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【金版学案】2015-2016学年人教A版高中数学选修4-4 模块综合检测卷


模块综合检测卷 (测试时间:120 分钟 评价分值:150 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.将点的极坐标(π ,-2π )化为直角坐标为( A.(π ,0) C.(-π ,0) 1.A θ θ cos +sin ?, ?x=? 2 2? ? 2.参数方程? (θ

为参数,0≤θ <2π )表 1 ?y=2(1+sin θ ) 示( )
? 1? A.双曲线的一支,这支过点?1,2? ? ? ? 1? B.抛物线的一部分,这部分过点?1,2? ? ? ? 1? C.双曲线的一支,这支过点?-1,2? ? ? ? 1? D.抛物线的一部分,这部分过点?-1,2? ? ? ? ?

)

B.(π ,2π ) D.(-2π ,0)

2.B
? ?x=a+tcos θ , 3.在参数方程? (t 为参数)所表示的曲线上有 B、 ? ?y=b+tsin θ

C 两点,它们对应的参数值分别为 t1、t2,则线段 BC 的中点 M 对应 的参数值是( )

t1-t2 t1+t2 A. B. 2 2 |t1-t2| |t1+t2| C. D. 2 2 3.B
? ?x=rcos φ , 4. 设 r>0, 那么直线 xcos θ +ysin θ =r 与圆? (φ ? ?y=rsin φ

为参数)的位置关系是( A.相交 C.相离 4.B B.相切

)

D.视 r 的大小而定

5. 在极坐标系中与圆 ρ=4sin θ 相切的一条直线的方程为( A.ρ cos θ =2 B.ρ sin θ =2 C.ρ =4sin?θ+
? ? ? π? π? ? D.ρ =4sin?θ - ? 3? 3? ?

)

5.A
? ?x=-2+tan θ , 6.若双曲线的参数方程为? (θ 为参数),则它 ? ?y=1+2sec θ

的渐近线方程为(

)

1 1 A.y-1=± (x+2) B.y=± x 2 2 C.y-1=± 2(x+2) D.y=± 2x 6.C

? ?x=3+2sin θ , 7.原点到曲线 C:? (θ 为参数)上各点的最短距 ? ?y=-2+2cos θ

离为(

)

A. 13-2 B. 13+2 C.3+ 13 D. 13 7.A 8.圆 ρ=5cos θ -5 3sin θ 的圆心是( A.?-5,-
? ? ? ?

)

4π ? ? 3 ?

? π? B.?-5, ? 3? ?

C.?5, 8.A

π? ? 3?

? 5π ? D.?-5, ? 3 ? ?

? ?x=cos θ , 9.曲线? (θ 为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的 ? ?y=sin θ

最大值是(

)

1 2 A. B. C.1 D. 2 2 2 9.D
? π? 10.若曲线 ρ=2 2上有 n 个点到曲线 ρcos?θ + ?= 2的距离 4? ?

等于 2,则 n=(

)

A.1 B.2 C.3 D.4 10.C

11







M



? ?? ? ? ?x=3cos θ , ? ?(x,y)? ? ? N={(x,y)|y=x ( θ 是参数, 0< θ < π ), ??y=3sin θ ? ? ? ?? ?

+b},若集合 M∩N≠?,则 b 应满足(

)

A.-3 2≤b≤3 2 B.-3 2<b<-3 C.0≤b≤3 2 D.-3<b≤3 2 11.解析:集合 M 表示 x2+y2=9 的圆,其中 y>0,集合 N 表 示一条直线,画出集合 M 和 N 表示的图形,可知-3<b≤3 2. 答案:D 12.点 P(x,y)是曲线 3x2+4y2-6x-8y-5=0 上的点,则 z=x +2y 的最大值和最小值分别是( )

A.7,-1 B.5,1 C.7,1 D.4,-1 (x-1)2 (y-1)2 12 . 解 析 : 将 原 方 程 配 方 得 + =1,令 4 3
?x=1+2cos θ, ? ? π? ? (θ 为参数 ) ,则 x + 2y = 3 + 4sin ?θ+ ? ,∴当 6? ? ?y=1+ 3sin θ ?

sin?θ+
?

