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2015年高考湖北省理科数学真题含答案解析(超完美版)


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2015 年高考湖北省理科数学真题
一、选择题 1. i 为虚数单位, i 607 的共轭复数为( ) A. i B. ?i C.1 D. ?1 2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石,验得米内夹谷, 抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为(

A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石 ) )

3.已知 (1 ? x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( A. 212 B. 211 C. 210 D. 2 9

2 ) ,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( 4.设 X ? N (?1 , ?12 ) , Y ? N (?2 , ? 2



A. P(Y ? ?2 ) ? P(Y ? ?1 ) C.对任意正数 t , P( X ? t ) ? P(Y ? t )

B . P ( X ? ? 2 ) ? P( X ? ? 1 ) D.对任意正数 t , P( X ? t ) ? P(Y ? t )

5.设 a1 , a2 ,?, an ? R , n ? 3 . 若 p: a1 , a2 ,?, an 成等比数列;
2 2 2 2 2 2 ? ? ? an q: (a12 ? a2 ?1 )(a2 ? a3 ? ? ? an ) ? (a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an ?1an ) ,则

( ) A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的充分必要条件
?1, x ? 0, ? 6.已知符号函数 sgn x ? ?0, x ? 0, ? ?1, x ? 0. ?

B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件

f ( x) 是 R 上的增函数, g ( x) ? f ( x) ? f (ax) (a ? 1) ,则(



A. sgn[ g ( x)] ? sgn x C. sgn[ g ( x)] ? sgn[ f ( x)]

B. sgn[ g ( x)] ? ? sgn x D. sgn[ g ( x)] ? ? sgn[ f ( x)]
1 1 ”的概率, p2 为事件“ | x ? y |? ”的概率, 2 2

7.在区间 [0, 1] 上随机取两个数 x, y ,记 p1 为事件“ x ? y ?

p3 为事件“ xy ?

1 ”的概率,则( 2



www.yitiku.cn A. p1 ? p2 ? p3 B. p2 ? p3 ? p1 C. p3 ? p1 ? p2 D. p3 ? p2 ? p1

8.将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a ? b) 同时增加 m (m ? 0) 个单位长度,得到离心率 为 e2 的双曲线 C2 ,则( A.对任意的 a, b , e1 ? e2 C.对任意的 a, b , e1 ? e2 ) B.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2 D.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2

9.已知集合 A ? {( x, y) x2 ? y2 ? 1, x, y ? Z} , B ? {( x, y) | x |? 2 , | y |? 2, x, y ? Z} ,定义集合

A ? B ? {( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ( x1 , y1 ) ? A, ( x2 , y2 ) ? B} ,则 A ? B 中元素的个数为(
A.77 B.49 C.45 D.30



10.设 x ? R , [ x] 表示不超过 x 的最大整数. 若存在实数 t ,使得 [t ] ? 1 , [t 2 ] ? 2 ,…, [t n ] ? n 同时成立 ,则正整数 n 的最大值是( ) .... A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 11.已知向量 OA ? AB , | OA |? 3 ,则 OA ? OB ?

. .
0

x π 12.函数 f ( x) ? 4cos 2 cos( ? x) ? 2sin x?| ln( x ?1) | 的零点个数为 2 2

13.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向 上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75 的方向上,仰角为 30 ,则此山的高度 CD ? m.
0 0

14 如图,圆 C 与 x 轴相切于点 T (1, 0) ,与 y 轴正半轴交于两点 A, B (B 在 A 的上方) ,且 AB ? 2 . (Ⅰ)圆 C 的标准 方程为 .. ;

(Ⅱ)过点 A 任作一条直线与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 相交于 M , N 两点,下列三个结论: ①
NA NB ? MA MB

; ②

NB NA

?

MA MB

?2;



NB NA

?

MA MB

?2 2.

其中正确结论的序号是

. (写出所有正确结论的序号)

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15.如图,PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且 BC ? 3PB ,则

AB ? AC

.

