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2012年青岛市高三二模数学试题及答案(理)及答案


高三自评试题

数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试 科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准 使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:锥体的体积公式为: V ?
1 3 S h ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? ? m , ? 3? , N ? ? x 2 x ? 7 x ? 3 ? 0 , x ? Z ? ,如果 M ? N ? ? ,则 m 等于
2

A. ? 1

B. ? 2
2 i

C. ? 2 或 ? 1
2

D. ?

3 2

2.设复数 z ? 1 ? A. 2 i

(其中 i 为虚数单位),则 z ? 3 z 的虚部为 C. ? 1 0 D. 2

B. 0

3.“ a ? 4 ”是“对任意的实数 x , 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? a 成立”的 A.充分必要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件 4.已知函数 f ( x ) ? ? A. 7 B. 2
? lo g 2 x , x ? 0 ?9
?x

?1, x ? 0

,则 f ( f (1)) ? f lo g 3 1 的值是
2

?

?

C. 5

D. 3

5.设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面.有下列四个命题: ①若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n ;

②若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? ; 开始 ③ 若 n ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m ? ? ; ④ 若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? . 其中错误命题的序号是 .. A.①③ B.①④ C.②③④ D.②③
a ? 1, b ? 1

a ? ①?




b ? 2b ? 1

6.执行如图所示的程序框图,若输出的 b 的值为 3 1 , 则图中判断框内①处应填 A. 3 7.函数 y ? B. 4
2

输出 b
a ? a ?1

C. 5

D. 6

结束

9 ? ? x ? 5 ? 的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能

成为该等比数列的公比的数是 A.
3 4

B. 2

C. 3

D. 5

8.以下正确命题的个数为 ①命题“存在 x ? R , x ? x ? 2 ? 0 ”的否定是:“不存在 x ? R , x ? x ? 2 ? 0 ”;
2 2

1

②函数 f ( x ) ? x 3 ? ( ) 的零点在区间 ( , ) 内;
x

1

1 1

2
2

3 2

③已知随机变量 ? 服从正态分布 N (1, ? ) , P ( ? ? 4 ) ? 0 .7 9 ,则 P (? ? ? 2 ) ? 0 .2 1 ; ④函数 f ( x ) ? e
?x

? e 的图象的切线的斜率的最大值是 ? 2 ;
x

? ? y ⑤线性回归直线 ? ? b x ? a 恒过样本中心 ? x , y ? ,且至少过一个样本点.

A. 1 9.设 a ?
2

B. 2

C. 3
2

D. 4
a x ) 展开式中不含 x 项的系数和是 ..
6

? 0 (1 ? 3 x

2

) d x ? 4 ,则二项式 ( x ?

3

A. ? 1 6 0

B. 1 6 0
1 2 x, x ? [?

C. 1 6 1
?
2 , π 2 ] , s in x 0 ? 1 2

D. ? 1 6 1 , x0 ? [?
?
2 , π 2 ] ,那么下面命题中真

10.已知函数 f ( x ) ? c o s x ? 命题的序号是

① f ( x ) 的最大值为 f ( x 0 ) ③ f ( x ) 在[ ? A.①③
?
2 , x 0 ] 上是增函数

② f ( x ) 的最小值为 f ( x 0 ) ④ f ( x ) 在 [ x 0 , ] 上是增函数
2 π

B.①④

C.②③

D. ②④

11.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的
3 3

A.外接球的半径为 C.表面积为 6 ?

B.体积为 3
1 6? 3
1 1

3

3 ?1

1

D.外接球的表面积为

正视图

侧视图

2 12.已知直线 y ? k ? x ? 1 ? 与抛物线 C : y ? 4 x 相交于 A 、

B 两
俯视图

点 , F 为 抛 物 线 C 的 焦 点 , 若 FA ? 2 FB , 则 k =
2 3 2 2 3
1 3 2 3

A. ?

B. ?

C. ?

D.

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.若 ta n ? ? 2 , 则 sin ? co s ? ?
2 2

.
??? ??? ? ?

