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北京市2012届高三数学文科仿真模拟卷 8


北京市 2012 届高三数学文科仿真模拟卷 8
第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.选出符合题目要求的一项填在机读卡上. 1.设 A ? B ? x x ? A且x ? B ,若 A ? ? ,2,3,4,5?, B ? ?3,5,7,9?,则 A ? B 等于( 1 (A) ? ,2,3,4,5,7,9,? 1 2.在复平面内,复数 (A) 第一象限 (B) ? ,2,4? (C) ? ,2,4,7,9? (D) ?3,5? 1 1 )

?

?



2 ? (1 ? 3i ) 2 对应的点位于( 1? i

(B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 )

3.在等差数列 ?a n ? 中,若 a3 ? a 4 ? a5 ? a 6 ? a 7 ? 450 ,则 a 2 ? a8 的值为( (A) 45 (B) 90 (C) 180 4.在区间 ?? (A) (D)300

1 1 ? ? ?? , ? 上随机取一个 x , sin x 的值介于 ? 与 之间的概率为( 2 2 ? 2 2?
(B)



1 3

2

?

(C)

1 2

(D)

2 3


5.设函数 f ( x) ? 2 x ? ln x ? 6 的零点为 m ,则 m 的所在区间为( (A) ?0,1? (B) ?1,2 ? (C) ?2,3? (D) (3,4) ) 个单位长度 个单位长度

6.函数 y ? cos 2 x 的图像可由 y ? sin 2 x 的图像( (A) 向右平移 (C) 向右平移

? ?
2 4

个单位长度 个单位长度

(B) 向左平移 (D) 向左平移

? ?
2

4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7.设 a , b , c 均为单位向量,且 a ? b ,则 (a ? c ) ? (b ? c ) 的最小值为(
(A) ? 1 (B) 1 ? 2 (C)



2 ?2

(D) ? 2

8.已知双曲线的两个焦点为 F1 (? 10 ,0) , F2 ( 10 ,0) , M 是此双曲线上一点, 若 MF1 ? MF2 ? 0 ,

MF1 ? MF2 ? 2 ,则该双曲线的方程是(



x2 y2 x2 y2 x2 y2 2 2 ? y ? 1 (B) x ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ?1 (A) 9 9 3 7 7 3

-1-

第Ⅱ卷(非选择题,共 110 分) 二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.某程序的框图如图所示,则执行该程序,输出的结果 a ? _______.

10.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都是边长为 2 的正三角形, 则这个几何体的侧面积为________. 11.某班 50 名学生在一次百米测试中, 成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将测试结果 绘制成频率分布直方图(如图) ,若成绩介于 14 秒与 16 秒之间认为是良好,则该班在这次 测试中成绩良好的人数为_______.
频率 组距 0.36 0.34

0.18

0.06

0

13

14

15

16

17

18



?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? x?2 y 12.若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 的最大值为_______,最小值为______. ? x? y?2?0 ?
13.已知两条直线 m , n ,两个平面 ? , ? ,给出下面四个命题: ① m ∥ n , m ? ? ? n ? ? ;② ? ∥ ? , m ? ? , n ? ? ? m ∥ n ; ③ m ∥ n , m ∥ ? ? n ∥ ? ;④ ? ∥ ? , m ∥ n , m ? ? ? n ? ? . 其中正确命题的序号是____________. 14. A 点从原点出发,每步走一个单位,方向为向上或向右,则走三步时,所有可能终点的 横坐标的 和为_________;走 n 步时,所有可能终点的横坐标的和为_________. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

-2-

15. (本小题 13 分)已知向量 a ? (sin x, ) , b ? (cos x,?1) (1)当 a ∥ b 时,求 2 cos 2 x ? sin 2 x 的值; (2)求 f ( x) ? (a ? b ) ? b 在 ??

?

3 2

?

?

?

?

?

?

? ? ? ,0? 上的值域. ? 2 ?

16. (本小题 12 分)袋中有大小、形状相同的红、黑球各两个,现依次不放回地随机取 3 次, 每次取一个球. (1)试问:一共有多少种不同的结果,请列出所有可能的结果; (2)若摸到红球时得 2 分,摸到黑球时得 1 分,求 3 次摸球所得总分为 5 的概率.

17. (本小题 13 分)如图,在四棱锥 P - ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形,侧棱 PD⊥底面 ABCD , PD ? DC , E 是 PC 的中点,作 EF ⊥ PB 交 PB 于点 F . (1)证明: PA ∥平面 EDB ;

P

E F
-3-

D A B

C

(2)证明: PB ⊥平面 EFD .

