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2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 圆锥曲线的综合问题 课时1 直线与圆锥曲线 文


课时 1
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
2 2

直线与圆锥曲线

x y π 例 1 (1)过双曲线 C: - =1 的左焦点作倾斜角为 的直线 l,则直线 l 与双曲线 C 的交 4 9 6
点情况是________(填序号). ①没有交点; ②只有一个交点; ③有两个交点且都在左支上; ④有两个交点分

别在左、右两支上. (2)(2014·湖北改编)设 a,b 是关于 t 的方程 t cos θ +tsin θ =0 的两个不等实根,则过
2

A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线
答案 (1)④ (2)0

x2
2

cos θ



y2
sin θ
2

=1 的公共点的个数为________.

3 x y 2 解析 (1)直线 l 的方程为 y= (x+ 13),代入 C: - =1,整理得 23x -8 13x-160 3 4 9 =0,Δ =(-8 13) +4×23×160>0,所以直线 l 与双曲线 C 有两个交点,由一元二次方程 根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同,故两个交点分别在左、右支上. (2)关于 t 的方程 t cos θ +tsin θ =0 的两个不等实根为 0,-tan θ (tan θ ≠0),则过
2 2

2

2

A,B 两点的直线方程为 y=-xtan θ ,双曲线

x2
2

cos θ



y2
sin θ
2

=1 的渐近线方程为 y=±xtan

θ ,所以直线 y=-xtan θ 与双曲线没有公共点. (3)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F1(-1,0),且点

x2 y2 a b

P(0,1)在 C1 上.
①求椭圆 C1 的方程; ②设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y =4x 相切,求直线 l 的方程. 解 ①根据椭圆的左焦点为 F1(-1,0),知 a -b =1,又根据点 P(0,1)在椭圆上,知 b=1, 所以 a= 2,所以椭圆 C1 的方程为 +y =1. 2 ②因为直线 l 与椭圆 C1 和抛物线 C2 都相切, 所以其斜率存在且不为 0, 设直线 l 的方程为 y=kx+m(k≠0), 代入椭圆方程得 +(kx+m) =1, 2
2 2 2

x2

2

x2

2

?1 2? 2 2 即? +k ?x +2kmx+m -1=0, ?2 ?
1

由题意可知此方程有唯一解,

?1 2? 2 2 2 此时 Δ =4k m -4? +k ?(m -1)=0, ?2 ?
即 m =2k +1.① 把 y=kx+m(k≠0)代入抛物线方程得 y -y+m=0,由题意可知此方程有唯一解,此时 Δ = 4 1-mk=0, 即 mk=1.②
? ?m =2k +1, 联立①②得? ?mk=1, ?
2 2 2 2

k

2

1 2 解得 k = , 2

2 ? ?k= , 2 所以? ? ?m= 2,

2 ? ?k=- , 2 或? ? ?m=- 2, 2 2 x+ 2或 y=- x- 2. 2 2

所以直线 l 的方程为 y=

思维升华 研究直线和圆锥曲线的位置关系,一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成 的方程组解的个数.对于填空题,常充分利用几何条件,利用数形结合的方法求解. 已知直线 l: y=2x+m, 椭圆 C: + =1.试问当 m 取何值时, 直线 l 与椭圆 C: 4 2 (1)有两个不重合的公共点; (2)有且只有一个公共点; (3)没有公共点. 解 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立,

x2 y2

y=2x+m, ? ? 2 2 得方程组?x y + =1, ② ? ?4 2
2



将①代入②,整理得 9x +8mx+2m -4=0.③ 方程③根的判别式 Δ =(8m) -4×9×(2m -4)=-8m +144. (1)当 Δ >0,即-3 2<m<3 2时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的 实数解.这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点. (2)当 Δ =0,即 m=±3 2时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实 数解.这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点, 即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点. (3)当 Δ <0,即 m<-3 2或 m>3 2时,方程③没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直 线 l 与椭圆 C 没有公共点. 题型二 弦长问题
2
2 2 2

2

例 2 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0),离心率为 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N.

x2 y2 a b

2 .直线 y=k(x-1) 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)当△AMN 的面积为 10 时,求 k 的值. 3



a=2, ? ?c 2 (1)由题意得? = , a 2 ? ?a =b +c ,
2 2 2

解得 b= 2,所以椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2

x2 y2

y=k?x-1?, ? ? 2 2 (2)由?x y + =1, ? ?4 2

得(1+2k )x -4k x+2k -4=0.

