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3-1 导数的概念与计算


3-1

导数的概念与运算 数是( A. 1 ) B. 2 C. 3 D. 4

【知识梳理】 1.平均变化率及瞬时变化率: (1)f(x)从 x1 到 x2 的平均变化 Δy 率是: =①_______. Δx (2)f(x)在 x=x0 处的瞬时变化 Δy 率是: lim =②______. Δx →
Δx 0

r />答案:D 提示:由求导过程逐一判断都正确; 2.函数 f(x)=(x+2a)(x-a)2 的导数为( A.2(x2-a2) B.2(x2+a2) C.3(x2-a2) D.3(x2+a2)

)

2.导数的概念 (1)f(x)在 x=x0 处的导数就是 f(x)在 x=x0 处的③______,记作 y ' x ? x 或 f′(x0),
0

即 f′(x0)= lim
Δx→0

f?x0+Δx?-f?x0? . Δx

答案: C 解析:f′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2) π ? sinx 1 ,0 处的切线的 3.曲线 y= - 在点 M? 4 ? ? 2 sinx+cosx 斜率为( 1 A.- 2 答案 B; cosx?sinx+cosx?-sinx?cosx-sinx? 解析:y′= = ?sinx+cosx?2 1 π 1 ,把 x= 代入得导数值为 . 4 2 1+sin2x 4. (13 江西) 设函数 f(x)在(0, +∞)内可导, 且 f(ex) =x+ex,则 f′(1)=________. 答案: 2 提示:设 ex=t,则 x=ln t(t>0),∴f(t)=ln t+t, 1 ∴f′(t)= +1,∴f′(1)=2. t 5 ..( 13 济宁期末) 已知 f1(x)=sinx+cosx,记 f2(x) =f′1(x),f3(x)=f′2 (x),…, fn(x)=f′n-1(x)(n∈ π? ?π? N* 且 n≥2) , 则 f1 ? ?2? + f2 ?2? + … + f __________. 答案:0 提示:f2(x)=f′1(x)=cosx-sinx,f3(x)=f′2(x)=- sinx-cosx, f4(x)=f′3(x)=sinx-cosx, f5(x)=f′4(x) =sinx+cosx, 运算周期 为 4, 四项和为 0, 故 2 012 项和为 0. 【课标示例题】
1
2 012

(2)当把上式中的 x0 看作变量 x 时,f′(x)即为 f(x) 的导函数,简称导数,即 y′=f′(x)=④______ 3.导数的几何意义 函数 f(x)在 x=x0 处的导数就是⑤__ ___,即曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率 k=f′(x0), 切线方程为⑥_____. 4.基本初等函数的导数公式 (1)C′=⑦______(C 为常数). (2)(xn)′=⑧__________(n∈Q*). (3)(sinx)′=⑨______,(cosx)′=⑩______. (4)(ex)′=?______,(ax)′=?______. (5)(lnx)′=?______,(logax)′=?______. 5.导数运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=?__________. (2)[f(x)· g(x)]′=?______________. f ? x ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? (3)? (g(x)≠0). ?g?x??′= [g?x?]2 答案: f?x2?-f?x1? f?x0+Δx?-f?x0? ① ② lim Δx x2-x1 →
Δx 0

) 1 B. 2 C.- 2 2 D. 2 2

③ 瞬时变化率 ④ lim
Δx→0

f?x+Δx?-f?x? ⑤ 曲线 y Δx

=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率 - ⑥y-y0=f′(x0)(x-x0) ⑦0 ⑧nxn 1 ⑨cosx 1 1 ⑩-sinx ?ex ?axlna ? ? x xlna ?f′(x)± g′(x) ?f′(x)g(x)+f(x)g′(x) 【课前自测】 1? 1 1. 下列求导过程中 ① ? ?x? ′=- x2 ;② ( x )′= lnx? 1 ; ③ (logax)′ = ? ′= ; ④ (ax)′ = ln a ? ? x ln a 2 x 1 (elnax)′=(exlna)′=exlnalna=axlna,其中正确的个

?π? = ?2?

