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极坐标与参数方程


极坐标与参数方程习题训练
1、在极坐标系中,已知圆 ρ=2cosθ 与直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 相切,求实数 a 的值.

2、在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程 π 为 ρcos(θ- )=1,M、N 分别为 C 与 x 轴、y 轴的交点. 3 (1)写出 C 的直角坐

标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.

π π 3、已知曲线 C1 和 C2 的极坐标方程分别为 ρ=6 2cos(θ- )和 ρcos(θ+ )=4 2,长度为 1 的线段 AB 的两 4 4 端点在曲线 C2 上,点 P 在曲线 C1 上,求△PAB 面积的最大值和最小值.
[来源:学科网]

1

π 4、已知圆的极坐标方程为 ρ2-4 2ρc os(θ- )+6=0. 4 (1)将极坐标方程化为普通方程; (2)若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值.

?x= 3+3cosθ 5、已知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为? (θ 为参 数),以 Ox 为极轴建立极坐 ?y=1+3sinθ
π 标系,直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ+ )=0. 6 (1)写出直线 l 的直角坐标方程和圆 C 的普通方程;(2)求圆 C 截直线 l 所得的弦长.

?x= 3cosα 6、在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为? (α 为参数). ?y=sinα
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴) π 中,点 P 的极坐标为(4, ),判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2 (2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

2

? 2t ?x ? 3 ? ? 2 7、 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数). 在极坐标系(与直角坐标系 xOy 2 t ?y ? 5 ? ? ? 2
取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ= 2 5sinθ. (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程;

PA ? PB (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A, B .若点 P 的坐标为(3, 5 ),求 .

8、已知直线 C1 : (1)当 ? =

, (t 为参数) ,圆 C2 :

( ? 为参数),

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; (2)过坐标原 点 O 作 C1 的垂 线,垂足为 A , P 为 OA 的中点, 3

当 ? 变化时,求 P 点轨迹的参数方程,并指出它是 什么曲线.

3

? x ? 3cos?, 9、在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为 ? . (? 为参数) ? ? ? y ? sin?

(I)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴) 中,点 P 的极坐标为(4,

π ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2

(II)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.

10、在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2. (Ⅰ)求 C2 的方程.

? x ? 2cos ? , ( ? 为参数) ,M 是 C1 上的动点,P 点 ? y ? 2 ? 2sin ?

??? ?

???? ?

(Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ?

? 与 C1 的异于极 3

点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .

4

11、在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

?x ? cos ?, (?为参数) ,曲线 C2 的参数方程为 ? y ? sin ?

?x ? a cos ?, (a ? b ? 0, ?为参数) .在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 l:θ = ? 与 ? ? y ? bsin ?
π 时,这两个交点重合. 2 π (I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (II)设当 ? = 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 4 π A1,B1,当 ? =- 时,l 与 C1,C2 的交点为 A2,B2 ,求四边形 A1A2B2B1 的面积. 4
C1,C2 各有一个交点.当 ? =0 时,这两个交点间的距离为 2,当 ? =

?x ? 2cos? (?为参数) ? y ? 3sin? 12、已知曲线 C1 的参数方程是 ? ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐
标系, 曲线 C 2 的极坐标方程是 ? ? 2 , 正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上, 且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,

(2, ) 3 . 点 A 的极坐标 为
(1)求点 A, B, C , D 的直角坐标;

?

PA ? PB ? PC ? PD (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 的取值范围.

2

2

2

2

5

13、在直角坐标系 xOy 中,圆

C1 : x2 ? y2 ? 4 ,圆 C2 : ( x ? 2)2 ? y2 ? 4 .

(1)在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 分别写出圆 交点坐标(用极坐标表示; (2)求圆

C1 , C2 的极坐标方程, C ,C 并求出圆 1 2 的

C1与C2 的公共弦的参数方程.

14、 在平面直角坐标系中, 以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 l 上两点 M,

? ? x ? 2 ? 2 cos ? 2 3 ? ? ( , ) ? y ? ? 3 ? 2sin ? ( ? 为参数). (2, 0) 3 2 N 的极坐标分别为 , , 圆 C 的参数方程 ?
(1) 设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程;(2) 判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

6

15、在极坐标系中,已知圆 C 经过点 求圆 C 的极坐标方程.

