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2005年第3届创新杯数学邀请赛高中1年级第2试试题


2005 年第三届创新杯数学邀请赛 高中一年级第二试试题
一 选择题(以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的 英文字母填在每题后的圆括号内) 1.点 P(tanα,cosα)在第 3 象限,则角 α 的终边在( ) (A) 第 1 象限 (B) 第 2 象限 (C) 第 3 象限 (D) 第 4 象限 2.用 card M 表示非空有限集合 M 所含

的元素的个数,已知 P ? Q ,且 card P = card Q,则下列结论①P∪Q=P; ②P∩Q=Q; ③④中正确结论的个数是( (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 3. “三个实数 a,b,c 不全为零”指的是 (A) a,b,c 都不为零 (B) a,b,c 中至多一个是零 (C) a,b,c 中只有一个是零 (D) a,b,c 中至少一个不是零 4.假设某商品靠广告销售收入 R 与广告费 A 之间有函数关系: R ? a A (a 为常数) ,广告效应为 D ? a A ? A ,欲使广告效应 D 最大,广告费 A 应满足的 条件是( ) 1 1 (A) A ? a (B) A ? a 2 2 4 5.函数 y ? log 1 (
2



(C) A ?

1 2 a 4

(D) 0<A< ) (D) [0,+∞)

1 a 2

1 1 ? ) 的单调递增区间是( 2? x 2? x

(A) ( -2, 0]

(B)

[0,2 )

(C) (-∞,0 ]

6.设 f(x)是定义在上 R 的函数,则函数 y=f(2+x) 与 y=f(2-x)的图象关于( (A) 直线 x=2 对称 (B)原点对称 (C) y 轴对称 (D) 直线 y=x 对称 7.设{an},{bn}均为等差数列,它们的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若
an 等于( bn



Sn 7n ? 2 ? ,则 Tn n ?1

)http://www.028aide.com http://www.17kdy.com
13 36

(A)

37 9

(B)

( C) 5

(D) 7

8.若数列{an}满足 2an+1+an=3(n≥1),首项 a1=7,前 n 项的和为 Sn,则满足不等 1 式 |Sn-n-4|< 的最小正整数 n 是( ) 125 (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10

二.填空题 9. {3,x,x2-2x}是实数集 R 的子集,则 x 所不能取的值是 10.已知 f(x)=2x+3,g(x)=4x-5,则 g[f(x)]= 。



11. 设函数 f(x)=log(x+2)的反函数为 f-1(x), [2+ f-1(a)]· f-1(b)]=3, 则 f(a+b) 若 [2+ 的值等于 。 12.设数列{an}的前项之和为 Sn ?
a1 (5n ? 1) ,且 a3=15,则 a1= 2



? 1, x ? 0 13.已知 f ( x) ? ? ,则不等式 x+(x+1)f(x+3)≥4 的解集是 ? ?1, x ? 0



14. 汽车在行驶中, 由于惯性作用, 刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住。 我们称这段距离为“刹车距离”“刹车距离”是分析汽车事故的一个重要因素, 。 在一个限速 40 千米/时的弯道上, 甲乙两车相向而行, 发现情况不对, 同时刹车, 但还是相碰了,事后现场测得甲车的刹车距离略超过 12 米,乙车的刹车距离超 过 10 米。又知甲乙两种车型的刹车距离 s(米)与车速 x(千米)之间分别有如下关 系: s 甲=0.1x+0.01x2 s 乙=0.05x+0.005x2 请判断:两车相碰, 负主要责任(填甲车或乙车) 。 15. 在△ABC 中, 三边 a,b,c 的对角依次为 A,B,C, A 为钝角。 sinA,lg sinB,lg 且 lg 2 2 sinC 成等差数列,则直线 l1: xsin A+ysinA=a 和直线 l2: xsin B+ysinC=c 的位置关 系是 。 16.对于任何 x∈R,都有 f(x)>0 和 lg[f(x+2)]+lg[f(x-2)]= 2 lg[f(x)] ,则对于任 何 x∈R,都有 f(x+4)f(x-4)= 三.解答题
x?2 ? log 2 ( x ? 2) ? log 2 ( p ? x) x?2 (1)求使 f(x) 有意义的 p 的取值范围及 f(x)的定义域; (2)是 f(x)否存在最大值或最小值?如存在,求最大值或最小值;如不存在, 请说明理由



17.已知函数 f ( x) ? log 2

18.已知函数 f(x) (x≠0)满足 f(xy)=f(x)+f(y) (1)证明: f(1)=f(-1)=0; (2)证明 f(-x)=f(x) (x≠0); (3)若 f(x)在(0,+∞)内为增函数,求不等式 f(x)+f(x-1)≤0 的解集。
2 19.给定正整数 n 和正数 M,对于满足 a12 ? an ?1 ≤M 的所有等差数列 a1, a2,

a3, …(a1<0),设 S=an+1+an+2+…+a2n+1 3a ? a (1) 证明: S ? n ?1 n (n ? 1) 2 (2) 对于实数 k,若不等式 (3x-y)2≤k(x2+y2)恒成立,求 k 的最小值; (3) 求 S 的最大值。


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