?4 4?

5.(2014· 连云港质检)已知矩阵 M=?

?a

1? ?,点 A(1,0)在矩阵 M ?b 0?

对应变换作用下变为 A′(1,2),求矩阵 M 的逆矩阵 M-1. [解] 因为?
?a

1??1? ?1? ?? ?=? ?, ?b 0??0? ?2?
?1

所以 a=1,b=2,则 M=? 于是 det M=?
?1

1? ?, ?2 0?

1? ?=-2≠0,矩阵 M 可逆, ?2 0?

故 M-1

0 ?- ? 2 = ?-2 ?-2

? ?0 ?=? 1 ? ? 1 -2? ?
-1 -2

1? 2? . 1? -2?

考向 1 二阶矩阵的逆矩阵
?-1 【典例 1】 (2013· 江苏高考)已知矩阵 A=? ? 0

0?

?1 ?, B=? ?0 2?

2? ?, 6?

求矩阵 A-1B. [解] 设矩阵 A 的逆矩阵为? 则?
? ?-1 ?a ?c

b? ?, d?

?-a -b? ?1 0? 0??a b? ?1 0? ?=? ?,即? ?, ?? ?=? 0 2??c d ? ?0 1? ?2c 2d ? ?0 1?

1 故 a=-1,b=0,c=0,d=2, 从而 A 的逆矩阵为 A
-1

?-1 =? ? 0

0? 1?, 2?

∴A

-1

?-1 B=? ? 0

0?

?1 2? ?-1 -2? ?=? ?. 1?? ?0 6? ? 0 3? 2?

【规律方法】 1.逆矩阵的求法有两种:一是利用待定系数法.二是利用公式 法. 2.若 A,B 两个矩阵均存在可逆矩阵时,则有(AB)-1=B-1A-1; 若 A,B,C 为二阶矩阵且 A 可逆,则当 AB=AC 时,有 B=C,即 此时矩阵乘法的消去律成立. 【变式训练 1】 设曲线 2x2+2xy+y2=1 在矩阵 A=? 对应的变换作用下得到的曲线为 x2+y2=1. (1)求实数 a,b 的值;(2)求 A2 的逆矩阵. [解] (1)设曲线 2x2+2xy+y2=1 上任意点 P(x,y)在矩阵 A 对应 的变换作用下的象是 P′(x′,y′). 由? ?
?x′? ?a ? ? ?= ?y′? ?b ? 0??x? ?ax ? ?x′=ax, ?? ?=? ?,得? 1??y? ?bx+y? ?y′=bx+y. ? ?a

0? ?(a>0) ?b 1?

又点 P′(x′,y′)在曲线 x2+y2=1 上,所以 x′2+y′2=1, 即 a2x2+(bx+y)2=1, 整理得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1.
?a2+b2=2, ?a=1, ?a=-1, ? ? ? 依题意得? 解得? 或? 因为 a>0, ?2b=2, ? ? ? ?b=1. ?b=1. ? ?a=1, 所以? ?b=1. ?

(2)由(1)知,A=?

?1

0? ?1 0??1 0? ?1 0? ?,A2=? ?? ?=? ?. ?1 1? ?1 1??1 1? ?2 1?

?1 ? ?2

0? ?=1≠0, 1?
?1 ?-2

∴A2 的逆矩阵为?

0? 1?

?.

考向 2 二阶矩阵的特征值与特征向量(高频考点) 命题视角 二阶矩阵的特征值与特征向量是历年高考重点. 主要 命题角度:(1)已知二阶矩阵求特征值、特征向量;(2)由矩阵的特征 值及其对应特征向量求矩阵.
?2 a? ?,其中 a∈R,若点 P(1,-2) 【典例 2】 已知矩阵 M=? ?2 1?

在矩阵 M 的变换下得到点 P′(-4,0). (1)求实数 a 的值. (2)求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量. 【思路点拨】 弄清求特征值与特征向量的基本方法,掌握求特 征值、特征向量的一般步骤: (1)由矩阵 M 得到特征多项式 f(λ)=? ? (2)求 f(λ)=0 的根,得到特征值;
? ??λ-2?x-3y=0, (3)由特征方程? 求解得非零向量即是矩阵 M ?-2x+?λ-1?y=0 ? ?λ-2 ?-2

λ-1? ?

