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【优化方案】2014届高考数学8.2 双曲线 课时闯关(含答案解析)


一、选择题 x2 y2 1.(2011· 高考湖南卷)设双曲线 2- =1(a>0)的渐近线方程为 3x± 2y=0,则 a 的值为 a 9 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 3 解析:选 C.渐近线方程可化为 y=± x. 2 ∵双曲线的焦点在 x 轴上, 3 9 ∴ 2=?± ?2,解得 a=± 2.由题意知 a>0,∴a=2. a ? 2? x2 y2 2

.(2011· 高考天津卷)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线 y2=2px(p>0) a b 的焦点的距离为 4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双 曲线的焦距为( ) A.2 3 B.2 5 C.4 3 D.4 5 解析:选 B.双曲线左顶点为 A1(-a,0), b 渐近线为 y=± x, a p 抛物线 y2=2px(p>0)焦点为 F?2,0?, ? ? p 准线为直线 x=- . 2 p 由题意知- =-2,∴p=4,由题意知 2+a=4,∴a=2. 2 b p b b ∴双曲线渐近线 y=± x 中与准线 x=- 交于(-2,-1)的渐近线为 y= x,∴-1= 2 2 2 2 ×(-2),∴b=1. ∴c2=a2+b2=5,∴c= 5,∴2c=2 5. 3.设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A、B 两点,左焦点在以 AB 为直径的圆内,则 该双曲线的离心率的取值范围为( ) A.(0, 2) B.(1, 2) 2 C.( ,1) D.( 2,+∞) 2 a2 x=- , c a2 ab 解析:选 B.法一:由 得 A?- c , c ?. ? ? b y=- x, a a2 ab 同理可得 B?- c ,- c ?. ? ? 2 b2 ab → b ab → 又左焦点 F(-c,0),∴FA=? c , c ?,FB=? c ,- c ?. ? ? ? ? ∵点 F 在以 AB 为直径的圆内, b2 ab →→ ∴FA· <0,即? c ?2-? c ?2<0,∴b4<a2b2, FB ? ? ? ? ∴b2<a2,即 c2-a2<a2,∴c2<2a2, 即 e2<2,∴e< 2.又∵e>1,∴1<e< 2.

? ? ?

法二:由

? ? b ?y=-ax,

a2 x=- , c

a2 ab 得 A?- c , c ?. ? ?

a2 ab 同理可得 B?- c ,- c ?. ? ? ∵点 F(-c,0)在以 AB 为直径的圆内, a2 ab ∴左焦点 F 到圆心的距离小于半径长,即 c- < , c c 2 2 2 a +b c b ∴a>b.∴e= = = 1+ 2< 2. a a a 又∵e>1,∴1<e< 2. 4.(2012· 高考大纲全国卷)已知 F1、F2 为双曲线 C:x2-y2=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2=( ) 1 3 A. B. 4 5 3 4 C. D. 4 5 解析:选 C.由 x2-y2=2 知,a2=2,b2=2,c2=a2+b2=4, ∴a= 2,c=2. 又∵|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2|PF2|, ∴|PF1|=4 2,|PF2|=2 2. 又∵|F1F2|=2c=4,∴由余弦定理得 ?4 2?2+?2 2?2-42 3 cos∠F1PF2= = . 4 2×4 2×2 2 x2 y2 5.(2011· 高考山东卷)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2 a b -6x+5=0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 5 4 4 5 2 2 x y x2 y2 C. - =1 D. - =1 3 6 6 3 2 2 x y b 解析:选 A.∵双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x, a b a 圆 C 的标准方程为(x-3)2+y2=4,∴圆心为 C(3,0). 3b 又渐近线方程与圆 C 相切,即直线 bx-ay=0 与圆 C 相切,∴ 2 =2,∴5b2=4a2. a +b2 ① x2 y2 又∵ 2- 2=1 的右焦点 F2( a2+b2,0)为圆心 C(3,0), a b ∴a2+b2=9.② 由①②得 a2=5,b2=4. x2 y2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 5 4 二、填空题 x2 y2 6.(2011· 高考四川卷)双曲线 - =1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 4,那么点 P 64 36 到左准线的距离是__________. x2 y2 解析:由 - =1 可知 a=8,b=6,则 c=10,设双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2, 64 36 由|PF2|=4 及双曲线的第一定义得|PF1|=16+4=20.设点 P 到左准线的距离为 d,由双曲线

20 10 的第二定义有 = ,即 d=16. d 8 答案:16 b x2 y2 7.(2012· 高考重庆卷)设 P 为直线 y= x 与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)左支的交点, 3a a b F1 是左焦点,PF1 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e=________. b x2 y2 解析:∵直线 y= x 与双曲线 2- 2=1 相交, 3a a b b y= x, 3a 3 2a 由 2 2 消去 y 得 x= , 4 x y - 2=1 a2 b

? ? ?

