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浙江省台州市书生中学2014-2015学年高一下学期起始考数学试卷


浙江省台州市书生中学 2014-2015 学年高一下学期起始考数学试 卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 U={1,3,5,7,9},A={1,5,7},则?UA=() A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D.{3,9} 2.化简 A. B. =(

) C. D.

3.已知向量 A.﹣1

, B. 1

,如果 ∥ ,那么实数 k 的值为() C. D.

4.已知 α 为锐角, A. B.

,则

=() C . ﹣7 D.7

5.下列判断正确的是() A.函数 f(x)= 是奇函数 是偶函数

B. 函数 f(x)=(1﹣x)

C. 函数 f(x)=

是偶函数

D.函数 f(x)=1 既是奇函数又是偶函数 6.函数 A.偶函数且最大值为 2 C. 奇函数且最大值为 7.在△ ABC 中,∠C=90°, 是() B. 奇函数且最大值为 2 D.偶函数且最大值为 ,则 k 的值是()

A.5

B . ﹣5

C.

D.

8.若两个非零向量 , 满足| + |=| ﹣ |=2| |,则向量 + 与 ﹣ 的夹角为() A. B. C. D.

9.已知 α,β 为锐角,且 cosα= A. B.

,cosβ=

,则 α+β 的值是() C. D.

10.已知函数 f(x)=3sin cos +

sin

2



+m,若对于任意的﹣

≤x≤

有 f(x)≥0

恒成立,则实数 m 的取值范围是() A.m≥ B.m≥﹣ C.m≥﹣ D.m≥

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 20 分.) 2 11.已知集合 A={x|x ﹣x﹣2=0},B={x|ax﹣6=0},且 A∪B=A,则由实数 a 的取值组成的集 合是.

12.已知点 A(1,2) ,点 B(4,5) ,若 .

,则点 P 的坐标是

13.计算: ( )+

0

?

+lg5?lg20+(lg2) =. (答案化到最简)

2

14.函数 f(x)=

满足[f(x1)﹣f(x2)](x1﹣x2)<0 对定义域

中的任意两个不相等的 x1,x2 都成立,则 a 的取值范围是. 15.向量 满足 ,则 =.

16.求值:

=.

17.如图,O,A,B 是平面上三点,向量 上一点,则 的值为.

,设 P 是线段 AB 垂直平分线

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 40 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤.) 18.已知 α、β 均为锐角,且 cosα= ,求 sinβ 的值.

19.已知函数 f(x)=a﹣

是奇函数(a∈R) .

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)试判断函数 f(x)在(﹣∞,+∞)上的单调性,并证明你的结论; (Ⅲ)若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣(m﹣2)t)+f(t ﹣m﹣1)<0 恒成立,求实数 m 的 取值范围.
2 2

20.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A、B、C 三点满足 (1)求证:A,B,C 三点共线; (2)若 , 的最小值为 ,求实数 m 的值.



21.设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<

)的最高点 D 的坐标为( ) ;

) ,

由最高点 D 运动到相邻最低点时,函数图形与 x 的交点的坐标为( (1)求函数 f(x)的解析式. (2)当 时相应的自变量 x 的值.

时,求函数 f(x)的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值

(3)将函数 y=f(x)的图象向右平移 的单调减区间.

个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x)

22.定义在 D 上的函数 f(x) ,如果满足:对任意 x∈D,存在常数 M>0,都有|f(x)|≤M 成 立,则称 f(x)是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f(x)的上界. 已知函数 f(x)=1+a? + ,

(1)当 a=﹣ 时,求函数 f(x)在(﹣∞,0)上的值域,并判断函数 f(x)在(﹣∞,0) 上是否为有界函数,请说明理由; (2)若函数 f(x)在[0,+∞)上是以 4 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.

浙江省台州市书生中学 2014-2015 学年高一下学期起始考 数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 U={1,3,5,7,9},A={1,5,7},则?UA=() A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D.{3,9} 考点: 补集及其运算. 分析: 从 U 中去掉 A 中的元素就可. 解答: 解:从全集 U 中,去掉 1,5,7,剩下的元素构成 CUA. 故选 D. 点评: 集合补集就是从全集中去掉集合本身含有的元素后所构成的集合.