例1

计算导数 例2 求复合函数的导数

求下列函数的导数 (1) y=2xlnx; (2) y=excosx; 1-x (3) y= +lnx; x sinx (4) y= 3 . x +1 1 x 1 解析: (1) y′=2xln2lnx+ · 2 =2x(ln2lnx+ ) x x (2 )y′=(excosx)′=excosx-exsinx. 1-x 1 1 1 (3) y′=( +lnx)′=( -1+lnx)′=- 2+ . x x x x (4) y′=( = ?sinx?′?x3+1?-sinx?x3+1?′ sinx )′= 3 x +1 ?x3+1?2

求下列复合函数的导数. π? (1)y=(2x-3)5;(2) y= 3-x;(3) y=sin2? ?2x+3?; (4) y=ln(2x+5). 解析:(1)设 u=2x-3,则 y=(2x-3)5 由 y=u5 与 u =2x-3 复合而成, ∴y′=f′(u)· u′(x)=(u5)′(2x -3)′=5u4· 2=10u4=10(2x-3)4.

cosx?x3+1?-3x2sinx . ?x3+1?2

【举一反三】1 求下列函数的导数. (1) y=exlnx; (2) y=(x+1)(x+2)(x+3); (3) y= x+x5+sinx ; x2

1 1 (4) y= + . 1- x 1 + x 1 1 提示: (1) y′=e lnx+e · =ex( +lnx). x x
x x

【举一反三】2 求下列函数的导数: (1)y = x2+1 ; (2)y = sin22x ; (3)y = e xsin2x ; (4)y


(2) y=(x +3x+2)(x+3)=x +6x +11x+6,∴y′ =3x2+12x+11.
3 ? x ? x5 ? sin x sin x 2 ? x ? x3 ? 2 , (3) ∵ y ? 2 x x 1 2

2

3

2

=ln 1+x2. 1 x 提示:(1) y′= · 2x= 2 . 2 2 x +1 x +1 (2 )y′=(2sin2x)(cos2x)×2=2sin4x. (3) y′=(-e x)sin2x+e x(cos2x)×2
- -

3 5 ∴ y ' ? ( x ) '? ( x ) '? ( x sin x) ' =- x - + 3x2 2 2
? 3 ?2

3 2

-2x 3sinx+x 2cosx.
- -

=e x(2cos2x-sin2x).


1+ x+1- x 2 2 (4) y= = ,∴y′=( )′= 1-x ?1- x??1+ x? 1-x 0-2?1-x?′ 2 = . 2 ?1-x? ?1-x?2

(4) y′=

1 1 x 2x= . 2· 2· 1 + x2 1+x 2 1+x

例 3 导数的几何意义

2

(1) (13 浙江)已知函数 y=f(x)的图像是下列四 个图像之一,且其导函数 y=f′(x)的图像如图 1-2 所示,则该函数的图像是( )

处的切线的斜率,f(3)-f(2)表示(2,f(2)),(3,f(3)) 两点连线的斜率. 根据函数图像知 f′(2)>f(3)-f(2) >f′(3)>0. 1 (2)∵y′=k+ ,∴y′|x=1=k+1=0, x ∴k=-1.

图 1-2

【课标创新题】 导数几何意义的应用及易错点

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0 (13 四川卷) 已知函数 f ( x) ? ? , ?ln x, x ? 0 其中 a 是实数.设 A( x1 , f ( x1 )) , B ( x2 , f ( x2 )) 为该
图 1-3 (2) (13 江西) 若曲线 y=xα+1(α∈R)在点(1,2) 处的切线经过坐标原点,则 α=________. 解析: (1) 由导函数的图像可知, f′(x)>0 恒成立, 则 f(x)在(-1,1)上递增,且导函数为偶函数,则函 数 f(x)为奇函数, 再从导函数的图像可知, 当 x∈(0, 1)时,其二阶导数 f″(x)<0,则 f(x)在 x∈(0,1)时, 其图像是向上凸的,或者 y 随着 x 增长速度越来越 缓慢,故选择 B. - ( 2 ) y′ = αxα 1 , ∴y′|x = 1 = α. 曲线在点 (1,2) 处的切线方程为 y-2=α(x-1),将点(0,0)代入得 α =2. 【举一反三】3 (1)(13· 德州期末)函数 f(x) 的图像如图所示, f′(x) 是 f(x)的导函数, 则下列数值排 序正确的是( ) 函数图象上的两点,且 x1 ? x2 . (Ⅰ)指出函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂 直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最小值; (Ⅲ)若函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线重合 , 求 a 的取值范围. 解析:

? ? ? 函数 f ? x ? 的单调递减区间为 ? ??, ?1? ,

单调递增区间为 ? ?1,0 ? , ? 0, ?? ?

? ?? ? 由导数的几何意义可知,点

A 处的切线斜率为

f ? ? x1 ? ,点 B 处的切线斜率为 f ? ? x2 ? ,故当点 A 处
的切线与点 B 处的切垂直时,有 f ? ? x1 ? f ? ? x2 ? ? ?1 . 当 x ? 0 时,对函数 f ? x ? 求导,得 f ? ? x ? ? 2 x ? 2 . 因 为 x1 ? x2 ? 0 , 所 以 ? 2 x1 ? 2 ?? 2 x2 ? 2 ? ? ?1 ,

A.0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2) B.0<f′(2)<f′(3)-f(3)<f(2) C.0<f′(3)<f′(2)-f(3)<f(2) D.0<f(3)<f(2)-f′(2)<f′(3) (2) (13 广东省)若曲线 y=kx+ln x 在点(1,k) 处的切线平行于 x 轴,则 k=________. 答案: (1)A; (2)-1 提示: (1) f′(2)、f′(3)表示曲线在 x=2,x=3

所以 ? 2 x1 ? 2 ? ? 0, ? 2 x2 ? 2 ? ? 0 . 因
1 x2 ? x1 ? ? ? 2 2 ?? x1 2 ??



?

? 2 x2 ? ? ? ?2

?

?

2? x ?? 1

2? ? 2 x2

当 2 ?

1 ?

且 仅 当

? ? 2 x1 ? 2 ? =

? 2 x2 ? 2 ?

=1, 即

3 1 x1 ? ? 且x2 ? 时等号成立. 2 2
所以函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直
3

时, x2 ? x1 的最小值为 1

时, a 的取值范围是 ? ? ln 2 ? 1, ?? ? 或

? ??? ?



x1 ? x2 ? 0

x2 ? x1 ? 0

【举一反三】4 ( 1) (13 杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线 15 y=x3 和 y=ax2+ x-9 都相切,则 a 等于( 4 25 A.-1 或- 64 7 25 C.- 或- 4 64 21 B.-1 或 4 7 D.- 或 7 4 )

时, f ? ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ,故 x1 ? 0 ? x2 . 当 x1 ? 0 时, 函数 f ( x) 的图象在点 x1 , f ? x1 ? 处的切线方程为

?

?

y ? ? x12 ? 2 x1 ? a ? ? ? 2 x1 ? 2 ?? x ? x1 ?

,



y ? ? 2 x1 ? 2 ? x ? x12 ? a
当 x2 ? 0 时,函数 f ( x) 的图象在点 x2 , f ? x2 ? 处 的切线方程为

?

?

8? 1 (2)已知曲线 y= x3 上一点 P? ?2,3?,求过点 P 3 的切线方程. 答案: (1)A; (2) x-y-4=0 或 y+2=0. 提示: (1)设过(1,0)的直线与 y=x3 相切于点(x0,
3 2 2 x3 0),所以切线方程为 y-x0=3x0(x-x0),即 y=3x0x