18. (本小题 14 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? 10 x( x ? R) . 3

(1)若 a ? 3 ,点 P 为曲线 y ? f (x) 上的一个动点,求以点 P 为切点的切线斜率取最小值时 的切线方程; (2)若函数 y ? f (x) 在 (0,??) 上为单调增函数,试求 a 的取值范围.

19. (本小题 14 分)椭圆 (1)求椭圆方程;

x2 y2 4 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的一个顶点为 A (0,3) ,离心率 e ? 2 5 a b

-4-

(2) 若直线 ?:y ? kx ? 3 与椭圆交于不同的两点 M , N , 且满足 MP ? PN , AP ? MN ? 0 , 求直线 ? 的方程.

20. (本小题 14 分) 已知数列 ?a n ? 为等差数列,a3 ? 5 ,a 7 ? 13 , 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n , 且有 S n ? 2bn ? 1 (1)求 ?a n ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)若 c n ? a n bn , ?c n ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn ; (3)试比较 Tn 与 a n S n 的大小,并说明理由.

参考答案 选择题 1.B 填空题 2.A 3.C 4.A 5.C 6.D 7.B 8.A

-5-

9.127

10. 2?

11.27

12.64 ;

1 8

13.①④

14.6 ;

n(n ? 1) 2

注:两空的题目,第一个空 2 分,第二个空 3 分 解答题 15.解: (1)∵ a ∥ b ,

?

?

3 cos x ? sin x ? 0 , 2 3 ∴ tan x ? ? , 2
∴ ∴ 2 cos x ? sin 2 x ?
2

?3 分

2 cos 2 x ? 2 sin x cos x 2 ? 2 tan x 20 . ? ? sin 2 x ? cos 2 x 1 ? tan 2 x 13
1 2

?6 分

(2)∵ a ? b ? (sin x ? cos x, ) , ∴ f ( x) ? (a ? b ) ? b ? ∵?

?

?

?

?

?

2 ? sin( 2 x ? ) , 2 4

?8 分

?
2

? x ? 0 ,∴ ?

3? ? ? ? 2x ? ? , 4 4 4

∴ ? 1 ? sin( 2 x ?

?
4

)?

2 , 2

?10 分

∴?

2 1 ? f ( x) ? , 2 2

?12 分

∴函数 f (x) 的值域为 ??

? ?

2 1? , ?. 2 2?

?13 分

16.解: (1)一共有 6 种不同的结果. 列举如下: (红红黑) (红黑红) (黑红红) (红黑黑) (黑红黑) (黑黑红)?6 分 (2)记“3 次摸球所得总分为 5”为事件 A. 事件 A 包含的基本事件为: (红红黑) (红黑红) (黑红红) 由(1)可知,基本事件总数为 6 ∴事件 A 的概率 P ( A) ?

3 1 ? . 6 2
P

?12 分

E F

17.证明: (1)连结 AC 交 BD 与 O ,连结 EO . ∵底面 ABCD 是正方形, ∴点 O 是 AC 的中点.

D A O B

C

-6-

又∵ E 是 PC 的中点 ∴在△ PAC 中, EO 为中位线 ∴ PA ∥ EO . 而 EO ? 平面 EDB , PA ? 平面 EDB , ∴ PA ∥平面 EDB . (2)由 PD ⊥底面 ABCD ,得 PD ⊥ BC . ∵底面 ABCD 是正方形, ∴ DC ⊥ BC , ∴ BC ⊥平面 PDC . 而 DE ? 平面 PDC , ∴ BC ⊥ DE .① ∵ PD ? DC , E 是 PC 的中点, ∴△ PDC 是等腰三角形, DE ⊥ PC .② 由①和②得 DE ⊥平面 PBC . 而 PB ? 平面 PBC , ∴ DE ⊥ PB . 又 EF ⊥ PB 且 DE ? EF = E , ∴ PB ⊥平面 EFD . 18.解: (1)设切线的斜率为 k ,
2 2 则 f ?( x) ? x ? 6 x ? 10 ? ( x ? 3) ? 1 ,

?3 分 ?6 分

?8 分 ?10 分

?12 分 ?13 分

?2 分

显然当 x ? 3 时切线斜率取最小值 1, 又 f (3) ? 12 , ∴所求切线方程为 y ? 12 ? x ? 3 ,即 x ? y ? 9 ? 0 。 (2) f ?( x) ? x ? 2ax ? 10 .
2

?4 分 ?6 分 ?8 分

∵ y ? f (x) 在 x ? (0,??) 为单调递增函数 即对任意的 x ? (0,??) ,恒有 f ?( x) ? 0 , 即 f ?( x) ? x ? 2ax ? 10 ? 0 .
2

?10 分

∴a ? 而

x 2 ? 10 x 5 ? ? , 2x 2 x

?12 分

x 5 ? ? 10 ,当且仅当 x ? 10 时,等号成立, 2 x
?14 分

∴ a ? 10 .

