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数学高二(上)沪教版(数列的极限(二))学生版


年 课

级: 高二 题

辅导科目: 数学

课时数:3

数列极限
1、 理解数列极限的概念; 2、 掌握数列极限的运算法则; 3、 掌握常用的数列极限。 4、掌握公比 q <1 时,无穷等比数列前 n 项和的极限公式即无穷等比数列各项和公式,并能 用于解决简单问题。 教学内容

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教学目的

【知识梳理】
1、 什么是数列的极限? 2、 数列极限的运算法则有哪些? 3、 常见的求数列的极限有哪些形式?

【典型例题分析】
例 1、下列命题中,正确的是 (A)若 lim an ? A, lim bn ? B, 则
n ?? n ??





lim

an A ? n ?? b B n

(B)若 lim an ? 0 ,则 lim ? an bn ? ? 0
n ??

n ??

2 2 (C)若 lim an ? A ,则 lim an ? A n ??
n ??

2 2 (D)若 lim an ? A, 则 lim an ? A
n ??

n ??

例 2、已知 lim ? ?? 2n ? 1? an ? ? ? 2 ,求 lim nan 。
n ??
n ??

例 3、求下列数列的极限

?2n ? 1,当1 ? n ? 6时 ? (1)若 an ? ? 1 n ? N ? ? ,则 lim an ? ______, lim Sn ? _______ ? n ?? n ?? ,当n ? 7时 ? ? 2n ? 6

(2) lim

n 2 ? 2n ? 1 n ?? 2n 2 ? n ? 3

(3) lim

2n ? ? ?3? 2n ?1 ? ? ?3?

n n ?1

n ??

(4) lim n
n ??

?

n ? 1 ? n ?1

?

(5) lim ?1 ?
n ??

? ?

1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ??1 ? ??1 ? ? ??1 ? ? 2 ?? 3 ?? 4 ? ? n ?

(6) lim

1 ? 2 ? 3 ??? n n ?? n2

例 4、在数列 ?an ? 中,已知 a1 ?

1 a ,且 an ? ?2Sn Sn?1 (n ? 2) ,求 lim n n ?? S 2 3 n

例 5、已知 lim

2n ? a n ?1 1 ? ,求 a 的范围。 n ?? 2n ?1 ? a n 2

例 6、若 lim ? 3an ? 4bn ? ? 8, lim ? 6an ? bn ? ? 1 ,求 lim ? 3an ? bn ? 。
n ?? n ?? n ??

? ? 0.018 ? ? 0.0018 ? ?? 例 7、求和: S ? 0.18

变式练习:化循环小数为分数

?? (1) 0.32

? (2) 1.34

? ? 0.2 ? ? 0.3 ? ??? 0.9 ? (3) 0.1

例 8、等比数列 ?an ? 使 lim ? a1 ? a2 ? a3 ??? an ? ?
n ??

2 ,求实数 a1 的取值范围。 5

例 9、棱长为 a 的正方形内有一个内切球(即球与正方形的每一个面有且只有一个公共点) ,球内又有一个内切正方 体(即正方体的每一个顶点都在球的表面上) ,该正方体内又有一个内切球,球内又有一个小内切正方形??如此进 行以至无穷,求所有这些正方体的体积之和。

【课堂小练】
1.下列命题正确的是______________ ①数列

?? ?1? 3? 没有极限
n

②数列 ?? ?1?

? ?

n

2? ? 的极限为零 n?

n ? ? 3? ? ? ? ③数列 ? 3 ? ? ? 的极限是 3 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? n ? 2 ④数列 ? ? 3 ?
C ①②③

? ?

? ? 没有极限 n? ? ?

A ①② B ②③④ 2.下列命题中正确的是_________

D ①②③④

A 设有数列 ?an ? ,若存在常数 M ? 0 ,使 ?an ? ? M 恒成立,则数列 ?an ? 必有极限; B 若数列 ?an ? 单调递增,则此数列必有极限; C 若 lim an ? A (A 为确定的常数) ,则存在常数 M ? 0 ,使 ?an ? ? M 恒成立;
n ??

D 数列 0,1,0, 2,0,3,???? n, ? 的一个极限时零 3.下列命题中正确的是________
2 2 A 若 lim an ? A ,则 lim an ? A n ??
n ??

2 2 B 若 lim an ? A ,则 lim an ? A
n ??

n ??

C 若 lim an ? A, lim bn ? B ,则 lim
n ?? n ??

an A ? n ?? b B n

D 若 an ? bn ,且 lim an ? A, lim bn ? B ,则 A ? B
n ?? n ??

4.下列数列极限的式子中,不正确的是____________ A lim

2?4? 6? ?? ? 2n ? ? 0 n?? 3? 6? 9?? ?3n ?
? ? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ??1 ? ???1 ? ? ? 0 2 ?? 3 ? ? n ?

B lim

1 n? sin ?0 n ?? n 3

C lim ?1 ? n ??

D lim

3n ? 2n ?0 n ?? 3n ? 2n

5.若 lim an 存在,且 lim
n ??

n ??

an ? 3 4 ? ,则 lim an =____________ n ?? an ? 2 9

6.数列 ?an ? 和数列 ?bn ? 都是公差不为零的等差数列,且 lim 7.求下列各数列的极限。 (1) lim ?
n ??

n ??

an a ? a ??? an 的值为_____________ ? 3 ,则 lim 1 2 n ?? bn nb2 n

3 2n ? 1 ? ? 1 ? 2 ??? 2 ? 2 n ?1 ? ? n ?1 n ?1

(2) lim

3n 2 ? 2n n ?? n 2 ? 3n ? 1

(3) lim ?

