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人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:课时提升作业(五十七) 8.9直线与圆锥曲线的位置关系


课时提升作业(五十七)
直线与圆锥曲线的位置关系 (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1. 过抛物线 y=2x2 的焦点的直线与抛物线交于 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1x2= ( A.-2 B.C.-4 D.,取直线 y= ,则其 =- . ) 60 分)

【解析】选 D.由 y=2x2 得 x2= y,其焦

点坐标为 F 与 y=2x2 交于 A ,B ,所以 x1x2= ·

【方法技巧】与动直线相关值的求解技巧 解决动直线与圆锥曲线相交的有关值的选择题、填空题,一般取其特殊 位置探索其值即可. 2.(2015?淮南模拟)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)与抛物线 y2=8x 有一 个公共的焦点 F,且两曲线的一个交点为 P,若|PF|=5,则双曲线的渐近 线方程为 ( A.y=± C.y=± x x ) B.y=± x D.y=± x

【解析】选 A.设点 P(x0,y0),依题意得,焦点 F(2,0), 于是有 x0=3, =24;

-1-

由此解得 a2=1,b2=3, 因此该双曲线的渐近线方程是 y=〒 x=〒 x.

【加固训练】双曲线 C 的方程为 - =1(a>0,b>0),l1,l2 为其渐近线,F 为右焦点,过 F 作 l∥l2 且 l 交双曲线 C 于 R,交 l1 于 M,若 ∈ A.(1, C.( , ,则双曲线的离心率的取值范围为 ( ] ) B.( D.( , ) ) =λ ,且λ

,+∞)

【解析】选 B.由题意得令 l1:y=- x, l2:y= x,l:y= (x-c), 由 l 交双曲线 C 于 R,令 故有 = , 解此方程组得 R ,

由 l 交 l1 于 M,令 解此方程组得 M 故有 由 得 所以 =, , , ). = =λ , =λ , , ,

整理得 a2=(1-λ)c2,即 e2= 又λ∈

,所以 e2∈(2,3),即 e∈(

3.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y2=1 相交于 A,B 两点,则|AB|的最大值为

-2-

( A.2

) B. C. D.

【解题提示】设出直线方程,联立直线与椭圆方程,利用弦长公式求解. 【解析】选 C.设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线 l 的方程 为 y=x+t,由 则 x1+x2=- t,x1x2= 所以|AB|= = = · . · = , . |x1-x2| 消去 y,得 5x2+8tx+4(t2-1)=0.

当 t=0 时,|AB|max=

4.(2015? 上饶模拟)过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 且倾斜角为 60°的 直线 l 与抛物线在第一、四象限分别交于 A,B 两点,则 ( A.5 ) B.4 C.3 D.2 的值等于

【解析】选 C.记抛物线 y2=2px 的准线为 l′, 作 AA1⊥l′,BB1⊥l′,BC⊥AA1,垂足分别是 A1,B1,C, 则有 cos60°= = = = ,由此得 =3,选 C.

【加固训练】 过点 A(1,0)作倾斜角为 的直线,与抛物线 y2=2x 交于 M,N 两点,则|MN|= .

【解析】斜率 k=tan =1,所以过点 A(1,0)的直线方程为 y=x-1.将其代 入抛物线方程 y2=2x,得 x2-4x+1=0.

-3-

因 为 判 别 式 Δ =16-4>0, 所 以 设 它 的 两 根 分 别 为 x1,x2. 于 是 x1+x2=4,x1x2=1. 故|MN|= 答案:2 5.(2014?杭州模拟)F 为椭圆 +y2=1 的右焦点,第一象限内的点 M 在椭 圆上,若 MF⊥x 轴,直线 MN 与圆 x2+y2=1 相切于第四象限内的点 N,则 |NF|等于 ( A. ) B. C. D. = 〓 =2 .

【 解 析 】 选 A. 因 为 MF ⊥ x 轴 ,F 为 椭 圆 +y2=1 的 右 焦 点 , 所 以 F(2,0),M d= 解得 k= 又因为 即N 所以|NF|= , = . =1, (负值舍去). ? , 设 lMN:y=k(x-2),N(x,y), 则 O 到 lMN 的 距 离

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

-4-

6.(2014?安顺模拟)在抛物线 y=x2 上关于直线 y=x+3 对称的两点 M,N 的坐标分别为 .