16.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 l 的极坐标方程为
1 ? x?t? , ? ? t ? (sin ? ? 3cos? ) ? 0 ,曲线 C 的参数方程为 ? ? y ?t ?1 ? t ?
| AB |?

( t 为参数) ,l 与 C 相交于 A , B 两点,则

.

三、解答题
π 17.某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |? ) 在某一个周期内的图象时,列表并填入了部 2

分数据,如下表:

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置 ,并直接写出函数 f ( x) 的解析式; ........... (Ⅱ)将 y ? f ( x) 图象上所有点向左平行移动 ? (? ? 0) 个单位长度,得到 y ? g ( x) 的图 象. 若 y ? g ( x) 图象的一个对称中心为 (
5π , 0) ,求 ? 的最小值. 12

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S10 ? 100 . b2 ? 2 , q?d, 18.设等差数列 {an } 的公差为 d, 前 n 项和为 Sn , 等比数列 {bn } 的公比为 q. 已知 b1 ? a1 ,
(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)当 d ? 1 时,记 cn ?
an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

19.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三 角形的四面体称之为鳖臑. 如图,在阳马 P ? ABCD 中,侧棱 PD ? 底面 ABCD ,且 PD ?CD ,过棱 PC 的中点 E ,作 E F ?P B 交 PB 于 点 F ,连接 DE, DF , BD, BE. (Ⅰ)证明: PB ? 平面DEF .试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结 论) ;若不是,说明理由; (Ⅱ)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为
P F D A E C B
π DC ,求 的值. 3 BC

20.某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A, B 两种奶制品.生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨,使用设备 1 小时,获 利 1000 元;生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨,使用设备 1.5 小时,获利 1200 元.要求每天 B 产品的产量不 超过 A 产品产量的 2 倍,设备每天生产 A, B 两种产品时间之和不超过 12 小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数 量 W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利 Z (单位:元)是一个随 机变量. (Ⅰ)求 Z 的分布列和均值; (Ⅱ) 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率.

www.yitiku.cn 21.一种作图工具如图 1 所示. O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接, MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动, 且 DN ? ON ? 1 ,MN ? 3 . 当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时, 带动 ,M 处的笔尖画出的曲线记为 C.以 O 为原点, AB 所 ..N 绕 O 转动一周(D 不动时,N 也不动) 在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l 与两定直线 l1 : x ? 2 y ? 0 和 l2 : x ? 2 y ? 0 分别交于 P, Q 两点.若直线 l 总与曲线 C 有且只 有一个公共点,试探究:△ OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.

1 22.已知数列 {an } 的各项均为正数, bn ? n (1 ? )n an (n ? N? ) ,e 为自然对数的底数. n 1 (Ⅰ)求函数 f ( x) ? 1 ? x ? e x 的单调区间,并比较 (1 ? )n 与 e 的大小; n

(Ⅱ)计算

b1 bb bb b b b ? bn , 1 2 , 1 2 3 ,由此推测计算 1 2 的公式,并给出证明; a1 a1a2 a1a2 a3 a1a2 ? an
1

(Ⅲ)令 cn ? (a1a2 ? an ) n ,数列 {an } , {cn } 的前 n 项和分别记为 Sn , Tn , 证明: Tn ? eSn .

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2015 年高考湖北省理科数学真题
一、选择题 1.答案:A 解析过程: 因为 i
607

? (i 2 )303 ? i ? ?i ,选 A

2.答案:B 解析过程: 设这批米内夹谷的个数为 x ,则由题意得,

28 x ? 254 1534

即x?

