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广东省深圳市宝安区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


广东省深圳市宝安区 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设集合 U=R,A={x∈N|x≤3},B={﹣2,﹣1,0,1,2},则(?UA)∩B 等于() A.{﹣2,﹣1,0} B.{﹣2,﹣1} C.{1,2} D.{0

,1,2} 2. (5 分)已知 m=0.9 ,n=1.1 ,p=log0.91.1,则 m、n、p 的大小关系() A.m<n<p. B.m<p<n C.p<m<n D.p<n<m 3. (5 分)cos600°=() A. B. ﹣ C. D.﹣
1.1 0.9

4. (5 分)下列函数中,是偶函数且在(0,1)上单调递减的是() A.y=x
﹣2

B.y=x

4

C.y=

D.y=﹣

5. (5 分)在(0,2π)内使 sinx>cosx 成立的 x 的取值范围是() A.( ) , )∪(π, D.
x



B. ( ( ,

,π) )

C. (

,π)∪(



6. (5 分)函数 f(x)=e +2x﹣3 的零点所在的一个区间是() A.( ) B. ( ) C. ( ) D.( )

7. (5 分)将函数 再把所得函数图象向右平行移动 A. B.

的图象上各点的横坐标长到原来的 3 倍,纵坐标不变, 个单位长度,得到的函数图象的一个对称中心是() C. D.

8. (5 分)已知 3 ﹣3 ≥5 ﹣5 成立,则下列正确的是() A.x+y≤0 B.x+y≥0 C.x﹣y≥0

x

﹣y

﹣x

y

D.x﹣y≤0

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9. (5 分)计算 100


lg9﹣lg2)

﹣log98?log4

=.

10. (5 分)已知 sinα=﹣ ,cos(α+β)=0,则 sin(α+2β)=.

11. (5 分)设函数 y=sin(

x+

) ,若对任意 x∈R,存在 x1,x2 使 f(x1)≤f(x)≤f(x2)

恒成立,则|x1﹣x2|的最小值是. 12. (5 分)在平面直角坐标系中, 点 A、B、C 满足 值为. 13. (5 分)如果 f(x)=atanx+bsin x﹣5,并且 f(1)=2,那么 f(﹣1)=. 14. (5 分)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是 T0, 经过一定时间 t 后的温度是 T,则 T﹣Ta=(T0﹣Ta)? ,其中 Ta 称为环境温度,h 称
3

分别是与 x,y 轴正方向同向的单位向量,平面内三 . 若 A、B、C 三点构成直角三角形,则实数 m 的



为半衰期.现有一杯用 88℃热水冲的速溶咖啡,放在 24℃的房间中,如果咖啡降到 40℃需要 20 分钟,那么此杯咖啡从 40℃降温到 32℃时,还需要分钟.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 15. (12 分)已知 sinθ=﹣ (1)求 cosθ 和 tanθ 的值; ,θ∈(﹣ ,0) .

(2)求

的值.

16. (12 分) 如图, 在△ ABC 中, ∠ACB=120°, D、 E 为边 AB 的两个三等分点, =3 , =2 , | |=| |=1,试用 , 表示 、 ,并求| |.

17. (14 分)若函数 f(x)=﹣x +2|x| (1)判断函数的奇偶性; (2)在直角坐标系画出函数图象、写出函数的单调区间,求出函数值域. 18. (14 分)已知函数 f(x)=sin(x+θ)+ cos(x+θ) , (1)若 θ=0,x∈,求 f(x)的值域; (2)若 f(x)的图象关于原点对称,且 θ∈(0,π) ,求 θ 的值.

2

19. (14 分)已知函数 f(x)= (1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域; (3)解关于 x 的不等式 f(2x﹣1)< .

20. (14 分)已知 y=f(x) (x∈D,D 为此函数的定义域)同时满足下列两个条件:①函数 f (x)在 D 内单调递增或单调递减;②如果存在区间?D,使函数 f(x)在区间上的值域为, 那么称 y=f(x) ,x∈D 为闭函数; 请解答以下问题 3 (1)求闭函数 y=﹣x 符合条件②的区间; (2)判断函数 f(x)=x+ (x∈(0,+∞) )是否为闭函数?并说明理由; (3)若 y=k+ 是闭函数,求实数 k 的取值范围.

