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2015年福建省高职单招数学试卷


2015 年福建省高职单招数学试卷 第Ⅰ卷(选择题
共 70 分)

一.单项选择题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.在每小题给出的四个备选答 案中,选出一个正确答案,并将答题卡上对应题目的答案标号涂黑) 1.设集合 A ? ?1,3,5? , B ? ?1,2? ,则 A ? B 等于( A. ?1? B. ?1,3,5? C. ?2,3,5? ) ) D. ?1,2,3,5?

2.函数 f ( x) ? log2 x 的图象大致为(

A

B

C

D ) D.2 ) D. 6?

3.已知向量 a ? (1, 0) , b ? (1, 2) ,则 a ? b 的值为( A. ?1 B.0 C.1

?

?

? ?

4.已知 f ( x) ? 3sin(3 x ?

?
4

) 的最小正周期是(
C. 3? )

A.

? 3

B.

2? 3

5.下列几何体是棱柱的是(

A

B )

C

D

6.圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 的圆心坐标为( A.(1 , 0 ) B.( 2 , 0 )

C.( 0 , 1 )

D.( 0 , 2 ) )

7.若 x , y ? R ,则“ x ? 0 且 y ? 0 ”是“ xy ? 0 ”的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.椭圆

x2 ? y 2 ? 1的离心率为( 2
B.



A.

1 2

3 2

C.

2 2

D.

3 4

9.已知函数 f ( x) ? 2x ? x 的零点所在区间是( A. (?2, ?1) B. (?1, 0) C. (0 ,1)

) D. (1 , 2)

? x ?1 ? 10.设 x , y 满足束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? ? x ? y 的最大值等于( ? y ?1 ?
A. ?2 B. ?1 C.0 D.1



11.在△ABC 的内角 A ? 300 , AC ? 2 , AB ? 3 ,则 BC 等于( A.1 B. 2 C. 3 D.2



12.如图,在正方形 ABCD 中,以对角线 AC 和 BD 的交点 O 为圆心作圆 O,若在正方形 ABCD 内,随机取一个点,则此点取自于阴影部分的概率是( A. )

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 4

13.函数 f ( x ) ? x ? A.2 B.3

4 ? 1 ( x ? 0 )的最小值是( x
C.4

) D.5

14.设函数 f ( x) 是定义在 R 上的增函数,且不等式 f (m? 2x) ? f ( x2 ) 对 x ? R 恒成立的取 值范围是( A. (??, ?1) ) B. (??, ?1] C. (1, ??) D. [1, ??) 共 80 分)

第 II 卷(非选择题

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置上) 15. (1 ? i)(1 ? i) ? ;

16.在一次抽样调查中,采用分层抽样选取样本,其中男生 28 人,女生 21 人,共抽取 7 人,则女生抽取________人; 17.已知函数 f ( x) ? ?

? x( x ? 4) , x ? 0 ,则 f (3) ? ? x( x ? 4) ,x ? 0
3



18.一个圆柱体的体积为 128? cm 的易拉罐有上.下底面,求高为

时用的材料最少.

三.解答题(本大题共 6 小题,共 60 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 19. (本小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2cos x ?1 .
2

(Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最大值.

?

4

20. (本小题满分 8 分) 已知等差数列 {an } 中, a1 ? 1, S3 ? 6 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn }满足 bn ? 2 n ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ?? b5 的值.
a

21. (本小题满分 10 分) 右图是某公司 5 个销售店某月销售某机器的数量(单位:台)的茎叶图. (Ⅰ)求该公司 5 个销售店当月销售这种机器的平均台数; (Ⅱ)该公司为提高销售业绩,从 5 个销售店中随机抽取 2 个进行分析,求抽到的 2 个销售 店该月的销售量均高于平均数的概率.

2 4 6 3 2 3 5

22. (本小题满分 10 分)
2 设直线 l 过抛物线 ? : y ? 2 px( p ? 0 )的焦点 F ,且与抛物线 ? 相交于 A,B 两点,

其中点 A(4, 4) . (Ⅰ)求抛物线 ? 的方程; (Ⅱ)求线段 AB 的长.

23. (本小题满分 12 分) 某实心零件是一几何体,其三视图如图(单位:毫米, ? 取 3.14 ). (Ⅰ)求该零件的表面积; (Ⅱ)电镀这种零件需要用锌,已知每平方毫米用锌 1.1?10 克,问电镀 10000 个零 件需要用锌多少克?
?4

10 20 20

正视图

侧视图

20
俯视图

24.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 3 x ? ax ? 1 ,且曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 的切线与 y 轴垂直 3

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值; (III)是否存在实数 k ,使得直线 y ? k ( x ? 1) ? 存在,求 k 的范围;若不存在,说明理由.

