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2012年全国高中数学联赛模拟试题五


2012 年全国高中数学联赛模拟试题五
一、填空题
1.设集合 A = {a1 , a 2 , a 3 , a 4 } ,若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 B = {?1, 3, 5, 8} , 则集合 A = .
x 2 +1 的值域为 . x ?1 1 1 3.设 a, b 为正实数, + ≤ 2 2 , (a ? b) 2 = 4( ab) 3 ,则 log a b = a b

2.函数 f ( x) =

. .

4.如果 cos 5 θ ? sin 5 θ < 7(sin 3 θ ? cos 3 θ ) , θ ∈ [0,2π ) ,那么 θ 的取值范围是

5. 某人在将 2009 中间的两个数码 00 分别换成两位数 ab 与 cd 时,恰好都得到完全平方数:
2ab9 = n 2 , 2cd 9 = m 2 , (m > n, m, n ∈ N ) ,则数组 m + n, ab + cd =
6. 若 一 个 椭 圆 的 焦 点 和 顶 点 分 别 是 双 曲 线 为: .

(

)



y2 x2 ? =1 的 顶点 和 焦 点,则 椭 圆 的方 程 9 16

7. 实数 x, y 满足 2 x 2 + 3 y 2 = 6 y ,则 x + y 的最大值是 . 8. 四面体 ABCD 中, CD ⊥ BC , AB ⊥ BC , CD = AC , AB = BC = 1 平面 BCD 与平面 ABC 成 0 . 45 的二面角,则点 B 到平面 ACD 的距离为

二、解答题
1 . 本 小 题 满 分 16 分 ) 设 函 数 f ( x) =| lg( x + 1) | , 实 数 a, b(a < b) 满 足 f (a) = f (? (
f (10a + 6b + 21) = 4 lg 2 ,求 a, b 的值.

b +1 ) , b+2

2 .( 本 小 题 满 分 20 分 ) 已 知 数 列 {a n } 满 足 : a1 = 2t ? 3 (t ∈ R 且 t ≠ ±1) ,
a n +1 = (2t n +1 ? 3) a n + 2(t ? 1)t n ? 1 a n + 2t n ? 1 (n ∈ N * ) .

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 t > 0 ,试比较 an +1 与 a n 的大小.

3. (20 分)给定 Y 轴上的一点 A(0, a ) ( a > 1 ) ,对于曲线 y = 求 A, M 两点之间距离 AM 的最小值(用 a 表示) .

1 2 x ? 1 上的动点 M ( x, y ) ,试 2



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