广东省深圳市宝安区 2014-2015 学年高一上学期期末数学 试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设集合 U=R,A={x∈N|x≤3},B={﹣2,﹣1,0,1,2},则(?UA)∩B 等于() A.{﹣2,﹣1,0} B.{﹣2,﹣1} C.{1,2} D.{0,1,2} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题;集合. 分析: 由题意先求 A={0,1,2,3},再求?UA,最后求(?UA)∩B. 解答: 解:A={x∈N|x≤3}={0,1,2,3}, 故?UA={x|x≠0 且 x≠1,且 x≠2,且 x≠3};

故(?UA)∩B={﹣2,﹣1}; 故选 B. 点评: 本题考查了集合的运算,属于基础题. 2. (5 分)已知 m=0.9 ,n=1.1 ,p=log0.91.1,则 m、n、p 的大小关系() A.m<n<p. B.m<p<n C. p<m<n D.p<n<m 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 1.1 0.9 解答: 解:∵0<m=0.9 <1,n=1.1 >1,p=log0.91.1<0, ∴n>m>p. 故选:C. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题. 3. (5 分)cos600°=() A. B. ﹣ C. D.﹣
1.1 0.9

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用诱导公式把要求的式子化为﹣cos60°,从而求得结果. 解答: 解:cos600°=cos(360°+240°)=cos240°=cos(180°+60°)=﹣cos60°=﹣ , 故选:B. 点评: 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值,属于基础题. 4. (5 分)下列函数中,是偶函数且在(0,1)上单调递减的是() A.y=x
﹣2

B.y=x

4

C.y=

D.y=﹣

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 对四个选项利用奇偶函数的定义以及单调性矩形分析解答. 解答: 解:选项 A, (﹣x) =x ,是偶函数;并且在(0,1)上单调递减; 4 4 选项 B, (﹣x) =x ,是偶函数,但是在(0,1)上单调递增; 选项 C,定义域为是非奇非偶的函数,在(0,1)上单调递增; 选项 D,是奇函数,在(0,1)上单调递增; 所以满足偶函数且在(0,1)上单调递减的是 A; 故选:A. 点评: 本题考查了函数的奇偶性以及单调性;明确基本初等函数的性质是解答的关键. 5. (5 分)在(0,2π)内使 sinx>cosx 成立的 x 的取值范围是()
﹣2 ﹣2

A.( )



)∪(π, D.



B. ( ( ,

,π) )

C. (

,π)∪(



考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数线. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 转化 sinx>cosx 为一个角的一个三角函数的形式,得到自变量的范围,又知自变量 在(0,2π)内,写出结果. 解答: 解:∵sinx>cosx, ∴sin(x﹣ ∴2kπ<x﹣ )>0, <2kπ+π (k∈Z) ,

∵在(0,2π)内, ∴x∈( , ) ,

故选 D. 点评: 本题考查两角和与差的三角函数,正弦函数的图象与性质,考查计算能力. 6. ( 5 分)函数 f(x)=e +2x﹣3 的零点所在的一个区间是() A.( ) B. ( ) C. ( ) D.( )
x

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 将选项中各区 间两端点值代入 f(x) ,满足 f(a)?f(b)<0(a,b 为区间两端点) 的为答案. 解答: 解:因为 f( )= <0,f(1)=e﹣1>0,所以零点在区间( )上,

故选 C. 点评: 本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题.函数零点附近函数值 的符号相反,这类选择题通常采用代入排 除的方法求解.

7. (5 分)将函数 再把所得函数图象向右平行移动 A. B.

的图象上各点的横坐标长到原来的 3 倍,纵坐标不变, 个单位长度,得到的函数图象的一 个对称中心是() C. D.

考点: 五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象;正弦函数的对称性. 专题: 规律型.

