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直线的交点坐标与距离公式


第三节 直线的交点坐标与距离公式 强化训练当堂巩固 1.如果点P到点 A( 1 ? 0) ,B(1 ,3 )及直线 x ? ? 1 的距离都相等,那么满足条件的点P有(

2

1 2

2

)

A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 答案:B 2.已知点(a,2)(a>

;0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于( A. 2 答案:C 解析:由 d ?
2

)

B. ? 2

C. 2 ? 1

D. 2 ? 1

? a ? 2 ? 3? 1 ? (?1)
2

?

? a ? 1? ? 1? 解得a= 2 ? 1 .? 2
) B.n>1或 n ? 1 D. n ? 1 2

2.直线nx-y=n-1和直线ny-x=2n的交点在第二象限,则实数n的取值范围是( A.0<n<1 C. 0 ? n ? 1 2 答案:C 解析:解方程组 ?

2

?nx ? y ? n ? 1? 得 x ? n ? y ? 2n ? 1 . n ?1 n ?1 ? ny ? x ? 2n? ∴ n ? 0 且 2n ? 1 ? 0? 解得 0 ? n ? 1 . n ?1 2 n ?1
3.过点P(1,2)且与原点O距离最大的直线l的方程为( ) A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0 C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0 答案:A 解析: kOP ? 2 ? 2? 距离最大时,直线 l ? OP? 则y-2= ? 1 ( x ? 1)? 即x+2y-5=0.

1

2

4.直线2x-y-4=0上有一点P,它与两定点A(4,-1),B(3,4)的距离之差最大为 答案: 3 2 解析:找A关于l的对称点A′,A′B与直线l的交点即为所求的P点.

.

b ? 1 ? 2 ? ?1? ? ? a ? 0? ? a?4 设A′(a,b),则 ? 解得 ? ? b ? 1? ?2 ? 4 ? a ? b ? 1 ? 4 ? 0? ? 2 2 所以线段|A′B|= 3 2 . 5.求过直线 l1 : y ? ? 1 x ? 10 和 l2 :3x-y=0的交点并且与原点相距为1的直线l的方程. 3 3 解:设所求直线l的方程为 3 y ? x ? 10 ? ? (3x ? y)=0,整理得 (3? ? 1) x ? (3 ? ? ) y ? 10 ? 0 . 10 ? 1? 解得 ? ? ?3 . 由点到直线的距离公式可知 ? d ? (3? ? 1)2 ? (3 ? ? )2
代入所设,得到直线l的方程为x=1或4x-3y+5=0.? 课后作业巩固提升 见课后作业B 题组一 两条直线的交点问题 1.直线3x+5y-1=0与4x+3y-5=0的交点是( ) A.(-2,1) B.(-3,2) C.(2,-1)

D.(3,-2) 答案:C 2.经过直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点,且垂直于直线x-2y=0的直线的方程是( ) A.2x+y-8=0 B.2x-y-8=0 C.2x+y+8=0 D.2x-y+8=0 答案:A 题组二 有关直线的对称问题 3.直线l:Ax+By+C=0关于点M(a,b)对称的直线方程为 . 答案:Ax+By-2Aa-2Bb-C=0 解析:在对称直线上任取一点P(x,y),则点P关于点M对称的点P′(x′,y′)必在直线l上. 由 ?

? x ? x? ? 2a? 得P′(2a-x,2b-y), ? y ? y? ? 2b?

∴A(2a-x)+B(2b-y)+C=0,即Ax+By-2Aa-2Bb-C=0. 4.已知点A的坐标为(-4,4),直线l的方程为3x+y-2=0,求: (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标; (2)直线l关于点A的对称直线l′的方程. 解:(1)设点A′的坐标为(x′,y′).因为点A与A′关于直线l对称, 所以AA′ ? l ? 且AA′的中点在l上,而直线l的斜率是-3,所以 k AA ? ? 1 . 又因为 k AA ? ?

y? ? 4 1 y? ? 4 ? . ? 所以 x? ? 4 3 x? ? 4

3

又直线l的方程为3x+y-2=0,AA′的中点坐标为 ( x? ? 4 ?

y? ? 4 所以 3 ? x? ? 4 ? ?2 ?0. 2 2

2

y? ? 4 )? 2

由以上两方程解得x′=2,y′=6.所以A′点的坐标为(2,6). (2)关于点A对称的两直线l与l′互相平行,于是可设l′的方程为3x+y+c=0. 在直线l上任取一点M(0,2),其关于点A对称的点为M′(x′,y′),于是M′点在l′上,且MM′的中点为 点A,

y? ? 2 由此得 x? ? 0 ? ?4? ? 4? 即x′=-8,y′=6.
于是有M′(-8,6).因为M′点在l′上,所以 3 ? (?8) ? 6 ? c ? 0,所以c=18. 故直线l′的方程为3x+y+18=0. 题组三 有关距离问题 5.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于( A. 7

2

2

)

9

B. ? 1

C. ? 7 或 ? 1 9 3 答案:C 解析:由题意知

3 7 或1 D. 9 3
? 6a ? 3 ? 1 ?
2

a ?1 a ?1 6.若动点 A( x1? y1 )? B( x2 ? y2 ) 分别在直线 l1 :x+y-7=0和 l2 :x+y-5=0上移动,则线段AB的中点M
2

?