14.已知直线 y ? x ? a 与圆 x ? y ? 4 交于 A 、 B 两点,且 O A ? O B ? 0 ,其中 O 为坐标原点, 则正实数 a 的值为 .

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 2 2 15.设 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? y 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0 ?

.

16.已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ? 1 , 5 ? ,部分对应值如下表, f ? x ? 的导函数 y ? f ? ? x ? 的图象 如图所示. 下列关于 f ? x ? 的命题: ①函数 f ? x ? 的极大值点为 0 , 4 ; ②函数 f ? x ? 在 ? 0 , 2 ? 上是减函数;
f
x

-1 1

0 2

4 2

5 1

?x?

③如果当 x ? ? ? 1 ,t ? 时, f ? x ? 的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ? x ? ? a 有 4 个零点; ⑤函数 y ? f ? x ? ? a 的零点个数可能为 0、1、2、3、4 个. 其中正确命题的序号是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin x , 3 sin x ), n ? (sin x , ? cos x ) , 设函数 f ( x ) ? m ? n , 若函数 g ( x ) 的图象与 f ( x ) 的图象关于坐标原点对称. (Ⅰ)求函数 g ( x ) 在区间 ? ?
? ?

?
4

,

? ?
6? ?

上的最大值,并求出此时 x 的值;
3 2

(Ⅱ) ? ABC 中,a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边,A 为锐角,若 f ( A ) ? g ( A ) ? 在
? ABC 的面积为 2

,b ? c ? 7 ,

3 ,求边 a 的长.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在多面体 A B C ? A1 B1C 1 中,四边形 A B B 1 A1 是正 方形, A C ? A B ? 1 , A1 C ? A1 B ? B C , B1C 1 // B C ,
B1C 1 ? 1 2
A

A1 C1

B1

BC .
B

(Ⅰ)求证: A B 1 // 面 A1 C 1C ; (Ⅱ)求二面角 C ? A1 C 1 ? B 的余弦值的大小.
C

19. (本小题满分 12 分)甲居住在城镇的 A 处,准备开 车到单位 B 处上班,若该地各路段发生堵车事件都是相 互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次, 发生堵车事件的概率如图(例如, A → C → D 算作两 路段 A C 发生堵车事件的概率为
1 10

1
E

1
F

个路段:
B

20 3 20 1 10

12 1 6 1 15

, 路段 C D 发生堵车
1 5
A

事 件 的

C

D

概率为

1 15

,且甲在每个路段只能按箭头指的方向前进) .

(Ⅰ)请你为其选择一条由 A 到 B 的路线,使得途中发生堵车事件的概率最小; (Ⅱ)若记路线 A → C → F → B 中遇到堵车次数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列及 E ? . 20. (本小题满分 12 分)已知集合 A ? ? x x ? ? 2 n ? 1, n ? N ? ? , B
?

?x

x ? ?6n ? 3 , n ? N

?

? ,设 S n 是

等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 ?a n ? 的任一项 a n ? A ? B ,且首项 a 1 是 A ? B 中的最大数,
? 7 5 0 ? S10 ? ? 3 0 0 .

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ? b n ? 满足 b n ? ( 与
48n 2n ? 1
2 2 )
an ?1 3 n ? 9

,令 T n ? 2 4 ( b 2 ? b 4 ? b 6 ? ? ? b 2 n ) ,试比较 T n

的大小.
3 2

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ln ? 2 ? 3 x ? ? (Ⅰ)求函数 y ? f ? x ? 的极大值; (Ⅱ)令 g ? x ? ? f ? x ? ?
3 2

x .

2

x ? ? m ? 1 ? x ( m 为实常数) ,试判断函数 g ? x ? 的单调性;
2

(Ⅲ)若对任意 x ? ? , ? ,不等式 a ? ln x ? ln ? f ? ? x ? ? 3 x ? ? 0 均成立,求实数 a 的取值范 ? ? ?6 3? 围. 22. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C 1 、抛物线 C 2 的焦点均在 x 轴上, C 1 的中心和 C 2 的顶点均 为坐标原点 O ,从每条 两个点,将其坐标记录 (Ⅰ)求 C 1、 C 2 的标 (Ⅱ)请问是否存在直
y

?1 1?

