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高中数学竞赛讲义第三讲三角函数答案 - 试题


第三讲

三角函数

一、三角函数竞赛的基本知识 常用公式 由于是讲竞赛,这里就不再重复过于基础的东西,例如六种三角函数之间的转换, 两角和与差的三角函数,二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多, 有些还是不能不写。先从最基础的开始(这些必须熟练掌握) : 半角公式

sin

?
2

??

1 ? cos? 2 1 ? cos? 1 ? cos? sin ? ? ? 1 ? cos? sin ? 1 ? cos?

cos

?
2

??

1 ? cos? 2

tan

?
2

??

积化和差

sin ? cos ? ?

1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? cos ? sin ? ? 1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? 2 2 1 1 cos ? cos ? ? ?cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ?? sin ? sin ? ? ? ?cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ?? 2 2

和差化积

sin ? ? sin ? ? 2 sin

???
2

cos

???

cos ? ? cos ? ? 2 cos
万能公式

???
2

cos

???
2

2

sin ? ? sin ? ? 2 cos

???
2

sin

???

cos ? ? cos ? ? ?2 sin

???
2

sin

???
2

2

sin 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

cos 2? ?

1 ? tan2 ? 1 ? tan2 ?

tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

三倍角公式

sin 3? ? 3sin ? ? 4 sin 3 ? ? 4 sin 60? ? ? sin ? sin 60? ? ?

?

?

?

? ?
tan

cos3? ? 4 cos3 ? ? 3 cos? ? 4 cos 60? ? ? cos? cos 60? ? ?
二、某些特殊角的三角函数值 除了课本中的以外,还有一些 sin

?

?

?

cos

15

?

6? 2 4
1

6? 2 4

2? 3

75? 18? 72?

6? 2 4 5 ?1 4

6? 2 4

2? 3

5 ?1 4

三、三角函数求值 给出一个复杂的式子,要求化简。这样的题目经常考,而且一般化出来都是一个具体值。 要熟练应用上面的常用式子,个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的,如果看 到一些不常用的角,应当考虑用和差化积、积化和差,一般情况下直接使用不了的时候, 可以考虑先乘一个三角函数,然后利用积化和差化简,最后再把这个三角函数除下去 举个例子 例 1 求值: cos

2? 4? 6? ? cos ? cos 7 7 7

提示:乘以 2 sin

2? ,化简后再除下去。 7

延伸

求值: cos 10? ? cos 50? ? sin 40? sin 80?
2 2
2 2

延伸:求值 cos A ? cos (A ?

2 4 ? ) ? cos2 (A ? ? ) 3 3

四、三角不等式证明 最常用的公式一般就是:x 为锐角,则 sin x ? x ? tan x ;还有就是正余弦的有界性。 例 2 求证:x 为锐角,sinx+tanx〉2x

例3设x ? y ? z ?

?
12

,且 x ? y ? z ?

?
2

,求乘积 cos x sin y cos z 的最大值和最小值。

2

例 4 若 (cos? )2 ? 2m sin ? ? 2m ? 2 ? 0 对 ? ? R 恒成立,求实数 m 的取值范围。

延伸:已知 ? ? (0, 2? ) ,而 sinθ , cosθ 是方程 x ? kx ? k ? 1 ? 0 的两实根,求 k 和θ
2

的值。

例 5 已知 x 2 ? 9y2 ? 4x ? 6y ? 4 ? 0 ,求下列各式的最值: (1)S=4x-9y+3; (2)S=6xy+x-9y-2。

延伸:已知 A ? {( x, y) :9 x 2 ? 36 y 2 ?144}, B ?{k : k 2 ?5 ? ak ? 2b,( a, b) ? A 集合, } 求集合 B

2 2 2 ( 例 6 设 ?,?,? ? 0, ) 且满足 sin ? ) ? sin ? ) ? sin ? ) ? 1,求证: ( ( (

?

?

2

3 ?? ? ? ?? ? ? 2 4

例 7 设 ? ? ?0,

?? 2 2 ? ? ?? 恒 ? , 不等式 sin 2? ? (2 2 ? a 2)sin ? ? ? 4 ? ? 2a ? 3< ?? ? ? 2? ? ? cos ? ? ? ? 4? ?

成立,求实数 a 的取值范围

延伸:求实数 a 的取值范围,使得对任意实数 x 和任意 ? ? [0, ] ,都有

?

2

(x+3+2sin ? cos ? ) 2 ? (x ? a sin ? ? 2 cos ? ) 2 ?

1 8

3

例 8 在?ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列,且 sinAsinB=cos B,S?ABC= 4 3 ,求三边 a,b,c

2

例 9 在?ABC 中, a,b,c 分别表示三内角 A、 C 的对边, a,b,3c 成等比数列, A-C= B、 且 又 试求三个内角的值

? , 2

例 10(1)已知 x,y ? ? ?

x 3 ? sin x ? 2 a ? 0 ? ? ?? , ? , a ? R 且 {4 y 3 ? 1 sin 2 y ? a ? 0 求 cos(x+2y)的值; ? 4 4? 2

(2)方程 x2 ? a sin(cos 2x) ? a2 ? 0 仅有一解,求实数 a 的值.

例 11 求函数 f(x)=???sinx?+??sin 2x+???cosx???的最大值和最小值.

4

例 12 求 cos

2? 4? ? cos 的值 5 5

例 13 已知 ? , ? 为锐角,且 cos ? ? cos ? ? cos(? ? ? ) ?

3 求 ? , ? 的值。 2

例 14 已知 sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,求 S=tan(x+y+z)+tanxtanytanz 的值

4


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