28 ?1534 ? 169 ,选 B 254

3.答案:D 解析过程: 因为 (1 ? x)n 得展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等, 所以 Cn3 ? Cn7 ,解得 n=10,

1 所以二项式 (1 ? x)10 中奇数项的二项式系数和为 ? 210 ? 29 ,选 D 2 4.答案:C 解析过程: 由正态密度曲线的性质可知,
2 X ? N (?1 , ?12 ) , Y ? N (?2 , ? 2 )的

密度曲线分别关于 x ? ?1、x ? ?2 对称, 因此结合所给图像可得 ?1<?2 且 X ? N (?1 , ?12 ) 的
2 ) 的密度曲线“瘦高”, 密度曲线较 Y ? N (?2 , ? 2

www.yitiku.cn 所以 0<?1 <? 2 ,所以对任意正数 t , P( X ? t ) ? P(Y ? t ) ,选 C 5.答案:A 解析过程: 对命题 p: a1 , a2 ,?, an 成等比数列, 则公比 q ?

an (n ? 3)且a ? 0 ,对命题 q,①当 an =0 时, an ?1

2 2 2 2 2 2 (a12 ? a2 ? ? ? an ?1 )(a2 ? a3 ? ? ? an ) ? (a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an?1an ) 成立;

②当 an ? 0 时,根据柯西不等式,
2 2 2 2 2 2 ? ? ? an 等式 (a12 ? a2 ?1 )(a2 ? a3 ? ? ? an ) ? (a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an?1an ) 成立;



a a1 a2 ? ? ? n?1 ,所以 a1 , a2 ,?, an 成等比数列, a2 a3 an

所以 p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件。故选 A 6.答案:B 解析过程: 因为 f ( x) 是 R 上的增函数, 令 f ( x) ? x ,所以 g ( x) ? (1 ? a) x ,因为 a ? 1 , 所以 g( x) 是 R 上的减函数,
?1, x ? 0, ? 由符号函数 sgn x ? ?0, x ? 0, 知, ? ?1, x ? 0. ? ??1, x ? 0 ? sgn[g(x)] ? ? 0, x ? 0 ? ? sgn x ,故选 B ? 1, x ? 0 ?

7.答案:B 解析过程: 因为 x, y ?[0,1] ,对事件“ x ? y ? 对事件“ | x ? y |? 对事件“ xy ?
1 ”,如图(1)阴影部分 S1 , 2

1 ”, 如图(2)阴影部分 S2 , 2

1 ”,如图(3)阴影部分 S 3 , 2

由图可知,阴影部分面积从下到大依次是 S2 < S 3 < S1 ,正方形的面积为 1?1 ? 1 ,

www.yitiku.cn 根据几何概型公式可得 p2 ? p3 ? p1

8.答案:D 解析过程:

x2 y 2 不妨设双曲线 C1 的焦点在 x 轴上,即其方程为: 2 ? 2 ? 1 , a b
则双曲线 C2 的方程为:

x2 y2 ? ? 1, (a ? m)2 (b ? m)2

所以, e1 ?

a 2 ? b2 b2 ? 1? 2 , a a

(a ? m) 2 ? (b ? m) 2 (b ? m) 2 e1 ? ? 1? , a?m ( a ? m) 2
当 a ? b 时,

b ? m b ? a ? b? m ? ? ?0, a ? m a (a ? m)a

所以

b?m b b?m 2 b ? ,所以 ( ) ? ( ) 2 ,所以 e2 ? e1 ; a?m a a?m a

当 a ? b 时,

b ? m b ? a ? b? m ? ? ?0, a ? m a (a ? m)a

所以

b?m b b?m 2 b 2 ? ,所以 ( ) ? ( ) ,所以 e2 ? e1 ; a?m a a?m a

故选 D 9.答案:C 解析过程: 由题意知, A ? {( x, y) x2 ? y2 ? 1, x, y ? Z} ? {(1,0),(?1,0),(0,1),(0, ?1)} ,

