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《1.3.1函数的单调性(2)》导学案3


《1.3.1函数的单调性(2) 》导学案3
学习目标
1. 理解函数的最大(小)值及其几何意义; 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

学习过程
一、课前准备 (预习教材P30~ P32,找出疑惑之处) 复习1:指出函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的单调区间及单调性,并进行证明.

复 习 2 : 函 数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的 最 小 值 为
f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的最大值为



.

复习3:增函数、减函数的定义及判别方法.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:函数最大(小)值的概念 思考:先完成下表, 函数
f ( x) ? ?2 x ? 3 f ( x) ? ?2 x ? 3 , x ? [?1, 2]

最 高点

最 低点

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ,
x ? [?2, 2]

讨论体现了函数值的什么特征?

新知:设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:对于任意的x∈I,都有f(x)≤ M;存在x0∈I,使得f(x0) = M. 那么,称M是函数y=f(x)的最大值(Maximum Value).

试试:仿照最大值定义,给出最小值(Minimum Value)的定义.

反思: 一些什么方法可以求最大(小)值?

※ 典型例题 例1一枚炮弹发射,炮弹距地面高度h(米)与时间t(秒)的变化规律是 h ? 130t ? 5t 2 ,那么 什么时刻距离地面的高度达到最大?最大是多少?

变式:经过多少秒后炮弹落地?

试试:一段竹篱笆长20米,围成一面靠墙的矩形菜地,如何设计使菜地面积最大?

小结: 数学建模的解题步骤:审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值.

例2求 y ?

3 在区间[3,6]上的最大值和最小值. x?2

变式:求 y ?

3? x , x ?[3,6] 的最大值和最小值. x?2

小结: 先按定义证明单调性,再应用单调性得到最大(小)值.

试试: 函数 y ? ( x ? 1)2 ? 2, x ?[0,1] 的最小值为 呢?

, 最大值为

. 如果是 x ? [?2,1]

※ 动手试试 练1.用多种方法求函数 y ? 2x ? x ? 1 最小值.

变式:求 y ? x ? 1 ? x 的值域.

练2.一个星级旅馆有150个标准房,经过一段时间的经营,经理得到一些定价和住房率 的数据如右: 欲使每天的的营业额最高,应如何定价? 房 价(元) 160 140 120 100 住房 率(%) 55 65 75 85

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 函数最大(小)值定义;.

2. 求函数最大(小)值的常用方法:配方法、图象法、单调法.

※ 知识拓展 求二次函数在闭区间上的值域, 需根据对称轴与闭区间的位置关系, 结合函数图象进行 研究. 例如求 f ( x) ? ? x2 ? ax 在区间 [m, n] 上的值域,则先求得对称轴 x ?

a a ,再分 ? m 、 2 2

m?

a m?n m?n a a ? ? ? n 、 ? n 等四种情况,由图象观察得解. 、 2 2 2 2 2
学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ).

※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分: 1. 函数 f ( x) ? 2x ? x 2 的最大值是( A. -1 B. 0 C. 1 ). D. 2 ). D. 3 ). D.
2

2. 函数 y ?| x ? 1| ?2 的最小值是( A. 0 B . -1 C. 2

3. 函数 y ? x ? x ? 2 的最小值是( A. 0 B. 2 C. 4

4. 已知函数 f ( x) 的图象关于y轴对称,且在区间 (??,0) 上,当 x ? ?1 时, f ( x) 有最小 值3,则在区间 (0, ??) 上,当 x ? 时, f ( x) 有最 值为 . .

5. 函数 y ? ? x2 ? 1, x ?[?1,2] 的最大值为

,最小值为

课后作业 1. 作出函数 y ? x2 ? 2x ? 3 的简图,研究当自变量x在下列范围内取值时的最大值与最 小值. (1) ?1 ? x ? 0 ; (2) 0 ? x ? 3 ;(3) x ? (??, ??) .

2. 如图,把截面半径为10 cm的圆形木头锯成矩形木料,如果矩形一边长为 x ,面积为

y, 试将 y 表示成 x 的函数, 并画出函数的大致图象, 并判断怎样锯才能使得截面面积最大?



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