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南京市、盐城市2013届高三第一次模拟考试数学试题【解析版】


南京市、盐城市 2013 届高三第一次模拟考试

数 学 试 题
(满分 160 分,考试时间 120 分钟) 2013.01 参考公式: 1n - - 1n 样本数据 x1,x2,?,xn 的方差 s2= ? (xi- x )2,其中 x = ? xi. ni=1 ni=1 一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.已

知集合 U={-1,0,1,2},A={-1,1},则?UA=__________. 2.复数(1-2i)2(i 是虚数单位)的共轭复数是________. 3.已知某人连续投掷飞镖 5 次,环数分别是 8,9,10,10,8,则该组数据的方差为 ________. 4.袋中装有 2 个红球,2 个白球,这四个小球除颜色外其余均相同.现从中任意摸出 2 个小球,则摸出的两球颜色不同的概率为________. 5.在等差数列{an}中,若 a3+a5+a7=9,则其前 9 项和 S9 的值为________. ?3x-y-6≤0, 6 .若变量 x 、 y 满足约束条件 ?x-y+2≥0, 则目标函数 z = 2x + 3y 的最大值为

?

? ?x≥0,y≥0,

__________. 7.右图是一算法的伪代码,执行此算法,最后输出的 n 的值为__________. n←6 s←0 While s<15 s←s+n n←n-1 End While Print n (第 7 题) π? 8.将函数 y=sin? ?2x-3?的图象向左平移 φ(φ>0)个单位,得到的图象对应的函数为 f(x).若 f(x)为奇函数,则 φ 的最小值为____________. 9.下列四个命题:① 过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直;② 过平面外 一点有且只有一条直线与该平面平行;③ 如果两个平行平面和第三个平面相交,那么所 得的两条交线平行;④ 如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点且垂直于第 二个平面的直线必在第一个平面内.其中所有真命题的序号是__________.

(第 11 题) BC 10.在△ABC 中,若 9cos2A-4cos2B=5,则 的值为__________. AC 1 → → → 1→ → → → → 11. 如图, 在△ABC 中, AB=AC, BC=2, AD=DC, AE= EB.若BD· AC=- , 则CE· AB 2 2 =______________.

x2 y2 12.已知 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,点 P 是椭圆上的任意一点,则 8 4 |PF1-PF2| 的取值范围是____________. PF1 2 1 ? = lny - y + ln e ,则 ycos4x 的值为 4cos2(xy)+ 2 13 .若实数 x 、 y 满足 log2 ? 4cos (xy)? ? 2 2 ____________. ? 1-(x-1)2,0≤x<2, 14.已知函数 f(x)=? 若关于 x 的方程 f(x)=kx(k>0)有且仅有四 ?f(x-2),x≥2. 25 个根,其最大根为 t,则函数 g(t)= t2-6t+7 的值域为________. 24 二、 解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 15.(本小题满分 14 分) 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥BC,D 为棱 CC1 上任一点.求证: (1) 直线 A1B1∥平面 ABD; (2) 平面 ABD⊥平面 BB1C1C.

16.(本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c. π? (1) 若 cos? ?A+6?=sinA,求 A 的值; 1 (2) 若 cosA= ,4b=c,求 sinB 的值. 4

17.(本小题满分 14 分) 近年来,某企业每年消耗电费 24 万元,为了节能减排,决定安装一个可使用 15 年的太 阳能供电设备,并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用(单位:万元)与太阳能电池 板的面积(单位:m2)成正比,比例系数为 0.5.为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能 互补供电的模式.设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费 C(单位:万元)与安装的这 k 种太阳能电池板的面积 x(单位:m2)之间的函数关系是 C(x)= (x≥0,k 为常数).记 20x+100 F(单位:万元)为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与 15 年所消耗的电费之和. (1) 试解释 C(0)的实际意义,并写出 F 关于 x 的函数关系式; (2) 当 x 为何值时,F 取得最小值?最小值是多少?

x2 y2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)经过点 M(3 2, 2), a b 2 2 离心率 e= . 3 (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 过点 M 作两条直线与椭圆 C 分别交于相异两点 A、B,F2 是椭圆的右焦点. ① 若直线 MA 过坐标原点 O,求△MAF2 外接圆的方程; ② 若∠AMB 的平分线与 y 轴平行, 探究直线 AB 的斜率是否为定值?若是, 请给予证明; 若不是,请说明理由.