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B ? {( x, y) | x |? 2 , | y |? 2, x, y ? Z},
所以由新定义集合 A ? B 可知, x1 ? ?1, y1 ? 0 或 x1 ? 0, y1 ? ?1 . 当 x1 ? ?1, y1 ? 0 时, x1 ? x2 ? ?3, ?2, ?1,0,1, 2,3 , y1 ? y2 ? ?2, ?1,0,1, 2 , 所以此时 A ? B 中元素的个数有: 7 ? 5 ? 35 个; 当 x1 ? 0, y1 ? ?1 时, x1 ? x2 ? ?2, ?1,0,1, 2 , y1 ? y2 ? ?3, ?2, ?1,0,1, 2,3 , 这种情形下和第一种情况下除 y1 ? y2 的值取 ?3 或 3 外均相同,即此时有 5 ? 2 ? 10 , 由分类计数原理知, A ? B 中元素的个数为 35 ? 10 ? 45 个,故应选 C . 10.答案:B 解析过程: 因为[x]表示不超过 x 的最大整数。由他[t]=1 得 1≤t<2, 由 [t ] ? 2得2 ? t <3 ,由 [t ] ? 3得4 ? t <5 ,所以,2≤ t 2 < 5 ,
2 2 4 4

所以 2≤ t 2 < 5 ,由 [t ] ? 3得3 ? t <4 ,所以 6 ? t <4 5 ,
3 3 5

由 [t ] ? 5得5 ? t <6 ,与 6 ? t <4 5 矛盾,
5 5 5

故正整数 n 的最大值是 4,故选 B 二、填空题 11.答案:9 解析过程: 因为向量 OA ? AB ,所以 OA ? AB ? 0 , 即 OA ? (OB ? OA) ? 0 ,所以 OA ? OB ? OA ? 0 , 即 OA ? OB ? OA ? 9 ,填 9 12.答案:2 解析过程:
x π 因为 f ( x) ? 4cos2 cos( ? x) ? 2sin x? | ln( x ? 1) | 2 2 = 2(1 ? cosx)sin x ? 2sin x? | ln(x ? 1) | = sin 2 x? | ln(x ? 1) |

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?2

??? ? ??? ?

??? ?2

所以函数 f ( x) 的零点个数为 函数 y ? sin 2 x 与 y ?| ln(x ? 1) | 图象的交点的个数, 函数 y ? sin 2 x 与 y ?| ln(x ? 1) | 图象如图, 由图知,两函数图象有 2 个交点, 所以函数 f ( x) 有 2 个零点。

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13.答案: 100 6 解析过程: 在 ?ABC 中, ?CAB ? 30 , ?ACB ? 70 ? 30 ? 45 ,
0 0 0 0

由正弦定理知,

BC AB ? , sin ?BAC sin ?ACB

即 BC ?

AB 600 1 ? sin ?BAC ? ? ? 300 2 , sin ?ACB 2 2 2
3 ? 100 6 3

所以 CD ? BC ? tan ?DBC ? 300 2 ?

14 答案: (Ⅰ) (x?1)2 ? (y? 2)2 ? 2 ; (Ⅱ)①②③ 解析过程: (Ⅰ)依题意,设 C(1,r) (r 为圆的半径) , 因为|AB|=2,所以 r ? 12 ? 12 ? 2 所以圆心 C(1, 2 ) , 故圆的标准方程为 (x?1)2 ? (y? 2)2 ? 2 (Ⅱ)联立方程组 ?

? ?x ? 0 , 2 2 ? ?(x ? 1) ? (y ? 2) ? 2

解得 ?

? ? ?x ? 0 ?x ? 0 或? , ? y ? 2 ?1 ? ? y ? 2+1 ?

因为 B 在 A 的上方,所以 A( 0,2-1 ) ,B( 0,2+1 ) , 令直线 MN 的方程为 x=0,此时 M (0, ?1), N(0,1) ,

www.yitiku.cn 所以 | MA |? 2 , | MB |? 2 ? 2 ,

| MA |? 2 ? 2 , | NB |? 2
因为

| NA | 2 ? 2 2 | MA | 2 ? ? 1? , ? ? 2 ?1 , | NB | 2 2 | MB | 2 ? 2
| NA | | MA | , ? | NB | | MB |

所以

所以

| NA | | MA | 2 2 ? ? ? ? 2 ? 1 ? ( 2 ?1) ? 2 | NB | | MB | 2 ? 2 2 ?2

| NA | | MA | 2 2 ? 2 ? 1 ? 2 ?1 ? 2 2 ? ? ? | NB | | MB | 2 ? 2 2 ?2
所以正确结论的序号是①②③ 15.答案:

1 2

解析过程: 因为 PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线, 由切割线定理知, PA ? PB ? PC ? PB(PB? PC) ,
2

因为 BC=3PB,所以 PA ? 4 PB ,即 PA=2PB
2 2

由 ? PAB∽? PCA,所以 16.答案: 2 5 解析过程:

AB PB 1 = = AC PA 2

因为 ? (sin ? ? 3cos ? ) ? 0 ,所以 ? sin ? ? 3? cos ? ? 0 , 所以 y ? 3x ? 0 ,即 y ? 3x

1 ? x?t? ? ? t 2 2 由? 消去 t 得 y ? x ? 4 , ?y ? t ?1 ? t ?
联立方程组 ?

? y ? 3x
2 2 ?y ? x ? 4



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? ? 2 2 ?x ? ?x ? ? ? 2 或? 2 , 解得 ? ? ?y ? 3 2 ?y ? ? 3 2 ? ? ? 2 ? 2
即 A(

2 3 2 2 3 2 ) ,B( ? ) ,? , 2 2 2 2

由两点间的距离公式得
| AB |?

(

2 2 2 3 2 3 2 2 ? ) ?( ? ) ?2 5 2 2 2 2

三、解答题 17.答案: (Ⅰ) f ( x) ? 5sin(2x ? ) ; (Ⅱ) ? 的最小值 。 6 6 解析过程:
π (Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ? . 数据补全如下表: 6

?

?

π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) 。 6 π (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) , 6 π 得 g ( x) ? 5sin(2x ? 2? ? ) . 6 因为 y ? sin x 的对称中心为 (kπ, 0) , k ? Z .

令 2 x ? 2? ?

π kπ π ? kπ ,解得 x ? ? ?? , k ? Z . 6 2 12 5π , 0) 成中心对称, 12

由于函数 y ? g ( x) 的图象关于点 ( 令

kπ π 5π kπ π ,解得 ? ? ? , k ? Z . ? ?? ? 2 12 12 2 3 π . 6

由 ? ? 0 可知,当 k ? 1 时, ? 取得最小值 18.答案:见解析

www.yitiku.cn 解析过程:
?10a ? 45d ? 100, ?2a ? 9d ? 20, (Ⅰ)由题意有, ? 1 即? 1 ?a1d ? 2, ?a1d ? 2,
1 ? an ? (2n ? 79), ? a1 ? 9, ? a ? 2 n ? 1, ? ? a1 ? 1, ? n ? ? 9 解得 ? 或? 或? 2 故? n ?1 d ? 2, b ? 2 . d ? . ? ? ? n ?b ? 9 ? ( 2 ) n ?1 . ? 9 ? n ? 9 ?

(Ⅱ)由 d ? 1 ,知 an ? 2n ? 1 , bn ? 2n?1 ,故 cn ?
Tn ? 1 ? 3 5 7 9 2n ? 1 ? ? ? ? ? ? n?1 , 2 22 23 24 2

2n ? 1 ,于是 2n?1

① ②

1 1 3 5 7 9 2n ? 1 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n . 2 2 2 2 2 2 2

①-②可得
1 1 1 1 2n ? 1 2n ? 3 , Tn ? 2 ? ? 2 ? ? ? n?2 ? n ? 3 ? 2 2 2 2 2 2n 2n ? 3 . 2n ?1 19.答案:见解析

故 Tn ? 6 ?

