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第2讲 数列的求和及综合应用


第2讲
一、选择题

数列的求和及综合应用

1 1 1 1 1.已知数列 12,34,58,716,…,则其前 n 项和 Sn 为( 1 A.n2+1-2n 1 C.n2+1- n-1 2 1 B.n2+2-2n D.n2+2- 1 2
n-1

)

解析

1? 1 ? ?1-2n?· 1+2n-1 ? ?2 1 1 2 因为 an=2n-1+2n,则 Sn= n + = n + 1 - 2 1 2n.另解: 1-2

用特值验证. 答案 A

an+1-1 2.(2015· 青岛模拟)数列{an}满足 a1=2,an= ,其前 n 项积为 Tn,则 T2 015 an+1+1 =( 1 A.3 解析 ) 1 B.-3 C.3 D.-3

an+1-1 1+an 1 1 由 an= ?an+1= , 所以 a2=-3, a3=-2, a4=3, a5=2, …, an+1+1 1-an

因此可推知数列{an}的项具有周期性,且一个周期内的四项之积为 1. 1 因为 2 015=4×503+3,且 a2 013=a1=2,a2 014=a2=-3,a2 015=a3=-2. ? 1? 则 T2 015=2×(-3)×?-2?=3. ? ? 答案 C )

1? ? 3.(2015· 南昌模拟)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln?1+n?,则 an=( ? ? A.2+ln n C.2+nln n 解析 B.2+(n-1)ln n D.1+n+ln n

an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=ln n-ln(n-1)+ln(n

-1)-ln(n-2)+…+ln 2-ln 1+2=2+ln n. 答案 A

4.(2015· 临汾模拟) A. n+1 2(n+2)

1 1 1 1 + 2 + 2 +…+ 的值为( 2 -1 3 -1 4 -1 (n+1)2-1
2

)

3 B.4-

n+1 2(n+2)

1 ? 3 1? 1 C.4-2?n+1+n+2? ? ? 解析 ∴ ∵

3 1 1 D.2- + n+1 n+2

1 ? 1 1 1 1?1 = 2 = =2?n-n+2?, 2 (n+1) -1 n +2n n(n+2) ? ?

1 1 1 1 + + +…+ 22-1 32-1 42-1 (n+1)2-1

1 1 1 1 1 1 1 ? 1? =2?1-3+2-4+3-5+…+n-n+2? ? ? 1 1 ? 1?3 = ?2-n+1-n+2? 2? ? 1 ? 3 1? 1 =4-2?n+1+n+2?. ? ? 答案 C
n

5.各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 3Sn=anan+1,则∑ a =( k=1 2k A. n(n+5) 2 B. 3n(n+1) 2 (n+3)(n+5) 2

)

n(5n+1) C. 2 解析

D.

当 n=1 时,3S1=a1a2,即 3a1=a1a2,∴a2=3,

当 n≥2 时,由 3Sn=anan+1,可得 3Sn-1=an-1an,两式相减得: 3an=an(an+1-an-1).∵an≠0,∴an+1-an-1=3,∴{a2n}为一个以 3 为首项,3 为公差的等差数列, ∴ k ∑ a2k = a2 + a4 + a6 + … + a2n = 3n + =1 3n(n+1) ,选 B. 2 答案 B
n

n(n-1) ×3 = 2

二、填空题 6.(2015· 全国Ⅱ卷)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则 Sn =____________. 解析 由题意,得 S1=a1=-1,又由 an+1=SnSn+1,

Sn+1-Sn 得 Sn+1-Sn=SnSn+1,所以 Sn≠0,所以 =1, SnSn+1
?1? 1 1 1 即 -S =-1,故数列?S ?是以S =-1 为首项,-1 为公差的等差数列,得 Sn+1 n ? n? 1

1 1 Sn=-1-(n-1)=-n,所以 Sn=-n. 1 答案 -n
?1? 7.(2015· 江苏卷)设数列{an}满足 a1=1,且 an+1-an=n+1(n∈N*),则数列?a ?前 ? n?