? b?3 c 4 ? ?a ? 5 ? 19.解: (1)依题意,有 ?e ? ? ,解得 ? a 5 ?b ? 3 ? 2 2 2 ?a ? b ? c ?

?3 分

-7-

∴椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 25 9

?5 分

(2)∵ MP ? PN , AP ? MN ? 0 , ∴ AP ? MN ,且 P 是线段 MN 的中点, 由 ? x2 ?7 分

? y ? kx ? 3 ? 消去 y 并整理得, y2 ? ?1 ? 25 9 ?
?9 分

(25k 2 ? 9) x 2 ? 150kx ? 0 .
设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x 2 , y 2 ) 、 P ( x 0 , y 0 ) 则 x1 ? x 2 ?

x ? x2 75k 150k ? ,∴ x 0 ? 1 2 2 25k 2 ? 9 25k ? 9

? 27 25k 2 ? 9 75k ? 27 即 P( , ) 2 25k ? 9 25k 2 ? 9
∴ y 0 ? kx0 ? 3 ? ∵ k ? 0 ,∴直线 AP 的斜率为 k AP

?11 分

? 27 ?3 ? 25k 2 ? 18 25k 2 ? 9 ? ? 75k 25k 2 25k ? 9

由 MN ? AP ,得

? 25k 2 ? 18 ? k ? ?1 , 25k
(此时满足判别式 ? ? 0 ) ?13 分

解得 k ? ?

7 5

∴直线 ? 的方程为 y ? ?

7 x ? 3. 5

?14 分

20.解: (1)∵ ?a n ? 是等差数列,且 a3 ? 5 , a 7 ? 13 ,设公差为 d 。 ∴?

? a1 ? 2d ? 5 ?a1 ? 1 , 解得 ? ?d ? 2 ?a1 ? 6d ? 13
(n? N?) ?2 分

∴ a n ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 在 ?bn ? 中,∵ S n ? 2bn ? 1

当 n ? 1 时, b1 ? 2b1 ? 1 ,∴ b1 ? 1
-8-

当 n ? 2 时,由 S n ? 2bn ? 1 及 S n ?1 ? 2bn ?1 ? 1 可得

bn ? 2bn ? 2bn ?1 ,∴ bn ? 2bn ?1
∴ ?bn ? 是首项为 1 公比为 2 的等比数列 ∴ bn ? 2 n ?1 (n? N?) ?4 分

(2) c n ? a n bn ? (2n ? 1) ? 2 n ?1

Tn ? 1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 2Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? 5 ? 2 3 ? ? ? (2n ? 3) ? 2 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 n
①-②得 ? Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 ? 2 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 n

① ②

? 1? 2?

2(1 ? 2 n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n 1? 2

? 1 ? 4(2 n ?1 ? 1) ? (2n ? 1) ? 2 n ? ?3 ? (2n ? 3) ? 2 n
∴ Tn ? (2n ? 3) ? 2 n ? 3 (n? N?) ?8 分

(3) Tn ? a n S n ? (2n ? 3) ? 2 n ? 3 ? (2n ? 1)(2 n ? 1)

? (2n ? 3) ? 2 n ? 3 ? (2n ? 1) ? 2 n ? 2n ? 1 ? 2n ? 2 ? 2 ? 2 n ? 2(n ? 1 ? 2 n )
令 f ( x) ? x ? 1 ? 2 ( x ? 1) ,则 f ?( x) ? 1 ? 2 ln 2
x x

?9 分

∵ f ?(x) 在 ?1,?? ? 是减函数,又 f ?(1) ? 1 ? 2 ln 2 ? 1 ? ln 4 ? 0 ∴ x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ∴ x ? 1 时, f (x) 是减函数. 又 f (1) ? 1 ? 1 ? 2 ? 0 ∴ x ? 1 时, f ( x) ? 0 ∴ x ? 1 时, x ? 1 ? 2 x ? 0 ?13 分
-9-

∴ n ? N ? 时, n ? 1 ? 2 n ? 0 ∴ n ? N ? 时, Tn ? a n S n ?14 分

- 10 -


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