-3? ?



对应的特征向量. [解] (1)由? a?? 1? ?-4? ?? ?=? ?,∴2-2a=-4?a=3. ?2 1??-2? ? 0?
?2 ?2

(2)由(1),知 M=?

3? ?, ?2 1?

?λ-2 -3? ? 则矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)=? ?-2 λ-1?=(λ-2)(λ-1)-6 ? ?

=λ2-3λ-4. 令 f(λ)=0,得矩阵 M 的特征值为-1 与 4.
? ??λ-2?x-3y=0, 当 λ=-1 时,? ?x+y=0. ?-2x+?λ-1?y=0 ?

∴矩阵 M 的属于特征值-1 的一个特征向量为?
? ??λ-2?x-3y=0 当 λ=4 时,? ?2x-3y=0. ?-2x+?λ-1?y=0 ?

?

?; ?-1?

1?

?3? ∴矩阵 M 的属于特征值 4 的一个特征向量为? ?. ?2?

【通关锦囊】 1.求矩阵的特征值和特征向量的方法是固定的,只要明确解题 的操作步骤,就可以按部就班地解决问题. 2.注意到特征向量一定是非零向量,且每个特征值对应的特征 向量不唯一.因此求解特征向量时,在将矩阵的特征值代入后得到的 方程组的两个方程一般是同解方程,只需求出一组非零解.

【变式训练 2】

已知矩阵 A 的逆矩阵 A-

?-1 ? 4 1 = ? 1 ? 2

1? -2 ?

3? 4?

,求矩

阵 A 的特征值. [解] 因为 A-1A=E,所以 A=(A-1)-1.

因为 A-

?-1 ? 4 1 = ?1 -1 ?2 2

3? 4? 1 ,且|A-1|=-4.

? ?

?2 3? ?, 所以 A=(A-1)-1=? ?2 1?

于是矩阵 A 的特征多项式为

f(λ)=? ?

?λ-2 ?-2

=λ -3λ-4. λ-1? ?

-3? ?

2

令 f(λ)=0,解得 A 的特征值 λ1=-1,λ2=4. 考向 3 特征值与特征向量的综合应用 【典例 3】 (2014· 苏、锡、常、镇四市高三调研)已知矩阵 M=
?1 ? ?2

2? ?1? ?,β=? ?,计算 M6β. 1? ?7? [解] 矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)=? ?
?λ-1 ?-2

=λ -2λ-3. λ-1? ?

-2? ?

2

令 f(λ)=0,解得 λ1=3,λ2=-1,对应的一个特征向量分别为 α1
? 1? ?1? =? ?,α2=? ?. ?1? ?-1?

令 β=mα1+nα2,得 m=4,n=-3. M6β=M6(4α1-3α2)=4(M6α1)-3(M6α2)
? 1? ?2 913? ?1? ?. ? ?=? =4×36? ?-3(-1)6· ?1? ?-1? ?2 919?

【规律方法】 1.本题是求出矩形 M 的特征值 λ1,λ2,对应的特征向量 α1、α2,
?1? 同时把 β=? ?,用 α,α2 表示出来 β=ma1+nα2,再利用矩阵运算公 ?7?
n 式 Mnβ=Mn(mα1+nα2)=mMnα1+nMnα2=mλn 1α1+nλ2α2 进行计算.

2.若矩阵 A 有两个不共线的特征向量 α1,α2,其对应的特征值 分别为 λ1,λ2,则对平面内任一非零向量 α,存在实数 s,t,使 α=sα1
n +tα2,从而有 Anα=sλn 1α1+tλ2α2.

【变式训练 3】 已知矩阵 A=?
?2? 其对应的特征向量是 α1=? ?. ?1?

?

1 a? b?

? -1

?,A 的一个特征值 λ=2,

(1)求矩阵 A;
?7? (2)若向量 β=? ?,计算 A5β 的值. ?4?

[解] (1)A=?

?

1 2? 4?

?-1

?. ?λ-1 ?

