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教案《函数的基本性质题型讲解》


函数的基本性质
1.增函数与减函数 定义:对于函数 f ?x ? 的定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 , x2 . (1)若当 x1 ? x 2 时,都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,则说 f ?x ? 在这个区间 D 上是增函数; (2)若当 x1 ? x 2 时,都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,则说 f ?x ? 在这个区间 D 上是减函数. 注意?区间可以使定义域也可以是定义域的某个区间; ? x1 , x 2 的任意性; ?增函数 y 随 x 的增大而增大, 呈上升趋势; 减函数 y 随 x 的减小而减小, 呈下降趋势. 2.增函数与减函数形式的等价变形 ① f ( x) 在区间 M 上是增函数 ? ?x1 , x2 ? M , 当 x1 ? x 2 时有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ② f ( x) 在区间 M 上是减函数 ? ?x1 , x2 ? M , 当 x1 ? x 2 时有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; 设 x1 , x2 ?a, b?, x1 ? x2 那么

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?
3.单调性与单调区间的定义

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. x1 ? x2

如果一个函数在某个区间 M 上是增函数或是减函数, 就说这个函数在这个区间 M 上具 有单调性(区间 M 称为单调区间) 注意 单调区间之间不能用并的符号只能用逗号隔开. 4.单调函数的运算性质 若 f ?x ? , g ?x ? 在区间 D 上具有单调性,则在区间 D 上具有以下性质: (1) f ?x ? 与 f ?x ? ? C 具有相同的单调性; (2) f ?x ? 与 af ? x ? ,当 a ? 0 时,具有相同的单调性,当 a ? 0 时,具有相反的单调性; (3)当 f ?x ? 恒不等于零时, f ?x ? 与

1 具有相反的单调性; f ?x ?
1

(4)当 f ?x ? , g ?x ? 都是增(减)函数时, f ?x ? ? g ?x ? 都是增(减)函数; 5.复合函数的单调性:同增异减 6.函数的最大(小)值的定义 一般地,设函数 y ? f ?x ? 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满足: ?对于任意的 x ? I ,都有 f ?x ? ? ???M ; ?存在 x0 ? I ,使得 f ?x0 ? ? M . 那么,我们称 M 是函数 y ? f ?x ? 的最大(小)值. 注意 (1) M 首先是一个函数值,他是值域的一个元素; (2)对于定义域内的每一个元素都满足 f ?x ? ? ???M ; (3)这两条缺一不可. 7.奇偶性的定义 奇函数:一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) . 偶函数:一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) . 奇偶性:如果函数 f ?x ? 时奇函数或偶函数,那么就说函数 f ?x ? 具有奇偶性. 注意 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 ; .... . ⑵ f ( x) 是奇函数 ? f (? x) ? ? f ( x) ; f ( x) 是偶函数 ? f (? x) ? f ( x) ; ⑶奇函数 f ( x) 在 0 处有定义,则 f (0) ? 0 ; (4)奇函数关于原点对称,偶函数关于 y 轴对称; (5)在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调 性. 8.函数奇偶性的性质 (1)两个奇函数的和仍为奇函数; (2)两个偶函数的和仍为偶函数; (3) 两个奇函数的积是偶函数; (4)两个偶函数的积是偶函数; (5) 一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 9.复合函数的奇偶性
2

若函数 g ?x ? , f ?x ? , f ?g ?x ?? 的定义域都是关于原点对称的,则 u ? g ?x ? , y ? f ?u ? 都是 奇函数时, y ? f ?g ?x ?? 是奇函数; u ? g ?x ? , y ? f ?u ? 都是偶函数,或者一奇一偶时,

y ? f ?g ?x ?? 是偶函数.

3

类型一 用定义证明函数的单调性 例 1 用定义证明 f ?x? ?

2x ? 1 在定义域内为增函数.

例 2 讨论 f ? x ? ? x ?

k 在其定义域上的单调性. x

例 3 设函数 f ? x ? ? 的单调性.

x?a ?a ? b ? 0? ,求 f ?x ? 的单调区间,并证明 f ?x ? 在其单调区间上 x?b

4

类型二 运用单调函数的运算性质判断函数的单调性 例 1 已知 y ? f ?x ? 与 y ? g ?x ? 均为增函数,判断下列函数在公共定义域内的增减性. (1) y ? ?2 f ?x ? (2) y ? f ?x ? ? 2 g ?x ?