y ? ln x2 ?
两 切

1 1 ? x ? x2 ? ,即 y ? ? x ? ln x2 ? 1 . x2 x2
重 合 的 充 要 条 件 是

线

? 1 ? ? 2 x1 ? 2 ? x2 ?ln x ? 1 ? ? x 2 ? a ? 2 1

① ②

3 -2x3 0,又(1,0)在切线上,则 x0=0 或 x0= , 2 15 当 x0=0 时, 由 y=0 与 y=ax2+ x-9 相切可得 a 4 25 3 27 27 15 =- ,当 x0= 时,由 y= x- 与 y=ax2+ x 64 2 4 4 4 ①② -9 相切可得 a=-1,所以选 A. (2)f′(x)=3x2-8x+5,f′(2)=1,又 f(2)=-2. ∴曲线 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y-(-2)=x-2, 即 x-y-4=0.
2 不在在 x=2 处的切线, 设切点坐标为(x0, x3 0-4x0+

由①及 x1 ? 0 ? x2 知, ?1 ? x1 ? 0 . 由 得, a ? x12 ? ln
2

1 ? 1 ? x12 ? ln ? 2 x1 ? 2 ? ? 1 . 2 x1 ? 2

设 h ? x1 ? ? x1 ? ln ? 2 x1 ? 2 ? ? 1(?1 ? x1 ? 0) , 则 h? ? x1 ? ? 2 x1 ?

1 ? 0. x1 ? 1

5x0-4), f′(x0)=3x2 则切线方程为 y-(- 0-8x0+5,
2 2)=(3x2 又切线过(x0, x3 0-8x0+5)(x-2), 0-4x0+5x0 2 2 -4)点,则 x3 0-4x0+5x0-2=(3x0-8x0+5)(x0-2),

所以 h ? x1 ?? ?1 ? x1 ? 0 ? 是减函数. 则 h ? x1 ? ? h ? 0 ? ? ? ln 2 ? 1 , 所以 a ? ? ln 2 ? 1 . 又当 x1 ? (?1,0) 且趋近于 ?1 时 , h ? x1 ? 无限增大 , 所以 a 的取值范围是 ? ? ln 2 ? 1, ?? ? . 故 当 函 数 f ( x) 的 图 像 在 点 A, B 处 的 切 线 重 合

整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得 x0=2 或 x0=1, 因此经过 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程为 x-y -4=0 或 y+2=0. 【课标自测题】 一 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1 (13 河北质检)已知直线 y=kx 是曲线 y=lnx 的
4

切线,则 k 的值是( A.e B.-e

) 1 C. e 1 D.- e

A. 8 答案 C

B.

20 3

C.-1

D.-8

答案:C 提示:依题意,设直线 y=kx 与曲线 y=lnx 切于点 kx =lnx0 ? ? 0 (x0 , kx0) ,则有 ? ,由此得 lnx0 = 1 , x0 1 k= ? ? x0 1 =e,k= ,选 C; e 2 (13 泰安二模)如图,函数 y=f(x)的图象在点 P(5, f(5))处的切线方程是 y= -x+8,则 f(5)+f′(5) 等于 ( ) 1 A. B.1 C.2 D.0 2 答案:C 提示:由题意知 f′(5)=-1,f(5)=-5+8=3, 所以 f(5)+f′(5)=3-1=2. 3 ( 青 岛 市 13 届 上 学 期 期 中 考 试 ) 已 知

提 示 : 原 油 温 度 的 瞬 时 变 化 率 为

f ' ( x) ? x 2 ? 2x ? ( x ? 1) 2 ? 1(0 ? x ? 5), 故最小
值为-1.因此选 C. 5 (13 南宁测试) 曲线 y=x3+3x2+6x-10,x∈R )

的切线中,斜率最小的切线方程为( A.y=3x-17 C.y=3x+11 答案:B B.y=3x-11 D.y=6x-10

提示:斜率 k=3x +6x+6=3(x+1) +3≥3,k 最 小时切点为(-1,-14),此时切线方程为 y=3x -11. 6 (13 山西测试)已知函数 f(x)=x3+ax2-2ax+3a2, 且在 f(x)的图像上点(1, f(1))处的切线在 y 轴上的截 距小于 0,则 a 的取值范围是( A.(-1,1) 2 ? C.? ?-3,1? 答案:B 提示: ∵f′(x)=3x2+2ax-2a, ∴f′(1)=3, 又 f(1) =1-a+3a2,∴在点(1,f(1))处的切线为 y=3(x- 1)+1-a+3a2,则可得 3a2-a-2<0, 2 解得- <a<1. 3 7 (13 金华十校联考) 设函数 y=xsinx+cosx 的图 象上的点(x0,y0)处的切线的斜率为 k,若 k=g(x0), 则函数 k=g(x0)的图象大致为( ) 2 ? B.? ?3,1? 2? D.? ?-1,3? )

