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金华一中高二数学(理)12月月考试卷新


金华一中高二数学(理)12 月月考试卷
一、选择题(每小题 5 分共 50 分) 1.“ x ? 2 且 y ? 2 ”是“ x ? y ? 4 ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 若抛物线顶点为 ( 0 , 0 ) ,对称轴为 x 轴,焦点在 3 x ? 4 y ? 1 2 ? 0 上那么抛物线的方程为( ) A. y 2 ? 1 6 x B. y 2 ? ? 1 6 x C. y 2 ? 1 2 x D. y 2 ? ? 1 2 x 3.已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示,则下列图形中,可以是该几何体的俯视图的图形有( )

A.①②③⑤
2 2

B.②③④⑤

C.①②④⑤ ) .

D.①②③④

4.圆 x ? y ? 4 x ? 0 在点 P (1, A. x ?
3y ? 2 ? 0

3 ) 处的切线方程为(

B. x ?

3y ? 2 ? 0

C. x ? 3 y ? 4 ? 0 D. x ? 3 y ? 4 ? 0 5.已知三条不重合的直线 m , n , l , 两个不重合的平面 ? , ? , 给出下列四个命题: ①若 m // n , n ? ? , 则 m // ? ; ②若 l ? ? , m ? ? , 且 l // m 则 ? // ? ; ③若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? , 则 ? // ? ; ④若 ? ? ? , ? ? ? ? m , n ? ? , n ? m , 则 n ? ? . 其中真命题是 ( ) A.① ② B.③ ④ C.① ③ D. ② ④ 6.已知正方形 A B C D 的顶点 A , B 为椭圆的焦点,顶点 C , D 在椭圆上,则此椭圆的离心率为( A. 2 ? 1 B.
2

)

2 2

C. 2 ? 1

D. 2 ?

2

7. 已知直线与抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 交于 A,B 两点,且 OA ? OB , OD ? AB 交 AB 于 D,点 D 的坐标为(2,1) , 则 p 的值为 ( ) Zxxk A.
5 2

B.

2

C.

5

D.

3

4 2 3 8. 已知三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 的侧棱与底面边长都相等,A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点, 则异面直线 AB 与
CC 1 所成的角的余弦值为(


7 4

A.

3 4

B.

C.

3 4

D.

5 4

9. 在正方体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 中, 是棱 D D 1 的中点, 是侧面 C D D 1 C 1 上的动点, B 1 F / / 平面 A1 B E , B 1 F E F 且 则 与平面 C D D 1 C 1 所成角的正切值 t 构成的集合是( A. ? 2 ?
2


2 5 ? 5 ? t ? 2? ?

B. ?

?2 ?5

? 5? ?

C. ? t
?

?

D. ? t 2 ? t ? 2

2

?

10. 已知抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点为 F ,过 F 的直线交 y 轴正半轴于点 P ,交抛物线于 A , B 两点,其中点 A 在第一象限,若 F A ? ? A P , B F ? ? F A , A. [1, ]
3 4

??? ?

??? ?

????

??? ?

? ?

?[

1 4

,

1 2

] ,则 ? 的取值 范围是(

)

Zxxk

B. [ , 2 ]
3

4

C. [ 2 , 3 ]

D. [3, 4 ]

二、填空题(每小题 4 分共 28 分)
? ? 11.双曲线 ? x ? y ? ? 的实轴长是


y b
2

. ▲ . ▲ .

12. 已知直线 l1 : ( k ? 3 ) x ? ( 4 ? k ) y ? 1 ? 0 与 l 2 : 2 ( k ? 3 ) x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则 k 的值为 13. 已知点(2,3)在双曲线 C: x
a
2 2

?

2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 上,C

的焦距为 4,则它的渐近线方程为

14. 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心点在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么椭圆 C 的方程为 ▲ 2 2 4 15.下列关于曲线 5 x y ? y ? 1 的描述中,正确的序号是 ▲ . ①该曲线是封闭曲线; ②图象关于原点对称;

2 ,过 F1 的直线 ? 交 C 于 2

③曲线上的点到原点的最短距离为 2
5

5

.

