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第十八届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题解答


5 2  
1   n   b n   22 O   3 4   2   22 5   35   3   2 3 0   3 6   4   2 35   37  

数 学通报 
5   24 0   3 8   6   2 45   39   7   25 O   40  

2 0 1 5年  第 5 4卷  第

4期 
8   255   4 1   9   2 6O   4 2   1 O   2 65   4 3  

a   + 1 = = = n   +5 , a 1 —2 2 0; 6   + 1 = = = b   +l , b l 一3 4 .  

由此 得 a   一2 1 5+ 5 n , b   一3 3 + .于 是 有 
b   一 0 . 2 a  一 1 0.  

如果 将 对 应 的 脚 长 ( 单位 : am) r 和 鞋 号 记 作  ( n, 6 ) , 其 关系 为 6 —0 . 2 a 一1 0 .  

( 2 ) 令6 —3 0 , 由上述 公式 算 出 , a 一2 0 0 ,即脚  的长 度为 2 0 0 mm.  
( 3 ) 当 a一2 8 2 , 利 用 公 式 b一 0 . 2 a一 1 0算 

出的结 果 为 b一 4 6 . 4 , 而鞋号都是整数 , 按 照 穿 
鞋“ 不挤 脚 ” 的原则 , 这个篮球运 动员应穿 4 7号  的鞋 .   三、 过年 了 , 佳怡去探望奶奶 , 到 商 店 买 了一 

匣点 心 , 售货 员为 她做 了一个 如 图 1的捆 扎 , 并 在  角 上配 了一个 花结 , 使 得点 心匣 很漂亮 , 佳 怡 非常  高 兴. 售 货员 说 , 这 种 捆 扎 方式 不 仅 显 得 漂 亮 , 而 
且 比一般 的十字捆 扎方 式 ( 如图2 ) 用 的包 装 彩绳 

图 3  

l A   A   l 一 ̄ / ( 2 Y +2 z )   +( 2 x +2 z )  
一 2   ,  

短. 你 同意这 种说 法 吗 ?请 给 出你 的 理 由( 注: 5 C ,   Y, z是 长方体 形状 匣子 的 长 , 宽 ,高 , z (x,   < 
v) .  

两个 正数 的大小关 系 与它们 的平 方 的大 小 关 
系是一 样 的 , 于是 计算 
Z   一  一 ( 2 x+ 2 Y+ 4 z )  一 4 r ( Y+ z ) 。 +( z  
+ )   ] 一 8 ( Z   +z Y+ z z +y z ) >0 .  

因此 , 图 1的捆 扎方 法节 省材 料.  

四、 在 平 面方格 图 中 , 设 每一个 小方 格 是一 个  细胞 , 每个 细胞 有 8个 和它相 邻 的细胞 . 我 们假 设 
图1  

每个 细胞 只有 两种 状态 : “ 活” 与“ 死” , 我们 将 活 细  胞小 方格 里标 记 “ ●” , 死 细 胞 就 是 没 有标 记 的小  方格 . 细胞 的活与死 是 可变 的 , 所 有细 胞 的变化 是 
同时进行 的. 每一 次细胞 变 化 的规 则 如下 : 一个 活 

细胞 下一 步继 续 活 的充 分 必 要条 件是 : 现在 与 它 
图 2  

相 邻 的细 胞 中 , 有 2或 3个 活 细胞 . 换 句话 说 , 它 

解: 易知 , 在 不考 虑 系 扣 的前 提 下 , 图 2用 彩 

的相邻 细胞 中, 活细胞 少 于 2个 或多 于 3个 时 , 下 


绳 的长 度记作 L, 在扎 紧 的情况 下 用绳 最 短 , 记 作  z , 此 时 每个 面上 的那 一 段绳 都与 相 交 的楞成 垂 直 
相交 , 即 z 一2 x +2 y +4 z .  

步它 将死 去 ; 一 个 死 细 胞下 一 步 变 成 活 细 胞 的 

充 分必 要条 件 是 : 现在 与 它 相 邻 的 细 胞 中恰 有 3  
个 活细 胞 .  

