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2014年全国高中数学联赛一试试题2014.09.14


2014 年全国高中数学联赛一试试题 2014.09.14
1.(2014 年全国数学联赛 1)若 a,b 满足 2 ? log2 a ? 3 ? log3 b ? log6 (a ? b) ,则 值为 .

1 1 ? 的 a b

【解析】设 2 ? log2 a ? 3 ? log3 b ? log6 (a ? b) =t,

则 4a ? 2t ,27b ? 3t , a ? b ? 6 t , ∴108ab=a+b,∴

1 1 ? =108. a b

2.(2014 全国数学联赛 2)设集合 ? ? b |1 ? a ? b ? 2 ? 中最大元素与最小元素分别为 M, m,则 M-m 的值为 【解析】( 故( .

?3 ?a

? ?

3 3 3 3 ? b )max= ? 2 =5, ? b ? ? b ? 2 3 , a b a 1

3 ? b )min= 2 3 (当且仅当 a=b= 3 )时等号成立. a

所以 M-m=5- 2 3 3.(2014 全国高中数学联赛一试 3)若函数 f ( x) ? x2 ? a | x ?1| 在[0,+?) 上单调递增,则 实数 a 的取值范围是 .

【解析】当 x ? 1 时, f ( x) ? x2 ? ax ? a 要在[1,+∞)上递增, ∴?

a ? 1,即a ? ?2 , 2
2

当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? ax ? a 要在[0,1]上递增, ∴

a ? 0, 即a ? 0 , 2

综上可知: ?2 ? a ? 0 。 [-2,0] 4. ( 2014 全国高中数学联赛一试)数列 {an} 满足 a1=2 , an ?1 ?

2(n ? 2) an (n ? N *) ,则 n ?1

a2014 = a1 ? a2 ? ??? ? a2013
【解析】∵ an ?1 ?

.

2(n ? 2) a 2(n ? 2) an (n ? N *) ,∴ n?1 ? , n ?1 an n ?1



a a2 2 ? 3 a3 2 ? 4 a4 2 ? 5 2 ? (n ? 1) ? , ? , ? , ???, n ? , (n ? 2, n ? N *) a1 2 a2 3 a3 4 an?1 n

∴ an ? 2n?1 (n ? 1) , ∴ a2014 ? 22013 ? 2015 , 令 S= a1 ? a2 ? ??? ? a2013 = 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? 2
0 1 2012

? 2014 (1)

则 2S= 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? 2
1 2

2012

? 2013 ? 22013 ? 2014 (2)
2 3 2012

∴(1)-(2)得:-S=2+( 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2

)- 2

2013

? 2014

=2+

2(1 ? 22012 ) 2013 ? 2014 =- 22013 ? 2013 -2 1? 2
2013

∴ a1 ? a2 ? ??? ? a2013 = 2

? 2013

2015 a2014 = . a1 ? a2 ? ??? ? a2013 2013
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