16. 如图,在长方形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 1 , E 为线段 DC 上一动点,现将 ? AED 沿 AE 折起,使点 D 在面 ▲ . ABC 上的射影 K 在直线 AE 上,当 E 从 D 运动到 C ,则 K 所形成轨迹的长度为

15 题

17.在平面直角坐标系中,定义 d ( P , Q ) ? x1 ? x 2 ? y 1 ? y 2 为两点 P ( x 1 , y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) 之间的“折线距离”. 则坐 标原点 O 与直线 2 x ? y ? 2 5 ? 0 上一点的“折线距离”的最小值是 上一点的“折线距离”的最小值是 三、解答题(共 5 题,72 分)
2x ? y ? 2 5 ? 0
2



;圆 x ? y ? 1 上一点与直线
2 2



.
k 16

18.已知 p :方程

x

k ?1

?

y

2

k ? 3

? 1 表示双曲线, q :不等式 kx

2

? x ?

? 0 对一切 x ? R 恒成立,

若 p ? q 为真命题,求 k 的取值范围.

19.如图,PA⊥平面 ABCD,ABCD 是矩形,PA=AB=1,AD= 3,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动. (1)求三棱锥 E-PAD 的体积; (2)当点 E 为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系,并说明理由; (3)证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 PE⊥AF.

20.已知点 A 是抛物线 y =2px(p>0)上一点,F 为抛物线的焦点,准线 ? 与 x 轴交于点 K,已知 |AK|= 2 |AF|,三角形 AFK 的面积等于 8. (1)求 p 的值; (2)过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线 ? 1 , ? 2 ,与抛物线相交得两条弦,两条弦的中点分别为 G,H. 求|GH|的最小值.

2

21.如图,已知直三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 , ? A C B ? 9 0 ? , E 是棱 C C 1 上动点, F 是 A B 中点 , AC ? BC ? 2 ,
AA 1 ? 4 .

(1)求证: C F ? 平面 A B B 1 ; (2)当 E 是棱 C C 1 中点时,求证: C F ∥平面 A E B 1 ; (3)在棱 C C 1 上是否存在点 E ,使得二面角 A ? E B 1 ? B 的大小是 4 5 ? ,若存在,求 C E 的长,若不存在,请说明 理由.

22.已知点 P 是圆 x ? y
2

2

? 1 上任意一点,过点 P 作 y 轴的垂线,垂足为 Q ,点 R 满足 RQ ?

3 PQ ,记点 R 的轨

迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程; (2)设 A ( 0 ,1 ) ,点 M 、 N 在曲线 C 上,且直线 AM 与直线 AN 的斜率之积为
2 3

,求 ? AMN 的面积的最大值.

金华一中高二数学(理)12 月月考试卷

答题卷
一、 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的,请将正确答案的代号填在答卷的相应表格内。 ) 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 28 分) 考号 11.________________________12.______________________ 13.________________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

14. _______________________ 15.______________________ 16. ________________________ 班序号_________ 试场号

17.____________; ____________ 三.解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 ) 18.(14 分)已知 p :方程
x
2

k ?1

?

y

2

k ? 3

? 1 表示双曲线, q :不等式 kx

2

? x ?

k 16

? 0 对一切 x ? R 恒成立,

若 p ? q 为真命题,求 k 的取值范围.

高二(

)班

姓名____________

19.(14 分)如图,PA⊥平面 ABCD,ABCD 是矩形,PA=AB=1,AD= 3,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动. (1)求三棱锥 E-PAD 的体积; (2)当点 E 为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系,并说明理由; (3)证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 PE⊥AF.

20.(14 分)已知点 A 是抛物线 y =2px(p>0)上一点,F 为抛物线的焦点,准线 ? 与 x 轴交于点 K,已知 |AK|= 2 |AF|,三角形 AFK 的面积等于 8. (1)求 p 的值; (2)过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线 l1,l2,与抛物线相交得两条弦,两条弦的中点分别为 G,H. 求|GH|的最小值.