【解题提示】因为 M,N 两点关于直线 y=x+3 对称,所以 kMN=-1,且 M,N 的中点在直线 y=x+3 上,亦即直线 y=x+3 是线段 MN 的垂直平分线. 【解析】设直线 MN 的方程为 y=-x+b,代入 y=x2 中,整理得 x2+x-b=0,令 Δ =1+4b>0, 所 =以 b>. 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则

x1+x2=-1,

+b= +b, 由 解得

在 直 线 y=x+3 上 , 即

+b=- +3,解得 b=2,联立得 答案:(-2,4),(1,1)

【加固训练】 已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两 点 A,B,则|AB|等于( A.3 B.4 ) C.3 D.4

【解析】选 C.设直线 AB 的方程为 y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2), 由 得 AB 的中点 M 又M 则|AB|= ? x2+x+b-3=0? x1+x2=-1, . 在直线 x+y=0 上,可求出 b=1, · =3 .

7.(2014?渭南模拟)过椭圆 + =1(a>b>0)的左顶点 A 且斜率为 1 的直 线与椭圆的另一个交点为 M,与 y 轴的交点为 B,若|AM|=|MB|,则该椭圆 的离心率为 .

【解析】由题意知 A 点的坐标为(-a,0),

-5-

设直线的方程为 y=x+a, 所以 B 点的坐标为(0,a), 故 M 点的坐标为 代入椭圆方程得 a2=3b2, 所以 2a2=3c2,所以 e= . 答案: 8.已知曲线 - =1(a? b≠0,且 a≠b)与直线 x+y-1=0 相交于 P,Q 两点, 且 ? =0(O 为原点),则 - 的值为 . ,

【 解 析 】 将 y=1-x 代 入 P(x1,y1),Q(x2,y2), x1+x2= ,x1x2= . ·

=1, 得 (b-a)x2+2ax-(a+ab)=0. 设 则

=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1) · (1-x2)=2x1x2-(x1+

x2)+1, 所 以 - =2. 答案:2

+1=0, 即 2a+2ab-2a+a-b=0, 即 b-a=2ab, 所 以

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.(2015?合肥模拟)已知椭圆 T: + =1(a>b>0)的离心率 e= ,A,B 是 椭圆 T 上两点,N(3,1)是线段 AB 的中点,线段 AB 的垂直平分线与椭圆 T 相交于 C,D 两点. (1)求直线 AB 的方程. (2)是否存在这样的椭圆,使得以 CD 为直径的圆过原点 O?若存在,求出 该椭圆方程;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)由离心率 e= ,可得椭圆 T:x2+3y2=a2(a>0),

-6-

设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=k(x-3)+1,代入 x2+3y2=a2, 整理得(3k2+1)x2-6k(3k-1)x+3(3k-1)2-a2=0.① Δ=4[a2(3k2+1)-3(3k-1)2]>0,② x1+x2= ,由 N(3,1)是线段 AB 的中点,得

=3.解得 k=-1,代入②得,a2>12, 直线 AB 的方程为 y-1=-(x-3),即 x+y-4=0. (2)因为 CD 垂直平分 AB, 所以直线 CD 的方程为 y-1=x-3,即 x-y-2=0, 代入椭圆方程,整理得 4x2-12x+12-a2=0. 又设 C(x3,y3),D(x4,y4), 所以 x3+x4=3,x3x4= y3y4=(x3-2)(x4-2)= , ,

假设存在这样的椭圆,使得以 CD 为直径的圆过原点 O,则 x3x4+y3y4=0 得 a2=8, 又 a2>12,故不存在这样的椭圆. 【加固训练】已知椭圆 E 的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴,且抛物 线 x2=-4 y 的焦点是它的一个焦点,又点 A(1, )在该椭圆上.

(1)求椭圆 E 的方程. (2)若斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 B,C,当△ABC 的面积

最大时,求直线 l 的方程. 【解析】(1)由已知得抛物线的焦点为(0,+ =1(a> ). ),故设椭圆方程为

-7-

将点 A(1,

)代入方程得 +

=1,

整理得 a4-5a2+4=0,解得 a2=4 或 a2=1(舍去), 故所求椭圆方程为 + =1. (2)设直线 l 的方程为 y= 由 得 4x2+2 x+m,B,C 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), mx+m2-4=0,

则Δ=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)>0, 所以 0≤m2<8. 由 x1+x2=- m,x1x2= 得|BC|= |x1-x2|= , , .

又点 A 到 BC 的距离为 d= 故 S△ABC= |BC|·d= ≤ · = ,

当且仅当 2m2=16-2m2,即 m=〒2 时取等号. 当 m=〒2 时,满足 0≤m2<8. 故直线 l 的方程为 y= x〒2.