再 看 图 1的用 绳情 况. 所 用绳 长记 作 M , 先 将  在每个 面上 的用 绳情 况展 在 平 面上 , 如图 3 . 其 图  形 是一 条 由 A 回到 A 的折 线 , 在扎 紧 的情 况 下 用 

现 在 给定一 个 初 始 状 态 细胞 的 位 置 图 , 在 整  个 方格 表 中 , 有 5个 活 细 胞 , 即图 1 . 请 用 文 字 表 
述、 并 自制 方格 表 画 出 : 经历 了 1 5次 变 化 之 后 的  细胞死 活 状态位 置 图.  

绳最 短 , 记 作  , 此 时应 当是 条线段 , 易见 , m 是 线 
段 A  A   的长度 ,  

2 0 1 5年  第 5 4卷

第 4期 

数 学通报 

5 3  

静 

谚  黪 黪 霸 
图 1  

解  可 以把 图 i +1看 成 是 第 i 次 变 化 后 的  细 胞状 态 , 我们 按 照上述 的细胞 变化 规则 , 得 到 图  2至 图 5 . 我们 发现 :  

图 5  

由于 1 5 —4 ×3 +3 , 利用 2 。 , 我们 可 以画 出 图  1 5 , 它 相对 于 图 3 , 向右下 方有 走 了 3 格.  

姆 

秘 

图 2  

黪 

镑 

黪 

◇ 

图3  

图 4  

1 。   每 一次 变 化后 , 活 细 胞 的 个 数 不 发 生 
变化 .   2 。 图 5对 比图 1 , 活细 胞 的相对 位 置和分 布 

图 1  

五、 假设 有一 个 半 径 为 R、 重 量 为 w 的 圆形 
平台( 含起 重 货物 ) , 它 由三个 张力 弹簧支 撑 , 如 图 

的整 体形 态是 一 样 的 , 只是 向右下方 走 了一 格 . 也 
就是 说 , 活细 胞 的分布 的形 态成 周期 性 变化 , 最 小  周 期是 4 ; 相 对 于上一 个 周 期 , 每 一 个 活 细胞 均 向   右 下方 走 了一 格 .  

1所示 . 弹簧 的质量 可 以忽 略不计 . 根 据 Ho o k e定 

律, 弹簧 张 力 F 与其 形 变 量 5 成正 比, F( s ) 一k s ,  
每个 弹 簧 的 比例 系 数 k分 别 为 k  一 4 . 4 , k 。 = = =  
l 1 . 2 , k 。 = = = 7 . 9 . 当起 重机 吊起 货 物时 , 平 台 以上 的 

5 4  

数 学 ̄ _ 4 g -  

2 0 1 5年  第 5 4卷  第 4期 

高度为 h— l   DOl >O , 以点 D 为 中心 质点 构建 的 

物 体受 力如 图 2 所示. 为 了保持 物体 的静态 平 衡 ,   作 用在 点 D 各方 向分力 的总 和必 须等 于 0 .   试 确定 在 圆形平 台边 上 的三 个 弹 簧 一 端 A、   B、 C的位 置 , 从 而 使 平 台保 持 水 平 , 防 止 货 物 在  运 输过 程 中滑落 . 即确 定如 图 1 所示的、 使 三个 弹  簧 形变 量 S 相 同 的缆 绳 夹 角 a, J 9和 ) , , 以保 证 受 

f i : 争[ 一 R c O s ( a 一  + 譬[ R c o s ( 7 -  
∞   册  

F 

F 

一  
L 

一  
L 

力 后拉 伸 的长度 L 一  ̄ / R   +h  相 同.  
解  只需 计 算 作 用 在 点 D 的 三 
个 受力 向量 F  , F  和 F  , 由它 们 在  z, Y , z三 个 方 向 上 的 分 量 之 和 为 0 ,   即可确 定 三个夹 角 a ,   和y .  