18.(本小题满分 16 分)

19.(本小题满分 16 分) 已知 f(x)是定义在集合 M 上的函数.若区间 D?M,且对任意 x0∈D,均有 f(x0)∈D,则 称函数 f(x)在区间 D 上封闭. (1) 判断 f(x)=x-1 在区间[-2,1]上是否封闭,并说明理由; 3x+a (2) 若函数 g(x)= 在区间[3,10]上封闭,求实数 a 的取值范围; x+1 (3) 若函数 h(x)=x3-3x 在区间[a,b](a、b∈Z,且 a≠b)上封闭,求 a、b 的值.

20.(本小题满分 16 分) 若数列{an}是首项为 6-12t,公差为 6 的等差数列;数列{bn}的前 n 项和为 Sn=3n-t, 其中 t 为实常数. (1) 求数列{an}和{bn}的通项公式; (2) 若数列{bn}是等比数列,证明:对于任意的 n(n∈N*),均存在正整数 cn,使得 bn+1 =acn,并求数列{cn}的前 n 项和 Tn; (3) 设数列{dn}满足 dn=an· bn.若{dn}中不存在这样的项 dk,使得“dk<dk-1”与“dk<dk+ * 1”同时成立(k≥2,k∈N ),求实数 t 的取值范围.

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数学附加题
(满分 40 分,考试时间 30 分钟) 21. 【选做题】 本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题作答.若多做,则按作 答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 如图,圆 O 的直径 AB=8,C 为圆周上一点,BC=4.过 C 作圆 O 的切线 l,过 A 作直线 l 的垂线 AD,D 为垂足,AD 与圆 O 交于点 E,求线段 AE 的长.

B.选修 4—2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) ?1 2?的一个特征值为 3, 已知矩阵 M=? 求 M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量. ? ?2 x ?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在极坐标系中,A 为曲线 ρ2+2ρcosθ-3=0 上的动点,B 为直线 ρcosθ+ρsinθ-7=0 上 的动点,求 AB 的最小值.

D.选修 4—5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 设 a1,a2,?,an 都是正数,且 a1·a2·?·an=1,求证:(1+a1)(1+a2)?(1+an)≥2n.

【必做题】 第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共 20 分.解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 2 22.某射击小组有甲、乙两名射手,甲的命中率为 P1= ,乙的命中率为 P2.在射击比武 3 活动中,每人射击两发子弹,则完成一次检测.在一次检测中,若两人命中次数相同且都不 少于一发,则称该射击小组为“和谐组”. 1 (1) 若 P2= ,求该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率; 2 (2) 若计划在 2013 年每月进行 1 次检测,记这 12 次检测中该小组获得“和谐组”的次 数为 X,如果 EX≥5,求 P2 的取值范围.

23.已知 f(x)=(2+ x)n,其中 n∈N*. (1) 若展开式中含 x3 项的系数为 14,求 n 的值; (2) 当 x=3 时,求证:f(x)必可表示成 s+ s-1(s∈N*)的形式.

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数学参考答案及评分标准
4 2 1.{0,2} 2.-3+4i 3. 4. 5 3 4 11.- 3 π 2 5.27 6.26 7.3 8. 9.①③④ 10. 6 3 41 ? 12.[0,2 2+2] 13.-1 14.? ?-25,-1?

15.证明:(1) 因为三棱柱 ABCA1B1C1 是直三棱柱,所以 A1B1∥AB.(3 分) 而 A1B1 平面 ABD,AB 平面 ABD,所以直线 A1B1∥平面 ABD.(6 分) (2) 因为三棱柱 ABCA1B1C1 是直三棱柱,所以 BB1⊥平面 ABC. 因为 AB 平面 ABC,所以 AB⊥BB1.(8 分) 又 AB⊥BC,BB1 平面 BB1C1C,BC 平面 BB1C1C,且 BB1∩BC=B, 所以 AB⊥平面 BB1C1C.(11 分) 又 AB 平面 ABD,所以平面 ABD⊥平面 BB1C1C.(14 分) π π ? π? 16.解:(1) 因为 cos?A+ ?=sinA,即 cosAcos -sinAsin =sinA, 6 6 ? 6? 所以 3 3 cosA= sinA.(4 分) 2 2 3 . 3