曲线上各取
x
3
?2

4

2
2

于表中: 准方程;

线 l 同时满 2 ???? ??? ? 足条件:(ⅰ)过 C 2 的焦点 F ;(ⅱ)与 C 1 交于不同两点 Q 、 R ,且满足 O Q ? O R ?若存在,求 出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. (Ⅲ) 已知椭圆 C 1 的左顶点为 A , A 作两条互相垂直的弦 A M 、A N 分别另交椭圆于 M 、N 过 两点.当直线 A M 的斜率变化时,直线 M N 是否过 x 轴上的一定点,若过定点,请给出证明,

?2 3

0

?4

并求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.

高三自评试题

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. CDBAB BDCCA DA 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.
2 5

14. 2

15. 5 2

16.①②⑤

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)
1 ? cos 2 x 2 3 2

解: (Ⅰ)由题意得: f ( x ) ? s in x ?
2

3 s in x c o s x ?

?

s in 2 x

?

1 2

? s in ( 2 x ? 1

?
6

)

………………………………………………………2 分
?
6 )

所以 g ( x ) ? ? 因为 x ? ? ?
? ?

? sin( 2 x ?

………………………………………………3 分
?
? 2? ? ? ? ? , ? 6 3 6? ? ? ? ?

2

? ? ?
, 4 6? ?

,所以 2 x ?

所以当 2 x ?

?
6

? ?

?
2

即x ? ?

?
6

时,函数 g ( x ) 在区间 ? ?

?
4

,

? ?

1 ? 上的最大值为 2 . 6?

……………………………………………6 分

(Ⅱ)由 f ( A ) ? g ( A ) ? 化简得: cos 2 A ? ? 又因为 0 ? A ?
?
2 1 2

3 2

得: 1 ? sin( 2 A ?

?
6

) ? sin( 2 A ?

?
6

)?

3 2

,解得: A ?
1 2
2 2

?
3

…………………………………………9 分

由题意知: S ? ABC ?
2

bc sin A ? 2 3 ,解得 bc ? 8 ,
2

又 b ? c ? 7 ,所以 a ? b ? c ? 2 b c co s A ? ( b ? c ) ? 2 b c (1 ? co s A )
? 4 9 ? 2 ? 8 ? (1 ? 1 2 ) ? 25

故所求边 a 的长为 5 .

…………………………………………………………………12 分

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)取 B C 的中点 E ,连结 A E , C 1 E , B 1 E
? B1 C 1 // B C , B1 C 1 ?

1 2

B C ,? B1 C 1 // E C , B1C 1 ? E C ,

? 四边形 C E B 1 C 1 为平行四边形, 从而 B1 E // C 1C , ? C 1 C ? 面 A1 C 1 C , B1 E ? 面 A1 C 1 C ? B 1 E // 面 A1 C 1 C
? B1 C 1 // B C , B1 C 1 ?

………………………………………………………………2 分
1 2 B C ,? B1 C 1 // B E , B1 C 1 ? B E

? 四边形 B B1 C 1 E 为平行四边形 ? B1 B // C 1 E ,且 B 1 B ? C 1 E

又? A B B 1 A1 是正方形,? A1 A // C 1 E ,且 A1 A ? C 1 E 故 A E C 1 A1 为平行四边形,? A E // A1 C 1
? A1 C 1 ? 面 A1 C 1 C , A E ? 面 A1 C 1 C ? A E // 面 A1 C 1 C

………………………………………………………………4 分

? A E ? B 1 E ? E ,? 面 B 1 A E // 面 A1 C 1 C

? A B1 ? 面 B1 A E ,? A B 1 // 面 A1 C 1 C

………………………………………6 分

(Ⅱ)? 四边形 A B B 1 A1 为正方形, ? A1 A ? A B ? A C ? 1 , A1 A ? A B
? A1 B ?

2 ,? A1 C ? A1 B

? A1 C ?
?

