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南昌大学2010级高数(上)试题及答案


南昌大学 2010~20011 学年第一学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分,共 15 分) 1. 设 y

? ex
2011

2



f? ?? ? x ?? ? ? 1 ? x 且 ? ? x ? ? 0 ,则? ? x ? ?



2.

??2? ? x
2

?

? sin x dx ?
1 x ? ln x ?
2

?



3. 反常积分

?2

??

dx ?



4. 极限 lim n ? ?ln
n ??

? n ? 1? ? ln n ? ??

。 。

5. 设 y

? x3 ? 2 x ? x x ,则 dy ?

二、 单项选择题 (每小题 3 分,共 15 分) 1. 若 则 (A) (C) (D) 2.设

f ? x ? 和 g ? x ? 都为可导函数,
d x ? f ? x ? g ? t ?dt ? ( dx a
). (B)

f ? x? g ? x? f ?? x ? g ? x ? ? f ? x ? g?? x ?
x

f ?? x ? g?? x ?

f ? x ? g ? x ? ? f ? ? x ? ?a g ? t ?dt

f ? x ? ? e x ? 3x ? 2 ,当 x ? 0 时, f ? x ? 是比 x 的(
(B)低阶无穷小 (D)非等价的同阶无穷小



(A)高阶无穷小 (C)等价无穷小 3.设

f ? x ? 在 ? a, b ? 上连续,则在 ? a, b ? 上至少有一点 ? ,


使得( (A)

f ? ?? ? ? 0

(B)

f ?? ? ? 0

b f ? x ? dx ? a (C) f ? ? ? ?

b?a

(D)

f ? ?? ? ?

f ?b ? ? f ? a ? b?a

1 ? 2 ? ln x ? x ?1 ? ? e 4.设函数 f ? x ? ? ? ? 1 ?1 1 ? x ? 3 ? ? x
(A)不满足拉格朗日定理条件;
第 1 页 共 7 页

,在

?1 ? ,3? 内( ? e ? ?



1

(B)满足拉格朗日定理条件且 ?

?

9e ? 3 ; 5e

(C)满足拉格朗日定理条件,但 ? 无法求出; (D)不满足拉格朗日定理条件, 但有 ?

?

9e ? 3 满足中值定理的结论。 5e
x?0 x ? 0 ,则 x ? 0 是 f ? x ? 的( x?0


5.设函数

sin x ? x ? ? x ? f ? x? ? ? 0 ? 1 ? x sin x ?

(A)连续点 (B)可去间断点 (C)跳跃间断点 (D)振荡间断点 三、计算题(一) (每小题 8 分,共 24 分)

e x ?sin x ? 1 1.求极限 lim . sin 3 x x ?0 1 2.计算不定积分 ? dx x 1? e
3.计算定积分

?0 ln

1

?x ?

1 ? x 2 dx

?

四、计算题(二) (每小题 8 分,共 16 分) 1.求由方程 y 的导数

? 1 ? x 2 ? xe y 所确定的隐函数 y ? y ? x ?

dy . dx

? x ? ln 1 ? t 2 dy d 2 y ? 2.设 ? 求: . . t u2 2 dx dx du ?y ? 2 0 1? u ?

?

?

?

五、解答题(每小题 8 分,共 16 分) 1.确定 a, b 的值,使点

?1,3? 是曲线 y ? ax3 ? bx 2 ? x 的拐点, 并求该曲线在点 ?1,3? 处的切线方程.

x3 ? 4 2.设函数 y ? ,求该函数的单调区间和极值. x2
第 2 页 共 7 页 2

六、应用题(本题满分 8 分) 某房地产公司有 50 套公寓要出租.当租金定为每月 1800 元时,公寓会全部租 出去.当租金每月增加 100 元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需 花费 200 元整的维修费用.试问房租定为多少可获得最大收入? 七、证明题(本题满分 6 分) 设

f ? x ? 可导,证明: f ? x ? 的两个零点之间 f ? x ? ? f ? ? x ? 的零点.