显然 cosA≠0,否则,由 cosA=0,得 sinA=0,与 sin2A+cos2A=1 矛盾,所以 tanA= π 因为 0<A<π,所以 A= .(7 分) 6 1 (2) 因为 cosA= ,4b=c,根据余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA=15b2, 4 所以 a= 15b.(10 分) 1 15 因为 cosA= ,所以 sinA= 1-cos2A= . 4 4 由正弦定理,得 15b b 1 = ,所以 sinB= .(14 分) sinA sinB 4

17.解:(1) C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时,即未安装太阳能供 电设备时该企业每年消耗的电费.(2 分) k 由 C(0)= =24,得 k=2 400.(4 分) 100 k 1 800 因此 F=15× +0.5x= +0.5x,x≥0.(7 分) 20x+100 x+5 1 800 1 800 (2) 由(1)知,F= +0.5x= +0.5(x+5)-2.5 x+5 x+5 ≥2 1 800 · 0.5(x+5)-2.5 x+5

=57.5.(10 分)

1 800 当且仅当 =0.5(x+5)>0,即 x=55 时取等号. x+5 所以当 x 为 55 时,F 取得最小值为 57.5 万元.(14 分) (说明:第(2)题用导数求最值的,相应给分)
2 2 2 2 c2 a -b 8 18.解:(1) 由 e= ,得 2= 2 = ,即 a2=9b2, 3 a a 9

x2 y2 故椭圆的方程为 2+ 2=1.(3 分) 9b b 18 2 又椭圆过点 M(3 2, 2),所以 2+ 2=1,解得 b2=4. 9b b x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1.(5 分) 36 4 (2) ① 记△MAF2 的外接圆的圆心为 T. 1 因为直线 OM 的斜率 kOM= ,所以线段 MA 的中垂线方程为 y=-3x. 3 又由 M(3 2, 2),F2(4 2,0),得线段 MF2 的中点为 N? 7 2 2? . , 2? ? 2

而直线 MF2 的斜率 kMF2=-1,所以线段 MF2 的中垂线方程为 y=x-3 2.

?y=-3x, ? 3 2 9 2? 由? 解得 T? .(8 分) ,- 4 4 ? ? ?y=x-3 2, ?
从而圆 T 的半径为

?4 2-3 2? +?0+9 2? =5 5, 2 4 ? ? 4 ? ?

2

2

3 2?2 ? 9 2?2 125 故△MAF2 的外接圆的方程为?x- + y+ = .(10 分) 4 4 ? ? 4 ? ?

?说明:该圆的一般式方程为x2+y2-3 2x+9 2y-20=0.? 2 2 ? ?
(3) 设直线 MA 的斜率为 k,A(x1,y1),B(x2,y2). 由题意知,直线 MA 与 MB 的斜率互为相反数,故直线 MB 的斜率为-k. 直线 MA 的方程为 y- 2=k(x-3 2),即 y=kx+ 2-3 2k.

? ?y=kx+ 2-3 2k, 由方程? x2 y2 消去 y,整理得 + =1, ? ?36 4
(9k2+1)x2+18 2k(1-3k)x+162k2-108k-18=0.(*) 由题意知,方程(*)有两解 3 2,x1, 18 2k(3k-1) 18 2(3k2-k) 所以 x1= -3 2= -3 2. 2 9k +1 9k2+1 18 2(3k2+k) 同理可得 x2= -3 2.(13 分) 9k2+1 36 2k 108 2k2 因此 x2-x1= 2 ,x2+x1= 2 -6 2. 9k +1 9k +1 又 y2-y1=-kx2+ 2+3 2k-(kx1+ 2-3 2k) =-k(x2+x1)+6 2k

108 2k3 12 2k =- 2 +12 2k= 2 , 9k +1 9k +1 12 2k 2 y2-y1 9k +1 1 所以直线 AB 的斜率 kAB= = = ,为定值.(16 分) x2-x1 36 2k 3 9k2+1 19.解:(1) 因为函数 f(x)=x-1 在区间[-2,1]上单调递增, 所以当 x∈[-2,1]时,f(x)的取值范围为[-3,0].(2 分) 而[-3,0] [-2,1],所以 f(x)在区间[-2,1]上不是封闭的.(4 分) 3x+a a-3 (2) 因为 g(x)= =3+ . x+1 x+1 ① 当 a=3 时,函数 g(x)=3,显然{3} [3,10],故 a=3 满足题意. ② 当 a > 3 时,在区 间 [3 , 10] 上,函数 g(x) 单调递减,此 时 g(x) 的取值范围 为