2.化简 A. B.

=() C. D.

考点: 向量加减混合运算及其几何意义;零向量. 专题: 计算题. 分析: 根据向量加法的三角形法则,我们对几个向量进行运算后,即可得到答案. 解答: 解:∵ 故选 B .

点评: 本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义,及零向量的定义,其中根据 三角形法则对已知向量进行处理,是解答本题的关键.

3.已知向量 A.﹣1

, B. 1

,如果 ∥ ,那么实数 k 的值为() C. D.

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 计算题. 分析: 本题是一个向量共线问题,两个向量使用坐标来表示的,根据向量平行的充要条件 的坐标形式,写出成立的条件,得到关于 k 的方程,解方程即可得到结果. 解答: 解:因为 ∥ , 所以 6=﹣6k, 解得 k=﹣1, 故选 A. 点评: 本题是一个向量位置关系的题目,是一个基础题,向量用坐标形式来表示,使得问 题变得更加简单,比用有向线段来表示要好理解.

4.已知 α 为锐角, A. B.

,则

=() C . ﹣7 D.7

考点: 两角和与差的正切函数;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题. 分析: 根据同角三角函数的基本关系求出 cosα= ,tanα= 公式求出 的值. , = .再利用两角和的正切

解答: 解:∵已知 α 为锐角, ∴cosα= , ∴tanα= ∴ = . = =﹣7,

故选 C. 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用,两角和的正切公式的应用,属于中 档题. 5.下列判断正确的是()

A.函数 f(x)=

是奇函数 是偶函数

B. 函数 f(x)=(1﹣x)

C. 函数 f(x)=

是偶函数

D.函数 f(x)=1 既是奇函数又是偶函数 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据奇偶性定义判断,先看定义域,再看解析式, 每个选项分析: (1)函数 f(x)= (2)函数 f(x)=(1﹣x) 的定义域不关于原点对称,x≠2 定义不关于原点对称,x≠1,

(3)函数 f(x)=

定义域[﹣4,4],

函数 f(x)= f(﹣x)=f(x) , 函数 f(x)=

=



是偶函数,

(4)函数 f(x)=1,是偶函数,不是奇函数. 解答: 解: (1)函数 f(x)= 对称, 函数 f(x)= 不是奇函数. 定义(﹣∞,1)∪(1,+∞) ,不关于原点对称, 的定义域(﹣∞,2)∪(2,+∞) ,所以不关于原点

(2)函数 f(x)=(1﹣x) 所以该选项为错的. (3)函数 f(x)=

定义域[﹣4,4],关于原点对称,

∵函数 f(x)=

=

,f(﹣x)=f(x) ,

∴函数 f(x)=

是偶函数,

(4)函数 f(x)=1,是偶函数,不是奇函数. 故选:C 点评: 本题考查了奇偶函数的定义,注意定义域,解析式两种思路判断.

6.函数 A.偶函数且最大值为 2 C. 奇函数且最大值为

是() B. 奇函数且最大值为 2 D.偶函数且最大值为

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 将函数进行化简,结合三角函数的性质进行判断即可. 解答: 解: cosxsin =2sinxcos = sinx, =sinxcos +cosxsin +sinxcos ﹣

则函数为奇函数且最大值为 , 故选:C. 点评: 本题主要考查三角函数的化简和性质的考查,利用两角和差的正弦公式将函数进行 化简是解决本题的关键. 7.在△ ABC 中,∠C=90°, A.5 B . ﹣5 C.

,则 k 的值是() D.

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 利用向量的加法写出直角边上的另一个向量,根据两个向量的夹角是直角,得到两 个向量的数量积为零,列出关于未知数 k 的方程,解方程即可. 解答: 解:∵ 则 ∵∠C=90° ∴ 故选:A. 点评: 本题考查向量的数量积和向量的加减,向量是数形结合的典型例子,向量的加减运 算是用向量解决问题的基础,要学好运算,才能用向量解决立体几何问题,三角函数问题. ,

8.若两个非零向量 , 满足| + |=| ﹣ |=2| |,则向量 + 与 ﹣ 的夹角为() A. B. C. D.