一定有

南昌大学 2010~2011 学年第一学期期末考试试卷及答案 一、 填空题(每空 3 分,共 15 分) 1. 设 y 则?
?

? ex

2



? x? ?
2011

f? ?? ? x ?? ? ? 1 ? x 且? ? x ? ? 0 , ln ?1 ? x ?

2.

??2? ? x
2

? sin x dx ?
1 x ? ln x ? dx ? 2

?

2



3. 反常积分

?2

??

1 ln 2
1



4. 极限 lim n ? ?ln
n ??

? n ? 1? ? ln n ? ??



5. 设 y

? x3 ? 2 x ? x x ,

则 dy ?

?3x 2 ? 2 x ln 2 ? x x ? ln x ? 1? ? dx ? ?

.

二、 单项选择题 (每小题 3 分,共 15 分) 1. 若 则 (A) (C) (D) 2.设

f ? x ? 和 g ? x ? 都为可导函数,
d x ? f ? x ? g ? t ?dt ? ( dx a
D ). (B)

f ? x? g ? x? f ?? x ? g ? x ? ? f ? x ? g?? x ?
x

f ?? x ? g?? x ?

f ? x ? g ? x ? ? f ? ? x ? ?a g ? t ?dt

f ? x ? ? e x ? 3x ? 2 ,当 x ? 0 时, f ? x ? 是比 x 的(
(B)低阶无穷小 (D)非等价的同阶无穷小

D )

(A)高阶无穷小 (C)等价无穷小
第 3 页 共 7 页

3

3.设

f ? x ? 在 ? a, b ? 上连续,则在 ? a, b ? 上至少有一点 ? ,
C ) (B)

使得( (A)

f ? ?? ? ? 0

f ?? ? ? 0

(C)

f ?? ? ?

?a f ? x ? dx
b

b?a

(D)

f ? ?? ? ?

f ?b ? ? f ? a ? b?a

1 ? 2 ? ln x ? x ?1 ? ? e 4.设函数 f ? x ? ? ? ? 1 ?1 1 ? x ? 3 ? ? x
(A)不满足拉格朗日定理条件; (B)满足拉格朗日定理条件且 ?

,在

?1 ? ,3? 内( ? e ? ?

B )

?

9e ? 3 ; 5e

(C)满足拉格朗日定理条件,但 ? 无法求出; (D)不满足拉格朗日定理条件, 但有 ?

?

9e ? 3 满足中值定理的结论。 5e
x?0 x ? 0 ,则 x ? 0 是 f ? x ? 的( x?0
C )

5.设函数

sin x ? x ? ? x ? f ? x? ? ? 0 ? 1 ? x sin x ?

(A)连续点 (B)可去间断点 (C)跳跃间断点 (D)振荡间断点 三、计算题(一) (每小题 8 分,共 24 分)

e x ?sin x ? 1 1.求极限 lim . sin 3 x x ?0 x ? sin x 1 ? cos x 1 ? lim ? 解: 原式= lim 3 2 x ?0 x ? 0 6 x 3x
2.计算不定积分

?

1 1? e
x

dx
? ln t 2 ? 1

解:

令t

? 1 ? ex

则x

?

t dt ? , dx ? t 2? 1
2
4

第 4 页 共 7 页

原式 ?

? t 2 ? 1 dt ? ? ? t ? 1 ? t ? 1 ?dt
t ?1 ? C ? 2ln t ?1
1 ? ex ?1 1? e ?1
x

2

? 1 ?

? ln

? 1 ? e ?1? ? x ? C
x

1 ? ?

(或写成 ln

?C



3.计算定积分

?0 ln

1

?x ?
?
1

1 ? x 2 dx
2

?

解: 原式 ?

x ln x ? 1 ? x
2 ?1 ?

?

? ? ? xd ln ? x ?
1 1 0 0
2

1 ? x 2 dx

?

? ln
? ln

x 1? x

dx ? ln

0

?

1 2 ? 1 ? ?2 1 ? x 2 2

?

1

0

?

2 ?1 ? 2 ?1
? 1 ? x 2 ? xe y 所确定的隐函数 y ? y ? x ?

?