解析过程: (解法 1) (Ⅰ)因为 PD ? 底面 ABCD ,所以 PD ? BC , 由底面 ABCD 为长方形,有 BC ? CD ,而 PD ? CD ? D , 所以 BC ? 平面PCD . 而 DE ? 平面PCD ,所以 BC ? DE . 又因为 PD ? CD ,点 E 是 PC 的中点,所以 DE ? PC . 而 PC ? BC ? C ,所以 DE ? 平面 PBC . 而 PB ? 平面PBC ,所以 PB ? DE . 又 PB ? EF , DE ? EF ? E ,所以 PB ? 平面 DEF . 由 DE ? 平面 PBC , PB ? 平面 DEF , 可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形, 即四面体 BDEF 是一个鳖臑,
?EFB,?DFB . 其四个面的直角分别为 ?DEB,?DEF,

(Ⅱ)如图 1,在面 PBC 内,延长 BC 与 FE 交于点 G , 则 DG 是平面 DEF 与平面 ABCD 的交线. 由(Ⅰ)知, PB ? 平面DEF ,所以 PB ? DG .

www.yitiku.cn 又因为 PD ? 底面 ABCD ,所以 PD ? DG . 而 PD ? PB ? P ,所以 DG ? 平面PBD . 故 ?BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角, 设 PD ? DC ? 1 , BC ? ? ,有 BD ? 1 ? ? 2 , 在 Rt△ PDB 中, 由 DF ? PB , 得 ?DPF ? ?FDB ? 则 tan
π , 3

π BD ? tan ?DPF ? ? 1 ? ? 2 ? 3 , 解得 ? ? 2 . 3 PD

所以

DC 1 2 ? ? . BC ? 2 DC 2 π ? 时, . BC 2 3

故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 (解法 2) (Ⅰ)如图 2,以 D 为原点, 射线 DA, DC , DP 分别为 x, y, z 轴的正半轴,

建立空间直角坐标系. 设 PD ? DC ? 1 , BC ? ? , ??? ? 则 D(0,0,0), P(0,0,1), B(? ,1,0), C (0,1,0) , PB ? (? ,1, ?1) , 点 E 是 PC 的中点,所以 E (0,
???? 1 1 1 1 , ) , DE ? (0, , ) ,21 世纪教育网版权所有 2 2 2 2

??? ? ???? 于是 PB ? DE ? 0 ,即 PB ? DE .

又已知 EF ? PB ,而 DE ? EF ? E ,所以 PB ? 平面DEF . ??? ? ???? ??? ? 因 PC ? (0, 1, ?1) , DE ? PC ? 0 , 则 DE ? PC , 所以 DE ? 平面PBC . 由 DE ? 平面 PBC , PB ? 平面 DEF , 可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形, 即四面体 BDEF 是一个鳖臑, ?EFB,?DFB . 其四个面的直角分别为 ?DEB,?DEF,

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z
P F D A 图1 E G C B A D P F E C

y

B 图2

x

(Ⅱ)由 PD ? 平面ABCD , ??? ? 所以 DP ? (0, 0, 1) 是平面 ABCD 的一个法向量; 由(Ⅰ)知, PB ? 平面DEF , ??? ? 所以 BP ? (??, ?1, 1) 是平面 DEF 的一个法向量. 若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为
π , 3

??? ? ??? ? π BP ? DP ? ??? ? ? 则 cos ? ??? 3 | BP | ? | DP |
解得 ? ? 2 . 所以

1

? ?2
2

?

1 , 2

DC 1 2 ? ? . BC ? 2 DC 2 π ? 时, . BC 2 3

故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为

20. 答案:见解析 解析过程: (Ⅰ)设每天 A, B 两种产品的生产数量分别为 x, y , 相应的获利为 z ,则有
? 2 x ? 1.5 y ? W , ? x ? 1.5 y ? 12, ? ? ? 2 x ? y ? 0, ? ? x ? 0, y ? 0.

(1)

目标函数为

z ?1 0 0 0 x?

120 y 0 .

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当W ? 12 时, (1)表示的平面区域如图 1, 三个顶点分别为 A(0, 0), B(2.4, 4.8), C (6, 0) .
5 z 将 z ? 1000 x ? 1200 y 变形为 y ? ? x ? , 6 1200 5 z 当 x ? 2.4, y ? 4.8 时,直线 l : y ? ? x ? 在 y 轴上的截距最大, 6 1200 最大获利 Z ? zmax ? 2.4 ? 1000 ? 4.8 ? 1200 ? 8160 .