例 2 判断下列函数在其定义域内的单调性. (1) y ? x ? x
3

(2) y ?

x?a ?a ? b ? 0? x?b

类型三 复合函数的单调性 例 1 函数 f ( x) ?

? x 2 ? 2x ? 3 的单调递增区间是_______.

例 2 函数 f ( x ) ?

1 的单调递增区间是 x ? 2x ? 2
2

.

5

类型四 利用函数的单调性求参数的取值范围 例 1 若函数 f ?x? ? a x ? b ? 2 在

? 0, ?? ? 上为增函数,则实数 a, b 的取值范围.

例 2 函数 f ?x ? ? ax2 ? ?3a ? 1?x ? a 2 在 ?? 1,??? 上是增函数,求实数 a 的取值范围.

例 3 函数 f ( x ) ?

ax ? 1 在区间(-2,+∞)上是增函数,求 a 的取值范围. x?2

例 4 已知函数 f ? x ? ? ?

2 ? ? x ? 4 x, x ? 0 2 若 f 2 ? a ? f ?a ? ,则实数 a 的取值范围. 2 ? ? 4 x ? x , x ? 0.

?

?

6

类型五 利用函数的单调性求最值 例 1 (1)求函数 y ? (2)函数 f ? x ? ?

x ? x ? 1 的最小值;
3 在区间 ?1,5? 上的最值; 2x ? 1

?1 ? ,x ?1 (3)函数 f ?x ? ? ? x 的最大值. ?? x 2 ? 2, x ? 1 ?

例 2 (1) 函数 y ? ? x 2 ? 6 x ? 9 在区间 ?a, b??a ? b ? 3? 上有最大值 9, 最小值-7, 求 a, b 的 值.

(2) 已知 A ? ? 1, b??b ? 1?, 对于函数 f ? x ? ? 求 b 的值.

1 ?x ? 1?2 ? 1,若 f ?x ? 的定义域和值域都为 A , 2

(3) 已知函数 f ( x) ? ? 值.

x2 ? x 在区间 [ m, n] 上的最小值是 3 m 最大值是 3 n ,求 m ,n 的 2

7

(4) 已知函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 在闭区间 [0, m ] 上有最大值 3, 最小值 2, 求 m 的取值范围 .

例 3(1) 已知函数 f ? x ? ? ax ? 求 a 的值.

1 1 3 2 ?1 1? x 的最大值不大于 ,又当 x ? ? , ? 时, f ? x ? ? , 6 8 2 ?4 2?

(2)已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 1在区间 [?3, 2] 上的最大值为 4,求实数 a 的值.
2

(3)已知二次函数 f ( x ) ? ax ? ( 2a ? 1)x ? 1 在区间 ? ?
2

? 3 ? ,2 上的最大值为 3,求实数 a ? 2 ? ?

的值.

8

例 4 已知函数 f ? x ? ? (1)当 a ?

x 2 ? 2 x ? a x ? ?1, ?? ? , . x

1 时,求函数 f ?x ? 的最小值; 2 x ? ?1, ?? ? (2)若对任意 , f ?x ? ? 0 恒成立,试求 a 的取值范围.

类型六 函数的单调性解不等式 例 1 定义在 ?1,4? 上的函数 f ?x ? 为减函数,求满足不等式 f ?1 ? 2a ? ? f 4 ? a 2 ? 0 的 a 的 值的集合

?

?

?x 2 ? 1, x ? 0 例 2 已知函数 f ?x ? ? ? 求满足不等式 f ?1 ? x ? ? f ?2 x ? 的 x 的取值范围. ?1, x ? 0

例 3 奇 函 数 f ?x ? 的 定 义 域 为 R , 且 在

? 0, ?? ? 上 为 增 函 数 , 问 : 是 否 存 在 m 使

求出 m 的取值范围; 若不 f 2t 2 ? 4 ? f ?4m ? 2t ? ? f ?0? 对任意 t ? ?0,1? 均成立?若存在, 存在,说明理由.

?

?