2

2

1 ? f ( x)? cos x则, f (? ) ? f ?( ) ? x 2 2 3 1 3 A. ? B C. ? D. ?

?

?

?

?

答案:D 提示:因为 f ( x) ? 1 cos x, 所以
x

f '( x) ? ?

1 1 1 cos x ? sin x ,所以 f (? ) ? ? , 2 x x ?

? 2 ? 3 f '( ) ? ? ,所以 f (? ) ? f ?( ) ? ? ,选 D. 2 ? 2 ?
4 (烟台市 13 届上学期期中) 某厂将原油精炼为汽 油,需对原油进行冷却和加热,如果第 x 小时,原 油 温 度 ( 单 位 : ℃ ) 为

f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 8(0 ? x ? 5), ,那么原油温 度 3

的瞬时变化率的最小值为 答案:A
5

提示: y′=xcosx,k=g(x0)=x0cosx0,由于它是奇 π 函数,排除 B,C;x= 时,k>0,答案为 A. 4 8. 【北大附中河南分校 2013 届高三第四次月考理】 如果 f ?( x ) 是二次函数, 且 f ?( x ) 的图象开口向上, 顶点坐标为(1, 3 ), 那么曲线 y ? f ( x) 上任一 点 的 切 线 的 倾 斜 角 ( A. (0, C. ( )

10.(北大附中河南分校 13 届第四次月考)已知函
f ( x) ? xn?1 (n ? N*) 的图象与直线 x ? 1 交于点 P,若

图象在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 x n , 则 log2013 x1 + log2013 x2 + … + log2013 x2012 的 值 为( ) B. 1-log20132012 D.1

?

的 取 值 范 围 是

A.-1 C.-log20132012 答案: A

?
3

]

B. [

? ?

, ) 3 2

? 2?
2 , 3

]

D. [

?
3

提示: 函数的导数为 f '( x)=(n ? 1) xn , 所以在 x ? 1

,? )

处的切线斜率为 k ? f '(1)=n ? 1 ,所以线斜率为

答案: B 提示: 由题意可设 f '( x) ? a( x ?1)2 ? 3,(a ? 0) , 即 函 数 切 线
2

y ? 1 ? (n ? 1)( x ? 1) ,令 y ? 0 得 xn ?

n ,所以 n ?1









k? ' f (
所以

? x)

a ? (

, 即t a n ? x ? 1 ) ?? 3 3 ,

?
3

?? ?

?
2

log 2013 x1 ? log 2013 x2 ? ? log 2013 x2012 ? log 2013

1 2 2012 1 x1 x2 ? x2012 ? ? ?? ? = ,所以 2 3 2013 2013 3 1
2013

? ?1

,选 B.

,选 A. 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11 (13 宿州月考)若 f(x)=2xf′(1)+x2,则 f′(0)= __________. 答案:-4

9 ( 山 东 省 实 验 中 学 13 届 第 二 次 诊 断 ) 曲 线

y?

1 3 ? 4? x ? x 在点 ?1, ? 处的切线与坐标轴围成的 3 ? 3?