? n3 ? 1 n 2 ? 1 ? ? ? n ?? 3n 2 ? n 3n ? 4 ? ?

1 1 ?1? 1 ? ? ??? ? ? 3 9 ?3? (4) lim n n ?? 1 1 ? 1? 1 ? ? ??? ? ? ? 4 16 ? 4?

n

(5) lim

1 ? an ? a ? ?1? n ?? 1 ? a n

8.求 lim ?

? n 2 ? 2n ? 2 ? ? an ? b ? 的值,其中 a , b 为常数。 n ?? ? n ?1 ?

? ? 0.013 ? ? 0.0013 ? ??,求 S ? _______________ 9. 已知: S ? 0.13
n 10.无穷等比数列 tan ? 中,若它的各项和存在,求 ? 的范围。

?

?

走近高考:
1、 (2008 年个上海)若数列 ? a n ? 是首项为 1,公比为 a ? 的值是 (A) 1. (B) 2. (C)

3 的无穷等比数列,且 ? a n ? 各项的和为 a ,则 a 2
( )

1 . 2

(D)

5 . 4
( )

1 1 1 ? ??? n 2 2 的值为 2、 (2010 上海模拟) lim n ?? 1 1 1 ? ??? n 4 4 3 1 (A)0 (B) (C) (D)1 2 2
则 lim Sn ?____ _______.
n ??

3、 (2010 上海高考)将直线 l1:nx?y?n?0、l2:x?ny?n?0(n?N*)、x 轴、y 轴围成的封闭区域的面积记为 Sn,

4、已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,其前 n 项的和为 Sn ,且 Sn?1 ? 2Sn ? a1 ,则 lim

an ?( n ?? S n



(A)0

(B)

1 2

(C) 1

(D)2

5、已知 an , an?1 是方程 x 2 ? cn x ? ? ? ? 0 的两根,若 a1 ? 1 ,求 c1 ? c2 ? c3 ??? c2n ?? 的值。

?1? ? 3?

n

6、无穷等比数列 ?an ? 满足 lim ? a1 ? a2 ??? an ? ?
n ??

1 ,求首项 a1 的变化范围。 2

【课堂总结】
回顾本节课所讲的有关内容, 数列极限常考的几种类型?每种类型的解决方法?

【课后练习】
一、基础巩固 1.已知 ?an ? 是等比数列,若 Sn 是其前 n 项和,则“ lim an 存在”是“ lim S n 存在”的(
n ?? n ??



(A)充分非必要条件 (C)充要条件 2.无穷等比数列 1, (A) 2 ? 2

(B)必要非充分条件 (D)非充分非必要条件 ( (D) 2 ? 1 )

2 1 2 , , , ?的各项和等于 2 2 4
(B) 2 ? 2 (C) 2 ? 1

3. 在 无 穷 等 比 数 列 ( )

?an ?

中 , 已 知 a1 ?

1 1 2 2 2 ,q ? , 若 Tn ? a2 ? a4 ??? a2n , 则 lim Tn 的 值 为 n ?? 2 2

(A) 1

(B)

1 15

(C)

1 14

(D)

1 16 17 ,第五项与第七 8

4.一个无穷等比数列公比为 q ,满足 0 ? q ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,且它的第四项和第八项之和等于 项之积等于 (A) 64

1 ,则 lim S n 等于 n ?? 4
(B)32 (C)16



) (D)8 ( )

? 化为约分数后,分子和分母之和为 5.把 0.32
(A)119 (B)129 (C)141 (D)139

6. 在等比数列 ?an ? 中若 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 726, a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? 242 ,则此无穷等比数列的各项和为 ______________。 7.若实数 a , b 满足 a ? 2 ? 2b ? 1 ? 0 ,则数列 ab, b, 二、能力提升 8. 无穷等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 0 ,若 lim Sn ?
n ??

b b , , ? 的所有项和是_________ a a2

1 ,则 a1 的取值范围是( a1



(A) ? 2, 0

?

?

(B) ? 2, ?1
2

?

?
n

(C) ? ?1,0?

(D) ? 2, ?1 ? ? ?1, 0 ?

?

?

9.如果 lg x2 ? 2lg 2 ? 0 ,那么 x ? x ??? x ?? ? ______________ 10. 若一个热气球在第一分钟时间里上升 25m, 在以后的第一分钟里, 它上升的高度是它前一分钟里上升高度的 80%, 则这个热气球最高能上升_______m。

11.把下列循环小数化为分数

?? (1) 0.81

?? (2) 2.27

?? (3) 0.045

?? (4) 0.136

12.求和:

? ? 0.52 ? ? 0.53 ? ??? 0.59 ? (1) 0.51

? ? 0.03 ? ? 0.003 ? ?? (2) 0.3

a n?1 ? bn a n ?1 ? bn ? lim 13.已知 a, b ? R, 且 a ? b , lim ,求 a 的取值范围。 n ?? n ?? an an

14.如图,在等腰直角三角形 ABC 中,已知∠A ? 90 °,斜边 BC 长为 a ,途中排列着的内接正方形的面积分别为

S1 , S2 , S3 ?求:
(1)无穷个正方形的周长之和; (2)无穷个正方形的面积之积。

M E

A S S
1 2

N F

B

H

G

C

三、创新探究 15.动点 P 从原点出发沿 x 轴正向移动距离 a 到达点 P 1 ,再沿 y 轴正向移动距离

a 到达点 P 2 ,再沿 x 轴正向移动距离 2

a 到达点 P 3 ,??依次规律,无限进行,每次移动,距离缩小一半,求: 22
(1)动点 P 行进路线的长度; (2)动点 P 与坐标平面内哪一点无限接近?


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