考点: 数量积表示两个向量的夹角;向量的加法及其几何意义;向量的减法及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 如图所示, 由于两个非零向量| + |=| ﹣ |=2| |, 利用向量的平行四边形法则和矩形 的定义可知:四边形 ABCD 是矩形,且 = =cos∠BAC,进而得出.

解答: 解:如图所示,∵两个非零向量,满足| + |=| ﹣ |=2| |, ∴四边形 ABCD 是矩形,且 ∴∠OBA= . = =cos∠BAC.

∵∠COB=∠OAB+∠OBA. ∴∠COB= . .

∴向量 + 与 ﹣ 的夹角为 故选:C.

点评: 本题考查了向量的平行四边形法则和矩形的定义、直角三角形的边角关系,属于中 档题. 9.已知 α,β 为锐角,且 cosα= A. B. ,cosβ= ,则 α+β 的值是() C. D.

考点: 任意角的三角函数的定义;两角和与差的余弦函数. 专题: 计算题. 分析: 由题意求出 确定 α+β 的值. , ,然后求出 0<α+β<π,求 cos(α+β)的值,

解答: 解:由 α,β 为锐角,且 cosα= 可得 ,

,cosβ=



,且 0<α+β<π, ,

故 故选 B. 点评: 本题考查任意角的三角函数的定义,两角和与差的余弦函数,考查计算能力,推理 能力,是基础题.
2

10.已知函数 f(x)=3sin cos +

sin



+m,若对于任意的﹣

≤x≤

有 f(x)≥0

恒成立,则实数 m 的取值范围是() A.m≥ B.m≥﹣ C.m≥﹣ D.m≥

考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用三角恒等变换化简函数的解析式为 f (x) = sin ( ﹣ ) +m, 由﹣ ≤x≤ ,

求得函数 f(x)取得最小值为﹣ +m≥0,从而求得实数 m 的取值范围.

解答: 解:函数 f(x)=3sin cos + ( ﹣ )+m, ≤x≤

sin

2



+m= sin +

?



+m=

sin

对于任意的﹣ 零. 由﹣ ≤x≤

有 f(x)≥0 恒成立,则 f(x)在[﹣



]上的最小值大于或等于

,可得﹣

≤ ﹣



,故当 ﹣

=﹣

时,函数 f(x)取得最小值为﹣

+m≥0, 求得 m≥ , 故选:D. 点评: 本题主要考查三角恒等变换,函数的恒成立问题,正弦函数的定义域和值域,体现 了转化的数学思想,属于基础题. 二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 20 分.)

11.已知集合 A={x|x ﹣x﹣2=0},B={x|ax﹣6=0},且 A∪B=A,则由实数 a 的取值组成的集 合是{﹣6,0,3}. 考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 因为 A∪B=A 得到 A?B 即 A 中的任意元素都属于 A,列出不等式求出解集即可得 到由实数 a 的取值组成的集合. 解答: 解:∵A∪B=A, ∴A?B,而 A={2,﹣1}. 把 2 代入到 B 集合中得到 a=3; 把﹣1 代入到 B 集合中得到 a=﹣6; 或者 B 为空集即 a=0. 故 a 可以为 0,3,﹣6.所以由实数 a 的取值组成的集合是{﹣6,0,3}. 故答案为{﹣6,0,3} 点评: 考查学生理解并集定义及运算的能力.

2

12.已知点 A(1,2) ,点 B(4,5) ,若 (3,4) . 考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 计算题.

,则点 P 的坐标是

分析: 设出点 P 的坐标,写出要用的两个向量的坐标,根据两个向量之间的 写出两个向量之间的关系,解出 x,y 的值,得到要求的点的坐标. 解答: 解:设 P 的坐标是(x,y) , ∵点 A(1,2) ,点 B(4,5) , ∴ =(x﹣1,y﹣2) =(4﹣x,5﹣y) ∵ ,

关系,

∴(x﹣1,y﹣2)=2(4﹣x,5﹣y) ∴x﹣1=8﹣2x,y﹣2=10﹣2y ∴x=3,y=4 ∴P 的坐标是(3,4) 故答案为: (3,4) 点评: 本题考查向量平行的坐标表示,是一个基础题,这种题目可以出现在大型考试的选 择或填空中,一旦出现,是一个得分题目.