分析: 由题意根据伸缩变换、平移变换求出函数的解析式,然后求出函数的一个对称中心 即可. 解答: 解:将函数 析式为 y=sin(2x+ y=sin=sin2x 令 2x=kπ(k∈Z) ,则 x= ∴函数的对称中心坐标为( ,0) (k∈Z) . 的图象上各点的横坐标长到原来的 3 倍,可得函数解 ) (x 系数变为原来的 ) ,函数的图象向右平移 个单位,则函数变为

当 k=1 时,函数的一个对称中心坐标为 故选 A. 点评: 本题考查三角函数图象的伸缩、平移变换,函数的对称中心坐标问题,属于基础题. 8. (5 分)已知 3 ﹣3 ≥5 ﹣5 成立,则下列正确的是() A.x+y≤0 B.x+y≥0 C.x﹣y≥0 考点: 不等式比较大小. 专题: 转化思想. 分析: 构造函数 f(x)=3 ﹣5 ,根据函数单调性的性质结合指数函数的单调性,我们可以 ﹣x ﹣y ﹣x x x y 判断出函数 f(x)=3 ﹣5 为增函数,由 3 ﹣3 ≥5 ﹣5 成立,我们易根据单调性的定义得 到一个关于 x,y 的不等式,进而得到答案. 解答: 解:构造函数 f(x)=3 ﹣5 , ﹣x x ∵y=3 为增函数,y=5 为减函数, ﹣x x 由函数单调性的性质“增”﹣“减”=“增”得到函数 f(x)=3 ﹣5 为增函数 ﹣y ﹣x x y 又∵3 ﹣3 ≥5 ﹣5 , ﹣x ﹣y x y 即 3 ﹣5 ≥3 ﹣5 , 故 x≥﹣y 即 x+y≥0 故选 B 点评: 本题的考查的知识点是不等式比较大小,其中构造函数 f(x)=3 ﹣5 ,将已知中的 不等关系转化为函数单调性的应用,是解答本题的关键. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9. (5 分)计算 100


x

﹣y

﹣x

y

D.x﹣y≤0

x

﹣x

x

﹣x

x

﹣x

lg9﹣lg2)

﹣log98?log4

=2.

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数幂和对数的运算性质化简计算即可.

解答: 解:100 =2.



lg9﹣lg2)

﹣log98?log4

=10 ÷10 ﹣

lg9

lg4

?

= ﹣

?

= ﹣

故答案为:2 点评: 本题考查了指数幂和对数的运算性质,属于基础题.

10. (5 分)已知 sinα=﹣ ,cos(α+β)=0,则 sin(α+2β)=﹣ .

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由二倍角公式易得 cos(2α+2β)=﹣1,sin(2α+2β)=0,代入 sin(α+2β)=sin=sin (2α+2β)cosα﹣cos(2α+2β)sinα,计算可得. 解答: 解:∵sinα=﹣ ,cos(α+β)=0, ∴cos(2α+2β)=2cos (α+β)﹣1=﹣1, ∴sin(2α+2β)=2sin(α+β)cos(α+β)=0, ∴sin(α+2β)=sin =sin(2α+2β)cosα﹣cos(2α+2β)sinα =﹣(﹣1)×(﹣ )=﹣ 故答案为:﹣ . 点评: 本题考查两角和与差的三角函数以及二倍角公式,属基础题. ) ,若对任意 x∈R,存在 x1,x2 使 f(x1)≤f(x)≤f(x2)
2

11. (5 分)设函数 y=sin(

x+

恒成立,则|x1﹣x2|的最小值是 2. 考点: 三角函数的最值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由已知可知 f(x1)是 f(x)中最小值,f(x2)是值域中的最大值,它们分别在最高 和最低点取得,它们的横坐 标最少相差半个周期,由三角函数式知周期的值,结果是周期的 值的一半. 解答: 解:∵对任意 x∈R 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2) , ∴f(x1)和 f(x2)分别是函数的最大值和最小值, ∴|x1﹣x2|的最小值为函数的半个周期, ∵T= =4,

∴|x1﹣x2|的最小值为 2, 故答案为:2.

点评: 本题是对函数图象的考查,只有熟悉三角函数的图象,才能解决好这类问题,同时, 其他的性质也要借助三角函数的图象解决,本章是数形结合的典型.