2

21. 15 分) ( 如图, 已知直三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 , A C B ? 9 0 ? , 是棱 C C 1 上动点, 是 A B 中点 ,AC ? BC ? 2 , ? F E
AA 1 ? 4 .

(1)求证: C F ? 平面 A B B 1 ; (2)当 E 是棱 C C 1 中点时,求证: C F ∥平面 A E B 1 ; (3)在棱 C C 1 上是否存在点 E ,使得二面角 A ? E B 1 ? B 的大小是 4 5 ? ,若存在,求 C E 的长,若不存在,请说明 理由.

22. (15 分)已知点 P 是圆 x ? y
2

2

? 1 上任意一点,过点 P 作 y 轴的垂线,垂足为 Q ,点 R 满足 RQ ?

3 PQ ,

记点 R 的轨迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程; (2)设 A ( 0 ,1 ) ,点 M 、 N 在曲线 C 上,且直线 AM 与直线 AN 的斜率之积为 值.
2 3

,求 ? AMN 的面积的最大

金华一中高二数学(理)12 月月考试卷
参考答案
1——5:AADBD 11. 4 15. ② ③ 18.由 p 得:1<k<3; 由 q 得:0<k<2 从而:1<k<2 12. 16.
?
3

6——10:ACCDB 3或5 13. 17.
y ? ? 3x

14.
2

x

2

?

y

2

?1

16
5 ,

8

5 ?

??????5 分 ??????10 分 ??????14 分

1 1 ?1 3 AB 19.解:(1)三棱锥 E-PAD 的体积 V= PA·△ADE= PA·2AD· ?= . ?????4 分 S ? 6 3 3 ?

(2)当点 E 为 BC 的中点时,EF 与平面 PAC 平行. ∵在△PBC 中,E、F 分别为 BC、PB 的中点, ∴EF∥PC,又 EF?平面 PAC,PC?平面 PAC, ∴EF∥平面 PAC. ??????9 分 (3)证明:∵PA⊥平面 ABCD,BE?平面 ABCD, ∴BE⊥PA,又 BE⊥AB,AB∩PA=A,AB,PA?平面 PAB, ∴ BE⊥平面 PAB.又 AF?平面 PAB,∴AF⊥BE. 又 PA=AB=1,点 F 是 PB 的中点,∴PB⊥AF, 又∵PB∩BE=B,PB,BE?平面 PBE, ∴AF⊥平面 PBE. ∵PE?平面 PBE,∴AF⊥PE. ??????14 分 20. 解: (Ⅰ)设 A ? x 0 , y 0 ? ,因为抛物线的焦点 F ? 则 A M ? x0 ?
又 AK ?
? p p ? ? p ? , 0 ? , 准 线 l的 方 程 为 : x ? ? , K ? ? , 0 ? , 作 A M ? l 于 M , 2 ? 2 ? ? 2 ?

p 2

? A F , .???????????1 分
2 A M , 即 ? A K M 为 等 腰 直 角 三 角 形 ,???2 分
p? ? , 即 A ? x 0 , x 0 ? ? ,而点 A 在抛物线上, 2 2 ? ? p

2 AF 得 AK ?
p 2

? K M ? A M ? x0 ?
2

,? y 0 ? x 0 ?

p? p ? ? p ? ? ? x 0 ? ? ? 2 p x 0 ,? x 0 ? , 于 是 A ? , p ? . .??????????????4 分 2 ? 2 ? ? 2 ?

又? S ? A F K ? (2)由 y
2

1 2

K F ? y0 ?

1 2

?p?p ?

p 2

2

? 8 , ? p ? 4 . 故所求抛物线的方程为 y

2

? 8 x .6 分

? 8 x ,得 F ( 2 , 0 ) ,显然直线 l 1 , l 2 的斜率都存在且都不为 0.

设 l 1 的方程为 y ? k ( x ? 2 ) ,则 l 2 的方程为 y ? ?

1 k

( x ? 2) .