当W ? 15 时, (1)表示的平面区域如图 2, 三个顶点分别为 A(0, 0), B(3, 6), C (7.5, 0) .
5 z 将 z ? 1000 x ? 1200 y 变形为 y ? ? x ? , 6 1200 5 z 当 x ? 3, y ? 6 时,直线 l : y ? ? x ? 在 y 轴上的截距最大, 6 1200 最大获利 Z ? zmax ? 3 ? 1000 ? 6 ? 1200 ? 10200 .

当 W ? 18 时, (1)表示的平面区域如图 3, 四个顶点分别为 A(0, 0), B(3, 6), C (6, 4), D(9, 0) .
5 z 将 z ? 1000 x ? 1200 y 变形为 y ? ? x ? , 6 1200 5 z 当 x ? 6, y ? 4 时,直线 l : y ? ? x ? 在 y 轴上的截距最大, 6 1200 最大获利 Z ? zmax ? 6 ? 1000 ? 4 ? 1200 ? 10800 .

故最大获利 Z 的分布列为

因此, E (Z ) ? 8160 ? 0.3 ? 10200 ? 0.5 ? 10800 ? 0.2 ? 9708. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,一天最大获利超过 10000 元的概率
p1 ? P(Z ? 10000) ? 0.5 ? 0.2 ? 0.7 ,

由二项分布,3 天中至少有 1 天最大获利超过 10000 元的概率为

p ? 1 ? (1 ? p1 )3 ? 1 ? 0.33 ? 0.973

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x2 y 2 ? ? 1; 21.答案: (Ⅰ) (Ⅱ)见解析 16 4
解析过程: (Ⅰ)设点 D(t , 0) (| t |? 2) , N ( x0 , y0 ), M ( x, y) ,依题意, ???? ???? ???? ? ???? MD ? 2 DN ,且 | DN |?| ON |? 1 ,

2 2 ? ?( x ? t ) ? y0 ? 1, 所以 (t ? x, ? y) ? 2( x0 ? t , y0 ) ,且 ? 20 2 ? ? x0 ? y0 ? 1.

?t ? x ? 2 x0 ? 2t , 即? 且 t (t ? 2 x0 ) ? 0. ? y ? ?2 y0 .

由于当点 D 不动时,点 N 也不动,所以 t 不恒等于 0,

x2 y 2 x y 2 2 ? y0 ? 1 ,可得 ? 于是 t ? 2 x0 ,故 x0 ? , y0 ? ? ,代入 x0 ?1, 4 2 16 4
x2 y 2 ? ? 1. 16 4 (Ⅱ) (1)当直线 l 的斜率不存在时,
即所求的曲线 C 的方程为
1 直线 l 为 x ? 4 或 x ? ?4 ,都有 S?OPQ ? ? 4 ? 4 ? 8 . 2 1 (2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l : y ? kx ? m (k ? ? ) , 2
? y ? kx ? m, 由? 2 2 ? x ? 4 y ? 16,

消去 y ,可得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 16 ? 0 .

因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点, 所以 ? ? 64k 2 m2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4m2 ? 16) ? 0 ,即 m2 ? 16k 2 ? 4 .
? y ? kx ? m, 2m m ?2m m 又由 ? 可得 P( , ) ;同理可得 Q( , ). 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k ? x ? 2 y ? 0,



由原点 O 到直线 PQ 的距离为 d ?
S?OPQ ?