(2)矩形 A 的特征多项式为 f(λ)=? ? λ1=2,λ2=3.

1

=λ -5λ+6=0, 得 λ-4? ?

-2? ?

2

?2? ?1? 当 λ1=2 时,α1=? ?;当 λ2=3 时,得 α2=? ?. ?1? ?1? ? ?2m+n=7, 由 β=mα1+nα2,得? 得 m=3,n=1. ?m+n=4, ?

∴A5β=A5(3α1+α2)=3(A5α1)+A5α2
?2? ?1? ?435? 5 5 5 ? ? ? ? =? ?. =3(λ5 α ) + λ α = 3 × 2 + 3 1 1 2 2 ?1? ?1? ?339?

明确 1 种关系 特征值与特征向量的关系 一个特征值对应多个特征向量,只要有了特征值的一个特征向 量,就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量. 熟记 2 种方法 求逆矩阵的两种代数方法 1.待定系数法:利用 AA-1=E 得到方程组,再利用行列式法解 方程组. d ?det A ? -c ?det A
?a b? ? ,且 det A≠0 ,则 A - 1 = 2. 行列式法:若 A = ? ?c d ?

? ?. a det A?
-b det A

规范解答之 19

二阶矩阵的逆矩阵和特征值特征向量交汇 问题的求解方法

(12 分)(2014· 福建高考)已知矩阵 A 的逆矩阵 A-1=
?2 ? ?1

1? ?, 2? (1)求矩阵 A; (2)求矩阵 A-1 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. —————— [规范解答示例] ——————

?a b? ?a b??2 1? ?1 0? ?,则由 AA-1=E,得? ?? ?=? ?, (1)设矩阵 A=? ?c d ? ?c d ??1 2? ?0 1?

(2 分) 化简得? ?
?2a+b ?2c+d

a+2b? ? c+2d ?

?=?

?1

0? ?, ?0 1?

2 1 1 2 解得 a=3,b=-3,c=-3,d=3, ∴A=?
? ?

2 1? ? - 3 3?.(5 分)

?λ-2 -1? ? (2)矩阵 A-1 的特征多项式为 f(λ)=? ?-1 λ-2?= ? ?

(λ-2)2-1, 令 f(λ)=(λ-2)2-1=0,可求得特征值为 λ1=1,λ2=3,(7 分)
?x? 设 λ1=1 对应的一个特征向量 α=? ?, ?y?

则由 λα=A-1α 得 x+y=0, 得 x=-y,可令 x=1,则 y=-1,

∴矩阵 A-1 的一个特征值 λ1=1 对应的一个特征向量为? 分)

?

?, (10 ?-1?

1?

同理可得矩阵 A-1 的一个特征值 λ2=3 对应的一个特征向量为
?1? ? ?.(12 分) ?1?

———————— [构建答题模板] ——————— 第一步 根据 AA-1=E 进行矩阵的乘法运算; ? 第二步 根据矩阵相等的充要条件解方程组求出矩阵 A; ? 第三步 根据矩阵 A-1 的特征多项式求特征值; ? 第四步 根据特征值求出对应的一个特征向量. 【智慧心语】 易错提示:(1)因对矩阵乘法法则掌握不牢导致运算错误. (2)因对特征向量的意义不理解导致无法求解. 防范措施:(1)熟练掌握矩阵乘法法则.(2)要理解记忆特征向量 的意义. 【类题通关】
?3 3? ?,若矩 (2014· 常州高三调研)已知矩阵 A=? ?c d ?

?1? 阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 α1=? ?,属于特征值 1 的一个 ?1?

特征向量为 α2=?

?

?.求矩阵 A 的逆矩阵. ?-2?

3?

?1? [解] 由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 α1=? ?,可得 ?1? ?3 ? ?c

3??1? ?1? ?? ?=6? ?, d ??1? ?1? 即 c+d=6; 由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 α2=?
? ?3 ? ?可得, ?c ?-2?

3?

3? ? d?

? 3? ? 3? ? ?=? ?, ?-2? ?-2? ? ?c+d=6, 即 3c-2d=-2.由? ? ?3c-2d=-2, ? ?3 3? ?c=2, ?, 解得? 即 A=? ?2 4? ?d=4. ?