13.计算: ( )+

0

?

+lg5?lg20+(lg2) =3. (答案化到最简)

2

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数与对数的运算法则即可得出. 解答: 解:原式=1+ =1+ +(lg2+lg5)
2

+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)

2

=1+1+1 =3. 故答案为:3. 点评: 本题考查了指数与对数的运算法则,属于基础题.

14.函数 f(x)=

满足[f(x1)﹣f(x2)](x1﹣x2)<0 对定义域

中的任意两个不相等的 x1,x2 都成立,则 a 的取值范围是(0, ].

考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 首先判断函数 f(x)在 R 上单调递减,再分别考虑各段的单调性及分界点,得到 0 0 <a<1①a﹣3<0②a ≥(a﹣3)×0+4a③,求出它们的交集即可. 解答: 解:[f(x1)﹣f(x2)](x1﹣x2)<0 对定义域中的任意两个不相等的 x1,x2 都成立, 则函数 f(x)在 R 上递减, x 当 x<0 时,y=a ,则 0<a<1① 当 x≥0 时,y=(a﹣3)x+4a,则 a﹣3<0② 0 又 a ≥(a﹣3)×0+4a③ 则由①②③,解得 0<a≤ . 故答案为: (0, ]. 点评: 本题考查分段函数及运用,考查函数的单调性及应用,注意分界点的情况,考查运 算能力,属于中档题和易错题.

15.向量

满足

,则

=2.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 先根据 解答: 解:∵ =4,求出 ? =0,从而求出| ﹣ |的值. = +2 ? + =4+2 ? =4,

∴ ? =0, ∴ ∴| ﹣ |=2, 故答案为:2. 点评: 本题考查了平面向量的数量积的运算性质,是一道基础题. 16.求值: =1. = ﹣2 ? +b =1+3=4,
2

考点: 三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 计算题. 分析: 先把原式中切转化成弦,利用两角和公式和整理后,运用诱导公式和二倍角公式化 简整理求得答案. 解答: 解:原式=sin50°? =cos40° = = =1

故答案为:1 点评: 本题主要考查了三角函数的恒等变换及其化简求值,以及两角和公式,诱导公式和 二倍角公式的化简求值.考查了学生对三角函数基础知识的综合运用.

17.如图,O,A,B 是平面上三点,向量 上一点,则 的值为 .

,设 P 是线段 AB 垂直平分线

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题. 分析: 注意到 P 在线段 AB 的垂直平分线上,若设 AB 中点为 C,则 = ,且 ,代换转化为 = , = = ,

的运算即可得到结果. ,

解答: 解:设 AB 中点为 C,则 且 ? ,

∴ = ( 故答案为 .

= )=

=

=

?(

)+0

点评: 本题考查线段垂直平方线的性质、向量的运算法则、向量模的平方等于向量的平方, 考查转化计算能力. 三、解答题: (本大题共 5 小题,共 40 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤.) 18.已知 α、β 均为锐角,且 cosα= ,求 sinβ 的值.

考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 由已知可求 sinα,sin(α+β)的值,又 β=(α+β)﹣α,利用两角差的正弦函数公式 即可求值. 解答: 解:∵α 为锐角, ∵α、β 为锐角,∴ ∴ 又∵β=(α+β)﹣α… ∴sinβ=sin(α+β)cosα﹣cos(α+β)sinα… = .… ,∴ … ,

点评: 本题主要考查了同角三角函数关系式,两角差的正弦函数公式的应用,属于基本知 识的考查. 19.已知函数 f(x)=a﹣ 是奇函数(a∈R) .