2

z

A1 C1

B1

由勾股定理可得: ? A1 A C ? 9 0 ,? A1 A ? A C ,
? A B ? A C ? A ,? A1 A ? 面 A B C ,
? A1 C ? A1 B ? B C ,? B C ?
?

2

A E

B

y

由勾股定理可得: ? B A C ? 9 0 ,

C

x
? AB ? AC

…………………………………8 分
,1) , 2 2 ???? ???? ? 1 1 ,1) , B A1 ? (0 , ? 1,1) , B C 1 ? ( , ? ,1) . 2 2 ?? ???? ? ? 0 , n1 ? C C 1 ? 0 1 1

故以 A 为原点,以 A C 为 x 轴建立坐标系如图,则 C (1, 0 , 0 ), A1 ( 0 , 0 ,1), C 1 ( ,
???? ???? ? 1 1 B (0,1, 0 ) ,所以 C A1 ? ( ? 1, 0 ,1) , C C 1 ? ( ? , 2 2 ?? ?? ???? 设面 A1 C 1C 的法向量为 n1 ? ( x , y , z ) ,由 n1 ? C A1

?? x ? z ? 0 ?? ? ? ? 1 ,令 z ? 1 ,则 n1 ? (1, ? 1,1) 1 ?? x ? y ? z ? 0 ? 2 2

设面 A1 C 1 B 的法向量为 n 2 ? ( m , n , k ) ,则 n 2 ? B A1 ? 0, n 2 ? B C 1 ? 0
??n ? k ? 0 ?? ? ? 则?1 ,令 k ? 1 ,则 n 2 ? ( ? 1,1,1) 1 ? m ? n?k ? 0 ?2 2

?? ?

?? ???? ?

?? ???? ? ?

…………………………10 分

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n 2 ?1 ? 1 ? 1 1 ? ? 所以 c o s n1 , n 2 ? ?? ?? ? ? 3 3? 3 n1 n 2

设二面角 C ? A1 C 1 ? B 的平面角为 ? , n1 , n 2 ? ? 所以 c o s ? ? c o s ? ? ? ? ? ? 19. (本小题满分 12 分)
1 3

?? ?? ?

……………………………………………………12 分

解: (Ⅰ)记路段 A C 发生堵车事件为 A C ,各路段发生堵车事件的记法与此类同.因为各路段发 生堵车事件都是独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,所以路线
A → C → D → B 中遇到堵车的概率为

P1 ? 1 ? P A C ? C D ? D B ? 1 ? P A C P C D P D B
? 1 ? ?1 ? P ? A C ? ? ?1 ? P ? C D ? ? ?1 ? P ? D B ? ? ? ?? ?? ?

?

?

?

? ?

? ?

?

? 1?

14 5 3 ? ? 10 15 6 10 ?

9

……………………………………………………………………2 分
239 800

同理:路线 A → C → F → B 中遇到堵车的概率为 P2 ? 1- P ( AC · CF · FB )=
3 10

(小于



………………………………………………………………………4 分
91 300

路线 A → E → F → B 中遇到堵车的概率为 P3 ? 1 ? P ? A E ? E F ? F B ? ?

(大于

3 10



显然要使得由 A 到 B 的路线途中发生堵车事件的概率最小,只可能在以上三条路线中选择.因此 选择路线 A → C → F → B ,可使得途中发生堵车事件的概率最小 …………6 分

(Ⅱ)路线 A → C → F → B 中遇到堵车次数 ? 可取值为 0,1,2,3.
P ?? ? 0 ? ? P A C ? C F ? F B ?

?

?

561 800



P ?? ? 1? ? P A C ? C F ? F B ? P A C ? C F ? F B ? P A C ? C F ? F B

?

?

?

?

?

?

?

17 11 9 3 11 9 17 1 637 ? ? ? ? ? ? ? ? , 10 20 12 10 20 12 10 20 12 2400 ?

1

P ?? ? 2 ? ? P A C ? C F ? F B ? P A C ? C F ? F B ? P A C ? C F ? F B
? 1 ? 3 ? 11 ? 1 ? 17 ? 1 ? 9 ? 1 3 ? ? 1 3 ? ? 1 77 2400 ? 1 800

?

