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2012届上海市虹口区高三下学期教学质量监控测试卷(二模,文数,有答案)


虹口区 2011 学年度第二学期高三年级数学学科 教学质量监控测试卷(文科)
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分)
1、已知集合 M ? ?x ( x ? 5 )( x ? 2 ) ? 0? , N ? ?x 1 ? x ? 5? ,则 M ? N ? 2、设 z ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,则

r />2 z ? z
2



?

. .

3、若非零向量 a 、 b ,满足 a ? b ,且 ( 2 a ? b ) ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角大小为
x t
2 2

4、已知椭圆

?

y

2

? 1 的焦点为 ( 0 ,

?

6 ) ,则实数 t ?



5t

5、若等比数列 ?a n ? 满足 a n ? a n ?1 ? 9 n ,则公比 q ?



6、 一平面截一球得到直径为 2 的圆面, 球心到这平面的距离为 3, 则该球的体积是
1 x



7、 如果 ( x ?

第 则该展开式中, 常数项的值是 ) 展开式中, 4 项与第 6 项的系数相等,
n



8、在同一平面直角坐标系中,函数 y ? g ( x ) 的图像与 y ? 3 x 的图像关于直线 y ? x 对称,而 函数 y ? f ( x ) 的图像与 y ? g ( x ) 的图像关于 y 轴对称,若 f ( a ) ? ? 1 ,则 a 的值是
?x ? 2 y ? 6 ? 0 ? ?2 x ? y ? 6 ? 0 9、在约束条件: ? 下,目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 x ? 0 ? ?y ? 0 ?



10、执行如图所示的程序框图,若输入 A 的值为 2,则输出的 P 值是



开始

输入 A

p ?1 S ?1

S ? A




p ? p ?1

S ? S ?

1 p

输出 p

结束

11、从{1,2,3,4,5,6}中随机选一个数 a ,从{1,2,3}中随机选一个数 b ,则 a ? b 的概率等于 .
3 ,则角 C 的取值范围是

12、在 ? ABC 中,边 BC ? 2 , AB ? 13、函数 f ( x ) ? ?
?x2 ? 4x ? ?4 x ? x 2 ? x ? 0 x ? 0

. .

,则不等式 f ( x ) ? ? 5 的解集是

14、 a , b ? R , a ? b 且 ab ? 1 ,则

a

2

?b

2

a ?b

的最小值等于



二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、命题 A :若函数 y ? f ( x ) 是幂函数,则函数 y ? f ( x ) 的图像不经过第四象限.那么命题
A 的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中假命题的个数是(
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3



P
16、右图是底面为正方形的四棱锥,其中棱 PA 垂直于底面,它的三视图正确的是( )

D A 正前方 B

C

主视图

左视图

主视图

左视图

主视图

左视图

主视图

左视图

俯视图

俯视图

俯视图

俯视图

A

B

C

D

2 17、 P 为双曲线 x ?

y

2

12

? 1 上一点, F1 、 F 2 分别是左、右焦点,若 PF 1 : PF 2 ? 3 : 2 ,则

? PF 1 F 2 的面积是(
A. 6 3


B . 12
3

C.

12

D . 24
k l

18、 等差数列 ?a n ? 中, 如果存在正整数 k 和 l k ? l )使得前 k 项和 S k ? ( , 则( )
B. S k ?l ? 4 C . S k ?l ? 4

, l 项和 S l ? 前

l k



A. S k ? l ? 4

D . S k ? l 与 4 的大小关系不确定

三、解答题(满分 74 分) 19、 (本题满分 12 分)在长方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中, AB ? BC ? 6 ,用过 A1 , B ,C 1 三 点的平面截去长方体的一个角后,留下几何体 ABCD ? A1 C 1 D 1 的体积为 120. (1)求棱 AA 1 的长; (2)若 O 为 A1 C 1 的中点,求异面直线 BO 与 A1 D 1 所成角的大小.
D1 O A1 B1 C C1

D

A B

20、本题满分 12 分) ( 已知 f ( x ) ? m ? n , 其中 m ? ( 2 cos x , 1) , ? ( cos x , n (1)求 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间;

3 sin 2 x ) ( x ? R ) .

