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《创新设计》2014届高考数学第十篇 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理


第十篇
计数原理 第1讲 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理

A级

基础演练(时间:30 分钟 满分:55 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的 选法有 A.6 种 解析 B.12 种 C.24 种 D.3

0 种 ( ).

分步完成.首先甲、乙两人从 4 门课程中同选 1 门,有 4 种方法,其次

甲从剩下的 3 门课程中任选 1 门,有 3 种方法,最后乙从剩下的 2 门课程中任 选 1 门,有 2 种方法,于是,甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法共有 4×3×2=24(种),故选 C. 答案 C

2.(2013· 琼海模拟)某食堂每天中午准备 4 种不同的荤菜,7 种不同的蔬菜,用餐 者可以按下述方法之一搭配午餐:(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭;(2) 任选一种荤菜、 两种蔬菜和蛋炒饭. 则每天不同午餐的搭配方法总数是( A.210 解析 B.420 C.56 D.22 ).

由分类加法计数原理:两类配餐方法和即为所求,所以每天不同午餐的

2 1 2 搭配方法总数为:C2 4C7+C4C7=210.

答案

A

3.(2013· 海口模拟)某省高中学校自实施素质教育以来,学生社团得到迅猛发展, 某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、 “篮球之家”、“围棋苑”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加,每名 同学至少参加一个社团且只能参加一个社团. 且同学甲不参加“围棋苑”, 则 不同的参加方法的种数为 A.72 解析 B.108 C.180 D.216 ( ).

设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊,由题意,如果甲不参加“围棋

苑”,有下列两种情况: (1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”,有 C1 4种方法,然后从甲 与丙、丁、戊共 4 人中选 2 人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社
3 1 2 3 团中,有 C2 4A3种方法, 故共有 C4C4A3种参加方法;

(2)从乙、丙、丁、戊中选 2 人(如乙、丙)参加“围棋苑”,有 C2 4种方法,甲与
3 2 3 丁、戊分配到其他三个社团中有 A3 种方法,这时共有 C4 A3种参加方法; 2 3 2 3 综合(1)(2),共有 C1 4C4A3+C4A3=180 种参加方法.

答案

C

4 .如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面 组”. 在一个长方体中, 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 “平行线面组”的个数是 A.60 解析 B.48 C.36 D.24 ( ).

长方体的 6 个表面构成的“平行线面组”有 6×6=36 个,另含 4 个顶

点的 6 个面(非表面)构成的“平行线面组”有 6×2=12 个, 共 36+12=48 个, 故选 B. 答案 B

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2013· 抚州模拟)从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax+ By+C=0 中的 A、B、C,所得的经过坐标原点的直线有________条(用数字表 示). 解析 因为直线过原点,所以 C=0,从 1,2,3,5,7,11 这 6 个数中任取 2 个作为

A、B,两数的顺序不同,表示的直线不同,所以直线的条数为 A2 6=30. 答案 30

6.数字 1,2,3,?,9 这九个数字填写在如图的 9 个空格中, 要求每一行从左到右依次增大,每列从上到下也依次增大, 当数字 4 固定在中心位置时,则所有填写空格的方法共有 ________种. 解析 必有 1、4、9 在主对角线上,2、3 只有两种不同的填法,对于它们的

每一种填法,5 只有两种填法.对于 5 的每一种填法,6、7、8 只有 3 种不同 的填法,由分步计数原理知共有 22×3=12 种填法. 答案 12

三、解答题(共 25 分) 7.(12 分)如图所示三组平行线分别有 m、n、k 条,在此 图形中 (1)共有多少个三角形? (2)共有多少个平行四边形? 解 (1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的, 由分步计

数原理知共可构成 m· n· k 个三角形. (2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的, 由分类和
2 2 2 2 2 分步计数原理知共可构成 C2 mCn+CnCk +Ck Cm个平行四边形.

8.(13 分)设集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b ∈M. (1)P 可以表示多少个平面上的不同的点? (2)P 可以表示多少个第二象限内的点? (3)P 可以表示多少个不在直线 y=x 上的点? 解 (1)分两步,第一步确定横坐标有 6 种,第二步确定纵坐标有 6 种,经检验

36 个点均不相同,由分步乘法计数原理得 N=6×6=36(个). (2)分两步,第一步确定横坐标有 3 种,第二步确定纵坐标有 2 种,根据分步乘 法计数原理得 N=3×2=6 个. (3)分两步,第一步确定横坐标有 6 种,第二步确定纵坐标有 5 种,根据分步乘 法计数原理得 N=6×5=30 个.