三角形面积为(

2 A. 9
答案:B

1 B. 9

1 C. 3

2 D. 3

提示: f′(x)=2f′(1)+2x.令 x=1, 得 f′(1)=2f′(1) +2,即 f′(1)=-2.令 x=0, 得 f′(0)=2f′(1)=-4.
12 (云南省玉溪一中 13 届第四次月考)已知函数

? 4? 提示: y ' ? f '( x) ? x2 +1,在点 ?1 , ? 的切线斜率 ? 3?
为 k ? f '(1) ? 2 。 所 以 切 线 方 程 为

f ( x) ? x2 ? (m ? 1) x ? 2m 是偶函数,且 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 (n ? 2) x ? y ? 3 ? 0 , 则常数 m, n 的积等于__________.
答案:-4 提示:函数为偶函数,所以有 m ? 1 ? 0, m ? ?1 。 所以 f ( x)=x2 ? 2 , f '( x)=2 x ,所以在你 x =1 处 的 切 线 斜 率 为 f '(1) ? 2 , 切 线 方 程 为

4 2 ?2 x ( ? ,即 1 ) y ? 2 x ? ,与坐标轴的交点 3 3 2 1 坐 标 为 (0, ? ), ( , 0) , 所 以 三 角 形 的 面 积 为 3 3 y?

1 1 2 1 ? ? ? ? ,选 B. 2 3 3 9

6

y =(n ? 2) x ? 3 , 即 n ? 2 ? 2n ,?
mn ? ?4 。

4 所 以 ,

三.解答题(本大题共 4 小题,共 50 分) 15 已知函数 f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲线 f(x)在 x=2 处的切线方程; (2)求经过点 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程. 解:(1)f′(x)=3x2-8x+5,f′(2)=1,又 f(2)=- 2. ∴曲线 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y-(-2)=x-2, 即 x-y-4=0.
2 (2)设切点坐标为(x0, x3 f′(x0)=3x2 0-4x0+5x0-4), 0

13 (天津市新华中学 13 届第二次月考)已知点 P 在

4 曲线 y ? x 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾 e ?1
斜角,则 ? 的取值范围是___________________ 答案: [

3? ,? ) 4

提示: y ' ?

?e ,即切线的斜率为 (e ? 1)2
x x

k?
k?

?4e x ,所以 (e x ? 1) 2
?4e x ?4e x 4 ? ?? ,因为 x 2 2x x 1 (e ? 1) e ? 2e ? 1 x e ? x ?2 e

-8x0+5, 则切线方程为 y-(-2)=(3x2 0-8x0+5)(x
3 3 2 -2),又切线过(x0,x0 -4x2 0+5x0-4)点,则 x0-4x0 2 +5x0-2=(3x2 0-8x0+5)(x0-2),整理得(x0-2) (x0

-1)=0,解得 x0=2 或 x0=1, 因此经过 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程为 x-y -4=0 或 y+2=0. 16 (13 新课标Ⅰ理)已知函数 f(x)=ex(ax+b)-x2 -4x,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y =4x+4. (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值. 解:(1)f′(x)=ex(ax+a+b) -2x-4. 由已知得 f(0) =4,f′(0)=4,故 b=4,a+b=8.从而 a=4,b=4. (2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x.f′(x)=4ex(x 1? x +2)-2x-4=4(x+2)? ?e -2?. 令 f′(x)=0,得 x=-ln 2 或 x=-2.从而当 x∈(- ∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f′(x)>0;当 x∈(-2, -ln 2)时,f′(x)<0. 故 f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增, 在(-2,-ln 2)上单调递减. 当 x=-2 时,函数 f(x)取得极大值,极大值为 - f(-2)=4(1-e 2). y=3x-3, ? ?x=6, ? (2)解方程? 得? 1 22 5 y=- x- , ? 3 9 ? ?y=-2. 1 5? 所以 直线 l1 和 l2 的交点的 坐标为 ? ?6,-2? .[ 来 源:Z#xx#k.Com] 1

1 1 e ? x ? 2 ? 2 ? 2 e x ? x ? 4 ,所以 e e
x

3 ?1 ? k ? 0, ? ? [ ? , ? ) 4
14 (云南省昆明三中 13 届高考适应性)设函数

f ( x) ?

sin ? 3 3 cos ? 2 x ? x ? tan ? , 其 中 3 2

5π 0, ? , 则 导 数 f ?( 1) 的 取 值 范 围 是 θ∈ ? ? 12? ( )

答案:[ 2,2] 提示: f '( x) ? sin ? x ? 3 cos? x ,所以
2

1 3 f '(1) ? sin ? ? 3 cos ? ? 2( sin ? ? cos ? ) 2 2

? 2sin(? ?