?

?

?

?

?

, .

10 20 12

10 20 12

10 20 12 10 20 12

P ?? ? 3 ? ? P ? A C ? C F ? F B ? ?

所以 ? 的分布列为
?
0
561 800

1
637 2400

2
77 2400

3
1 800

P

…………………………………………

…9 分 ∴ E? = 0 ?
561 800 ? 1? 637 2400 ? 2? 77 2400 ? 3? 1 800 ? 1 3

………………12 分

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)根据题设可得: 集合 A 中所有的元素可以组成以 ? 3 为首项, ? 2 为公差的递减等差数 列;集合 B 中所有的元素可以组成以 ? 3 为首项, ? 6 为公差的递减等差数列. 由此可得,对任意的 n ? N ,有 A ? B ? B
A ? B 中的最大数为 ? 3 ,即 a 1 ? ? 3
?

…………………………………………2 分
1 0 ( a1 ? a1 0 ) 2 ? 45d ? 30

设等差数列 ?a n ? 的公差为 d ,则 a n ? ? 3 ? ( n ? 1) d , S 1 0 ?

因为 ? 7 5 0 ? S 1 0 ? ? 3 0 0 , ? ? 7 5 0 ? 4 5 d ? 3 0 ? ? 3 0 0 ,即 ? 16 ? d ? ? 6 由于 B 中所有的元素可以组成以 ? 3 为首项, ? 6 为公差的递减等差数列 所以 d ? ? 6 m ( m ? Z , m ? 0 ) ,由 ? 1 6 ? ? 6 m ? ? 6 ? m ? 2 ,所以 d ? ? 12 …………5 分 所以数列 ?a n ? 的通项公式为 a n ? 9 ? 1 2 n ( n ? N )
?

………………………6 分

(Ⅱ) b n ? (

2 2

)

an ?1 3 n ? 9

? (

2 2

)

n

1 n [1 ? ( ) ] 1 2 Tn ? 2 4 ( b2 ? b4 ? b6 ? ? ? b2 n ) ? 2 4 ? 2 ? 2 4 (1 ? n ) ………………………7 分 1 2 1? 2

1

Tn ?

48n 2n ? 1

? 24 ?

24 2
n

?

48n 2n ? 1

?

2 4 ( 2 ? 2 n ? 1)
n

2 ( 2 n ? 1)
n
n

于是确定 T n 与

48n 2n ? 1
2

的大小关系等价于比较 2 与 2 n ? 1 的大小
3

由 2 ? 2 ?1 ? 1 , 2 ? 2 ? 2 ? 1 , 2 ? 2 ? 3 ? 1 , 2 ? 2 ? 4 ? 1 ,???
4

可猜想当 n ? 3 时, 2 ? 2 n ? 1
n

…………………………………………………………9 分

证明如下: 证法 1: (1)当 n ? 3 时,由上验算可知成立. (2)假设 n ? k 时, 2 ? 2 k ? 1 ,
k

则2

k ?1

? 2 ? 2 ? 2 ( 2 k ? 1) ? 4 k ? 2 ? 2 ( k ? 1) ? 1 ? ( 2 k ? 1) ? 2 ( k ? 1) ? 1
k

所以当 n ? k ? 1 时猜想也成立 根据(1) (2)可知 ,对一切 n ? 3 的正整数,都有 2 ? 2 n ? 1
n

? 当 n ? 1, 2 时, T n ?

48n 2n ? 1

,当 n ? 3 时 T n ?

48n 2n ? 1

………………………………12 分

证法 2:当 n ? 3 时
2 ? (1 ? 1) ? C n ? C n ? ? ? ? ? C n
n n 0 1 n ?1

? Cn ? Cn ? Cn ? Cn
n 0 1

n ?1

? Cn ? 2n ? 2 ? 2n ? 1
n

? 当 n ? 1, 2 时, T n ?

48n 2n ? 1

,当 n ? 3 时 T n ?