2

2

2

2

设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),

x1+x2=

4k 2k -4 2,x1x2= 2, 1+2k 1+2k
2 2

2

2

所以 MN= ?x2-x1? +?y2-y1? = ?1+k ?[?x1+x2? -4x1x2] = 2 ?1+k ??4+6k ? 2 1+2k
2 2 2 2

又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 d= 1 |k| 4+6k 所以△AMN 的面积为 S= MN·d= , 2 2 1+2k |k| 4+6k 10 由 = ,解得 k=±1. 2 1+2k 3 思维升华 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法:
2 2

|k| 1+k

2



涉及弦长的问题中, 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时
3

也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥 曲线的定义求解. (2015·湖南)已知抛物线 C1 :x =4y 的焦点 F 也是椭圆 C2: 2+ 2=1(a>b>0) 的一个焦点.C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6.过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A,B 两点,与 C2 相交 → → 于 C,D 两点,且AC与BD同向. (1)求 C2 的方程; (2)若 AC=BD,求直线 l 的斜率. 解 (1)由 C1:x =4y 知其焦点 F 的坐标为(0,1). 因为 F 也是椭圆 C2 的一个焦点,所以 a -b =1.① 又 C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6,C1 与 C2 都关于 y 轴对称,且 C1 的方程为 x =4y,由此易知 3? 9 6 ? C1 与 C2 的公共点的坐标为?± 6, ?,所以 2+ 2=1.② 2? 4a b ? 联立①②,得 a =9,b =8. 故 C2 的方程为 + =1. 9 8 (2)如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4). → → → → 因AC与BD同向,且 AC=BD,所以AC=BD,从而 x3-x1=x4-x2,即 x1-x2=x3-x4, 于是(x1+x2) -4x1x2=(x3+x4) -4x3x4.③ 设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

y2 x2 a b

y2 x2

由?

?y=kx+1, ? ? ?x =4y
2

得 x -4kx-4=0.

2

而 x1,x2 是这个方程的两根, 所以 x1+x2=4k,x1x2=-4.④

y=kx+1, ? ? 2 2 由?x y + =1 ? ?8 9

得(9+8k )x +16kx-64=0.

2

2

而 x3,x4 是这个方程的两根, 16k 64 所以 x3+x4=- 2,x3x4=- 2,⑤ 9+8k 9+8k

4

16 k 4×64 2 将④⑤代入③,得 16(k +1)= 2 2+ 2, ?9+8k ? 9+8k 16 ×9?k +1? 2 即 16(k +1)= , 2 2 ?9+8k ? 所以(9+8k ) =16×9,解得 k=± 即直线 l 的斜率为± 题型三 中点弦问题 例 3 (1)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0), 过点 F 的直线交 E 于 A, B 两点. 若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为____________. (2)已知双曲线 x - =1 上存在两点 M,N 关于直线 y=x+m 对称,且 MN 的中点在抛物线 y 3 =18x 上,则实数 m 的值为________. 答案 (1) + =1 18 9
2 2 2 2 2

2 2

6 , 4

6 . 4

x2 y2 a b

y2

2

x2

y2

(2)0 或-8

1 解析 (1)因为直线 AB 过点 F(3,0)和点(1,-1),所以直线 AB 的方程为 y= (x-3),代入 2

a2 2? 2 3 2 9 2 2 2 x2 y2 ? 椭圆方程 2+ 2=1 消去 y,得? +b ?x - a x+ a -a b =0,所以 AB 的中点的横坐标为 a b 2 4 ?4 ?
3 2 a 2
2

2? ?a 2? +b ? ?4 ?

=1,即 a =2b ,又 a =b +c ,所以 b=c=3,a=3 2.