?
3

) , 因 为 0 ?? ? ? 4


?
3

?? ?

? 3 ?
3

5? , 所 以 12
所 以

2sin

3? ? ? 2sin(? ? ) ? 2 ,即 2 ? f '(1) ? 2 , 4 3

即导数 f ?( 1) 的取值范围是 [ 2, 2] 。

7

?-22,0?, 又 l1、 l2 与 x 轴交点的坐标分别 为(1,0)、 ? 3 ?
1 25 5 125 所以所求三角形的面积为 S= × ×|- |= . 2 3 2 12 17 (13· 新课标Ⅱ)已知函数 f(x)=x e . (1) 求 f(x)的极小值和极大值; (2) 当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围. 解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞). - f′(x)=-e xx(x-2).① 当 x∈(-∞, 0)或 x∈(2, +∞)时, f′(x)<0; 当 x∈(0, 2)时,f′(x)>0. 所以 f(x)在(-∞,0),(2,+∞)单调递减,在(0, 2)单调递增. 故当 x=0 时,f(x)取得极小值,极小值为 f(0)=0 ; - 当 x=2 时,f(x)取得极大值,极大值为 f(2)=4e 2. (2) 设切点为(t,f(t)),则 l 的方程为 y=f′(t)(x-t) +f(t). 所以 l 在 x 轴上的截距为 m(t)=t- 2 =t-2+ +3. t-2 由已知和①得 t∈(-∞,0)∪(2,+∞).令 h(x)=x 2 + (x≠0),则当 x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围 x 为[2 2,+∞);当 x∈(-∞,-2)时,h(x)的取 值范围是(-∞,-3). 所以当 t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范 围是(-∞,0)∪[2 2+3,+∞). 综上, l 在 x 轴上的截距的取值范围是(-∞, 0)∪[2 2+3,+∞). 1 18 设函数 f(x)=ax+ (a,b∈Z),曲线 y=f(x) x+b 在点(2,f(2))处的切线方程为 y=3.[来源: (1) 求 f(x)的解析式; (2) 证明函数 y=f(x)的图像是一个中心对称图形, 并求其对称中心; (3) 证明曲线 y=f(x)上任一点的切线与直线 x=1 和 直线 y=x 所围三角形的面积为定值,并求出此定 值. t =t+ f′(t) t-2 f(t)
2
-x

1 解:(1)f′(x)=a- , ?x+b?2

?2a+2+b=3, 于 是 ? 1 ?a-?2+b? =0.
2

1

? ?a=1, 解 得 ? ?b=-1, ?



?a=4, ? 8 ?b=-3.

9

因为 a,b∈Z,故 f(x)=x+

1 . x-1

1 (2)已知函数 y1=x, y2= 都是奇函数, 所以函数 g(x) x 1 =x+ 也是奇函数,其图像是以原点为中心的中心 x 1 对称图形.而 f(x)=x-1+ +1, x-1 故函数 f(x)的图像是以点(1,1)为中心的中心对称图 形. 1 (3)在曲线上任取一点?x0,x0+x -1?, ? ? 由 f′(x0)=1 0 - 1 知,过此点的切线方程为 ?x0-1?2

1 x2 0-x0+1 y- =?1-?x -1?2?(x-x0). ? ? x0-1 0 令 x=1,得 y= x0+1 ,切线与直线 x=1 交点为 x0-1

?1,x0+1?. ? x -1? ? ? 0
令 y=x, 得 y=2x0-1, 切线与直线 y=x 交点为(2x0 -1,2x0-1); 直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1,1), 1?x0+1 ? -1 · 从而所围三角形的面积为 ? |2x - 1-1| 2?x0-1 ? ? 0 1? 2 ? = · |2x -2|=2. 2 ?x0-1? 0 所以,所围三角形的面积为定值 2.

8


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