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(专题密卷)河北省衡水中学2014届高考数学 万卷检测 选修 文


选修
一、选择题 1.已知三锥 P-ABC 的四个顶点均在半径为1的球面上,且满足

PA ? PB ? 0 , PB ? PC ? 0 , PC ? PA ? 0 ,则三棱锥 P-ABC 的侧面积的最大值为(
A.2 B.1 C.

)

1 2

D.

1

4
) C. a ? b D. a 2 ? b 2

2.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式中,不能成立的是( A.
1 1 ? a b

B.

1 1 ? a ?b a

3.如图, 在锐角三角形 ABC 中,AB 边上的高 CE 与 AC 边上的高 BD 交于点 H。 以 DE 为直径作圆与 AC 的另一个交点为 G。已知 BC=25,BD=20,BE=7,则 AG 的长 为( ) (A) 8 (B)

42 5

(C)10

(D)

54 5

?ABC 的两条高线 AD, BE 交于 H , 4.如图, 其外接圆圆心为 O , 过O
作 OF 垂直 BC 于 F , OH 与 AF 相交于 G ,则 ?OFG 与 ?GAH 面 积之比为( ) (A)1 : 4 (B)1 : 3 (C) 2 : 5 (D)1 : 2

? 5.在极坐标系中,点 (2, ) 到圆 ? ? 2cos ? 的圆心的距离为( 3
A. 2 B. 4 ?
?2 9

)

C. 1 ?

?2
9

D. 3

二、填空题 6.若非负数变量 x, y 满足约束条件 ?

? x ? y ? ?1 ,则 x ? y 的最大值为__________. ?x ? 2 y ? 4

7.若不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |≥ a 对任意 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围____________ 8.如图 3,在矩形 ABCD 中, AB ? 3, BC ? 3 , BE ? AC ,

1

垂足为 E ,则 ED ? 三、解答题 9.选修4-5:不等式选讲

.

B

C

E A 图 3 D

求证: a 2 ? b 2 ? ab ? a ? b ? 1

10.如图, O 为数轴的原点, A, B , M 为数轴上三点, C 为线段 OM 上的动点,设 x 表示 C 与原点 的距离, y 表示 C 到 A 距离的 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和。 (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70, x 应该在什么范围内取值?

11.如图, ?ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (1)证明: ?ABE ∽?ADC ; (2)若 ?ABC 的面积 S ? 1 AD ? AE ,求 ?BAC 的大小.
2

2

12.选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x) = |x + a| + |x-2|. (Ⅰ)当 a =-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (Ⅱ)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围。

13.选修 4—4;坐标系与参数方程 已 知 动 点 P, Q 都 在 曲 线 C : ?

? x ? 2cos ? (? 为 参 数 ) 上 , 对 应 参 数 分 别 为 ? ? ? 与 ? y ? 2sin ?

? ? 2? (0 ? ? ? 2? ) , M 为 PQ 的中点.
(Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.

14.选修 4—4:坐标系与参数方程 平面直角坐标系中,将曲线 ?

? x ? 4 cos α ( ? 为参数)上的每一点纵坐标不变,横坐标变为原来 ? y ? sin α

的一半, 然后整个图象向右平移1个单位, 最后横坐标不变, 纵坐标变为原来的 2 倍得到曲线 C1 . 以坐标原点为极点, 建立的极坐标中的曲线 C 2 的方程为 ? ? 4 sin ? , 求 C1 x 的非负半轴为极轴, 和 C 2 公共弦的长度.

3

15.已知对于任意非零实数 m ,不等式 | 2m ? 1 | ? | 1 ? m |?| m | (| x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |) 恒成立,求 实数 x 的取值范围。

16.在直角坐标系 xOy 中, 已知曲线 C 的参数方程是 ?

? x ? 2 ? 2sin ? , ( ? 是参数) .现以原点 O ? y ? 2cos ?

为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,写出曲线 C 的极坐标方程.

4

选修答案 单项选择题 1.A 解析:依题意得 PA,PB,PC 两两垂直,以 PA,PB,PC 为棱构造长方体,则长方体的对角线即为球 的直径, ∴PA +PB +PC =4R =4,
S侧 =
2 2 2 2

1 1 PA2 ? PB 2 PB 2 ? PC 2 PC 2 ? PA2 (PA·PB+PB·PC+PC·PA)≤ ( + + )=2, 2 2 2 2 2

当且仅当 PA=PB=PC 时取等号,故选 A. 2.思路分析:本题主要考查不等式的性质,必须透彻理解不等式性质的条件和结论,在应用不等 式性质时, 注意看性质条件是否具备, 做到有根有据, 这样才能正确.合理找到答 案。 方法一: a ? b ? 0 ? a ? b ? 0, a ? 0 ? a(a ? b) ? 0 。将
1 1 ? 两边同乘以 a (a ? b) ,可得 a ?b a

a ? a ? b ,?b ? 0 ,这与已知条件矛盾,故选 B.

3.D 4.A
? ? x ? ? cos? ? 2cos ? 1 ? ? ? 3 5.D【解析】由 ? 可知,点 (2, ) 的直角坐标为 (1, 3) ,圆 ? ? 2cos ? 的直角坐 ? 3 ? y ? ? sin ? ? 2sin ? 3 ? 3 ?
2 2 标系方程为 x ? y ? 2 x 即 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 则圆心到点 (1, 3) 的距离为 3 .

填空题 6.【答案】4 【解析】 由题意约束条件的图像如下:

当直线经过 (4, 0) 时, z ? x ? y ? 4 ? 0 ? 4 ,取得最大值.