10.如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左,右焦点 分别为 F1,F2,线段 OF1,OF2 的中点分别为 B1,B2,且△AB1B2 是面积为 4 的 直角三角形.

-8-

(1)求该椭圆的离心率和标准方程. (2)过 B1 作直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2⊥QB2,求直线 l 的方程. 【 解 析 】 (1) 设 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为 + F2(c,0). 因为△ AB1B2 是直角三角形 , 又 |AB1|=|AB2|, 所以∠ B1AB2 为直角 , 因此 |OA|=|OB2|,则 b= ,又 c2=a2-b2,所以 4b2=a2-b2,故 a2=5b2,c2=4b2,所以离 心率 e= = . = · |B1B2|· |OA|=|OB2|· |OA|= · b=b2. =1(a>b>0), 右 焦 点 为

在 Rt△AB1B2 中,OA⊥B1B2,故 由题设条件

=4 得 b2=4,从而 a2=5b2=20.

因此所求椭圆的标准方程为 + =1. (2)由(1)知 B1(-2,0),B2(2,0). 由题意知直线 l 的倾斜角不为 0, 故可设直线 l 的方程为 x=my-2. 代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1,y2 是上面方程的两根, 因此 y1+y2= 又 所以 ,y1·y2=.

=(x1-2,y1), ·

=(x2-2,y2),

=(x1-2)(x2-2)+y1y2

-9-

=(my1-4)(my2-4)+y1y2 =(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16 ==, · =0, +16

由 PB2⊥QB2,得

即 16m2-64=0,解得 m=〒2. 所以满足条件的直线有两条,其方程分别为 x+2y+2=0 和 x-2y+2=0. (20 分钟 40 分)

1.(5 分)已知抛物线 y2=8x 的焦点 F 到双曲线 C: - =1(a>0,b>0)渐近 线的距离为 ,点 P 是抛物线 y2=8x 上的一动点,P 到双曲线 C 的上焦点

F1(0,c)的距离与到直线 x=-2 的距离之和的最小值为 3,则该双曲线的 方程为 ( A. - =1 C. -x2=1 ) B.y2- =1 D. - =1

【 解 析 】 选 C. 由 题 意 得 , 抛 物 线 y2=8x 的 焦 点 F(2,0), 双 曲 线 C: - =1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为 ax-by=0,因为抛物线 y2=8x 的焦点 F 到双曲线 C: - =1(a>0,b>0)渐近线的距离为 所以 = ,所以 a=2b. ,

因为 P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=-2 的距离之和 的最小值为 3, 所以|FF1|=3,所以 c2+4=9,所以 c= 因为 c2=a2+b2,a=2b,所以 a=2,b=1. ,

- 10 -

所以双曲线的方程为 -x2=1,故选 C. 2.(5 分)(2015? 西安模拟)若椭圆 + =1 的焦点在 x 轴上,过点 作

圆 x2+y2=1 的切线,切点分别为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上 顶点,则椭圆方程是 【解析】 ①设过点 . 的圆 x2+y2=1 的切线为 l,当直线 l 与 x 轴垂直时,k

不存在,直线方程为 x=1,恰好与圆 x2+y2=1 相切于点 A(1,0); ②当直线 l 与 x 轴不垂直时 , 设过点 l:y- =k(x-1),即 kx-y-k+ =0. 原点到直线 l 的距离为:d= =1,解之得 k=- , ; 的圆 x2+y2=1 的切线为

此时直线 l 的方程为 y=- x+ ,l 与圆 x2+y2=1 相切于点 B 因此,直线 AB 斜率为 k1=

=-2,直线 AB 的方程为 y=-2(x-1),所以直线

AB 交 x 轴于点 A(1,0),交 y 轴于点 C(0,2), 所以椭圆 + =1 的右焦点为(1,0),上顶点为(0,2), 所以 c=1,b=2,可得 a2=b2+c2=5,椭圆方程为 + =1. 答案: + =1 3.(5 分)已知椭圆 M: + =1,直线 x+y=0 交椭圆 M 于 A,B 两点,P 为

AB 的中点,且 OP 的斜率为 .C,D 为椭圆 M 上的两点,若四边形 ACBD 的 对角线满足 CD⊥AB,则四边形 ACBD 面积的最大值为 【解析】 因为 CD⊥AB,直线 AB 的方程为 x+y方 程 为 y=x+m, 将 x+yA(0, ),B =0 代 入 + .