? 2 ? 3 A 逆矩阵是 ?-1 ? 3
课后限时自测 [A 级 基础达标练]

1 -2? ?. 1? 2?

3 - ?1 2 2? 1.用几何变换的方法求 A=? 3 1? ? 2 2? =?
?cos 60° -sin 60° ? ?的逆矩阵. cos 60° ?sin 60° ?

[解] A 表示绕原点逆时针旋转 60° 变换矩阵, 故 A 存在逆矩阵, A 的逆矩阵应表示绕原点顺时针旋转 60° 变换矩阵.
?cos ?-60° ? 所以 A =? ?sin ?-60° ? ?
-1

-sin ?-60° ?? ? cos ?-60° ?? ?

3 ? 1 2 2? =? . 3 1? ?- 2 2 ?
? 2 -1? ? 4 -1? ? ? ? 2. 已知 M=? , N = ,求二阶矩阵 X,使 ?-4 ? ? 3? 1? ? ?-3 ?

MX=N. [解] 因为 MX=N,所以 X=M N,M
-1 -1

?3 =?2 ?2

1? 2?. 1?

∴X=M-

?3 1 N=?2 ?2

1 2

?? 4 ?? ?-3 1??

9 ? -1? -1 ? ? 2 =? ?. 1? ? ?5 -1?

?2 1? ?的特征值及对应的特征向 3.(2014· 苏州四市模拟)求矩阵? ?1 2?

量. [解] 特征多项式 f(λ)=? ?
?λ-2 ?-1

=(λ-2) -1=λ -4λ+3, λ-2? ?

-1? ?

2

2

由 f(λ)=0,解得 λ1=1,λ2=3.
? ??λ-2?x-y=0, 将 λ1=1 代入? 得 x+y=0, ? ?-x+?λ-2?y=0,

令 x=1,y=-1, 则特征值 λ1=1 对应的一个特征向量为?
? ?. ?-1?

1?

?1? 当 λ2=3 时, 得 x-y=0, 特征值 λ2=3 对应的一个特征向量为? ?. ?1?

4.(2014· 南京质检)已知矩阵 M=? 的值及矩阵 M 的特征值. [解] 由题意,矩阵 M 的行列式? 所以矩阵 M=? f(λ)=? ?
?λ-5 ? -6 ?5

?x

5? ?不存在逆矩阵,求实数 x ?6 6?

?x

5? ?=0,解得 x=5, ?6 6?

5? ?的特征多项式为: ?6 6? -5? ? =(λ-5)(λ-6)-(-5)×(-6),

λ-6? ?

令 f(λ)=0,解得 λ=0 或 λ=11, 所以矩阵 M 的特征值为 0 和 11. 5. (2014· 盐城模拟)已知矩阵 M=?
?1

2? ?的一个特征值为 3, 求M ?2 x ?

的另一个特征值及其对应的一个特征向量. [解] 矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)=(λ-1)(λ-x)-4. 因为 λ1=3 是方程 f(λ)=0 的一个根, 所以(3-1)(3-x)-4=0,解得 x=1. 由(λ-1)(λ-1)-4=0,得 λ=-1 或 3,所以 λ2=-1.
?x? 设 λ2=-1 对应的一个特征向量为 α=? ?, ?y? ? ?-2x-2y=0, 则? 从而 y=-x. ?-2x-2y=0, ?

取 x=1 得 y=-1, 所以矩阵 M 的另一个特征值为-1,对应的一个特征向量为 α=
? 1? ? ?. ?-1?

6.(2014· 江苏联考)设二阶矩阵 A,B 满足 A-1=?
?1 ? ?0

?1

2? ?,BA= ?3 4?

0? ?,求 B-1. 1?
?1 0??1 2? ?1 2? ?? ?=? ?, [解] ∵B=BAA-1=? ?0 1??3 4? ?3 4?
-1

∴B

?-2 1? =?3 1?. - ?2 2?
? ?1? ?3? ?,且 M? ?=? ?.求矩阵 M. ?1? ?1? ?-1? ? b? ?a b?? 1? ? 1? ?a-b=1, ?,则由? ?? ?=? ?,得? d? ?c d ??-1? ?-1? ?c-d=-1. ?

