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高三二项式定理


二项式定理
?a ? b ? ??? 有突出的地位。他数学生涯中的第一项创造 ?a ? b ?1 ?? ? ?a ? b ?2 ?性成果就是发现了二项式定理。据牛顿本人 ?? ?a ? b ?3 ?回忆,他是 ?? 22岁于1664年和1665年间的冬 ?a ? b ?4 ??? 天,在研读沃利斯博士的《无穷算术》并试 5 ?a ? b ? ??? 1 6 图修改他的求

圆面积的级数时发现这一定理 ?a ? b ? ??? 1 1
0

在牛顿的全部科学贡献中,数学成就占

????? ? 的。

1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

二项式定理的发现历程:
二项式定理在我国被称为「贾宪三角」或「杨辉 三角」,一般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨 辉的《详解九章算法》(1261)之中。在阿拉伯数学家卡西 的著作《算术之钥》(1427)中也给出了一个二项式定理系 数表,他所用的计算方法与贾宪的完全相同。在欧洲,德 国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上 刻有此图。但一般却称之为「帕斯卡三角形」,因为帕斯 卡在1654年也发现了这个结果。无论如何,二项式定理 的发现,在我国比在欧洲至少要早300年。 1665年,牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的 情形,给出了的展开式。 二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和, 以及差分法中有广泛的应用。
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易 知:

(a+b)2 =a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
问题:

(a+b)4=?

1、展开式项的构成?

(a+b)5=?
2、展开式中项的系数?

(a+b)n=?
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1 n?1 (a ? b)n ? Cn0an ? Cn a b ? Cn2an?2b2 ??? Cnr an?rbr ??? Cnnbn

r=0, 1, …, n; (1)公式左边叫作二项式,右边叫作(a+b)n的 二项展开式;

注:

(n∈N*)

(2)定理中的a,b仅仅是一种符号,它可以是任意 的数或式子什么的,只要是两项相加的n次幂,就 能运用二项式定理展开。 研究课本例题1,2,回答问题: 例题1,2中哪个字母相当于公式里面的a,哪 个字母相当于公式里面的b?
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1 n?1 (a ? b)n ? Cn0an ? Cn a b ? Cn2an?2b2 ??? Cnr an?rbr ??? Cnnbn

(3)二项式展开式的项数、次数的规律是什么?

(n∈N*)

(1)项数:有n+1项 (2)次数:各项的次数都为n

r=0, 1, …, n;

显然二项式系数 研究例题2: (1)、展开式的 字母b按升幂排列,次数由0递增到n . 和系数是两个不 第3项是多少? 字母a按降幂排列,次数由n递减到0 , 同的概念,二项 (2)、展开式的 (4)二项式展开式中哪一项最有代表性?式系数就是一个 第3项系数是多少? (3)、展开式的 组合数,与 a、b 二项展开式的通项---第r+1项: 第3项二项式系数 r n?r r 无关; 系数,与 Tr ?1 ? Cn a b 是多少? a 、 b 有关。 r 其中C 叫做该项的二项式系数!
n
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研究课本例题3,例题4:
(1)两题所用的解题方法有什么共性? (2)例题3中倒数第五项为第9项,9怎么算 出来的? (3)将例题3中的”1”和“a”位置换一下, 结果是什么? (4)仿照例题4的求法,改一下提问,并求 出结果: 例题4(1)改成求第5项的系数? 例题4(2)改成求x5项的系数?
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练习:课本 P72

研究课本例题5,例题6,思考: (1)所谓常数项,就是x的指数为_________ (2)二项式系数,项的系数有何区别? (3)所谓有理项,就是x的指数为_________

练习:课本P74 1,2
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研究课本例题7和例题8,思考: (1)在例题7中,课本是如何将要证明的式子和

二项式定理巧妙的结合起来的?这个方法可以起
个什么名字?

(2)在例题8中,课本是如何利用二项式定理解
决整除问题的?

练习:课本P74 3 ,4
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例题分析: 1、 (2 x ? y ? z)6的展开式中,x3 y 2 z的系数是 _____

2、已知(2x ?1)7 ? a7 x7 ? a6 x6 ? a5 x5 ? ?? a1x ? a0 则a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ? _________
练习:1、已知(1 ? 2x)2004 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ... ? 2004x2004

则(a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) ? ... ? (a0 ? a2004 ) ? _____
2、已知(2x ?1)6 ? a6 x6 ? a5 x5 ? ... ? a1x ? a0
则 a0 ? a1 ? a2 ? ... ? a6 ? ______
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