9

类型七 奇偶函数的判断 例 1.判断下列各函数的奇偶性: (1) f ( x) ? ( x ? 1)
2 ? ( x ? 0) 1? x2 1? x ?x ? x ; (2) f ? x ? ? ; (3) f ( x) ? ? 2 . x?2 ?2 1? x ? x ? x ( x ? 0) ? ?

例 2 (1)若 f ?x ? ? ?x ? a ??x ? 4? 为偶函数,求实数 a 的值. (2)若函数 f ?x? ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是偶函数,且其定义域为 ?a ? 1,2a ?. ?求 a , b 的值; ?求函数 f ?x ? 在其定义域上的最大值.

例 3 函数 f ? x ? ?

ax ? b ?1? 2 是定义在 ?? 1,1?上的奇函数,且 f ? ? ? . 2 1? x ?2? 5

(1)确定函数 f ?x ? 的解析式; (2)用定义证明 f ?x ? 在 ?? 1,1?上是增函数; 解不等式 f ?t ? 1? ? f ?t ? ? 0

10

例 4 设 a 为实数,函数 f ( x) ? x2 ? | x ? a | ?1, x ? R . (1)讨论 f ( x ) 的奇偶性; (2)求 f ( x ) 的最小值.

类型八 利用函数的奇偶性求函数的解析式

例 1 (1)已知函数 f ( x ) 是偶函数,且当 x ? 0 时有 f ?x ? ? x?1 ? x ? ,求 f ( x ) 的解析式. (2)已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,求 f ( x ) 的解析 式.

例 2 设 f ( x ) 为偶函数, g ( x) 为奇函数,又 f ( x ) ? g ( x ) ? 式

1 , 试求 f ( x)和g ( x) 的解析 x ?1

11

类型九 单调性与奇偶函数的综合运用 例 1 已 知 函 数 f ? x ? 对 任 意 x, y ? R, 总有f ? x ? ? f ? y ? ? f ? x ? y ? , 且 当

x ? 0时 , f?

?x ?

0 ?, f ?

2 1 ? ? . 3

(1) 判断函数的奇偶性; (2) 求证: f ? x ? 是 R 上的减函数; (3) 求 f ? x ? 在 ? ?3,3? 上的最大值和最小值.

例 2 已知定义在 ? ??,0? ? ? 0, ??? 上的函数 f ? x ? 满足:对任意 x, y ? ? ??,0? ? ? 0, ??? ,

f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ;当 x ? 1 时 f ? x ? ? 0 ,且 f ? 2? ? 1 .
(1) 试判断函数 f ? x ? 的奇偶性; (2) 判断函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上的单调性; (3) 求不等式 f ? 3x ? 2? ? f ? x ? ? 4 的解集.

12

例 3 已 知 函 数 f ? x? 是 定 义 在 R 上 的 恒 不 为 零 的 函 数 , 且 对 任 意 的

x, y都满足f ? x ? ? f ? y ? ? f ? x ? y ? .
(1) 求 f ? 0 ? 的值,并证明对任意的 x ? R ,都有 f ? x ? ? 0 ; (2) 设当 x ? 0 时,都有 f ? x ? ? f ? 0? ,证明: f ? x ? 在? ??, ??? 上是减函数.

例 4 已知函数 f ? x ? 在 ?? 1,1?上有定义, f ? ? ? ?1 ,当且仅当 0 ? x ? 1 时 f ?x ? ? 0 且对

?1? ?2?

任意 x, y ? ?? 1,1? 都有 f ?x ? ? f ? y ? ? f ? ? 1 ? xy ? ? ,试证明: ? ? (1)证明 f ? x ? 为奇函数; (2) f ? x ? 在 ?? 1,1?上单调递减.

? x? y ?

13

作业 1 下列函数中,在区间 ?? ?,0? 上单调递增,且在区间 ?0,??? 上单调递减的函数为( A. y ? )

1 x2

B. y ?

1 x

C. y ? x 2

D. y ? x 3 )

2 下列函数中,在区间 ?0,2? 上为增函数的是( A. y ? ? x ? 1 C. y ? x ? 4 x ? 5
2

B. y ? D. y ?

x
2 x

3 用定义证明 f ?x? ? x 2 ? 2x ? 3 在 ?0,??? 上为增函数.

