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河北省普通示范高中2014届高三考前强化模拟训练数学文7


河北省普通示范高中 2014 届高三考前强化模拟训练数学文 7
一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确

答案的序号填涂在答题卡上) 1、已知 A ? B , A ? C , B ? ?1,2,3,5? , C ? ?0, 2, 4,8? ,则 A 可以是( A. ?1, 2? 2、 已知复数 z= 1 4

3+i - 3 1 B. 2
2

) D. ?4?

B. ?2,4? ,则|z|=( )

C. ?2?

A.

C.1

D.2

3、如果函数 y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象关于直线 x ? ? A.

?
8

对称,那么 a 等于( D.-1 则 AG 的最小值是(



2

B.-

2

C.1

4、已知点 G 是 ?ABC 重心 ,若 ?A ? 120 ? , AB ? AC ? ?2 ,

)

A.

3 3

B.

2 2

C.

2 3

D.

3 4


5、已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是 该三棱锥的三视图的是( ..

x?0 ? ? y ? 2x 6、若不等式组 ? 表示的平面区域是一个直角三角形,则该直角三角形的面积 ? kx ? y ? 1 ? 0 ?
是( A. ) B.

1 5

1 4

C.

1 2

D.

1 1 或 5 4

7 、 数 列

?an ?

* 满 足 a1 ? 1 , 且 对 任 意 的 m, n ? N 都 有 :

第 1 页 共 11 页

am? n ? am ? an ? mn,
A.

1 1 1 等于 ? ?L ? a1 a2 a 2012
B.

(

)

2011 2012

4024 2013

C.

4022 2013

D.

2012 2013

8、三棱锥 P ? ABC 中,底面 ?ABC 是边长为 2 的正三角形,

PA ⊥底面 ABC ,且 PA ? 2 ,则此三棱锥外接球的半径为(
A. 2 B. 5 C. 2
2



D.

21 3

9、如右图,过抛物线 x ? 4 y 焦点的直线依次交抛物线 与圆 x ? ( y ? 1) ? 1于点 A、B、 C、D,
2 2

则 AB ? CD 的值是( A.8 B.4

) C.2 D.1

10、若实数 t 满足 f (t ) ? ?t ,则称 t 是函数 f ( x)的一个次不动点.设函数
f ( x)? lnx 与函数 g( x)? e x (其中 e 为自然对数的底数)的所有次不动点

y C

P

之和为 m ,则( A. m ? 0 C. 0 ? m ? 1

) B. m ? 0 D. m ? 1
2 2

x A O B

11、如右图,在直角坐标系 xoy 中, AB 是半圆 O : x ? y ? 1( y ? 0) 的

P ? C B , 直径,C 是半圆 O 上任一点, 延长 AC 到点 P , 使C 当点 C 从点 B 运动到点 A 时,
动点 P 的轨迹的长度是( A. 2? B. 2? ) C. ? D. 4 2?

12、某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为 A、不能作出这样的三角形. C.作出一个直角三角形.

1 1 1 , , 则此人( ) 13 11 5

B.作出一个锐角三角形. D.作出一个钝角三角形.

第Ⅱ卷

非选择题 (共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)
第 2 页 共 11 页

13、在算式“1×口+4×口=30”的两个口中,分别填入两个自然数,使它们的倒数之和最 小,则这两个数的和为________. 14、某广场地面铺满了边长为 36cm 的正六边形地砖.现在向上抛掷半径为 6 3cm 的圆碟, 圆碟落地后与地砖间的间隙不相交的概率大约是 15、阅读右侧程序框图,输出的结果 S 的值为___ 16、已知 cos . _____.

1 , 3 2 ? 2? 1 cos cos ? , 5 5 4 ? 2? 3? 1 cos cos cos ? , 7 7 7 8 ?

?

。 ;

根据以上等式,可猜想出的一般结论是

三.解答题(共 6 个小题,选做题 10 分,其余 12 分,共 70 分) 17、 (本小题满分 12 分) 某城市有一块不规则的绿地如图所示, 城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标 志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD,经测量 AD=BD=14,BC=10,AC=16,∠ C=∠D. (1)求 AB 的长度; (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建 造费用最低,请说明理由.

