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2016届高三新课标数学(理)一轮复习第六篇 不等式(必修5)第2节 基本不等式


第2节 基本不等式 最新考纲 1.了解基本不等式的证 明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大 (小)值问题. 编写意图 基本不等式常以填空、选择题形式出现.本节重点突 出利用基本不等式求最值、基本不等式的实际应用以及基本不等 式的使用条件,主要体现在考点的选题及反思归纳和思想方法栏目 的选题上;难点突破利用基本不等式证明不等式,课时训练以考查 基础知识和基本方法,兼顾与其他知识的综合考查. 夯基固本 考点突破 思想方法 夯基固本 知识梳理 1.基本不等式: ab ≤ 抓主干 a?b 2 固双基 (1)基本不等式成立的条件 a>0,b>0. (2)等号成立的条件当且仅当 (3)其中 a?b 称为正数 a、b 的 2 a=b 时取等号. , ab 称为正数 a、b 的 算术平均数 几何平均数 . 2.利用基本不等式求最值 (1)两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若 a、b 为正实数,且 a+b=M,M M2 为定值,则 ab≤ ,等号当且仅当 4 a=b 时成立.(简记:和定积最大) (2)两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若 a、b 为正实数,且 ab=P,P 为定值,则 a+b≥ 2 P ,等号当且仅当 a=b 时成立.(简记:积定和最小) 3.几个常用的不等式 (1)a2+b2≥ (2)ab≤( 2ab (a,b∈R). a?b 2 ) (a,b∈R). 2 a ? b 2 a 2 ? b2 (3)( )≤ (a,b∈R). 2 2 (4) b a + ≥2(ab>0). a b a?b a 2 ? b2 (5) ≤ ab ≤ ≤ (a>0,b>0). 1 1 2 2 ? a b 2 质疑探究:上述五个不等式等号成立的条件分别是什么? (提示:都是当且仅当a=b) 基础自测 1.(2014 泰安一模)若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的 是( C ) (A)a+b≥2 ab b a (C) + ≥2 a b (B) 1 1 2 + > a b ab (D)a2+b2>2ab 解析:若 a<0,b<0,选项 A、B 不成立.若 a=b,则选项 D 不成立. ≧ab>0,? (当且仅当 b a b a b a >0, >0.? + ≥2 ? =2. a b a b a b b a = ,即 a=b 时取等号). a b 2.(2015 杭州月考)设 a>0,b>0.若 a+b=1,则 (A)2 (B) 1 4 1 1 + 的最小值是( C a b ) (C)4 (D)8 解析: 1 1 1 1 b a + =(a+b)( + )=2+ + ≥4. a b a b a b b a 1 = 且 a+b=1 即 a=b= 时取等号) a b 2 (当且仅当 3.若 f(x)=x+ 5 (A) 2 1 (x>2)在 x=n 处取得最小值,则 n 等于( x?2 B ) (B)3 7 (C) 2 (D)4 1 解析:f(x)=x-2+ +2≥4, x?2 当且仅当 x-2= 所以 n=3. 1 且 x>2 即 x=3 时取等号. x?2 4.下列命题中 (1)函数 y=x+ (2)ab≤( 1 的最小值是 2. x a?b 2 ) 成立的条件是 ab>0. 2 4 π ,x∈(0, )的最小值等于 4. cos x 2 (3)函数 f(x)=cos x+ (4)x>0 且 y>0 是

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