?30+a,9+a?. 4 ? ? 11
由? 30+a 9+a? ? 11 , 4 ? +a ≥3, ?3011 [3,10],得? 解得 3≤a≤31,故 3<a≤31.(7 分) 9+ a ? 4 ≤10,

a-3 ③ 当 a<3 时,在区间[3,10]上,有 g(x)=3+ <3,不合题意. x+1 综上所述,实数 a 的取值范围是区间[3,31].(9 分) (3) 因为 h(x)=x3-3x,所以 h′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1). 因为当 x<-1 或 x>1 时,h′(x)>0;当 x=-1 或 1 时,h′(x)=0;当-1<x<1 时,h′ (x)<0,所以 h(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,+ ∞)上单调递增. 从而 h(x)在 x=-1 处取得极大值 2,在 x=1 处取得极小值-2.(11 分) 方法一: ① 当 a<b≤-1 时,因为 h(x)在区间[a,b]上单调递增,

?h(a)=a3-3a≥a, ? ?a(a+2)(a-2)≥0, ?-2≤a≤0或a≥2, ? ? 所以? 即? 解得? 3 ? ? ?h(b)=b -3b≤b, ? ?b(b+2)(b-2)≤0, ?b≤-2或0≤b≤2,
此时无解. ② 当 a≤-1<b≤1 时,因为 h(-1)=2>b,与“h(x)在区间[a,b]上封闭”矛盾,即此 时无解.

?a≤-2, ③ 当 a≤-1 且 b>1 时,因为 h(-1)=2,h(1)=-2,故? ?b≥2. ?h(a)=a3-3a≥a, ?-2≤a≤0或a≥2, ?a=-2, ? ? 由? 解得? 从而? ?b=2. ?h(b)=b3-3b≤b, ?b≤-2或0≤b≤2, ? ? ?h(b)=b3-3b≥a, ④ 当-1≤a<b≤1 时,h(x)在区间[a,b]上单调递减,所以? (*) ?h(a)=a3-3a≤b.

?a=-1, ?a=-1, ?a=0, 又 a、b∈Z,所以? 或? 或? ?b=0 ?b=1 ?b=1.
分别代入(*)检验,均不合要求,即此时无解. ⑤ 当-1≤a≤1 且 b≥1 时,因为 h(1)=-2<a,与“h(x)在区间[a,b]上封闭”矛盾, 即此时无解. ⑥ 当 1≤a<b 时,因为 h(x)在区间[a,b]上递增,
3 ? ?h(a)=a -3a≥a, ? ?-2≤a≤0或a≥2, 所以? 即? 此时无解. ?h(b)=b3-3b≤b, ? ?b≤-2或0≤b≤2, ?

综上所述,a=-2,b=2.(16 分) 方法二:
3 ? ? ?h(a)=a -3a≥a, ? ?a(a+2)(a-2)≥0, ?-2≤a≤0或a≥2, 由题意知,? 即? 解得? 3 ? ? ?h(b)=b -3b≤b, ? ?b(b+2)(b-2)≤0, ?b≤-2或0≤b≤2.

因为 a<b,所以-2≤a≤0,0≤b≤2. 又 a、b∈Z,故 a 只可能取-2,-1,0,b 只可能取 0,1,2. ① 当 a=-2 时,因为 b>0,故由 h(-1)=2,得 b≥2.因此 b=2. 经检验,a=-2,b=2 满足题意. ② 当 a=-1 时,由于 h(-1)=2,故 b=2,此时 h(1)=-2,不满足题意. ③ 当 a=0 时,显然不满足题意. 综上所述,a=-2,b=2.(16 分) 20.解:(1) 因为{an}是等差数列,所以 an=(6-12t)+6(n-1)=6n-12t(n∈N*).(2 分) - - 因为数列{bn}的前 n 项和为 Sn=3n-t,所以当 n≥2 时,bn=(3n-t)-(3n 1-t)=2×3n 1.