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)试判断函数 f(x)在(﹣∞,+∞)上的单调性,并证明你的结论; (Ⅲ)若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣(m﹣2)t)+f(t ﹣m﹣1)<0 恒成立,求实数 m 的 取值范围. 考点: 奇函数;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质. 专题: 综合题;待定系数法. 分析: (Ⅰ)先将函数变形,再由奇函数探讨 f(﹣x)=﹣f(x) ,用待定系数法求解. (Ⅱ)用定义求解,先在区间上任取两个变量,且界定大小,再作差变形看符号,要注意变 形到位.
2 2

(Ⅲ)由(Ⅰ) 、 (Ⅱ)知,f(x)是(﹣∞,+∞)上的增函数,且是奇函数.将 f(t ﹣(m 2 2 ﹣2)t)+f(t ﹣m﹣1)<0 对任意 t∈R 恒成立,转化为 2t ﹣(m﹣2)t﹣(m+1)<0 对任意 t∈R 恒成立.再用判别式法求解. 解答: 解: (Ⅰ)由题意可得:f(x)= ∵f(x)是奇函数∴f(﹣x)=﹣f(x) 即

2

∴a﹣2=﹣a,即 a=1 即

(Ⅱ)设 x1,x2 为区间(﹣∞,+∞)内的任意两个值,且 x1<x2, 则 , ,

∵f(x1)﹣f(x2)=

=

<0

即 f(x1)<f(x2)∴f(x)是(﹣∞,+∞)上的增函数. (Ⅲ)由(Ⅰ) 、 (Ⅱ)知,f(x)是(﹣∞,+∞)上的增函数,且是奇函数. 2 2 ∵f(t ﹣(m﹣2)t)+f(t ﹣m﹣1)<0 2 2 2 ∴f(t ﹣(m﹣2)t)<﹣f(t ﹣m﹣1)=f(﹣t +m+1) 2 2 ∴t ﹣(m﹣2)t<﹣t +m+1 2 即 2t ﹣(m﹣2)t﹣(m+1)<0 对任意 t∈R 恒成立. 2 2 只需△ =(m﹣2) +4×2(m+1)=m +4m+12<0, 解之得 m∈?(16 分) 点评: 本题主要考查函数的奇偶性,单调性的判断与证明以及用判别式求解恒成立问题.

20.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A、B、C 三点满足 (1)求证:A,B,C 三点共线; (2)若 , 的最小值为 ,求实数 m 的值.



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.

分析: (1)由条件求得 共线. (2)先求出



,可得

= ?

,从而得到



,即 A,B,C 三点

,从而求得 f(x)=

,由

x 的范围求得 sinx∈[0,1],利用二次函数的性质求出 f(x)的最小值,即可求得实数 m 的值. 解答: 解:∵(1) ∴ = ? ,…∴ ∥ ,∴ = =﹣ + , = ,…

,即 A,B,C 三点共线. … ,…

(2)由 ∵ ∵ 从而 =﹣sin x﹣2m sinx+2=﹣(sinx+m ) +m +2.… 又
2 2 2 2 2 4

,∴ =(1+ sinx,cosx) ,

,…

,则 t=sinx∈[0,1],f(x)=g(t)=﹣(t+m ) +m +2.
2 2 4

2

2

4

由于﹣m ≤0,∴g(t)=﹣(t+m ) +m +2 在[0,1]上是减函数, 当 t=1,即 x= 综上, 时,f(x)=g(t)取得最小值为 . … ,解得 m=± ,

点评: 本题主要考查两个向量共线的条件,两个向量的数量积公式的应用,两个向量的坐 标形式的运算,二次函数的性质应用,属于中档题.

21.设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<

)的最高点 D 的坐标为( ) ;

) ,

由最高点 D 运动到相邻最低点时,函数图形与 x 的交点的坐标为( (1)求函数 f(x)的解析式. (2)当 时相应的自变量 x 的值. (3)将函数 y=f(x)的图象向右平移 的单调减区间.

时,求函数 f(x)的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值

个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x)

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换; 三角函数的最值. 专题: 计算题.

分析: (1)由三角函数解析式可知函数的平衡位置在 x 轴,所以最高点的纵坐标为 A=2, 又由于三角函数最高点与相邻的和 x 轴的交点为周期的四分之一,即 = 周期后可求出 ω 的值,然后将点( (2)由题中 x 的范围 ,2)代入函数解析式并结合|φ|< 可求出(1)中解析式里 2x+ =﹣ 和 2x+ = ,借此求出 可求出 φ 的值. 的范围,然后结合正 时函数分别有最小值

弦函数 y=sinx 相应区间上的图象可以确定当 2x+ 与最大值,并同时解出相应 x 的取值即可.