B级

能力突破(时间:30 分钟

满分:45 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城 市有一人游览,每人只游览一个城市,且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览, 则不同的选择方案共有 A.300 种 解析 B.240 种 C.144 种 D.96 种 ( ).

甲、乙两人不去巴黎游览情况较多,采用排除法,符合条件的选择方案

4 1 3 有 C4 6A4-C2A5=240.

答案

B

2.(2012· 安徽)6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间 最多交换一次, 进行交换的两位同学互赠一份纪念品. 已知 6 位同学之间共进 行了 13 次交换,则收到 4 份纪念品的同学人数为 A.1 或 3 解析 B.1 或 4 C.2 或 3 D.2 或 4 ( ).

利用排列、组合知识求解.设 6 位同学分别用 a,b,c,d,e,f 表示.若

任意两位同学之间都进行交换共进行 C2 6=15(次)交换,现共进行 13 次交换, 说明有两次交换没有发生,此时可能有两种情况:(1)由 3 人构成的 2 次交换, 如 a-b 和 a-c 之间的交换没有发生,则收到 4 份纪念品的有 b,c 两人. (2)由 4 人构成的 2 次交换,如 a-b 和 c-e 之间的交换没有发生,则收到 4 份 纪念品的有 a,b,c,e 四人.故选 D. 答案 D

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.(2013· 潍坊期中)如果把个位数是 1,且恰有 3 个数字相同的四位数叫做“好 数”,那么在由 1,2,3,4 四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共 有________个. 解析
1 1 当相同的数字不是 1 时,有 C1 3个;当相同的数字是 1 时,共有 C3C3个,

1 1 由分类加法计数原理得共有“好数”C1 3+C3C3=12 个.

答案

12

4.将 1,2,3 填入 3×3 的方格中,要求每行、每列都没有重复数 字,右面是一种填法,则不同的填写方法共有________种.

解析

由于 3×3 方格中,每行、每列均没有重复数字,因此可

从中间斜对角线填起.如图中的△,当△全为 1 时,有 2 种(即 第一行第 2 列为 2 或 3,当第二列填 2 时,第三列只能填 3,当 第一行填完后,其他行的数字便可确定),当△全为 2 或 3 时,分别有 2 种, 所以共有 6 种;当△分别为 1,2,3 时,也共有 6 种.共 12 种. 答案 12

三、解答题(共 25 分) 5.(12 分)如图,用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E, F 六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段 的两个端点涂不同颜色. 则不同的涂色方法共有多少种? 解 先涂 A、D、E 三个点,共有 4×3×2=24 种涂法,

然后再按 B、C、F 的顺序涂色,分为两类:一类是 B 与 E 或 D 同色, 共有 2×(2×1+1×2)=8 种涂法; 另一类是 B 与 E 或 D 不同色, 共有 1×(1×1+1×2)=3 种涂法.所以涂色方法共有 24×(8+3)=264(种). 6.(13 分)从 1,2,3,?,9 这 9 个数字中任取 2 个不同的数分别作为一个对数的底 数和真数.一共可以得到多少个不同的对数值?其中比 1 大的有几个? 解
2 在 2,3,?,9 这 8 个数中任取 2 个数组成对数,有 A8 个,在这些对数值

中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,重复计数 4 个; 又 1 不能作为对数的底数,1 作为真数时,不论底数为何值,其对数值均为 0.
2 所以,可以得到 A8 -4+1=53 个不同的对数值.

要求对数值比 1 大,分类完成;底数为 2 时,真数从 3,4,5,?,9 中任取一 个, 有 7 种选法; 底数为 3 时, 真数从 4, 5, ?, 9 中任取一个, 有 6 种选法?? 依次类推, 当底数为 8 时, 真数只能取 9, 故有 7+6+5+4+3+2+1=28(个). 但 其中 log24=log39,log23=log49,所以,比 1 大的对数值有 28-2=26(个). 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设 计· 高考总复习》光盘中内容.


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