7.(2014· 南通市调研)已知二阶矩阵 M 有特征值 λ=1 及对应的 一个特征向量 e1=? [解] 设 M=?
?a ?c

1?

?a ?c

再由?

?a+b=3, b??1? ?3? ? ?? ?=? ?,得? d ??1? ?1? ? ?c+d=1.

?2 1? ?. 联立以上方程组解得 a=2,b=1,c=0,d=1,故 M=? ?0 1?

8. (2014· 南京盐城高三数学二模数学试卷)已知矩阵 A=?
?2? 的一个特征值为 2,其对应的一个特征向量为 α=? ?. ?1?

?

1 a? b?
?

?-1

(1)求矩阵 A;
?x? ?a? (2)若 A? ?=? ?,求 x,y 的值. ?y? ?b?

[解] (1)由题意,得? =2,b=4.

?2+a=4, 1 a??2? ?2? ? ?? ?=2? ?,即? 解得 a ?1? ?-2+b=2, ?-1 b??1? ? ?

所以 A=?

?

1 2? 4?

? -1

?.

? 1 2??x? ?2? ?x? ?a? ?? ?=? ?, (2)解法一:A? ?=? ?,即? ?y? ?b? ?-1 4??y? ?4? ? ?x+2y=2, 所以? ?-x+4y=4, ? ? ?x=0, 解得? ? ?y=1. ?

解法二:因为 A=?

1 2?

?-1

?,所以 A- 4?

?2 ?3 1 = ?1 ?6

1 -3? ?. 1? 6?

?x? ?a? ?x? 因为 A? ?=? ?,所以? ?=A- ?y? ?b? ?y? ?0? =? ?. ?1? ? ?x=0, 所以? ?y=1. ?

?2 ?a? ?3 1 ? ?= ?b? ?1 ?6

1 -3? ??2? 1??4? 6?
? ?

9. (2014· 泰州模拟)设矩阵 M 是把坐标平面上的点的纵坐标伸长 到原来的 2 倍,横坐标保持不变的伸缩变换. (1)求矩阵 M; (2)求矩阵 M 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. [解] (1)由条件得矩阵 M=? (2)因为矩阵 M=? 1)(λ-2),
?1 ?1

0? ?. ?0 2?

?λ-1 0? 0? ? ?的特征多项式为 f(λ)=? =(λ- ? ?0 2? λ-2? ?0 ?

令 f(λ)=0,解得特征值为 λ1=1,λ2=2,
?x? 设属于特征值 λ1 的矩阵 M 的一个特征向量为 e1=? ?,则 Me1= ?y? ?x ? ?x? ?1? ? ?=? ?,解得 y=0,取 x=1,得 e1=? ?; ?2y? ?y? ?0? ?0? 同理,对于特征值 λ2,解得 x=0,取 y=1,得 e2=? ?. ?1? ?3 10.已知二阶矩阵 A=? ?0

5? -2?

?.

(1)求矩阵 A 的特征值和特征向量; (2)设向量 β=?
? ?,求 A5β. ?-1?

1?

?λ-3 -5? ? [解] (1)矩阵 A 的特征多项式 f(λ)=? =(λ-3)(λ+2). ?0 λ+2? ? ?

令 f(λ)=0 得 λ=3 或 λ=-2.
? x-5y=0, ?0· 将 λ=3 代入二元一次方程组? 解得 y=0. ?0· x+5y=0, ? ?1? 所以矩阵 A 的属于特征值 3 的一个特征向量为? ?. ?0? ?-5x-5y=0, ? 将 λ=-2 代入二元一次方程组? 取 x=1,则 y= ? x+0· y=0, ?0·

-1. 所以矩阵 A 的属于特征值-2 的一个特征向量为?
? ?. ?-1?

1?

(2)由(1)可知向量 β 是矩阵 A 的属于特征值-2 的一个特征向量, 所以 A5β=λ5β=?
?-32? ?. ? 32?