2

2

2

2

2

所以 E 的方程为 + =1. 18 9 (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点 P(x0,y0), ① ? 3 ? y 则?x - 3 =1, ② x +x =2x , ③ ? ?y +y =2y , ④
2 2 2 2 1 1 2 2 0 0 2 y1 x2 1- =1,

x2

y2

1 y2-y1 y2+y1 y0 由②-①得(x2-x1)(x2+x1)= (y2-y1)(y2+y1), 显然 x1≠x2.∴ · =3, 即 kMN· 3 x2-x1 x2+x1 x0 =3, ∵M,N 关于直线 y=x+m 对称,
5

∴kMN=-1, ∴y0=-3x0.

? m 3m? 又∵y0=x0+m,∴P?- , ?, ? 4 4?
9 2 ? m? 代入抛物线方程得 m =18·?- ?, 16 ? 4? 解得 m=0 或-8,经检验都符合. 思维升华 处理中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有 x1+

x2,y1+y2,
得斜率.

y1-y2 三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求 x1-x2

(2)根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后,由根 与系数的关系求解. 设抛物线过定点 A(-1,0),且以直线 x=1 为准线. (1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程; 1 (2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M,N,且线段 MN 恰被直线 x=- 平分,设弦 MN 的垂 2 直平分线的方程为 y=kx+m,试求 m 的取值范围. 解 (1)设抛物线顶点为 P(x,y),则焦点 F(2x-1,y). 再根据抛物线的定义得 AF=2,即(2x) +y =4, 所以轨迹 C 的方程为 x + =1. 4
2 2 2

y2

? 1 ? (2)设弦 MN 的中点为 P?- ,y0?,M(xM,yM),N(xN,yN),则由点 M,N 为椭圆 C 上的点, ? 2 ?
? ?4xM+yM=4, 可知? 2 2 ?4xN+yN=4. ?
2 2

两式相减,得 4(xM-xN)(xM+xN)+(yM-yN)(yM+yN)=0,

? 1? 将 xM+xN=2×?- ?=-1,yM+yN=2y0, ? 2?
yM-yN 1 y0 =- 代入上式得 k=- . xM-xN k 2

6

? 1 ? 又点 P?- ,y0?在弦 MN 的垂直平分线上, ? 2 ?
1 所以 y0=- k+m. 2 1 3 所以 m=y0+ k= y0. 2 4 1 1 由点 P(- ,y0)在线段 BB′上(B′,B 为直线 x=- 与椭圆的交点,如图所示), 2 2 所以 yB′<y0<yB,也即- 3<y0< 3. 3 3 3 3 所以- <m< ,且 m≠0. 4 4

[方法与技巧] 1.有关弦的三个问题 涉及弦长的问题,应熟练地利用根与系数的关系,设而不求计算弦长;涉及垂直关系往往也 是利用根与系数的关系设而不求简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑利用圆锥曲线的 定义求解. 2.求解与弦有关问题的两种方法 (1)方程组法:联立直线方程和圆锥曲线方程,消元(x 或 y)成为二次方程之后,结合根与系 数的关系,建立等式关系或不等式关系. (2)点差法: 在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时, 设 出直线和圆锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲线的方程并作差,从而求出直线的斜率,然 后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有:求中点弦方程、求(过定点、平行弦) 弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式 Δ 是否为正数. [失误与防范] 判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点 (1)直线与双曲线交于一点时,易误认为直线与双曲线相切,事实上不一定相切,当直线与双 曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点.

7

(2)直线与抛物线交于一点时, 除直线与抛物线相切外, 易忽视直线与对称轴平行时也相交于 一点.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.若直线 mx+ny=4 与⊙O:x +y =4 没有交点,则过点 P(m,n)的直线与椭圆 + =1 的 9 4 交点个数是________. 答案 2 解析 由题意知: 4
2 2

x2 y2

m +n2 x2 y2

2

>2,即 m +n <2,

2

2

∴点 P(m,n)在椭圆 + =1 的内部,故所求交点个数是 2. 9 4 2.直线 y= x+3 与双曲线 2- 2=1 的交点个数是________. 答案 1 解析 因为直线 y= x+3 与双曲线的渐近线 y= x 平行,所以它与双曲线只有 1 个交点.

b a

x2 y2 a b

b a

b a

x y 2 3.已知椭圆 C 的方程为 + 2=1(m>0),如果直线 y= x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的 16 m 2
射影恰好是椭圆的右焦点 F,则 m 的值为________. 答案 2 2 解析 根据已知条件得 c= 16-m ,则点( 16-m , ∴ 16-m 16-m + 2 =1,可得 m=2 2. 16 2m
2 2 2 2