4.证明函数 f ?x ? ? ? x 在定义域上是减函数.

5.判断函数 y ?

1 2 ? ? 1的单调性. x2 x

14

6.已知函数 f ?x ? ?

3 ? ax ?a ? 1?. a ?1

(1)若 a ? 0 ,求 f ?x ? 的定义域; (2)若 f ?x ? 在区间 ?0,1? 上是减函数,求实数 a 的取值范围.

7.已知函数 f ?x ? ?

x 2 ? 2x ? a , x ? ?1,???. x

(1)当 a ? 4 时,求 f ?x ? 的最小值. (2)当 a ?

1 时,求 f ?x ? 的最小值. 2

(3)若 a 为正常数,求 f ?x ? 的最小值.

15

8. 已知函数 f ?x ? ? x 2 ? 2 x ? 3 . (1)当 x ? ?? 2,0? 时,求 f ?x ? 的最值; (2)当 x ? ?? 2,3? 时,求 f ?x ? 的最值; (3)当 x ? ?t , t ? 1? 时,求 f ?x ? 的最值.

9.求 f ( x ) ? x ? 2ax ? 1 在区间[-1,2]上的最大值.
2

10.试讨论函数 f ? x ? ?

ax , x ? ?? 1,1? 的单调性(其中 a ? 0 ) x ?1
2

16

11..判断下列各函数的奇偶性:?

(1)

f ?x ? ? ?x ? 2?

2? x 2? x

?x ? 2 ? ;?(2) f ? x ? ? ?0 ?? x ? 2 ?

( x ? ?1), (| x |? 1), ( x ? 1) .

?2 x ? b 12.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? x ?1 是奇函数. 2 ?a
(1)求 a , b 的值; (2)解不等式 f ?2m ? 8? ? f m 2 ; (3)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.

? ?

13.函 数 f ?x ? 对 任 意 的 a, b ? R , 都 有 f ?a ? b? ? f ?a ? ? f ?b? ? 1 , 并 且 当 x ? 0 时 ,

f ?x ? ? 1.
(1)求证: f ?x ? 是 R 上的增函数; (2)若 f ?4? ? 5, 解不等式 f 3m ? m ? 2 ? 3 .
2

?

?

17

14.已知定义在 ?0,??? 上的函数 f ?x ? 对任意 x, y ? ?0,??? ,恒有 f ?xy? ? f ?x ? ? f ? y ? ,且 当 0 ? x ? 1 时 f ?x ? ? 0. 判断 f ?x ? 在 ?0,??? 上的单调性.

15.若函数 f ?x ? ? 4 x 2 ? kx ? 8 在 ?5,8? 上是单调函数,求 k 的取值范围.

16.已知函数 f ?x? ? x 2 ? 2ax ? 5?a ? 1? , 若 f ?x ? 的定义域和值域均为 ?1, a? , 求实数 a 的值.

17.若函数 f ?x? ? x 2 ? x ? a 为偶函数,求实数 a 的值.

18.已知 f ?x ? 是偶函数, g ?x ? 是奇函数,且 g ?x? ? f ?x? ? x ? x ? 2 ,求 f ?x ? , g ?x ? 的
2

解析式.

18

19.若偶函数 f ?x ? 在 ?? ?,0? 上为增函数,则满足 f ?1? ? f ?a ? 的实数 a 的取值范围.

20.已知 f ?x ? 是定义在 ?? ?,??? 上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意 x, y, f ?x ? 都满 足 f ?x ? y ? ? y ? f ?x ? ? x ? f ? y ? . (1)求 f ?1?, f ?? 1? 的值; (2)判断 f ?x ? 的奇偶性,并说明理由.

21.已知 f ?x ? 是定义在 ?? 1,1? 上的奇函数,且 f ?1? ? 1 ,若 a, b ? ?? 1,1?, a ? b ? 0 时,有

f ?a ? ? f ?b ? ? 0 成立. a?b
(1)判断 f ?x ? 在 ?? 1,1? 上的单调性; (2)解不等式 f ? x ?
2

? ?

1? ? 1 ? ?? f? ?; 2? ? x ?1?

(3)若 f ?x? ? m ? 2am ? 1 对所有的 a ? ?? 1,1? 恒成立,求实数 m 的取值范围.

19



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