(3)由于函数图象左右平移改变的是横坐标,为此将函数 y=f(x)的图象向右平移 后应用函数解析式中的自变量 x ,即 y=g(x)=2sin[2(x )+

个单位 ) ,

]=2sin(2x﹣ ≤2x﹣

由于求的是函数 g(x)的减区间,故用 2x﹣ ≤2kπ+

替换正弦函数的减区间即由 2kπ

,k∈Z 解出 x 后就是所求的减区间. , 2) 运动到相邻最低点时, 函数图形与 x 轴的交点为 ( ﹣ = ,∴T=π,又 T= +φ)=2, ,所以 φ= , ,

解答: 解: (1) ∵由最高点 D ( 0) ,所以周期的四分之一即 = D 的坐标为( 所以 2× +φ=

π,∴ω=2,因为函数经过点

) ,代入函数解析式得 2sin(2× +2kπ,k∈Z,即 φ=zkπ+ ) ) ,当 x∈[﹣ ,

,k∈Z,又|φ|<

∴函数的解析式为 f(x)=2sin(2x+ (2)由(1)知 f(x)=2sin(2x+ 所以 2x+ 2x+ = =﹣ ,即 x=﹣

],2x+

∈[﹣



]

时;函数 f(x)有最小值﹣

,即 x=

时;函数 f(x)有最大值 2 )=2sin[2(x﹣ )+ ], ,2kπ+ ,k∈Z, ],k∈Z

(3)由题意 g(x)=f(x﹣ ∴g(x)=2sin(2x﹣ 所以有 2kπ+ ≤2x﹣

)因为正弦函数 y=sinx 的减区间是[2kπ+ ≤2kπ+ ,k∈Z,解得 kπ+ ,kπ+ ],k∈Z, ≤x≤kπ+

故函数 g(x)的减区间为[kπ+

点评: 本题主要考查了复合角三角函数的解析式,最值以及图象变换和单调区间的求法等 问题,属于复合角三角函数的性质的综合性命题.

22.定义在 D 上的函数 f(x) ,如果满足:对任意 x∈D,存在常数 M>0,都有|f(x)|≤M 成 立,则称 f(x)是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f(x)的上界. 已知函数 f(x)=1+a? + ,

(1)当 a=﹣ 时,求函数 f(x)在(﹣∞,0)上的值域,并判断函数 f(x)在(﹣∞,0) 上是否为有界函数,请说明理由; (2)若函数 f(x)在[0,+∞)上是以 4 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)把 a=﹣ 代入函数的表达式,得出函数的单调区间,结合有界函数的定义进行 判断; (2)由题意知,|f(x)|≤4 对 x∈[0,+∞)恒成立.令 对 t∈(0,1]恒成立,设 最值,从而求出 a 的值. 解答: 解: (1)当 ∵x<0,∴t>1, ∵ ∴ 时, ; ,令 , , , ,求出单调区间,得到函数的

在(1,+∞)上单调递增, ,即 f(x)在(﹣∞,1)的值域为 ,

故不存在常数 M>0,使|f(x)|≤M 成立, ∴函数 f(x)在(﹣∞,0)上不是有界函数; (2)由题意知,|f(x)|≤4 对 x∈[0,+∞)恒成立. 即:﹣4≤f(x)≤4,令 ∵x≥0,∴t∈(0,1] ∴ ∴ 设 , 对 t∈(0,1]恒成立, , ,由 t∈(0,1], ,

由于 h(t)在 t∈(0,1]上递增,P(t)在 t∈(0,1]上递减, H(t)在 t∈(0,1]上的最大值为 h(1)=﹣6, P(t)在[1,+∞)上的最小值为 p(1)=2 ∴实数 a 的取值范围为[﹣6,2].

点评: 本题考查了函数的值域问题,考查了新定义问题,考查了函数的单调性,函数的最 值问题,是一道综合题.


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