P

?

2,

? 3 ? ? sin ? ? ?? 3 2 与极轴的交点, 4 , 圆心为直线

?

?

?

16、已知曲线 C 的参数方程为 ?

(t 为参数) ,C 在点 (1,1) 处的切线为 l ,以坐标原点为极点, y ? 2 sin t , ? ? x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求 l 的极坐标方程。

? ? x ? 2 cos t ,

17 、 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ?

?x ? t ?1 (t 为 参 数 ), 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 ? y ? 2t

? x ? 2 tan 2 ? ( ? 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程, 并求出它们的公共点的坐标. ? y ? 2 tan ? ?

7

18、在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。圆 C1 ,直线 C2 的极坐标方程 分别为 ? ? 4sin ? , ? cos(? ?

?
4

) ? 2 2.

(?) 求 C1 与 C2 的交点的极坐标; (?? ) 设 P 为 C1 的圆心, 已知直线 PQ Q 为 C1 与 C2 的交点连线的中点,

? x ? t 3 ? a, ? 的参数方程为 ? b 3 (t ? R为参数). 求 a , b 的值。[来源:Zxxk.Co ? y ? t ?1 ? 2

m]

19、已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建 ? y ? 5 ? 5sin t ,

立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? . (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ) 。

8

20、在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的 非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点 A 的极坐标

?? ? ? 为 ? 2 , ? ,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? a ,且点 A 在直线 l 上。 4? 4 ?
(Ⅰ)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程;

? x ? 1 ? cos a, (Ⅱ)圆 C 的参数方程为 ? (a为参数) ,试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. ? y ? sin a

21、已知动点 P,Q 都在曲线 C: ? (0<α <2π ),M 为 PQ 的中点.

? x ? 2cos t ? y ? 2sin t

?t为参数?

上,对应参数分别为 t=α 与 t =2α

(1)求 M 的轨迹的参数方程;来源:Z。xx。k.Com] (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.

9

22、已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? a ? 2t ? x ? 4cos ? (? 为参数). (t为参数) ,圆 C 的参数方程为 ? ? y ? 4sin ? ? y ? ?4t

(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程;(2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围.

23、将圆 x ? y ? 1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C.
2 2

P, P (Ⅰ)写出 C 的参数方程; (Ⅱ)设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 与 C 的交点为 1 2 ,以坐标原点为极点,x
轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求过线段

PP 1 2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.

10

24、在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为ρ =2cosθ , θ ∈ ? 0, ? . ? 2?

? ??

(1)求 C 的参数方程.

(2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3 x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标.
学_科_网 Z_X_X_K]

[来源:

?x=1+ 2cosθ , π 25、已知直线 l 的极坐标方程是 ρcos?θ+ ?=4 2,圆 M 的参数方程是? (θ 是参数). 4? ? ?y=-1+ 2sinθ
(1) 将直线的极坐标方程化为普通方程; (2) 求圆上的点到直线 l 上点距离的最小值.

?x= 3+2t, ? ?x=4cosθ , 26、已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数). ?y=4sinθ 3 ? y = 7 + t ? 2
(1) 将曲线 C 的参数方程转化为普通方程;(2) 若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,试求线段 AB 的长.

1

11

27、已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=1,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l t x=1+ , 2 的参数方程为 (t 为参数). 3 y=2+ t 2 ?x′=3x, ? (1) 写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2) 设曲线 C 经过伸缩变换? 得到曲线 C′, ?y′=y ? 设曲线 C′上任一点为 M(x,y).求 x+2 3y 的最小值.

? ? ?

28、在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点 A 的极坐标 π π 为? 2, ?,直线的极坐标方程为 ρcos?θ- ?=a,且点 A 在直线上. 4? 4? ? ? (1) 求 a 的值及直线的直角坐标方程; ? ?x=1+cosα , (2) 圆 C 的参数方程为? (α 为参数),试判断直线与圆的位置关系. ?y=sinα ?

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