? y ? 8 x, 4 4 2 由 ? 得 G ( 2 ? 2 , ) ,同理可得 H ( 2 ? 4 k , ? 4 k ) .?????8 分 k k ? y ? k ( x ? 2 ),
2

则 GH

2

? ( 1 k
4

4 k
2

? 4k ) ? (
2

4 k

? 4k )

2

=1 6 ( k 4 ?

? k

2

?

1 k
2

) ? 6 4 .(当且仅当 k

2

?

1 k
2

时取等号)

所以 | G H | 的最小值是 8.??????????????14 分 21.(1)证明:∵三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 是直棱柱,∴ B B 1 ? 平面 A B C . 又∵ C F ? 平面 A B C , ∴ C F ? B B1 . ∵ ? A C B ? 9 0 ? , A C ? B C ? 2 , F 是 A B 中点, ∴C F ? AB . 又∵ B B 1 ∩ A B ? B , ∴ C F ? 平面 A B B 1 . (2)证明:取 A B 1 的中点 G ,联结 E G , F G . ∵ F 、 G 分别是棱 A B 、 A B 1 中点, ∴ F G ∥ B B1 , F G ?
1 2
B B1 .

??????4 分

又∵ E C ∥ B B 1 , E C ?

1 2

B B1 ,

∴ FG ∥ EC , FG ? EC . ∴ 四边形 F G E C 是平行四边形, ∴ C F ∥ EG . 又∵ C F ? 平面 A E B 1 , E G ? 平面 A E B 1 , ∴ CF ∥平面 A E B 1 . 则 C ( 0 , 0 , 0 ) , A ( 2 , 0 , 0 ) , B1 ( 0 , 2 , 4 ) .
????
??? ?

??????9 分

(3)解:以 C 为坐标原点,射线 C A , C B , C C 1 为 x , y , z 轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系 C ? x y z , 设 E ( 0 , 0 , m ) ,平面 A E B 1 的法向量 n ? ( x , y , z ) , 则 A B1 ? ( ? 2 , 2 , 4 ) , A E ? ( ? 2 , 0 , m ) .
???? ? ? A B ? n ? ?2 x ? 2 y ? 4 z ? 0, ? 1 于是 ? ???? ? ? AE ? n ? ?2 x ? 0 y ? m z ? 0. ?
?

且 A B1 ? n , A E ? n .

????

?

????

?

mz ? x ? , ? ? ? 2 所以 ? 取 z ? 2 ,则 n ? ( m , m ? 4 , 2 ) ? y ? mz ? 4z . ? ? 2

∵ 三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 是直棱柱, ∴ B B 1 ? 平面 A B C .
? 又∵ A C ? 平面 A B C ,∴ A C ? B B 1 .∵ ? A C B ? 9 0 ,

∴ A C ? B C . ∵ B B 1 ∩ B C ? B ,∴ A C ? 平面 E C B B 1 . ∴ C A 是平面 E B B 1 的法向量, C A ? ( 2 , 0 , 0 ) . 二面角 A ? E B 1 ? B 的大小是 4 5 ? ,
??? ?
??? ?

??? ? CA 则 c o s 4 5 ? ??? ? CA
?

? ?n ? ? n 2?

2m m
2

?
2 2

2 2

.

解得 m ?

5 2

.

? (m ? 4) ? 2

∴ 在棱 C C 1 上存在点 E ,使得 二面角 A ? E B 1 ? B 的大小是 4 5 ? , 此时 C E ?
5 2

.

?????15 分
? 3 x ? x0 ? 3 PQ ,? ? 3 ? ? y0 ? y

22. 解: (I)设 R ( x , y ) , P ( x 0 , y 0 ) ,则 Q ( 0 , y 0 ) .?
x
2

RQ ?



[来源:Zxxk.Com]

? x0 ? y0

2

2

? 1

,故点 R 的轨迹方程:

? y

2

? 1

.

…6 分
3 ? t ? 3)

3
: x ? t(?

(Ⅱ) (1)当直线 MN 的斜率不存在时,设 MN 则M
(t, 1 ? t
2



) 3

,N

( t ,?

1?

t

2

)

3

,? k AM

?K

AN

?

1 3

,不合题意.--------7 分


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