? ?3-t,n=1, 又 b1=S1=3-t,故 bn=? (4 分) ?2×3n-1,n≥2. ?
(2) 因为{bn}是等比数列,所以 3-t=2×31 1,解得 t=1. - 从而 an=6n-12,bn=2×3n 1(n∈N*). - - 对任意的 n∈N*,由于 bn+1=2×3n=6×3n 1=6(3n 1+2)-12, - - 令 cn=3n 1+2∈N*,则 acn=6(3n 1+2)-12=bn+1,所以命题成立.(7 分)


1-3n 1 1 从而数列{cn}的前 n 项和 Tn=2n+ = ×3n+2n- .(9 分) 2 1-3 2

? ?6(3-t)(1-2t),n=1, (3) 由题意得 dn=? 3n,n≥2. ?4(n-2t)· ?
3?? n + ? 当 n≥2 时,dn+1-dn=4(n+1-2t)· 3n 1-4(n-2t)· 3n=8? ?n-?2t-2??·3 . 3 7 ① 若 2t- <2,即 t< 时,dn+1>dn. 2 4 -5- 97 -5+ 97 由题意得 d1≤d2,即 6(3-t)(1-2t)≤36(2-2t),解得 ≤t≤ . 4 4 -5+ 97 7 -5+ 97? ?-5- 97 因为 < ,所以 t∈? ?.(12 分) ≤t≤ 4 4 4 4 ? ?

3 7 9 ② 若 2≤2t- <3,即 ≤t< 时,dn+1>dn(n∈N,n≥3). 2 4 4 7 由题意得 d2=d3,即 4(2t-2)×32=4(2t-3)×33,解得 t= . 4 3 m 3 m 5 ③ 若 m≤2t- <m+1(m∈N,m≥3),即 + ≤t< + (m∈N,m≥3)时, 2 2 4 2 4 dn+1≤dn(n∈N,2≤n≤m);dn+1≥dn(n∈N,n≥m+1). 2m+3 + 由题意得 dm=dm+1,即 4(2t-m)×3m=4(2t-m-1)×3m 1,解得 t= . 4
? -5- 97 ? -5+ 97 2m+3 综上所述, t 的取值范围是?t ≤t≤ 或t= ,m∈N,m≥2?.(16 分) 4 4 4 ? ?

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数学附加题参考答案及评分标准
21.A.选修 4—1:几何证明选讲

解:连结 OC,BE. 因为 AB 是圆 O 的直径,所以 BE⊥AE. 因为 AB=8,BC=4,所以 OB=OC=BC=4,即△OBC 为正三角形. 所以∠BOC=60°.(4 分) 又直线 l 切⊙O 与于点 C,所以 OC⊥l. 因为 AD⊥l,所以 AD∥OC. 所以∠BAD=∠BOC=60°.(8 分) 在 Rt△BAE 中,因为∠EBA=90°-∠BAE=30°, 1 所以 AE= AB=4.(10 分) 2 B.选修 4—2:矩阵与变换 解:矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)=?

?λ-1 -2? ?=(λ-1)(λ-x)-4.(2 分) ?-2 λ-x?

因为 λ1=3 是方程 f(λ)=0 的一个根, 所以(3-1)(3-x)-4=0,解得 x=1.(4 分) 由(λ-1)(λ-1)-4=0,得 λ=-1 或 3,所以 λ2=-1.(6 分) ?x? 设 λ2=-1 对应的一个特征向量为 α=? ?, ?y?

? ?-2x-2y=0, 则? 从而 y=-x.(8 分) ?-2x-2y=0, ?
取 x=1,得 y=-1, 所以矩阵 M 的另一个特征值为-1,对应的一个特征向量为 α=? C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:圆的极坐标方程化为直角坐标方程为(x+1)2+y2=4, 所以圆心的直角坐标为(-1,0),半径为 2.(4 分) 又直线方程可化为 x+y-7=0.(6 分) |-1-7| 所以圆心到直线的距离 d= =4 2, 2 所以 AB 的最小值为 4 2-2.(10 分) D.选修 4—5:不等式选讲 证明:因为 a1 是正数,所以 1+a1≥2 a1>0.(5 分)

? 1? ?.(10 分) ?-1?

同理 1+ak≥2 ak>0(k=2,3,4,?,n). 因此(1+a1)(1+a2)?(1+an)≥2 n a1·a2·?·an,当且仅当 a1=a2=?=an=1 时等号成立.