48n 2n ? 1

………………………………12 分

21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? f ? x ? ? ln ? 2 ? 3 x ? ?
3 2 x , ? y ? f
2

? x ? 的定义域为 ? ?
?

?

? ,?? ? ; 3 ? 2

由于 f ? ? x ? ? ?
? ?

1? ? 9 ? x ? 1? ? x ? ? 3? ? 3x ? 2

,由 f ? ? x ? ? 0 ? x ?

1 3

,

当x???

2 1? ?1 ? , ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? , ? ? ? 时, f ? ? x ? ? 0 . 3 3? ?3 ?

? y ? f

? x ? 在? ?
?

?

2 1? ?1 ? , 上为增函数;在 ? , ? ? ? 上为减函数, ? 3 3? ?3 ? 1 ?1? ? ? ln 3 ? . 6 ?3? ? ?

从而 f ? x ? 极 大 ? f ?

………………………………………3 分

(Ⅱ) ? g ? x ? ? ln ? 2 ? 3 x ? ? ? m ? 1 ? x , ? x ? ?
3 ? m ? 1? x ? 2 m ? 1 2 ? 3x
3 2 ? 3x

2? ? 3?

? g?? x? ?

3 2 ? 3x

? m ?1 ?

,………………………………………4 分

① 当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1 时, g ? ? x ? ?

? 0,

? 2 ? ? g ? x ? 在 ? ? , ? ? ? 上为增函数;…………………………………………………………5 分 ? 3 ?

②当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1 时, g ? ? x ? ?
2m ? 1 3 ? m ? 1?

3 ? m ? 1? x ? 2 m ? 1 2 ? 3x

?

? 2m ? 1 ? 3 ? m ? 1? ? x ? ? 3 ? m ? 1? ? ? 2 ? 3x

.

由 g?? x? ? 0 ? x ? ?

,

? 2m ? 1 ? ? 2 ? 1 ? ? ? ? , ? ?? ? 3 ? m ? 1? ? ? 3 ? ? m ?1 ? ? ? ?
? (ⅰ)若 m ? 1 ,则 ?

2m ? 1 3 ? m ? 1?

? ?

2 3

,? x ? ?

2 3

时, g ? ? x ? ? 0 ,

? 2 ? ? g ? x ? 在 ? ? , ? ? ? 上为增函数;…………………………………………………………7 分 ? 3 ?

(ⅱ)若 m ? 1 ,则 ?

2m ? 1 3 ? m ? 1?

? ?

2 3



? 2 2m ? 1 ? x? ?? ,? ? 时, g ? ? x ? ? 0 ; x ? ? 3 3 ? m ? 1? ? ? ?

? 2m ? 1 , ?? ?? ? 3 ? m ? 1? ?

? ? 时, g ? ? x ? ? 0 , ? ? ? ? 上为减函数. ? ?

? ? 2 2m ? 1 2m ? 1 ? ,?? ? g ? x ? 在? ? ,? ? 上为增函数,在 ? ? ? 3 3 ? m ? 1? ? ? 3 ? m ? 1? ?

综上可知:当 m ? 1 时, g ? x ? 在 ? ?
?

?

? , ? ? ? 上为增函数; 3 ? 2
? ? 上为减函数. ? ?

当 m ? 1 时, g ? x ? 在 ? ? ?
?

?

2 3

,?

? 2m ? 1 2m ? 1 ? ,?? ? 上为增函数,在 ? ? 3 ? m ? 1? 3 ? m ? 1? ? ?

…………………………9 分 (Ⅲ)由 a ? ln x ? ln ? f ? ? x ? ? 3 x ? ? 0 ? a ? ln x ? ln ? ?
? x?
3 6 ?1 1? ? 0 ? ln ? ln ,而 a ? ln x ? 0 , , ?6 3? , 2 ? 3x 5 ? ? 3 2 ? 3x ? 0,

? 要对任意 x ?

?1 1? , ,不等式 a ? ln x ? ln ? f ? ? x ? ? 3 x ? ? 0 均成立,必须: ? ? ?6 3? ? ?

ln

3 2 ? 3x

与 a ? ln x 不同时为 0. ………………………………………………………11 分
1 3

因当且仅当 x ?
1 3

时, ln

3 2 ? 3x

=0,所以为满足题意必有 a ? ln

1 3

? 0,

即 a ? ln

.