2

2

2 x y 2 16-m )在椭圆 + 2=1(m>0)上, 2 16 m

2

2

4.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y =1 相交于 A,B 两点,则 AB 的最大值为________. 4 答案 4 10 5

x2

2

解析 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 直线 l 的方程为 y=x+t,
?x +4y =4, ? 由? ?y=x+t ?
2 2

消去 y,

8

得 5x +8tx+4(t -1)=0, 8 4?t -1? 则 x1+x2=- t,x1x2= . 5 5 ∴AB= 1+k |x1-x2| = 1+k · ?x1+x2? -4x1x2 = 2· =
2 2 2 2

2

2

?-8t?2-4×4?t -1? ? 5 ? 5 ? ?

2

4 2 2 · 5-t , 5

4 10 当 t=0 时,ABmax= . 5 5.过抛物线 y =4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A,B 两点,它们到直线 x=-2 的距离 之和等于 5,则这样的直线有________条. 答案 0 解析 抛物线 y =4x 的焦点坐标为(1,0),准线方程为 x=-1,设 A,B 的坐标分别为(x1,
2 2

y1),(x2,y2),则 A,B 到直线 x=-1 的距离之和为 x1+x2+2.
设直线方程为 x=my+1,代入抛物线 y =4x, 则 y =4(my+1),即 y -4my-4=0, ∴x1+x2=m(y1+y2)+2=4m +2. ∴x1+x2+2=4m +4≥4. ∴A,B 到直线 x=-2 的距离之和 x1+x2+2+2≥6>5. ∴满足题意的直线不存在. 6.过双曲线 x - =1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若使得 AB=λ 的直线 l 恰 2 有 3 条,则 λ =________. 答案 4 解析 ∵使得 AB=λ 的直线 l 恰有 3 条. ∴根据对称性,其中有一条直线与实轴垂直. 此时 A,B 的横坐标为 3,代入双曲线方程,可得 y=±2,故 AB=4. ∵双曲线的两个顶点之间的距离是 2,小于 4, ∴过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于 4, 综上可知,AB=4 时,有 3 条直线满足题意. ∴λ =4. 7.在抛物线 y=x 上关于直线 y=x+3 对称的两点 M,N 的坐标分别为______________. 答案 (-2,4),(1,1)
9
2 2 2 2 2 2 2

y2

解析 设直线 MN 的方程为 y=-x+b, 代入 y=x 中, 整理得 x +x-b=0,令 Δ =1+4b>0, 1 ∴b>- . 4 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=-1,
2 2

y1+y2
2

=-

x1+x2
2

1 +b= +b, 2

? 1 1 ? 由?- , +b?在直线 y=x+3 上, ? 2 2 ?
1 1 即 +b=- +3,解得 b=2, 2 2 联立得?
? ?y=-x+2, ?y=x , ? ?x2=1, ? ? ?y2=1. ?
2

解得?

?x1=-2, ? ?y1=4, ?

8.过椭圆 + =1 内一点 P(3,1),且被这点平分的弦所在直线的方程是____________. 16 4 答案 3x+4y-13=0 解析 设直线与椭圆交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点, 由于 A、B 两点均在椭圆上, 故 + =1, + =1, 16 4 16 4 两式相减得 ?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? + =0. 16 4 又∵P 是 A、B 的中点,∴x1+x2=6,y1+y2=2, ∴kAB=

x2

y2

x2 1

y2 1

x2 2

y2 2

y1-y2 3 =- . x1-x2 4

3 ∴直线 AB 的方程为 y-1=- (x-3). 4 即 3x+4y-13=0. 9.如图,点 F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点,过点 F1 作 x 轴的垂线,交椭圆 C 的上半部分于点 P,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x= 于点 Q,连结

x2 y2 a b

a2 c

PQ.
10

(1)如果点 Q 的坐标为(4,4),求椭圆 C 的方程; (2)试判断直线 PQ 与椭圆 C 的公共点个数,并证明你的结论.

b2 -0 a b? b2 ? 解 (1)方法一 由条件知,P?-c, ?,故直线 PF2 的斜率为 kPF2= =- . a? -c-c 2ac ?
2

因为 PF2⊥F2Q, 2ac 2ac ?a ? 所以直线 F2Q 的方程为 y= 2 x- 2 ,故 Q? ,2a?.
2 2

b

b

?c

?

a2 由题设知, =4,2a=4,解得 a=2,c=1. c
故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 方法二 设直线 x= 与 x 轴交于点 M. 由条件知,P?-c, ?. a

x2 y2 a2 c

? ?

b2?