(2)在 ? ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,若 f ( A ) ? 2 , b ? 1 , ? ABC 面
3 3 2

积为

,求:边 a 的长及 ? ABC 的外接圆半径 R .

21、 (本题满分 14 分) 已知:函数 g ( x ) ? ax 2 ? 2 ax ? 1 ? b ( a ? 0 , b ? 1) ,在区间 [ 2 , 有最大值 4,最小值 1,设函数 f ( x ) ?
g ( x) x

3] 上



(1)求 a 、 b 的值及函数 f ( x ) 的解析式; (2)若不等式 f ( 2 x ) ? k ? 2 x ? 0 在 x ? [? 1, 1] 时恒成立,求实数 k 的取值范围;

22、 (本题满分 18 分)已知:曲线 C 上任意一点到点 F (1, 相等. (1)求曲线 C 的方程; (2)过点 F (1,

0 ) 的距离与到直线 x ? ? 1 的距离

0 ) 作直线交曲线 C 于 M , N 两点,若 MN 长为

16 3

,求直线 MN 的方程;

(3)设 O 为坐标原点,如果直线 y ? k ( x ? 1) 交曲线 C 于 A 、 B 两点,是否存在实数 k ,使 得 OA ? OB ? 0 ?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由.

23、 (本题满分 18 分)如图,平面直角坐标系中,射线 y ? x ( x ? 0 )和 y ? 0 ( x ? 0 )上 分别依次有点 A1 、 A 2 ,……, A n ,……,和点 B 1 , B 2 ,……, B n ……,其中 A1 (1, 1) ,
B 1 (1, 0 ) , B 2 ( 2, 0 ) .且 OA n ? OA n ?1 ?
2 , B n B n ?1 ?
1 2

. B n ?1 B n ( n ? 2 ,3, 4 ……)

(1)用 n 表示 OA n 及点 A n 的坐标; (2)用 n 表示 B n B n ?1 及点 B n 的坐标;

y
An+1 An A2 A1

(3)写出四边形 A n A n ?1 B n ?1 B n 的面积关于 n 的表达式 S (n ) ,并求
S (n ) 的最大值.

x O
B1 B2 Bn Bn+1

虹口区 2011 学年度第二学期高三年级数学学科 教学质量监控测试卷答案(文科)
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、 ?x 1 ? x ? 2? ; 2、 1 ? i ; 3、 120 ? ; 4、2,3;
1 3

5、3;

6、

40 10 ? 3


?
3

7、70;
];

8、 ?



9、6;

10、4;

11、

1 6



12、 ( 0 ,

13、 ( ? 1,

? ?) ;

14、 2 2

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、C; 16、B ; 17、C; 18、A; 三、解答题(满分 74 分) 19、 (12 分) (1)设 AA 1 ? h , V ? 6 2 ? h ?
? AA 1 ? h ? 4 …………6 分

1 1 2 ? ? 6 ? h ? 120 3 2

(2)? BC // A1 D 1 ,? ? OBC 是所求异面直线所成的角…………8 分 在 ? OBC 中, OB ? OC ?
? ? OBC ? arccos
3 34 34

4 ? (3 2 )
2

2

?

34 , BC ? 6 ,

…………12 分
?
6

20、 (12 分) (1) f ( x ) ? 2 cos

2

x?

3 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ?

) ? 1 …………2 分

T ? ? ………………3 分

单调递增区间 [ k ? ? (2) f ( A ) ? 2 sin( 2 A ?
1 2

?
3

,

k? ?

?
6

] ( k ? Z ) ……………4 分 )? 1 2

?
6

) ? 1 ? 2 ,由 sin( 2 A ?

?
6

,得 A ?

?
3

…………6 分

? 1 ? c ? sin

?
3

?

3 3 2

,? c ? 6 …………8 分

a ?

1 ? 6 ? 2 ?1? 6 ?
2 2

1 2

?

31 …………10 分

2R ?

a sin A

?

31 sin

?
3

,? R ?