10 项的和为________. 解析 ∵a1=1,an+1-an=n+1,∴a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n, 将以上 n-1 个式子相加得 an-a1=2+3+…+n= n(n+1) 1 = ,令 bn=a , 2
n

(2+n)(n-1) ,即 an 2

1 ? 2 ?1 故 bn= =2?n-n+1?,故 S10=b1+b2+…+b10 n(n+1) ? ? 1 1 1 1 1 ? 20 ? =2?1-2+2-3+…+10-11?= . ? ? 11 答案 20 11

1 8.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=(-1)nan-2n,n∈N*,则 (1)a3=________; (2)S1+S2+…+S100=________. 解析 1 1 (1)当 n=1 时,S1=(-1)a1-2,得 a1=-4.当 n≥2 时,Sn=(-1)n(Sn-

1 1 1 1 Sn-1)-2n.当 n 为偶数时,Sn-1=-2n,当 n 为奇数时,Sn=2Sn-1- n+1,从而 2 1 1 1 1 1 S1=-4,S3=-16,又由 S3=2S2-24=-16,得 S2=0, 1 则 S3=S2+a3=a3=-16. 1 1 1 1 1 (2)由(1)得 S1+S3+S5+…+S99=-22-24-26-…-2100,S101=-2102,

1 1 1 1 又 S2+S4+S6+…+S100=2S3+23+2S5+25+2S7+27+…+2S101+2101=0, 1? 1 ? 故 S1+S2+…+S100=3?2100-1?. ? ? 答案 1 (1)-16 1? 1 ? (2)3?2100-1? ? ?

三、解答题 9.(2015· 湖北卷)设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的公 比为 q,已知 b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1) 求数列{an},{bn}的通项公式; an (2) 当 d>1 时,记 cn=b ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
n



?10a1+45d=100, (1)由题意有? ?a1d=2,

?2a1+9d=20, 即? ?a1d=2, ?a1=9, ?a1=1, ? 解得? 或? 2 d= . ?d=2 ? ? 9 1 ? an=9(2n+79), ?an=2n-1, ? 故? 或? n 1 ?bn=2 ?2?n-1 ? ?9? b = 9· . n ? ? ?


(2)由 d>1,知 an=2n-1,bn=2n-1, 故 cn= 2n-1 ,于是 2n-1

2n-1 3 5 7 9 Tn=1+2+22+23+24+…+ n-1 ,① 2 2n-1 1 1 3 5 7 9 T n= + 2+ 3+ 4+ 5+…+ 2 2 2 2 2 2 2n .② ①-②可得 2n-1 2n+3 1 1 1 1 T n =3- n=2+ + 2+…+ n-2- 2 2 2 2 2n , 2 2n+3 故 Tn=6- n-1 . 2

10.(2015· 四川卷)设数列{an}(n=1,2,3,…)的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an-a1, 且 a1,a2+1,a3 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式;
?1? 1 (2)记数列?a ?的前 n 项和为 Tn,求使得|Tn-1|<1 000成立的 n 的最小值. ? n?



(1)由已知 Sn=2an-a1,有 an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),

即 an=2an-1(n≥2), 所以 q=2. 从而 a2=2a1,a3=2a2=4a1, 又因为 a1,a2+1,a3 成等差数列, 即 a1+a3=2(a2+1), 所以 a1+4a1=2(2a1+1),解得 a1=2, 所以,数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列,故 an=2n. 1? 1?n? ?1-? ? ? ? ?2? ? 1 1 1 1 1 2? 1 (2)由(1)得a =2n,所以 Tn=2+22+…+2n= = 1 - 1 2n. n 1-2 1 1 1 ? ? 由|Tn-1|<1 000,得?1-2n-1?<1 000, ? ? 即 2n>1 000, 因为 29=512<1 000<1 024=210, 1 所以 n≥10,于是,使|Tn-1|<1 000成立的 n 的最小值为 10. 1 11.(2015· 石家庄模拟)已知数列{an}前 n 项和为 Sn,首项为 a1,且2,an,Sn 成等 差数列. (1)求数列{an}的通项公式;
?1? (2)数列{bn}满足 bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3),求数列?b ?的前 n 项和. ? n?



1 1 (1)∵2,an,Sn 成等差数列,∴2an=Sn+2,

1 1 当 n=1 时,2a1=S1+2,∴a1=2,

1 1 当 n≥2 时,Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2, 两式相减得:an=Sn-Sn-1=2an-2an-1, ∴ an 1 =2,所以数列{an}是首项为2,公比为 2 的等比数列, an-1

1 即 an=2×2n-1=2n-2. (2)∵bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3)=(log222n+1-2)×(log222n+3-2)=(2n-1)(2n+1), 1 ? 1 1 1 1? 1 ∴b = × =2?2n-1-2n+1?, ? ? n 2n-1 2n+1
?1? 1 1 1 1 ∴数列?b ?的前 n 项和 Tn=b +b +b +…+b ? n?
1 2 3 n

1 ?? 1? ?1 1? 1?? ? 1 = ??1-3?+?3-5?+…+?2n-1-2n+1?? 2?? ? ? ? ? ?? 1 ? 1? n =2?1-2n+1?= . 2 n +1 ? ?



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