?

因为△PF1F2∽△F2MQ,所以

PF1 F1F2 = , F2M MQ



b2 a
2

a MQ -c c
2

2c = ,解得 MQ=2a.

a ? ? =4, 所以? c ? ?2a=4,

解得?

? ?a=2, ?c=1. ?

故椭圆方程为 + =1. 4 3

x2 y2

b? ?a ? ? (2)∵点 Q 的坐标为? ,2a?,点 P 的坐标为?-c, ?,

2

2

?c

?

?

a?

2a- ∴kPQ=

b2 a

a2 -?-c? c

c?2a2-b2? c = = , a?a2+c2? a

11

∴PQ 的方程为 y-2a= ?x- ?,即 y= x+a. c

c? a?

a2?

?

c a

将 PQ 的方程代入椭圆 C 的方程,

?2 2 2 2 2 2? 得 b x +a ? x+a? =a b ,
c ?a
2

?

∴(b +c )x +2a cx+a -a b =0, 而 a =b +c ,上式可化为 a x +2a cx+a c =0, 解得 x=-c,∴直线 PQ 与椭圆 C 只有一个公共点. 10.(2014·湖北)在平面直角坐标系 xOy 中, 点 M 到点 F(1, 0)的距离比它到 y 轴的距离多 1. 记点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(-2,1),求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共 点、三个公共点时 k 的相应取值范围. 解 (1)设点 M(x,y),依题意得 MF=|x|+1, 即 ?x-1? +y =|x|+1, 化简整理得 y =2(|x|+x).
?4x,x>0, ? 2 故点 M 的轨迹 C 的方程为 y =? ? ?0,x≤0.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

4

2 2

(2)在点 M 的轨迹 C 中,记 C1:y =4x (x>0),

2

C2:y=0(x<0).
依题意,可设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2). 由方程组?
2

?y-1=k?x+2?, ? ? ?y =4x,
2

可得 ky -4y+4(2k+1)=0.(*1) ①当 k=0 时,此时 y=1. 1 把 y=1 代入轨迹 C 的方程,得 x= . 4 1 故此时直线 l:y=1 与轨迹 C 恰好有一个公共点( ,1). 4 ②当 k≠0 时,方程(*1)根的判别式为 Δ =-16(2k +k-1).(*2) 设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0),则 2k+1 由 y-1=k(x+2),令 y=0,得 x0=- .(*3)
2

k

? ?Δ <0, (ⅰ)若? ?x0<0, ?

1 由(*2)(*3)解得 k<-1 或 k> . 2

12

1 即当 k∈(-∞,-1)∪( ,+∞)时,直线 l 与 C1 没有公共点,与 C2 有一个公共点,故此时 2 直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点.
? ?Δ =0, (ⅱ)若? ?x0<0, ?

或?

? ?Δ >0, ?x0≥0, ?

1 1 由(*2)(*3)解得 k∈{-1, },或- ≤k<0. 2 2

1 即当 x∈{-1, }时,直线 l 与 C1 只有一个公共点,与 C2 有一个公共点. 2 1 当 k∈[- ,0)时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 没有公共点. 2 1 1 故当 k∈[- ,0)∪{-1, }时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点. 2 2
? ?Δ >0, (ⅲ)若? ?x0<0, ?

1 1 由(*2)(*3)解得-1<k<- 或 0<k< . 2 2

1 1 即当 k∈(-1,- )∪(0, )时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 有一个公共点,故此时直 2 2 线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点. 1 综合①②可知,当 k∈(-∞,-1)∪( ,+∞)∪{0}时,直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点; 2 1 1 1 当 k∈[- ,0)∪{-1, }时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点;当 k∈(-1,- )∪(0, 2 2 2 1 )时,直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点. 2 B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) 11.设抛物线 y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.如果直线
2

AF 的斜率为- 3,那么 PF=________.
答案 8 解析 直线 AF 的方程为 y=- 3(x-2),联立?