四、计算题(二) (每小题 8 分,共 16 分) 1.求由方程 y 的导数 解:

dy . dx

? y? ? 2 x ? e y ? xe y y?

2x ? e y ? y? ? 1 ? xe y ? x ? ln 1 ? t 2 dy d 2 y ? 2.设 ? 求: . t u2 dx dx 2 du ?y ? 2 0 1? u ?

?

?

?

解:

t2 dy dy dt 1 ? t 2 1 ? ? ? t dx 2 t dx 2 dt 1 ? t

第 5 页 共 7 页

5

? dy ? d? ? d y ? dx ? ? dx dx 2
2

? dy ? d? ? 1 ? dx ? 1? t2 dt 2 ? ? ? dx 2t 4t 2 dt 1? t

五、解答题(每小题 8 分,共 16 分) 1.确定 a, b 的值,使点

?1,3? 是曲线 y ? ax3 ? bx 2 ? x 的拐点, 并求该曲线在点 ?1,3? 处的切线方程.
解:

? y? ? 3ax 2 ? 2bx ? 1



y?? ? 6ax ? 2b

由题意可知: 6a ? 2b ? 0 ,

a ? b ?1 ? 0

? a ? ?1, b ? 3
又 y?

?1? ? 4
4 ? x ? 1?

故所求的切线方程为:? y ? 3 ? 即: y ? 4 x ? 1 ? 0

x3 ? 4 2.设函数 y ? ,求该函数的单调区间和极值. x2
解: 函数的定义域为: 令 y? ? 1 ? 当x? 当x?

? ??,0 ? ? ? 0, ?? ?
,得驻点: x

8 ?0 3 x

?2

? ??,0 ? ? ? 2, ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ? 0,2 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ? ??,0 ? , ? 2, ?? ? ? 0, 2 ?
单调减区间为: 极小值为:

所以:单调增区间为:

f ? 2? ? 3

六、应用题(本题满分 8 分) 某房地产公司有 50 套公寓要出租.当租金定为每月 1800 元时,公寓会全部租 出去.当租金每月增加 100 元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需 花费 200 元整的维修费用.试问房租定为多少可获得最大收入? 解: 设房租为每月 x 元,
第 6 页 共 7 页 6



租出去的房子有: 50 ? 每月总收入为:

x ? 1800 套。 100

x ? 1800 ? x ? ? ? R ? x ? ? ? x ? 200 ? ? 50 ? ? x ? 200 68 ? ? ? ? ? ? 100 ? 100 ? ? ? x ? x ? ? 1 ? R? ? x ? ? ? 68 ? ? x ? 200 ? ? 70 ? ? ? ? ? ? 100 ? 50 ? ? 100 ?
令 R?

? x ? ? 0 ,得唯一驻点: x ? 3500
? 3500 ? ? ?
1 ?0 50

由于 R??

? R ? 3500 ? ? 108900 为极大值。且为最大值。
故每月每套租金为 3500 元时,收入最高。 最高收入为 R

? 3500 ? ? 108900 (元)

七、证明题(本题满分 6 分) 设

f ? x ? 可导,证明: f ? x ? 的两个零点之间 f ? x ? ? f ? ? x ? 的零点. f ? x ? 的两个零点,

一定有 证明:

设 x1 , x2 为

? x ? ? f ? x ? e x ,则? ? x1 ? ? ? ? x2 ? ? 0 , 由 f ? x ? 可导,知 ? ? x ? 可导。
令?
x ? x ? ? f ?? x ? ex ? f ? x ? ex ? ? ? f ? ? x ? ? f ? x ?? ?e 由罗尔定理知:存在 ? ? ? x1 , x2 ? 或 ? ? ? x2 , x1 ? , 使得: ? ? ? ? ? ? 0 . ? 即: ? ? f ? ?? ? ? f ?? ? ? ?e ? 0

且??

由于 e

?

? 0 ? f ? ?? ? ? f ?? ? ? 0
f ? x ? 的两个零点之间一定有 f ? x ? ? f ? ? x ? 的零点.

也即:

第 7 页 共 7 页

7


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