|m| 1? k
2

和 | PQ |? 1 ? k 2 | xP ? xQ | ,可得 ②

1 1 1 2m 2m 2m 2 | PQ | ?d ? | m || xP ? xQ |? ? | m | ? ? . 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 4k 2

www.yitiku.cn 将①代入②得, S ?OPQ ? 当 k2 ?
4k 2 ? 1 2m 2 ? 8 . 1 ? 4k 2 4k 2 ? 1

4k 2 ? 1 2 1 时, S?OPQ ? 8( 2 ) ? 8(1 ? 2 ) ? 8 ; 4 4k ? 1 4k ? 1
4k 2 ? 1 2 1 时, S?OPQ ? 8( ) ? 8(?1 ? ). 2 4 1 ? 4k 1 ? 4k 2
1 2 ,则 0 ? 1 ? 4k 2 ? 1 , ?2, 4 1 ? 4k 2 2 ) ? 8 ,当且仅当 k ? 0 时取等号. 1 ? 4k 2

当 0 ? k2 ? 因 0 ? k2 ?

所以 S?OPQ ? 8(?1 ?

所以当 k ? 0 时, S?OPQ 的最小值为 8. 综合(1) (2)可知,当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时, △ OPQ 的面积取得最小值 8. 22.答案:见解析 解析过程: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (??, ??) , f ?( x) ? 1 ? e x . 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 0 时, f ( x) 单调递增; 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 0 时, f ( x) 单调递减. 故 f ( x) 的单调递增区间为 (??,0) ,单调递减区间为 (0, ??) . 当 x ? 0 时, f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 1 ? x ? e x .
1 1 1 1 ,得 1 ? ? e n ,即 (1 ? )n ? e . ① n n n b bb b b 1 1 (Ⅱ) 1 ? 1 ? (1 ? )1 ? 1 ? 1 ? 2 ; 1 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2(1 ? ) 2 ? (2 ? 1) 2 ? 32 ; a1 1 a1a2 a1 a2 2

令x?

b1b2 b3 b1b2 b3 1 ? ? ? 32 ? 3(1 ? )3 ? (3 ? 1)3 ? 43 . a1a2 a3 a1a2 a3 3

由此推测:

b1b2 ? bn ? (n ? 1) n . a1a2 ? an



下面用数学归纳法证明②. (1)当 n ? 1 时,左边 ? 右边 ? 2 ,②成立. (2)假设当 n ? k 时,②成立,即 当 n ? k ? 1 时, bk ?1 ? (k ? 1)(1 ?
b1b2 ? bk ? (k ? 1) k . a1a2 ? ak

1 k ?1 ) ak ?1 ,由归纳假设可得 k ?1

b1b2 ? bk bk ?1 b b ?bk bk ?1 1 k ?1 ? 1 2 ? ? (k ? 1)k (k ? 1)(1 ? ) ? (k ? 2) k ?1 . a1a2 ? ak ak ?1 a1a2 ? ak ak ?1 k ?1

所以当 n ? k ? 1 时,②也成立. 根据(1) (2) ,可知②对一切正整数 n 都成立.

www.yitiku.cn (Ⅲ)由 c n 的定义,②,算术-几何平均不等式, bn 的定义及①得
Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? (a1 )1 ? (a1a2 ) 2 ? (a1a2 a3 ) 3 ? ? ? (a1a2 ? an ) n
1 1 1 1
1 1 1 1

(b b ?bn ) n (b )1 (b b ) 2 (b b b ) 3 ? 1 ? 1 2 ? 1 2 3 ??? 1 2 2 3 4 n ?1
? b ? b ? ? ? bn b1 b ? b b ? b ? b3 ? 1 2? 1 2 ??? 1 2 1? 2 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 ? b1[ ? ??? ] ?b2 [ ? ??? ] ? ? ? bn ? 1? 2 2 ? 3 n( n ? 1) 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) n(n ? 1)

? b1 (1 ? ?

1 1 1 1 1 ) ? b2 ( ? ) ? ? ? bn ( ? ) n ?1 2 n ?1 n n ?1

b b1 b2 1 1 1 ? ? ? ? n ? (1 ? )1 a1 ? (1 ? )2 a2 ? ? ? (1 ? )n an 1 2 n 1 2 n

? ea1 ? ea2 ? ? ? ean ? eS n . 即 Tn ? eSn .


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