因为 a1·a2·?·an=1,所以(1+a1)(1+a2)?(1+an)≥2n.(10 分) 22.解:(1) 记该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为 P, 1? 1 1 2 1?? 1 1 1? ?2 2??1· 则 P=? 3??2 2?=3. ?C2·3·3??C2·2·2?+?3· 1 故该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为 .(4 分) 3 (2) 该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为 8 4 2 1 2 1? 1 ?2 2?P2 P=? 3? 2=9P2-9P2. ?C2·3·3?[C2·P2·(1-P2)]+?3· 因为该小组在这 12 次检测中获得“和谐组”的次数 X~B(12,P),所以 EX=12P.(7 分) 8 4 ? 3 5 P2- P2 由 EX≥5,得 12? 2 ≥5,解得 ≤P2≤ . 9 9 ? ? 4 4 3 ? 因为 P2≤1,所以 P2 的取值范围为? ?4,1?.(10 分)
n r 2 23.(1) 解:因为 Tr+1=Cr x. n·2


r

r - 6 令 =3,得 r=6,故 x3 的系数为 Cn ·2n 6=14,解得 n=7.(4 分) 2 (2) 证明:由二项式定理可知
n 1 n 1 n 2 n r n (2+ 3)n=C0 ( 3)+C2 ( 3)2+?+Cr ( 3)r+?+Cn ( 3)n n2 +Cn2 n2 n2 - n 2 n-2 n-1 3 =[C0 ( 3)2+?]+ 3(C1 +Cn ·2n 3·3+?).(6 分) n2 +Cn2 n2 n 2 n-2 n-1 n-3 令 x=C0 ( 3)2+?,y=C1 +C3 ·3+?,显然 x∈N*,y∈N*. n2 +Cn2 n2 n·2 则(2+ 3)n=x+ 3y,(2- 3)n=x- 3y, 所以(2+ 3)n·(2- 3)n=x2-3y2=1. 令 s=x2,则必有 s-1=x2-1=3y2.
- - -

从而(2+ 3)n 必可表示成 s+ s-1的形式,其中 s∈N*.(10 分)

南京市、盐城市 2013 届高三第一次模拟考试

数学填空题解析
1. {0,2} 解析:本题主要考查集合的基本概念、运算等基础知识,属于容易题. 2. -3+4i 解析:(1-2i)2=1-4i+(2i)2=-3-4i,共轭复数为-3+4i. 本题主要考查复数的基本概念和运算、共轭复数等基础知识,属于容易题. 4 1 3. 解析:这组数据的平均数为 9,s2= [(8-9)2+(9-9)2+(10-9)2+(10-9)2+(8- 5 5 4 2 9) ]= . 5 本题主要考查统计中方差的计算,属于容易题. 2 4. 解析: 记两个红球为 A1、 A2, 两个白球为 B1、 B2, 那么取出的两个球为 A1A2、 A1B1、 3 4 2 A1B2、A2B1、A2B2、B1B2,共 6 种情况,其中两球颜色不同的有 4 种情况,所求概率为 = . 6 3 本题主要考查古典概型,属于容易题. a1+a9 5. 27 解析:由 a3+a5+a7=9,得 a5=3,S9= ×9=a5×9=27. 2 本题主要考查等差数列的概念和性质、前 n 项和公式等简单的计算,属于容易题. 6. 26 解析:画出可行区域,得到最优解是直线 3x-y-6=0 与直线 x-y+2=0 的交点 (4,6),代入目标函数得最大值为 26. 本题考查线性规划问题,涉及到求直线交点,考查灵活运用相关基础知识解决问题的能 力,属于容易题. 7. 3 解析:s=6+5+4=15,n-1=3. 本题主要考查算法流程图的基础知识,属于容易题. 8. π π π 2x+2φ- ?,因为函数 f(x)为奇函数,故 2φ- =kπ,k∈Z,即 φ 解析:f(x)=sin? 3? ? 6 3