J  一 争一 争   一   一 o ,   l 庀 :   一  [ R S i n c a 一   I— F L D c [ - R s i n ( y 一 号 ) ] = o .  
  一   一
0  ,  

  一

丌一 2 
]  

从 连接 点 D 和 点 B 的 弹 簧 所 受  的力 F  开始 , 用f , . j 『 和 k分别 表示 沿 
z, Y和 z轴方 向 的单位 向量 , 则 F 册   可表示为 F 珊一F o B   i  ̄F D B   _ 『 +  k,  
F1 ) c  

f FD ^一 k A S,  

Fn B一 是 B s ,  

( 3 )  

图2  

l F   一 k c s .  

其 中 F蹦  , F 蹦  , FD B  表示 F D B 沿z , Y , z 轴 方 向 

( 4 a )  
WL
— —

的 大 小, F   一 ̄ / 碍   1   干 下   表示F D B  ̄ J  
大小 , 根据 立体 几何 分析 得到 



s h  

愚 A+ 忌 B+ 愚 c,  
  。 。   。’  

( 4 b )  
( 4 c)  

愚 A+ k B C O S O t + k c c o s Z一 0.  

由( 4 n ) 和( 4 c ) 可 以求 解 出  
c o s y 一  6 2 8’ ( 5 n)  

I F D B 2 一   一  n c   一  .  
同理 , 可 以仿 照式 ( 1 ) 得到 F 蹦, F ∞ 的分 量 表 
达式 .  

c o s a 一 

_ o. 8 36 .

( 5 6)  

因此 , y一 0 . 8 9 1 6≈ 5 1 。 , a一 2 . 5 3 4 4 ≈ 
1 46 。 ,   一 36 0 。 G - y≈ 1 6 3  ̄
.  

( 上接 第 5 O 页)  

思 维 品质不 断优 化 的过程 .  
参 考 文 献 

向量 特 征什 么 样 ?有 几 多变 量 ? 有 怎样 的 约束 ?   有方 程 ( 组) 吗? 有 不 等 式 吗 ?可 解 吗? …… . ) .   教 师要 在充分 了解 问题 的基 础 上 , 把 自己的 研 究 
1 顾 向忠 . 解题教学研究。 —— 浅 入 、 联 系、 研 透、 回首[ J ] . 数 学 通 
报, 2 0 1 3 , 9 : 3 1 ~3 3  

体会 转 化为 火热 的教 学 情 态 , 通 过 问题 驱 动 展 开 
教学, 在 学生 的思 维百 变 中始终抓 住 问题 的本 质 ,   把 数学 思想 与方 法这条 教学 主线贯 穿 于整个 教 学  过程, 教“ 解” 法更 要教 “ 想” 法, 着力 改 善解题 教 学 

2 单鳟. 数学竞赛研究教程[ M] .1版 .南 京 : 江苏教 育出版 社,  
1 9 9 3, 4: 3 8 3 ~ 3 8 4  

3 曹才翰 , 章建跃. 数学教育心理学 E M] .2版 .北 京 : 北 京 师 范 
大 学 出版 社 , 2 0 0 6 , 5 : 1 8 6  

中过分 依赖题 型 记忆 、 复制模 仿 的状况 , 着 意提 升 
学 生在 新颖 的 习题 情 境 前 , 能 根 据 已有 的数 学 经  验, 挖掘 隐含 信 息 , 并 以研究 者 的心 态 分 析 、 解 决  问题 的能力 _ 4 ] , 使学 生学 会用 数学 的思 维方 法 ( 方  程 思想 、 图形 模式 、 运算 结 构 、 数形 结合 等 ) 合 情 探 

4 连春兴 , 王芝 平. 数 学高考 北京卷 对教学 的启 示[ J ] . 数 学 通 
报, 2 0 1 0 , 9 : 5 8  

5 芮强 , 吴 兆 甲. 平 面 内与 两 个 定 点 的距 离 之 比 ( 商) 为 常 数 的 点  的轨 迹 [ J ] . 中小 学 数 学 ( 高 中版 ) , 2 0 1 0 , Z 1   6 芮强 , 吴 兆 甲.2 0 0 9年 高 考 江 苏 卷 第 1 8题 的 探 源 、 别 解 与 推  广[ J ] . 福建 中 学数 学 , 2 0 1 0 , 2  

索、 合理 预判 、 慎密思考 , 使 数 学 的解 题 过 程 成 为 


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