?

? π? π? ?=1 时,(x+2y)max=7,当 sin?θ+ ?=-1 时,(x+2y)min 6? 6? ?

=-1. 答案:A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答 案填在题中的横线上)

13. 设点 p 的直角坐标为(1, 1, 2), 则点 P 的柱坐标是________, 球坐标是________. 13.? 2,
? ? ? π , 2? 4 ? ? π π? ?2, , ? 4 4? ?

? ? ?x=1-2t, ?x=s, 14.若直线 l1:? (t 为参数)与直线 l2:? (s 为 ?y=2+kt ?y=1-2s ? ?

参数)垂直,则 k=________. 14.-1 15.(2015· 深圳市高三第一次调研考试,理数)在极坐标系中,曲 线 C1:ρcos θ = 2与曲线 C2:ρ2cos 2θ =1 相交于 A,B 两点,则 |AB|=________. 15.2
? ?x= 2cos t, 16. (2013· 广东卷)已知曲线 C 的参数方程为? (t 为参 ? ?y= 2sin t

数),C 在点(1,1)处的切线为 l,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程为____________. 16.ρ cos θ +ρsin θ =2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文 字说明、证明过程及演算步骤) 17.(本题满分 12 分)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,
? π? x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点 A 的极坐标为? 2, ?, 4? ? ? π? 直线 l 的极坐标方程为 ρcos?θ - ?=a,且点 A 在直线 l 上. 4? ?

(1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程;
? ?x=1+cos α , (2)圆 C 的参数方程为? (α 为参数),试判断直线 l ? ?y=sin α

与圆的位置关系.
? ? π? π? 17.解析:(1)由点 A? 2, ?在直线 ρcos?θ- ?=a 上,可得 4? 4? ? ?

a= 2. 所以直线 l 的方程可化为 ρcos θ+ρsin θ=2, 从而直线 l 的直 角坐标方程为 x+y-2=0. (2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为 (x-1)2+y2=1. 所以圆心为(1,0),半径 r=1, 则圆心到直线 l 的距离 d= 2 <1,所以直线 l 与圆 C 相交. 2

18.(2015· 全国卷Ⅱ,数学文理 23)在直角坐标系 xOy 中,曲线
? ?x=t cos α , C1:? (t 为参数,且 t≠0),其中 0≤α <π ,在以 O 为极 ?y=t sin α , ?

点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=2sin θ ,C3: ρ= 2 3cos θ . (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|最大值. 18.解析:(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0,曲线
?x=0 ? C3 的直角坐标方程为 x2+ y2 - 2 3x = 0,联立两方程解得 ? 或 ? ?y=0

?x= 23 ? 3 3? ? , ?. ,所以 C 与 C 交点的直角坐标为 (0 , 0) , ? 3 2? ? 2 y = ? 2
2 3

(2)曲线 C1 极坐标方程为 θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中 0≤α<π, 因此点 A 的极坐标为(2sin α,α),点 B 的极坐标为(2 3cos α,

α).
?? 5π π ?? 所以|AB|=|2sin α-2 3cos α|=4sin??α- ??,当 α= 时 6 3 ?? ??

|AB|取得最大值,最大值为 4. π 19.(本小题满分 14 分)已知直线 l 经过 P(1,1),倾斜角 α= . 6 (1)写出直线 l 的参数方程; (2)设 l 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,求点 P 到 A,B 两点 的距离之积. , ?x=1+tcos π 6 19.解析:(1)直线的参数方程为? π y = 1 + t sin , ? 6 ?x=1+ 23t, 即? (t 为参数). 1 ?y=1+2t ?x=1+ 23t, ? 3 ?2 ? 1 ?2 (2)把直线? 代入 x +y =4 得?1+ t? +?1+2t? = ? ? 2 ? ? 1 y = 1 + t ? 2
2 2

4, ∴t2+( 3+1)t-2=0,

∴t1t2=-2,故点 P 到 A,B 两点的距离之积为 2. 20.(本小题满分 14 分)(2013· 辽宁卷)在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出 圆 C1,C2 的极坐标方程,并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表 示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. 20.解析:(1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2. 圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cos θ. 由?
?ρ=2, ?