=0,所以可设直线 CD 的 x=0, 不 妨 设 + =1 〓

=1 得 ,3x2-4

, 所 以 |AB|=

; 将 y=x+m 代 入

得 ,3x2+4mx+2m2-6=0, 设

C(x3,y3),D(x4,y4), 则 |CD|=
- 11 -

=

,又Δ =16m2-12(2m2-6)>0, 即 -3<m<3, 所

以当 m=0 时 ,|CD| 取得最大值 4,所以四边形 ACBD 面积的最大值为 |AB|·|CD|= 答案: 4.(12 分 ) 如图 , 椭圆 C: + =1(a>b>0) 的离心率为 , 其左焦点到点 P(2,1)的距离为 AB 被直线 OP 平分. ,不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 .

(1)求椭圆 C 的方程. (2)求△ABP 面积取最大值时直线 l 的方程. 【解析】(1)左焦点(-c,0)到点 P(2,1)的距离为 得 c=1. 又离心率为 ,可得 a2=4,则 b2=3, 所以椭圆 C 的方程为 + =1. (2) 由题意可知 , 直线 l 不垂直于 x 轴 , 故可设直线 l:y=kx+m, 交点 A(x1,y1), B(x2,y2), = ,解

- 12 -

由 所以 x1+x2=-

消去 y 并整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0, ,x1x2= , , =,解得 k=- ,即直线 l:y=- x+m.

所以 AB 的中点为 而直线 OP:y= x,可得 |AB|= = =2 · · = ·

. ,

而点 P(2,1)到直线 l:y=- x+m 的距离为 d= 所以△ABP 的面积为 S= |AB|·d = = = 其中 m∈(-2 ,0)∪(0,2 ), ·|8-2m|

令 f(m)=(12-m2)(4-m)2,m ∈ (-2 (m)=4(m2-2m-6)(4-m) =4(m-1)(m-1+ )(4-m),

,0) ∪ (0,2

), 则 f ′

所以当且仅当 m=1此时直线 l:3x+2y+2

时,f(m)取得最大值,即 S 取得最大值, -2=0.

5.(13 分)(能力挑战题)如图,椭圆 E: + =1(a>b>0)的左焦点为 F1,右 焦点为 F2,离心率 e= .过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点,且△ABF2 的周长 为 8.

- 13 -

(1)求椭圆 E 的方程. (2)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相交于点 Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的 圆恒过点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由. 【解析】(1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8, 即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8, 又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a, 所以 4a=8,a=2. 又因为 e= ,即 = ,所以 c=1, 所以 b= = .

故椭圆 E 的方程是 + =1. (2)由 得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.

因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0), 所以 m≠0 且Δ=0, 即 64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0, 化简得 4k2-m2+3=0.(*) 此时 x0==- ,y0=kx0+m= ,

- 14 -

所以 P 由

. 得 Q(4,4k+m).

假设平面内存在定点 M 满足条件,由图形对称性知,点 M 必在 x 轴上. 设 M(x1,0),则 因为 由 得= · + =0, -4x1+ + +3=0, · =0 对满足(*)式的 m,k 恒成立. , =(4-x1,4k+m),

整理,得(4x1-4) + -4x1+3=0.(**) 由于(**)式对满足(*)式的 m,k 恒成立, 所以 解得 x1=1.

故存在定点 M(1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M. 【一题多解】解决本题(2)还有如下方法: 由 得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.

因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0),所以 m≠0 且Δ=0, 即 64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0, 化简得 4k2-m2+3=0.(*) 此时 x0=所以 P 由 =- ,y0=kx0+m= , . 得 Q(4,4k+m).

假设平面内存在定点 M 满足条件,由图形对称性知,点 M 必在 x 轴上. 取 k=0,m= , 此 时 P(0, ),Q(4, ), 以 PQ 为 直 径 的 圆 为

- 15 -

(x-2)2+(y-

)2=4, 交 x 轴于点 M1(1,0),M2(3,0); 取 k=- ,m=2, 此时 + = ,交 x 轴于点

P(1, ),Q(4,0),以 PQ 为直径的圆为

M3(1,0),M4(4,0).所以若符合条件的点 M 存在,则 M 的坐标必为(1,0). 以下证明 M(1,0)就是满足条件的点: 因为 M 的坐标为(1,0), 所以 从而 故恒有 = · ⊥ =, -3+ =(3,4k+m), +3=0,

,即存在定点 M(1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M.

- 16 -


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