π kπ π = + .当 k=0 时,φ 取最小正值 . 2 6 6 本题主要考查函数图象的移动、三角函数的性质——奇偶性及周期性,属于中等题. 9. ①③④ 解析:本题主要考查空间线线、线面、面面之间的位置关系,属于中等题. 2 10. 解析:由 9cos2A-4cos2B=5,得 9(1-2sin2A)=5+4(1-2sin2B),得 9sin2A= 3 BC sinA 2 4sin2B,即 3sinA=2sinB.由正弦定理得 = = . AC sinB 3 本题主要考查三角形中的正弦定理及三角公式的灵活使用等基础知识,属于中等题. 4 → → → 1 → → → → 11. - 解析: (解法 1)由已知AD=DC, 则 D 为 AC 中点, BD= (BC-AB), AC=BC+ 3 2 1 1 → → → → 1 → → → AB.BD·AC=- 即 (BC-AB)· (BC+AB)=- ,故 AB2-BC2=1.又 BC=2,所以 AB=AC= 2 2 2 5+5-4 3 → → → → → ?1 → → ? → → → 1→ 5,cosA= = ,所以CE·AB=(AE-AC)· AB=?3AB-AC?·AB=-AC·AB+ AB2 5 3 2×5 5 3 4 = -5× =- . 3 5 3 (解法 2)取 BC 中点为坐标原点,BC 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,则 B(-1,0)、 1 m? → ?3 m? → → → → → C(1,0).设 A(0,m),由AD=DC,得 D? ?2, 2 ?,BD=?2, 2 ?,AC=(1,-m).由BD·AC 1 4 4 4 1 3 m2 1 → → - , ?,则CE=?- , ?,AB=(-1,-2),所 =- ,得 - =- ,解得 m=2.这样 E? ? 3 3? ? 3 3? 2 2 2 2

4 → → 以CE·AB=- . 3 本题考查向量的有关概念、向量的数量积等运算能力及灵活运用相关基础知识解决问题 的能力,属于中等题. 12. [0,2 2+2] |PF1-PF2| ? 4 2? 解析:PF1+PF2=4 2, = 2- , PF1 ? PF1 ? a-c≤PF1≤a+c,a=2 2,c=2, |PF1-PF2| 4 2 -2-2 2≤2- ≤2 2-2, ∈[0,2+2 2]. PF1 PF1 本题考查椭圆的有关概念及性质、函数的单调性及绝对值等基础知识及灵活运用相关基 础知识解决问题的能力,属于中等题. y e2 1 1 2- y 13. -1 解析:设 f(y)=lny- +ln ,则 f′(y)= - = .当 y∈(0,2)时,f′(y)>0;当 2 2 y 2 2y y e2 y∈(2,+∞)时,f′(y)<0,所以 y=2 时,f(y)取最大值 1,所以 f(y)=lny- +ln ≤1;又由 2 2 1 1 2 2 2 ? 基本不等式得? ?4cos (xy)+4cos2(xy)?≥2,当且仅当 4cos (xy)=4cos2(xy)时取等号,即 cos (xy) 1 = , 4 1 2 ? 所以 log2? ?4cos (xy)+4cos2(xy)?≥1, 1 y e2 所以 log2[4cos2(xy)+ ]=lny- +ln 成立, 2 4cos (xy) 2 2

? ?y=2, 1 则? 1 所以 cos4x=-2,ycos4x=-1. 2 ? ?cos (xy)=4,
本题考查函数、三角、基本不等式等基础知识,考查函数与方程、不等式的思想,考查 灵活运用相关基础知识解决问题的能力,属于难题. 41 ? 14. ? ?-25,-1? 解析:在直角坐标系中分别画出函数 f(x)在区间[0,2], [2,4],[4,6]上的三个半圆的图象,最大根为 t 一定在区间 25 (3,4)内,g(t)= t2-6t+7 是二次函数,对称轴方程为 24 72? 72 41 4>t= >3,g(t)的最小值为 g? =- , 25 ? ? 25 25 1 1 直线 y=kx(k>0)与区间[2,4]上半圆相交,与区间[4,6]上半圆相离,故 <k2< ,而 k2 24 8 1 = 时,直线与半圆相切, 24

? ?y=kx, 由? 得(1+k2)x2-6x+8=0, 2 ? ?y= 1-(x-3) , 1 25 取 k2= ,得 x2-6x+7=-1,t<x, 24 24 25 所以 g(t)= t2-6t+7<-1. 24 本题考查分段函数、函数的周期、直线方程等知识,考查函数与方程、数形结合及转化 的思想,考查灵活运用有关基础知识解决问题的能力,属于难题.


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