? ?3a ? 4 ? 1 ?

? 解得a= ? 1 或 a ? ? 7 . 3 9

到原点的距离的最小值为(

)

A. 2 3 B. 3 3 C. 3 2 D. 4 2 答案:C 解析:由题意知,M点的轨迹为平行于直线 l1 、 2 且到 l1 、 2 距离相等的直线l,其方程为x+y-6=0, l l

∴M到原点的距离的最小值为 d ? 6 ? 3 2 .

2 7.点(1,cos ? ) 到直线xsin ? ? y cos ? ? 1 ? 0(? ?R)的距离d的取值范围是
答案:[0,2]

.

? |sin ? ? sin 2 ? |=|(sin ? ? 1 )2 ? 1 |, 2 4 sin ? ? cos ? 结合图象可知: 0 ? d ? 2 .
解析:由题意知 d ?
2 2

? sin? ? cos2? ? 1 ?

题组四 综合问题 8.已知直线 l1 ? l2 的方程分别为 l1 : A x ? B1 y ? C1 ? 0? l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0? 且 l1 与 l2 只有一 1 个公共点,则( ) A. A B1 ? A2 B2 ? 0 1 B. A B2 ? A2 B1 ? 0 1

A1 B1 ? A2 B2 A A D. 1 ? 2 B1 B2
C. 答案:B 9.点P(-1,3)到直线l:y=k(x-2)的距离的最大值等于( A.2 B.3 C. 3 2 答案:C 解析:直线l:y=k(x-2)的方程化为kx-y-2k=0, 所以点P(-1,3)到该直线的距离为 D. 2 3 )

2 2 ? 3 k ?2 2k ? 1 ? 3 1 ? 2 k ? 2 k ?1 k ?1 k ?1 2k ? 1? 所以 d ? 3 2? 由于 2 k ?1 即距离的最大值等于 3 2 .

d?

3 ? k ?1?

10.已知点A(3,1),在直线x-y=0和y=0上分别有点M和N使△AMN的周长最短,求点M、N的坐 标. 解:A(3,1)关于y=x的对称点 A1 (1? 3)? A( 3,1)关于y=0的对称点 A2 (3? ?1)? △AMN的周长最小值为| A1 A2 |,? | A1 A2 | ? 2 5? A A2 的方程为2x+y-5=0. 1

A1 A2 与x-y=0的交点为M,

由 ?

?2 x ? y ? 5 ? 0 ? M ( 5 ? 5 )? 3 3 x? y ?0 ?

A1 A2 与y=0的交点N,
由 ?

?2 x ? y ? 5 ? 0 ? N ( 5 ? 0) . 2 y?0 ?

11.已知n条直线: l1 : x ? y ? C1 ? 0? C1 ? 2 且 l2 :x-y+ C2 ? 0? l3 : x ? y ? C3 ? 0? … ? ln :

x ? y ? Cn ? 0? 其中 C1 ? C2 ? C3 ? … ? Cn ? 这n条平行直线中,每相邻两条之间的距离顺次
为2,3,4,…,n. (1)求 Cn ; (2)求 x ? y ? Cn ? 0 与x轴、y轴围成的图形的面积?. 解:(1)由已知条件可得 l1 : x ? y ? 2 ? 0? 则原点O到 l1 的距离 d1 ? 1? 由平行直线间的距离可得原点O到 ln 的距离 dn 为1+2+… ?n ? ∵ Cn ? 2dn ? ∴ Cn ?

n(n ? 1) ? 2

2 ? n( n ? 1) . 2 (2)设直线 ln : x ? y ? Cn ? 0 交x轴于点M,交y轴于点N,则△OMN的面积
n 2 (n ? 1) 2 . S? OMN ? 1 |OM| ? |ON| ? 1 (Cn ) 2 ? 2 4 2 12. 已 知 两 直 线 a1 x ? b1 y ? 1 ? 0 和 a2 x ? b2 y ? 1 ? 0 的 交 点 为 P(2,3), 求 过 两 点 A(a1? b1 )? B(a2 ? b2 ) 的直线方程.
解法一:∵P(2,3)是两条直线的交点, ∴ ? ∴

? 2a1 ? 3b1 ? 1 ? 0? 两式相减,得 2(a1 ? a2 ) ? 3(b1 ? b2 ) ? 0? 且 a1 ? a2 . ? 2a2 ? 3b2 ? 1 ? 0?

b1 ? b2 ??2 . a1 ? a2 3

b1 ? b2 ( x ? a1 ) ? ? 2 ( x ? a1 )? a1 ? a2 3 即 2x ? 3 y ? (3b1 ? 2a1 ) ? 0 .又 2a1 ? 3b1 ? ?1?
故所求直线的方程为 y ? b1 ? ∴2x+3y+1=0.故过 A(a1? b1 )? B(a2 ? b2 ) 两点的直线方程为2x+3y+1=0. 解法二:∵点P是已知两直线的交点, ∴ ?

? 2a1 ? 3b1 ? 1 ? 0? ? 2a2 ? 3b2 ? 1 ? 0?

可见 A(a1? b1 )? B(a2 ? b2 ) 都满足方程2x+3y+1=0, 故过A、B两点的直线方程为2x+3y+1=0.? ??


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