…………………………………………………………………12 分

22. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)设抛物线 C 2 : y ? 2 m x ? m ? 0 ? ,则有
2

y

2

x

? 2 m ? x ? 0 ? ,据此验证 4 个点知

? 3, ? 2 3 ? 、 ? 4 , ? 4 ? 在抛物线上,易求 C
设 C1 :
x a
2 2

2

: y

2

? 4x
2 2

…………………2 分
2 ,

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? ,把点( ? 2,0) (

)代入得:

? 4 ?1 ? 2 ?a ? ? 2 ? 1 ?1 2 ?a2 2b ?

?

?a 2 ? 4 ? ? 2 ?b ? 1 ?

∴ C 1 方程为

x

2

? y

2

?1

………………………………………………………4 分

4

(Ⅱ)容易验证直线 l 的斜率不存在时,不满足题意; 当直线 l 斜率存在时,假设存在直线 l 过抛物线焦点 F (1, 0 ) ,设其方程为 y ? k ( x ? 1) ,与 C 1 的 交点坐标为 Q ? x1 , y 1 ? , R ? x 2 , y 2 ?
? x2 2 ? 2 2 2 2 由 ? 4 ? y ? 1 消去 y ,得 (1 ? 4 k ) x ? 8 k x ? 4 ( k ? 1) ? 0 , ? y ? k ( x ? 1) ?

于是 x1 ? x 2 ?

8k

2 2

1 ? 4k

, x1 x 2 ?
2

4(k

2

? 1)
2

1 ? 4k

…………①

……………………7 分

y1 y 2 ? k ( x1 ? 1) ? k ( x 2 ? 1) ? k [ x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1]

即 y1 y 2 ? k (
2

4(k

2

? 1)
2

1 ? 4k

?

8k

2 2

1 ? 4k

? 1) ? ?

3k

2 2

1 ? 4k

……②

由 O Q ? O R ,即 O Q ? O R ? 0 ,得 x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 (*) 将①、②代入(*)式,得
4 (k ? 1) 3 k ? ? 2 2 1 ? 4k 1? 4 k
2 2

????

??? ?

???? ??? ?

k ? ? 1 4 k

2

2

4 ? 0 ,解得 k ? ? 2 ;

所以存在直线 l 满足条件,且 l 的方程为: y ? 2 x ? 2 或 y ? ? 2 x ? 2 …………………9 分 (Ⅲ)设直线 A M 的斜率为 k ? k ? 0 ? ,则 A M : y ? k ( x ? 2 ) , A N : y ? ? 则? x
? y ? k ( x ? 2 ), ? 2 ? 4 ? ? y ? 1,
2

1 k

( x ? 2)

化简得: (1 ? 4 k ) x ? 1 6 k x ? 1 6 k ? 4 ? 0 .
2 2 2 2

∵此方程有一根为 ? 2 ,∴ x M ?
2k ? 8
2

2 ? 8k 1 ? 4k

2 2

? yM ?

4k 1 ? 4k
2

同理可得 x N ?
?

k ?4
2

? yN ? ?
4k

4k k ?4
2

………………………………………………11 分

4k
2

则 kMN ?

k ?4 2 2k ? 8 k ?4
2

? ?

2 5k 1 ? 4k ? ? 2 2 2 ? 8k 4 ( k ? 1)

1 ? 4k

2

所以 M N 的直线方程为 y ?

4k 1 ? 4k
2

? ?

5k 4 ( k ? 1)
2

(x ?

2 ? 8k 1 ? 4k

2 2

)

令 y ? 0 ,则 x ?

1 6 k ( k ? 1)
2

5 k (1 ? 4 k )
2

?

2 ? 8k 1 ? 4k
6 5

2 2

? ?

6 5

.

所以直线 M N 过 x 轴上的一定点 ( ?

, 0 ) ………………………………………………14 分



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