18、 (本小题满分 12 分) 如 图 , 已 知 四 棱 锥 P ? ABCD , 底 面 ABCD 为 菱 形 , PA ? 平 面 ABC D ,

?ABC ? 600 , E 、 F 分别是 BC 、 PC 的中点.
(1)判定 AE 与 PD 是否垂直,并说明理由。 (2)设 AB ? 2 ,若 H 为 PD 上的动点,若 ?AHE 面积的最小值为 锥 P ? ABCD 的体积。

6 ,求四棱 2

第 3 页 共 11 页

19、 (本小题满分 12 分) 某市调研考试后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于 120 分为优秀,120 分以下为非优秀.统 计成绩后,得到如下的 2 ? 2 列联表,且已知在甲、 乙两个文科班全部 110 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 优秀 甲班 乙班 合计 10 非优秀
[来源:学科网 ZXXK]

3 . 11

合计
[来源:学科网 ZXXK]

30 110

(1)请完成上面的列联表; (2)根据列联表的数据,若按 99.9%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”; (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进 行编号, 先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数 之和为被抽取人的序号.试求抽到 9 号或 10 号的概率.

n(ad ? bc) 2 参考公式与临界值表: K ? . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

P( K 2 ? k )

0.100 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.001 10.828

k

20、 (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,两个定点 A(?3,0) B (3,0) , ?ABC 的垂心 H(三角形三条高线的交点)是 AB 边上高线 CD 的中点。 (1)求动点 C 的轨迹方程; (2)斜率为 2 的直线 l 交动点 C 的轨迹于 P、Q 两点,求 ?OPQ 面积的最大值(O 是坐标 原点) 。

21、 (本小题满分 12 分)
2

[来源:Z_xx_k.Com]

设函数 f ? x ? ? ax ? ln x . (Ⅰ)当 a ? ?1 时,求函数 y ? f ?x ? 的单调区间和极大值点;
第 4 页 共 11 页

(Ⅱ)已知 a ? 0 ,若函数 y ? f ?x ? 的图象总在直线 y ? ?

1 的下方,求 a 的取值范围; 2

(Ⅲ) 记 f ? ? x ? 为函数 f ?x ? 的导函数. 若 a ? 1, 试问: 在区间 ?1,10? 上是否存在 k( k ? 100 ) 个正数 x1 , x 2 , x3 ? x k ,使得 f ? ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? f ? ? x3 ? ? 你的结论.

? f ? ? xk ? ? 2012 成立?请证明

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写 清楚题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形, 以 D 为圆心,DA 为半径的圆弧与以 BC 为 直径的半圆 O 交于点 F ,延长 CF 交 AB 于 E .

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系 xOy 内 ,点 P ( x, y ) 在曲线 C : ?

? x ? 1 ? cos? , (? 为参数, ? y ? sin ?
4

? ? ? R )上运动.以 Ox 为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos( ? ? ) ? 0 .
(Ⅰ)写出曲线 C 的标准方程和直线 l 的直 角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,点 M 在曲线 C 上移动,试求 ?ABM 面积的 最大值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

第 5 页 共 11 页

设函数 f ( x) ? 3x ? 1 ? ax ? 3 , (Ⅰ)若 a ? 1 ,解不等式 f ( x) ? 5 ; (Ⅱ)若函数 f ( x) 有最小值,求实数 a 的取值范围.

参考答案

AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos C ? 162 ? 102 ? 2 ?16 ?10cos C
在 ?ABD 中,由余弦定理及 ?C ? ?D 整理得



AB2 ? AD2 ? BD2 ? 2 AD ? BD cos D ? 142 ? 142 ? 2 ?142 cos C
由①②得: 14 ? 14 ? 2 ?14 cos C ? 16 ? 10 ? 2 ?16 ?10cos C
2 2 2 2 2

②???4 分

整理可得 cos C ?

1 ,?????6 分 2

又 ?C 为三角形的内角,所以 C ? 60 , 又 ?C ? ?D , AD ? BD ,所以 ?ABD 是等边三角形, 故 AB ? 14 ,即 A、B 两点的距离为 14.?????8 分 (Ⅱ)小李的设计符合要求.理由如下:

S?ABD ?

1 AD ? BD sin D 2

S?ABC ?

1 AC ? BC sin C 2

因为 AD ? BD ? AC ? BC

所以 S?ABD ? S?ABC ????12 分

18、 (1) AE ? PD ------ ----------------------1 分

第 6 页 共 11 页

因为四边形 ABCD 是菱形, ?ABC ? 600 ,? ?ABC 为等边三角形。 因为 E 是 BC 的中点, ? AE ? BC , 又 分

BC / / AD,? AE ? AD -------------------2

PA ? 平面 ABCD , AE ? 平面ABCD,? PA ? AE ---------3 分 PA ? AD ? A ,且 PA ? 平面PAD, AD ? 平面PAD

? AE ? 平面PAD, 又PD ? 平面PAD -----------------------------5 分
? AE ? PD -------------------------------------------------------------6 分

A D (2)由(1) , EA ? 平面P

,? EA ? AH ,??AEH 为直角三角形,----------7 分

Rt△EAH 中, AE ? 3 ,
当 AH 最短时,即 AH ? PD 时, ?AHE 面积的最小---- -------8 分 此时, S ?EAH ?