5

【考点定位】考查线性规划求最值的问题,要熟练掌握约束条件的图像画法,以及判断何时 z 取 最大. 7. a ≤ 3 【解析】由于 | x ? 1 ? x ? 2 |≥| ( x ? 1) ? ( x ? 2) |? 3 ,所以只需 a ≤ 3 即可 8.【解析】本题对数值要敏感,由 AB ? 3, BC ? 3 ,可知 ?BAC ? 60 从而 AE ? 解答题 9.证明: (a 2 ? b2 ) ? (ab ? a ? b ? 1)
? a 2 ? b 2 ? ab ? a ? b ? 1 1 ? (2a 2 ? 2b2 ? 2ab ? 2a ? 2b ? 2) 2

3 21 . , ?CAD ? 30 , DE ? AE 2 ? AD 2 ? 2 AE ? AD ? cos30 ? 2 2

1 ? [(a 2 ? 2ab ? b2 ) ? (a 2 ? 2a ? 1) ? (b2 ? 2b ? 1)] 2 1 ? [(a ? b)2 ? (a ? 1)2 ? (b ? 1)2 ] ? 0 2
? a 2 ? b 2 ? ab ? a ? b ? 1

10.解: (1) y ? 4 x ?10 ? 6 x ? 20 ,0 ? x ? 30
? ?4 x ?10 ? 6 x ?20 ?70 解不等式组, 得其解集为 ?9, 23? ? x ? ?9, 23? ? ?0 ? x ? 30

(2) 依题意,x 满足 ?

11.解: (1)由已知条件,可得 ?BAE ? ?CAD ,因为 ?AEB 与 ?ACB 是同弧所对的圆周角,所以
?AEB ? ?ACD .故 ?ABE ∽?ADC

(2)因为 ?ABE ∽?ADC 所以 AB ? AE ,即 AB ? AC ? AD ? AE
AD AC

又 S ? 1 AB ? AC ? sin ?BAC 且 S ? 1 AD ? AE 故 AB ? AC ? sin
2 2

?BAC ? AD? AE 则 sin ?BAC ? 1 ,又 ?BAC 为 ?ABC 的内角,所以 ?BAC ? 90 .

选做题

? -2x+5,x ?2 2 ? x ?3 12.(1)当 a= -3 时,f(x)= ? 1, 2x-5 ? ,x ?3
? 3 得-2x+5 ? 3;解得 x ? 1: 当 x ? 2 时,由 f(x) ? 3 无解; 当 x<2<3 时, f(x ) ? 3 得 2x-5 ? 3;解得 x ? 4; 当 x ? 3 时,由 f(x) ? 3 的解集为 x x ? 1 ? x x ? 4 所以 f(x)

?

? ?

?
6

(2) f(x) ? x-4 ? x-4 ? x-2 ? x ? a

2-x ) ? x ? a ? -2-a ? x ? 2-a 当 x??1, 2? 时, x-4 ? x-2 ? x ?a ? 4-x- (
由条件得-2-a ? 1 且 2-a ? 2,即-3 ? a ? 0. 故满足条件的 a 的取值范围为 ?-3,0? 13. ( 1 ) 依 题 意 有 P (2cos a , 2sin a ) , Q (2cos 2a , 2sin 2a ) , 因 此

M (cos a + cos 2a ,sin a + sin 2a ) 。 M 的轨迹的参数方程为 ? í

ì x = cos a + cos 2a ? (a 为参数, 0 < a < 2p ) ? ? ? y = sin 2a + sin a
2 + 2 cos a ( 0 < a < 2p ).当 a = p 时,d=0,

2 2 (2) M 点到坐标原点的距离 d= x + y =

故 M 的轨迹过坐标原点。 14.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:曲线 ? y ? sin α

? x ? 4 cos α ?

( ? 为参数)上的每一点纵坐标不变,

横坐标变为原来的一半得到 ? y ? sin α

? x ? 2 cos α ?



然后整个图象向右平移1个单位得到 ? ?

x ? 2 cosα ? 1 , ? y ? sin α
? x ? 2 cosα ? 1 , y ? 2 sin α ?

最后横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍得到 ? 所以 C1 为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 , 又 C 2 为 ? ? 4 sin ? ,即 x 2 ? y 2 ? 4 y ,

所以 C1 和 C 2 公共弦所在直线为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 , 所以 (1,0) 到 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 距离为

5 , 2

所以公共弦长为 2 4 ? 15.解:即 | x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?

5 ? 11 . 4

| 2m ? 1 | ? | 1 ? m | 恒成立 |m|

7

?

| 2m ? 1 | ? | 1 ? m | | 2m ? 1 ? 1 ? m | ? ? 1 ? 只需 | x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |? 1 |m| |m|
3 时,原式1 ? x ? 2 x ? 3 ? 3 ,即 x ? ?3 ? x ? ?3 2

(1)当 x ? ? (2)当 ?

3 ? x ? 1 时,原式1 ? x ? 2 x ? 3 ? 1 ,即 x ? ?1 ? ?1 ? x ? 1 2

(3)当 x ? ?1 时,原式 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 1 ,即 x ? ?5 ? x ? 1 综上 x 的取值范围为 (??,?3] ? [?1,??) 16.解:曲线 C 的直角坐标方程是 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 , 因为 x 2 ? y2 ? ? 2 , y ? ? cos? , 故曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 4? cos? ? 0 ,即 ? ? 4cos ? .

8


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