[B 级

能力提升练]

?a 2? ?有一个属于特征值 1 的特 1. (2014· 镇江模拟)已知矩阵 A=? ?1 b? ? 2? 征向量 α=? ?. ?-1?

(1)求矩阵 A; (2)矩阵 B=?
?1 ?0

-1? 1?

?,点 O(0,0),M(2,-1),N(0,2),求△OMN

在矩阵 AB 的对应变换作用下所得到的△O′M′N′的面积. [解 ]
?a (1)由已知得? ?1 ? ? 2? 2?? 2? ?2a-2=2, ?? ?=1· ? ?,所以? b??-1? ? ?-1? ?2-b=-1,

? ?2 2? ?a=2, ?. 解得? 故 A=? ?1 3? ?b=3, ?

(2)AB=?

2??1 -1? ?2 0? ?? ?, ?=? ?1 3??0 1? ?1 2?
?2

?0? ?2 0??0? ?0? ?? ?=? ?, 所以(AB)? ?=? ?0? ?1 2??0? ?0?

(AB)?

?

?2 ? =? ?-1? ?1

2?

0?? 2? ?4? ?? ?=? ?, 2??-1? ?0?

?0? ?2 0??0? ?0? ?? ?=? ?, (AB)? ?=? ?2? ?1 2??2? ?4?

即点 O,M,N 变成点 O′(0,0),M′(4,0),N′(0,4), 1 △O′M′N′的面积为2×4×4=8. 2.已知矩阵 A=?
?

2 1? 3?

?-1

?将直线 l:x+y-1=0 变换成直线 l′.

(1)求直线 l′的方程; (2)判断矩阵 A 是否可逆?若可逆,求出矩阵 A 的逆矩阵 A-1;

若不可逆,请说明理由. [解 ]
? 2 (1)在直线 l 上任取一点 P(x0, y0), 设它在矩阵 A=? ?-1

1? 3?
?

对应的变换作用下变为 Q(x,y). ∵? 2 1??x0? ?x? ?? ?=? ?, ?-1 3??y0? ?y?
?

? ?x=2x0+y0, ∴? ? ?y=-x0+3y0

y ?x =3x- 7 , 即? x+2y y = ? 7 .
0 0

3x-y x+2y 又∵点 P(x0,y0)在直线 l:x+y-1=0,∴ 7 + 7 -1=0, 即直线 l′的方程为 4x+y-7=0. (2)∵|A|=? 设 A-1=?
?a ?

2 1? 3?

? -1

?=7≠0,∴矩阵 A 可逆.

c? ?1 0? ?,∴AA-1=? ?, ?b d? ?0 1?

2a+b=1, ? ?2c+d=0, ?-a+3b=0, ? ?-c+3d=1

?a=7, ? 1 ?b=7, 解之得? 1 c=-7, ? 2 ? d = ? 7,
?-2? 5? ?及向量 α=? ?. ?6 1? ? 9? ?2

3

∴A-

?3 7 ? 1 = ?1 ?7

1 -7? ?. 2 ? 7 ?

3.给定矩阵 M=?

(1)求 M 的特征值及对应的特征向量 e1,e2; (2)确定实数 a,b,使向量 α 可以表示为 α=ae1+be2; (3)利用(2)中的表达式计算 M3α,Mnα.

[解] (1)矩阵特征多项式 f(λ)=(λ-2)(λ-1)-30=λ2-3λ-28. 令 f(λ)=0 得 M 的特征值为 λ1=-4,λ2=7, 属于特征值 λ1=-4 的一个特征向量 e1=?
?-5? ?, ? 6?

?1? 属于特征值 λ1=7 的一个特征向量 e2=? ?. ?1?

(2)由 a?

?-5? ?1? ?-2? ?+b? ?=? ?,解得 a=1,b=3,所以 α=e1+3e2. ?1? ? 9? ? 6? ?1349? ?. ?645 ?

3 (3)M3α=M3(e1+3e2)=M3e1+3M3e2=λ1 e1+3λ3 2e2=?

?-5×?-4?n+3×7n? ? 同理,M α=? ?6×?-4?n+3×7n ?. ? ?
n


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