12. (5 分)在平面直角坐标系中, 点 A、B、C 满足 值为﹣2 或 0. ,

分别是与 x,y 轴正方向同向的单位向量,平面内三 . 若 A、B、C 三点构成直角三角形,则实数 m 的

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题. 分析: 根据△ ABC 有一个内角为直角,进行分类讨论,根据两向量垂直则两向量的数量积 为零建立方程,分别求出各种情形下的 m 的值即可. 解答: 解:当∠ACB 为直角时, 当∠CAB 为直角时, 当∠CBA 为直角时, 即(2i+mj)=2+m(m﹣1)=0,无解;

即(i+j) (2i+mj)=2+m=0,解得 m=﹣2; 即(i+j)=1+m﹣1=0,m=0;

m 可取的值:﹣2 或 0; 故答案为:﹣2 或 0. 点评: 本题主要考查了单位向量,以及向量在几何中的应用和分类讨论的数学思想,属于 基础题. 13. (5 分)如果 f(x)=atanx+bsin x﹣5,并且 f( 1)=2,那么 f(﹣1)=﹣12. 考点: 函数奇偶性的性质;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用函数的奇偶性求解函数值即可. 3 解答: 解:f(x)=atanx+bsin x﹣5,f(1)=2, 3 3 可得:atan1+bsin 1﹣5=2,即 atan1+bsin 1=7 3 f(﹣1)=﹣atan1﹣bsin 1﹣5=﹣7﹣5=﹣12. 故答案为:﹣12; 点评: 本题考查函数的奇偶性的应用,函数值的求法,考查计算能力. 14. (5 分)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是 T0, 经过一定时间 t 后的温度是 T,则 T﹣Ta=(T0﹣Ta)? ,其中 Ta 称为环境温度,h 称
3

为半衰期.现有一杯用 88℃热水冲的速溶咖啡,放在 24℃的房间中,如果咖啡降到 40℃需要 20 分钟,那么此杯咖啡从 40℃降温到 32℃时,还需要 10 分钟. 考点: 根据实际问题选择函数类型. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 由题意直接利用已知条件求解函数的解析式,然后求解即可. 解答: 解:设物体的初始温度是 T0,经过一定 时间 t 后的温度是 T,则 T﹣Ta=(T0﹣Ta) ? ,其中 Ta 称为环境温度,h 称为半衰期.现有一杯用 88℃热水冲的速溶咖啡,放在

24℃的房间中,如果咖啡降到 40℃需要 20 分钟, 可得 Ta=24,T0=88,T=40, 可得:40﹣24=(88﹣24) ,解得 h=10,

此杯咖啡从 40℃降温到 32℃时,可得:32﹣24=(40﹣24)

,解得 t=10.

故答案为:10. 点评: 本题考查函数的值的求法,函数与方程的应用,考查计算能力. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答 须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 15. (12 分)已知 sinθ=﹣ (1)求 cosθ 和 tanθ 的值; ,θ∈(﹣ ,0) .

(2)求

的值.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)直接利用同角三角函数的基本关系式求解即可. (2)利用诱导公式化简所求的表达式,代入 cosθ 的值求解即可. 解答: 解: (1)sinθ=﹣ ∴ (2) ,θ∈(﹣ ,0) .cosθ= =

;tanθ=﹣2…(5 分)

…(5 分) 点评: 本题考查三角函数化简求值,诱导公式的应用,考查计算能力.

16. (12 分) 如图, 在△ ABC 中, ∠ACB=120°, D、 E 为边 AB 的两个三等分点, =3 , =2 , | |=| |=1,试用 , 表示 、 ,并求| |.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用 D、E 为边 AB 的两个三等分点 运算,即可得到结论. 解答: 解: , = ∴|CD|= . = = , , =3 , =2 ,| |=| |=1,根据向量的线性

点评: 本题考查向量的线性运算,考查学生的计算能力,属于基础题 17. (14 分)若函数 f(x)=﹣x +2|x| (1)判断函数的奇偶性; (2)在直角坐标系画出函数图象、写出函数的单调区间,求出函数值域. 考点: 二次函数的性质;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)先求出函数 f(﹣x) ,利用 f(﹣x)与 f(x)的关系,判断函数的奇偶性. (2)利用函数的奇偶性作出函数的图象,并结合图象写出函数的单调区间和函数的值域. 解答: 解: (1)因为 f(x)=﹣x +2|x|,所以 f(﹣x)=﹣(﹣x) +2|﹣x|=﹣x +2|x|=f(x) , 所以函数 f(x)是偶函数. (2)作出函数 f(x)=﹣x +2|x|= 由图象可知函数的单调增区间: (﹣∞,﹣1], . 减区间: , ,
2 2 2 2 2

的图象:

点评: 本题主要考查了函数奇偶性的判断,以及利用函数的奇偶性研究函数的图象和性质. 18. (14 分)已知函数 f(x)=sin(x+θ)+ cos(x+θ) , (1)若 θ=0,x∈,求 f(x)的值域; (2)若 f(x)的图象关于原点对称,且 θ∈(0,π) ,求 θ 的值. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 化简可得 f(x)= , (1)当 θ=0 时, ,

由 x 的范围和三角函数的性质可得 f(x)的值域; (2)要满足题意只需 解答: 解:化简可得 (1)当 θ=0 时, ∵ ,∴ , , , ,结合 θ∈(0,π)可得. =

∴由正弦函数的单调性知

∴f(x)的值域为; (2)若 f(x)的图象关于原点对称, 则只需将 f(x)的图象做适当平移,使得其过原点即可. ∴ ,又 θ∈(0,π) ,则 .

点评: 本题考查三角函数的图象和性质,属基础题.

19. (14 分)已知函数 f(x)= (1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域; (3)解关于 x 的不等式 f(2x﹣1)< .

考点: 其他不等式的解法;函数的值域;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数奇偶的定义即可判断函数的奇偶性; (2)根据方式函数的性质即可求该函数的值域; (3)结合函数奇偶性和单调性之间的关系即可解不等式 f(2x﹣1)< .

解答: 解: (1)∵f(﹣x)=

=﹣f(x) ,∴函数是奇函数;

(2)f(x)= ∵2 +1>1,∴0< 1>1﹣
x

=

=1 <2,0>﹣

, >﹣2,

>﹣1,

即﹣1<y<1, 该函数的值域(﹣1,1) ; (3)f(x)=
x

=

=1 为减函数,



∵y=2 +1 为增函数,∴y= y=﹣ ∴y=1 ∵f(1)= . >为增函数, 为增函数,

∴不等式 f(2x﹣1)< 等价为 f(2x﹣1)<f(1) , ∵函数 f(x)为增函数, ∴不等式等价为 2x﹣1<1. 即 2x<2,解得 x<1, 故不等式的解集为(﹣∞,1) .

点评: 本题主要考查指数型函数的性质,根据函数奇偶性的定义以及指数函数的性质是解 决本题的关键. 20. (14 分)已知 y=f(x) (x∈D,D 为此函数的定义域)同时满足下列两个条件:①函数 f (x)在 D 内单调递增或单调递减;②如果存在区间?D,使函数 f(x)在区间上的值域为, 那么称 y=f(x) ,x∈D 为闭函数; 请解答以下问题 (1)求闭函数 y=﹣x 符合条件②的区间; (2)判断函数 f(x)=x+ (x∈(0,+∞) )是否为闭函数?并说明理由; (3)若 y=k+ 是闭函数,求实数 k 的取值范围.
3

考点: 函数奇偶性的性质;函数奇偶性的判断. 专题: 新定义;方程思想;转化思想;函数的性质及应用. 3 分析: (1)根据“闭函数”的定义,结合 y=﹣x 的单调性,列出方程组,求出 a、b 的值; (2)根据 f(x)在区间(0,+∞)上不是单调函数,得出 f(x)在(0,+∞)上不是“闭函数”; (3)先判断 g(x)=k+ 在定义域上是“闭函数”, 则 ,且 a<b,

解得



所以满足条件的区间为; (2)由 f(x)=x+ (x∈(0,+∞)得 , 所以 f(x)在(0,+∞)上不是单调函数,不符合“闭函数”定义, 所以 f(x)=x+ 在 x∈(0,+∞)上不是“闭函数”; (3)设 g(x)=k+ ,则 g(x)的定义域为 所以 g (x1)<g(x2) , 所以 g(x)是增函数. 设符合条件的区间为,则有 g(a)=a,g(b)=b, 即 ,

所以 a、b 是方程 x﹣ ﹣k=0 的两根; 2 所以问题转化为 h(x)=x ﹣x﹣k 有两个非负零点, 2 即方程 x ﹣x﹣k=0 在[0,+∞)内有两个不同实数根;

所以



解得﹣ <k≤0, 所以,实数 k 的取值范围是 .

点评: 本题考查了新定义的问题,考查了函数的性质与应用问题,考查了方程思想与转化 思想的应用问题,是综合性题目.


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