93 3

…………12 分

21、 (14 分) (1) g ( x ) ? ax 2 ? 2 ax ? 1 ? b ,由题意得:
?a ? 0 ?a ? 1 ? 得? , 或 1? ? g (2) ? 1 ? b ? 1 ?b ? 0 ? g (3) ? 3 a ? b ? 1 ? 4 ? ?a ? 0 ?a ? ?1 ? 得? (舍去) 2? ? g (2 ) ? 1 ? b ? 4 ?b ? 3 ? 1 ? g (3) ? 3 a ? b ? 1 ? 1 ?

? a ? 1 , b ? 0 …………6 分

g ( x) ? x ? 2 x ? 1 , f ( x) ? x ?
2

1 x

? 2 …………7 分
1 2
x

(2)不等式 f ( 2 x ) ? k ? 2 x ? 0 ,即 2 x ? 设t ?
1 2
x

? 2 ? k ? 2 ,? k ? (
x

1 2
x

) ? 2?(
2

1 2
x

) ? 1 ……10 分

?[

1 2

,

2 ] ,? k ? ( t ? 1) ,? ( t ? 1)
2

2 min

? 0 ,? k ? 0 …………14 分

22、 (18 分) (1) y 2 ? 4 x …………4 分 (2)当直线 MN 的斜率不存在时,不合题意。…………5 分 当直线 MN 的斜率存在时,设 MN : y ? k ( x ? 1) ,代入 y 2 ? 4 x , 得 k 2 x 2 ? 2 ( k 2 ? 2 ) x ? k 2 ? 0 …………7 分
2(k
2

记 M ( x1 ,

y1 ) , N ( x 2 ,

y 2 ) ? x1 x 2 ? 1 , x 1 ? x 2 ?

? 2)
2



k

16 3

?

1? k

2

?

[

2(k

2

? 2)
2

] ? 4 ,解得 k ? ? 3 …………10 分
2

k

? 直线 MN : y ? ? 3 ( x ? 1) …………11 分

(3)将 y ? k ( x ? 1) ,代入 y 2 ? 4 x ,得 k 2 x 2 ? 2 ( k 2 ? 2 ) x ? k 2 ? 0
2(k
2

记 A ( x1 ,
2

y1 ) , B ( x 2 ,

y 2 ) ? x1 x 2 ? 1 , x 1 ? x 2 ?

? 2)
2

,…………13 分

k

y 1 y 2 ? k ( x 1 ? 1)( x 2 ? 1) ? k [ x 1 x 2 ? ( x 1 ? x 2 ) ? 1] ? ? 4 …………15 分
2

? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? ? 3 ? 0 , OA ? OB ? 0 ,? 不存在满足条件的 k .…………18 分

23、 (18 分) (1)? OA n ? OA 1 ? ( n ? 1) 2 ?
? An ( n ,
n ) …………4 分

2 ? n …………2 分

(2) B n B n ? 1 ?
OB n ? OB 1 1 n?2 ? B n (3 ? ( ) , 2

1 n ?1 B n ?1 B n ? ( ) …………7 分 2 2 1 1 n?2 1 n?2 ? B 1 B 2 ? ? ? B n ?1 B n ? 1 ? [1 ? ? ? ? ( ) ]? 3?( ) 2 2 2 0 ) …………10 分

1

(3) ? A n ? 1 OB n ?1 ?
S (n) ? 1 2

?
4



[ OA n ? 1 ? OB n ? 1 ? OA n ? OB n ] sin ? A n ? 1 OB n ? 1 1 n ?1 2 ? (3 ? ( ) ) ? n ? 2 )
n

?

? ? 3 2

2 4

[( n ? 1) ? 1 2

1 n?2 2 ? (3 ? ( ) )] 2

? ( n ? 1)(

……………………14 分
? S ( n ) ? S ( n ? 1) ?

3?n 2
n

,? n ? 4 时, S (n ) 单调递减.
27 16 7 4

又 S (1) ?

3 2

, S (2) ?

7 4

? S (3) ? S ( 4 ) ?



? n ? 2 或 3 时, S (n ) 取得最大值

…………18 分


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