3 2a c 3 2 又 PF1 垂直于 x 轴,∴ =c,即 e= = . 4 a 4 3 2 答案: 4 y2 8.已知双曲线 x2- 2=1(b>0)的一条渐近线的方程为 y=2x,则 b=________. b b b2 解析:∵双曲线的焦点在 x 轴上,∴ =2,∴ 2=4. a a ∵a2=1,∴b2=4. 又∵b>0,∴b=2. 答案:2 三、解答题

x2 y2 9.由双曲线 - =1 上的一点 P 与左、右两焦点 F1、F2 构成△PF1F2,求△PF1F2 的 9 4 内切圆与边 F1F2 的切点坐标 N. 解:由双曲线方程知 a=3,b=2,c= 13. 当点 P 在双曲线的右支上时,如右图,根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲 线定义可得 |PF1|-|PF2|=2a. 由于|NF1|-|NF2|=|PF1|-|PF2|=2a.① |NF1|+|NF2|=2c.② 2a+2c 由①②得|NF1|= =a+c, 2 ∴|ON|=|NF1|-|OF1|=a+c-c=a=3. 故切点 N 的坐标为(3,0). 根据对称性,当 P 在双曲线左支上时,切点 N 的坐标为(-3,0).

10.(2012· 高考四川卷)如图,动点 M 与两定点 A(-1,0)、B(1,0)构成△MAB,且直线 MA、MB 的斜率之积为 4.设动点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程;

(2)设直线 y=x+m(m>0)与 y 轴相交于点 P,与轨迹 C 相交于点 Q,R,且|PQ|<|PR|, |PR| 求 的取值范围. |PQ| 解:(1)设 M 的坐标为(x,y),当 x=-1 时,直线 MA 的斜率不存在;当 x=1 时,直线 MB 的斜率不存在. y y 于是 x≠1 且 x≠-1.此时,MA 的斜率为 ,MB 的斜率为 . x+1 x-1 y y 由题意,有 · =4.化简可得,4x2-y2-4=0. x+1 x-1 故动点 M 的轨迹 C 的方程为 4x2-y2-4=0(x≠1 且 x≠-1). ? ?y=x+m (2)由? 2 2 , ? ?4x -y -4=0 消去 y,可得 3x2-2mx-m2-4=0.(*) 对于方程(*),其判别式 Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0, 而当 1 或-1 为方程(*)的根时,m 的值为-1 或 1. 结合题设(m>0)可知,m>0 且 m≠1. 设 Q、R 的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),则 xQ,xR 为方程(*)的两根. 因为|PQ|<|PR|,所以|xQ|<|xR|, m-2 m2+3 m+2 m2+3 xQ= ,xR= . 3 3 3 2 1+ 2+1 m |PR| ? xR? 2 所以 =?x ?= =1+ . |PQ| Q 3 3 2 1+ 2-1 2 1+ 2-1 m m 3 3 此时 1+ 2>1,且 1+ 2≠2, m m 2 2 5 所以 1<1+ <3,且 1+ ≠ , 3 3 3 2 1+ 2-1 2 1+ 2-1 m m |PR| ? xR? |PR| ? xR? 5 所以 1< = <3,且 = ≠ . |PQ| ?xQ? |PQ| ?xQ? 3 5 5 |PR| 综上所述, 的取值范围是?1,3?∪?3,3?. ? ? ? ? |PQ| x2 2 11.(探究选做)已知双曲线 C: -y =1,P 为 C 上的任意一点. 4 (1)求证:点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数; (2)设点 A 的坐标为(3,0),求|PA|的最小值. 解:(1)证明:设 P(x1,y1)是双曲线 C 上任意一点, 该双曲线的两条渐近线方程分别是 x-2y=0 和 x+2y=0, 点 P(x1,y1)到两条渐近线的距离分别是 |x1-2y1| |x1+2y1| 和 , 5 5 |x1-2y1| |x1+2y1| |x2-4y2| 4 1 1 ∴ · = = . 5 5 5 5 故点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. (2)设点 P 的坐标为(x,y)(|x|≥2), x2 则|PA|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+ -1 4 5 12 2 4 = (x- ) + , 4 5 5

12 4 ∵|x|≥2,∴当 x= 时,|PA|2 取到最小值 , 5 5 2 5 即|PA|的最小值为 . 5


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