1 6 EA ? AH ? ? AH ? 2 . 2 2 4 3 -------------------12 3

又 AD ? 2 , 所以 ?ADH ? 45 , 所以 PA ? 2 . V P ? ABCD ? 分 19、解: ⑴?????????3分 优秀 甲班 乙班 合计 (
2

非优秀

合计

10 20 30
设 成 绩 与

50 30 80
班 级

60 50
110
无 关 , 则

2





1 ? 1 ? 0? ?1 n(ad ? bc)2 K ? ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 30 ? 80 ? 50 ? 60

?

2

0 3 ? 7.5

0

2

0

5

0

则查表得相关的概率为99%,故没达到可靠性要求。?????????8分 (3) 设“抽到 9 或 10 号”为事件 A , 先后 两次抛掷一枚均匀的骰子, 出现的点数为 ( x, y ) . 所有的基本事件有: (1,1) 、 (1,2) 、 (1,3) 、 ? 、 (6,6) 共 36个. ?????????10分 事件 A 包含的基本事件有: (3,6) 、 (4,5) 、 (5,4) 、 (6,3) 、 (5,5) 、 ( 4,6) 、 (6,4) 共7个

第 7 页 共 11 页

所以 P ( A) ?

7 7 ,即抽到9号或 10 号的概率为 . 36 36

?????????12分

20、解: (1)设动点 C(x,y)则 D(x,0)。因为 H 是 CD 的中点,故 H ( x, )

y 2

因为 AH ? BC

所以 k AH ? k BC

y y ? ?1 故 2 ? ? ?1 x?3 x?3
????4 分

整理得动点 C 的轨迹方程

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 9 18

(2)设 l : y ? 2 x ? m 并代入

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 得 6 x 2 ? 4mx ? m 2 ? 18 ? 0 9 18
即 m ? (?3 6 ,3 6 ) ????6 分

? ? ? (4m) 2 ? 4 ? 6 ? (m 2 ? 18) ? 0 ? 54 ? m 2 ? 0
2

4m 2 m 2 ? 18 10 PQ ? (1 ? 2 )[(? ) ? 4? ]? 54 ? m 2 6 6 3
又原点 O 到直线 l 的距离为 d ?

m 5

????8 分

? S ?OPQ ?

m 1 10 2 ? 54 ? m 2 ? ? 2 3 6 5 ? 2 54 ? m ? m 9 2 ? ? 6 2 2
2 2

?54 ? m ?m
2

2

????11 分

当且仅当 54 ? m 2 ? m 2 即 m ? ?3 3 时等号成立,故 ?OPQ 面积的最大值为 21、 【 解 析 】 ( 1 ) 当 a ? ?1 时,求 出 f ? x ? ? ? x ? ln x 的导函数,令 f
2

9 2 。 2
/

?x? ? 0 ,列

表研究其单调性和极值; (2)只要求出 y ? f ?x ?的最大值小于 ?

1 即可,求出函数 y ? f ?x ? 的导数,研究单调性可 2

得 到 y ? f ?x ?的最大值就是其极大值,解不等式得 a 的取值范围;
2 (3) a ? 1 时, f ? x ? ? x ? ln x , f ? ? x ? ? 2 x ?

1 1 ,要研究 f ? ? x ? ? 2 x ? 的单调性,记 x x
/

g ?x? ? f / ?x? ,其中 x ? ?1,10? . g ? ? x ? ? 2 ?
f / ?10 ? ? 2 ? 10 ?

1 ? 0 ,即 y ? f x2

?x? 在 ?1,10? 上为增函数.又

1 201 201 / ? ,所以,对任意的 x ? ?1,10? ,总有 f ? x ? ? , 10 10 10

第 8 页 共 11 页

.f

/

? x1 ? ? f / ? x2 ? ? f / ? x3 ? ? ... ? f / ? xk ? ? k ? f / ?10 ? ?
2
/

201 k ? 2010 。故不存在 k 。 10
2

解: (Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ? x ? ? ? x ? ln x , f 令f
/

?x ? ? ?2 x ? 1 ? ? 2 x
x

?1

x

,x ? 0

?x? ? 0 得到 x ? ?

2 ,列表如下: 2

所以 f ?x ? 的单调增区间为 ? 0,

? ? ?

? 2 ? 2? ? ? ,单调减区间为 ? , ?? ? 2 ? 2 ? ? ? ?
1 ? ? 2a ? x 2 ? ? 2a ? , x ? x

极大值点 x ?

2 2

[来源:学科网 ZXXK]

2 (Ⅱ) f ? ? x ? ? 2ax ? 1 ? 2ax ? 1 ? x x

? 0,a ? 0.