π 得:ρ=2,θ=± . 3 ?ρ=4cos θ ?
? ?

故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为?2,

π? ? π? ?,?2,- ?. 3? ? 3?

注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)解法一
? ?x=ρcos θ, 由 ? 得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分 ?y=ρsin θ ?

别为(1, 3),(1,- 3).
? ?x=1, 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? (t 为参数,- 3≤t ? ?y=t

≤ 3). 解法二
? ?x=ρcos θ, 将 x=1 代入? 得 ρcos θ=1,从而 ρ= ?y=ρsin θ ?

1 1 ?y= ·sin θ=tan θ, cos θ cos θ

于 是 圆 C1 与 C2

? ?x=1, 的公共弦的参数方程为? ? ?y=tan

θ

? π π? ?θ为参数,- ≤θ≤ ?. 3 3? ? ? ?x=2cos φ , 21. (本小题满分 14 分)已知曲线 C1 的参数方程是? ?y=3sin φ ?

(φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2,正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且
? π? A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为?2, ?. 3? ?

(1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点, 求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范 围. 21.解析:(1)由已知可得 A?2cos
? ?

π π? ,2sin ?, 3 3?

? ?π π? ?π π?? B?2cos? + ?,2sin? + ??, 2? 2 ?? ? ?3 ?3 ? ?π ? ?π ?? C?2cos? +π?,2sin? +π??, ? ?3 ? ?3 ?? ? ?π 3π? ?π 3π?? ?,2sin? + ??, D?2cos? + 2 ? 2 ?? ? ?3 ?3

即 A(1,

3),B(- 3,1),C(-1,- 3),D( 3,-1).

(2)设 P(2cos φ,3sin φ), 令 S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2, 则 S=16cos2φ+36sin2φ+16 =32+20sin2φ.

因为 0≤sin2φ≤1,所以 S 的取值范围是[32,52]. 22. (本小题满分 14 分 )分别在下列两种情况下,把参数方程 1 t ? x = ? 2(e +e ? 1 t ? y = ( e ? 2 -e
-t

)cos θ , 化为普通方程.

-t

)sin θ

(1)θ 为参数,t 为常数; (2)t 为参数,θ 为常数. 22.解析:(1)当 t=0 时,y=0,x= cos θ, 即|x|≤1,且 y=0; x 当 t≠0 时,cos θ= , 1 t -t (e +e ) 2 sin θ= y 1 t -t (e -e ) 2 ,而 x2+y2=1,



+ =1. 1 t -t 2 1 t -t 2 (e +e ) (e -e ) 4 4

x2

y2

(2)当 θ=kπ,k∈Z 时, 1 y=0,x=± (et+e-t), 2 即|x|≥1,且 y=0; 当 θ=kπ+ π ,k∈Z 时,x=0, 2

1 y=± (et-e-t),即 x=0; 2

?e + e kπ 当 θ≠ ,k∈Z 时,有? 2 ?e - e 2x 2y ?2e =cos θ+sin θ, 即? 得 2x 2y ?2e =cos θ-sin θ,
t t t
-t

-t



2x , cos θ

-t

2y = , sin θ

? 2x 2y ?? 2x 2y ? 2et·2e-t=?cos θ+sin θ??cos θ-sin θ?, ? ?? ?

x2 y2 即 2 - 2 =1. cos θ sin θ


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