?y=- 3x+2 3, ?x=-2,

得 y=4 3 ,所以

P(6,4 3).
由抛物线的性质可知 PF=6+2=8. 12.已知双曲线 C: 2- 2=1 (a>0, b>0), P 为 x 轴上一动点, 经过点 P 的直线 y=2x+m (m≠0) 与双曲线 C 有且只有一个交点,则双曲线 C 的离心率为________. 答案 5 2

y2 x2 a b

13

解析 由双曲线的方程可知:渐近线方程为 y=± x. ∵经过点 P 的直线 y=2x+m (m≠0)与双曲线 C 有且只有一个交点, ∴此直线与渐近线 y= x 平行,∴ =2. ∴e= =

a b

a b

a b

c a

1+? ? = a
2

?b?2 ? ?

5 . 2

13.过抛物线 y =2px(p>0)焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 B,C 两点,l 与抛物线准线交于点

A,且 AF=6,AF=2FB,则 BC=________.
答案 9 2





π 解析 不妨设直线 l 的倾斜角为 θ ,其中 0<θ < ,点 B(x1,y1),C(x2,y2),则点 B 在 x 轴 2 的上方,过点 B 作该抛物线的准线的垂线,垂足为 B1,于是有 BF=BB1=3, =

AF p ,由此得 AB BB1

p p 2 1 2 2 2 2 p=2, 抛物线方程是 y =4x, 焦点 F(1,0), cos θ = = = = , sin θ = 1-cos θ = , AF 6 6 3 3

?y=2 2?x-1?, sin θ tan θ = =2 2,直线 l:y=2 2(x-1).由? 2 cos θ ?y =4x
5 5 9 5x+2=0,x1+x2= ,BC=x1+x2+p= +2= . 2 2 2

消去 y,得 2x -

2

14.已知抛物线 E:y =2px(p>0)经过圆 F:x +y -2x+4y-4=0 的圆心,则抛物线 E 的准 线与圆 F 相交所得的弦长为________. 答案 2 5 解析 圆的标准方程为(x-1) +(y+2) =3 ,圆心为 F(1,-2).代入抛物线方程可得 p=2, 所以其准线方程为 x=-1.圆心到直线 x=-1 的距离 d=2, 所以抛物线 E 的准线与圆 F 相交 所得的弦长为 2 3 -2 =2 5.
2 2 2 2 2

2

2

2

x y 1 15.椭圆 C: 2+ 2=1 (a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10. a b 2
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左,右顶点),且以 AB 为直径 的圆过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 解 (1)∵左焦点(-c,0)到点 P(2,1)的距离为 10, ∴ ?2+c? +1= 10,解得 c=1.
2

2

2

14

c 1 2 2 2 又 e= = ,解得 a=2,∴b =a -c =3, a 2
∴所求椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),

x2 y2

y=kx+m, ? ? 2 2 由?x y + =1, ? ?4 3
得(3+4k )x +8mkx+4(m -3)=0, Δ =64m k -16(3+4k )(m -3)>0, 整理得 3+4k >m . -8mk 4?m -3? ∴x1+x2= , 2,x1x2= 2 3+4k 3+4k 3?m -4k ? y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k x1x2+mk(x1+x2)+m = . 2 3+4k
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

∵以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0),

y1 y2 kAD·kBD=-1,∴ · =-1, x1-2 x2-2
∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0, ∴ 3?m -4k ? 4?m -3? 16mk + + 2 2 2+4=0. 3+4k 3+4k 3+4k
2 2 2 2 2

整理得 7m +16mk+4k =0, 2k 解得 m1=-2k,m2=- . 7 且满足 3+4k -m >0. 当 m=-2k 时,l:y=k(x-2),直线过定点(2,0)与已知矛盾; 2k ? 2? ?2 ? 当 m=- 时,l:y=k?x- ?,直线过定点? ,0?. 7 ? 7? ?7 ?
2 2

?2 ? 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为? ,0?. ?7 ?

15


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