4 与曲线 y ? f ( x) 有三个交点?若 3

2015 年福建省高等职业教育入学考试 数学试卷答案及评分参考 (面向普通高中考生) 一、单项选择题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.D 8.C 2.B 9.B 3.C 10.D 4.B 11.A 5.B 12.C 6.A 13.D 7.A 14.A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 15.2 16.3 17.21 18.8cm

三、解答题(本大题共 6 小题,共 60 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 19. 解 : (1) ???????2 分

f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
4

)

f ( ) ? 2 sin( ? 2 ? ) ? 1 4 4 4
(Ⅱ) f ( x) ? 当 f(x)= 2 ×1= 2 所以 f(x)的最大值是 2

?

?

?

??????4 分

2 sin( 2 x ?

?
4

)

sin( 2 x ? ) ? 1 4

?

时 ???????6 分 ???????8 分



20.解: (Ⅰ)因为等差数列 a1 ? 1, s3 ? 3 ? a1 ? 所以 6=3×1+3d, 解得 d=1 所以 an ? n (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 2n 所以

3(3 ? 1) d 2

?????????????????2 分 ?????????????????4 分 ??????5 分

b1 ? 2, b2 ? 22 , b3 ? 23
公比 q=2 ??????6 分

b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ?

a1q 5 ? a1 q ?1
????8 分

= 62

21.解: (Ⅰ)平均台数=

24 ? 26 ? 32 ? 33 ? 35 ? 30台 ,?????????5 分 5

(Ⅱ)基本事件: (24,26) (24,32) (24,33) (24,35) (26,32) (26,33) (26, 35) (32,33) (32,35) (33,35)共计 10 种情况, 符合条件有(32,33) (32,35) (33,35)3 种情况 ?????????8 分

3 p均高于平均数概率= 10
22.解: (Ⅰ)把 A(4,4)代入 y 2 ? 2 px 得:p=2 所以抛物线方程: y ? 4 x
2

?????????10 分 ????????????2 分

????????????4 分 ???????????5 分

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 焦点 F(1,0) ,A(4,4)

K AF ?

4?0 4 ? 4 ?1 3
4 (x-1) 3

???????????7 分

直线 AB 方程:y=

4 ? ?y = (x - 1) 3 ? ? y 2 ? 4x ?
因为 4 x ? 17x ? 4 ? 0
2

?????????????????8 分

x1 ? x2 ?

17 4
17 25 +2= 4 4
?????????????????10 分

AB ? x1 ? x2 ? p =

23.解: (Ⅰ)由三视图可得该几何体是一个棱长为 20 毫米的正方体上面放置了一个半径 10 毫米的半球

s正方体表面积=6×20×20- ? ?102 =2086
1 s半球表面积= ? 4? ?10 2=628 2
零件的表面积 s ? 2086 ? 628 ? 2714 ??????4 分
2

=2714( m m )

?????6

该零件的表面积 2714 m m . (Ⅱ)电镀 1000 个这种零件需要用的锌为 = 2714×10000×1.1?10 =2985.4(g).
?4

2

????????????8 分

????????????10 分

所以制造 1000 个这样的零件,需要锌 2985.4 克. 23.解: (Ⅰ)由题意:f(x)的切线与 y 轴垂直可得 k=0, f ' ( x) ? x 2 ? a ?????2 分

f ' (1) ? 1 ? a ? 0 ,
解得:a=1 (Ⅱ)把 a=1,代入 f(x),得 f ( x) ? ?????4 分

1 3 x ? x ?1 3
2

?????5 分

因为 f ' ( x) ? x 2 ?1 令 f ' ( x) ? 0 , x ? 1 ? 0 ,解得: x1 ? ?1, x2 ? 1 ?????6 分 ① 当x ? ?? 2,?1?, ?1,2?时,f(x)为增函数, ② 当x ? ?? 1,1? 时,f(x)为减函数,

? x=-1 是极大值,x=1 是极小值
5 5 ? f(-1)= , f(2)= 3 3

????????7 分

所以 f ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值是

5 ???8 分 3

(III)因为直线 y ? k ( x ? 1) ?

4 4 经过定点 A(1, ? ) ,如图可知,当 3 3

直线 K 为负数或不存在时直线与 f(x)只有一个交点,??????10 分 设直线 y ? k ( x ? 1) ?
' = f (m) = m ? 1
2

4 1 3 与 f(x)相切于点 B(m, m ? m ? 1 ),过 B 的斜率 K 3 3

4 1 3 m ? m ? 1 =( m2 ? 1 ) (m-1)3 3

????11 分

2m3 ? 3m2 ? 4 ? 0 , 2m2 (m ? 2) ? m2 ? 4 ? 0 , (m ? 2)(2m2 ? m ? 2) ? 0
解得:m=2,K= m ? 1 =3
2

????12 分

从而存 k ? (3,??) ,使得直线 y ? k ( x ? 1) ?

4 与曲线 y ? f ( x) 有三个交点 3


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