令f

/

?x? ? 0 ,则 x ?

?
/

1 . 2a
? ? 时, 1 ,?? ? ? 2a ?

1 ? 时, f 当 x?? ? 0, ? ? ? ? 2a ?

?x? ? 0 ;当 x ? ? ? ?
?

f

/

?x ? ? 0 .

故x? ?

1 为函数 f ?x ? 的唯一极大值点, 2a
? ? ? 1 ? 1 ? ? = ? 1 ? 1 ln? ?? ?. ? 2a ? 2 2 ? 2a ?

所以 f ?x ? 的最大值为 f ? ?

由题意有 ?

1 1 1 ? 1 ? 1 ? ln? ? ? ? ? ,解得 a ? ? . 2 2 2 ? 2a ? 2

所以 a 的取值范围 为 ? ? ?,? (Ⅲ)当 a ? 1 时, f ? ? x ? ? 2 x ? ∵当 x ? ?1,10? 时, g ? ? x ? ? 2 ?

? ?

1? ?. 2?
记 g ?x ? ? f
/

1 . x

?x? ,其中 x ? ?1,10? .

1 ? 0 ,∴ y ? g ?x ? 在 ?1,10? 上为增函数, x2

第 9 页 共 11 页

即y? f

/

?x? 在 ?1,10? 上为增函数.又 f / ?10 ? ? 2 ? 10 ?
/

1 201 ? , 10 10

所以,对任意的 x ? ?1,10? ,总有 f 所以 f
/

?x ? ? 201 .
10 10

?x1 ? ? f / ?x2 ? ? f / ?x3 ? ? ... ? f / ?xk ? ? k ? f / ?10 ? ? 201 k ,
201 k ? 2010 . 10

又因为 k ? 100 ,所以

故 在 区 间 ?1,10? 上 不 存 在 使 得 f ? ? x1 ? ? f ? ? x 2? ? f ? ? x 3? ? ( k ? 100 )个正数 x1 , x 2 , x3 ? x k .

? f ? ? xk ? ? 2012 成 立 的 k

22、试题分析: (1)证明:连结 DF , DO ,则 ?CDO ? ?FDO , 因为 BC 是的切线,且 CF 是圆 D 的弦,

1 ?CDF ,即 ?CDO ? ?BCE , 2 1 故 Rt ?CDO ? Rt ?BCE ,所以 EB ? OC ? AB ; 2 BF CB ? (2)连结 BF ,则由 ?FEB : ?BFC ,得 , BE CE
所以 ?BCE ? 所以 BF ?
网]

---5 分

5 a. 5

---10 分

[来源:学科

考点:本小题主要 考查三角形全等及相似的证明和应用,考查了逻辑推理能力. 点评:这部分知识涉及到初中平面几何的知识,要注意灵活应用. 23、 【解析】 (Ⅰ)消去参数 ? ,得曲线 C 的标准方程: ( x ? 1) ? y ?1.
2 2

由 ? cos( ? ?

?
4

) ? 0 得: ? cos? ? ? sin ? ? 0 ,

即直线 l 的直角坐标方程为: x ? y ? 0. (Ⅱ)圆心 (1, 0) 到直线 l 的距离为 d ?

1 1?1

?

2 , 2

则圆上的点 M 到直线的最大距离为 d ? r ?

2 , ? 1 (其中 r 为曲线 C 的半径) 2

| AB |? 2 12 ? (

2 2 ) ? 2 .设 M 点的坐标为 ( x, y ) , 2
?( x ? 1) 2 ? y 2 ?1 , ?x ? y ? 1 ? 0

则过 M 且与直线 l 垂直的直线 l ? 方程为:x ? y ? 1 ? 0 , 则联立方程 ?
第 10 页 共 11 页

? ? ? 2 2 2 ?1 ?1 ?1 ?x ? ?x ? ? ?x ? ? ? ? ? 2 2 2 解得 ? ,或 ? ,经检验 ? 舍去. ?y ? 2 ?y ? 2 ?y ? ? 2 ? ? ? 2 2 2 ? ? ?
故当点 M 为 (

2 2 ? 1, ? ) 时, ?ABM 面积的最大值为 2 2

24、试题分析: (Ⅰ) a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 1 ? x ? 3 .

1 1 3 时, f ( x) ? 5 可化为 3x ? 1 ? x ? 3 ? 5 ,解之得 ? x ? ; 3 3 4 1 1 1 当 x ? 时, f ( x) ? 5 可化为 ? 3x ? 1 ? x ? 3 ? 5 ,解之得 ? ? x ? . 3 2 3
当x?

第 11 页 共 11 页


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