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湖南省郴州市2016届高考数学三模试卷 理(含解析)


2016 年湖南省郴州市高考数学三模试卷(理科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出四个选项,只有一个 选项符合题目要求. 1.已知 i 为虚数单位,复数 z=2i+ A. B. C. D.2 ) ,则复数 z 的模为( )

2.命题“所有实数的平方都是正数”的否定为( A.所有实数的平方都不是正

数 B.有的实数的平方是正数 C.至少有一个实数的平方是正数 D.至少有一个实数的平方不是正数

3.将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低分,7 个剩余分数的平均分为 91, 现场做的 9 个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以 x 表示:则 7 个剩余 分数的方差为( )

A.

B.

C.36

D.
x

4.已知集合 A={x∈R| <2 <8},B={x∈R|﹣1<x<m+1},若 x∈B 成立的一个充分不必要 的条件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是( A.m≥2 B.m≤2 C.m>2 D.﹣2<m<2 5.已知函数 f(x)=(1+cos2x)sin2x,x∈R,则 f(x)是( A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 C.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 的奇函数 的偶函数 ) )

6.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 若 A,B,C 成等差数列,2a,2b,3c 成 等比数列,则 cosAcosC=( A.0 B. C. D. )

1

7.已知△ABC 的外心 P 满足 A. B. C. D.

= (

+

),cosA=(



8.一只蚂蚁从正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点 A 处出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到 达顶点 C1 位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是( )

A.①② B.①③ C.③④ D.②④ 9.在[0,π ]上随机取一个数 x,则事件“2sin cos +cosx≥ A. B. C. D. ”发生的概率为( )

10.x、y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 7,

则 A.14

的最小值为( B.7 C.18

) D.13 ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P )

11.设 F1,F2 分别为双曲线

使得(|PF1|﹣|PF2|)2=b2﹣3ab,则该双曲线的离心率为( A. B. C.4 D.

12.定义:若函数 f(x)的图象经过变换 T 后所得图象对应函数的值域与 f(x)的值域相 同,则称变换 T 是 f(x)的同值变换.下面给出四个函数及其对应的变换 T,其中 T 不属于 f(x)的同值变换的是( )

A.f(x)=(x﹣1)2,T 将函数 f(x)的图象关于 y 轴对称 B.f(x)=2
x﹣1

﹣1,T 将函数 f(x)的图象关于 x 轴对称

C.f(x)=2x+3,T 将函数 f(x)的图象关于点(﹣1,1)对称 D. ,T 将函数 f(x)的图象关于点(﹣1,0)对称

2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知流程图如图所示,输出的 y 值 ,则输入的实数 x 值 .

14.若(2﹣x)

2015

=a0+a1x+a2x +?+a2015x

2

2015

,则
2

=



15.一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分,它的方程是 x =2y,y∈[0,10],在杯内放 入一个清洁球,要求清洁球能擦净酒杯的最底部(如图),则清洁球的最大半径 为 .

16.已知数列{an}为等差数列,若 am=a,an=b(n﹣m≥1,m,n∈N*),则 比上述结论, 对于等比数列{bn} 则可以得到 bm+n= .

.类

, 若 bm=c, bn=d (n﹣m≥2, m, n∈N*) ,

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数 f(x)= sinω x+ cosω x(ω >0)的周期为 π .

(Ⅰ)求 ω 的值,并在下面提供的坐标系中画出函数 y=f(x)在区间[0,π ]上的图象;
3

(Ⅱ)函数 y=f(x)的图象可由函数 y=sinx 的图象经过怎样的变换得到?

18. 星城投公司到当地“美丽中国”旅行社统计了 100 名来到该市旅游的旅客的去处, 发现 游览科技馆,博物馆、海底世界三个景点的人数依次为 40,50,60 人,且客人是否游览哪 个景点互不影响,如果用频率作为概率,Y 表示旅客离开该市时游览的景点数和没有游览的 景点数之差的绝对值. (Ⅰ)求 Y 的分布列及数学期望; (Ⅱ)记“函数 f(x)=x ﹣3Yx+1 在区间[2,+∞)上单调递增”为事件 A,试求事件 A 的 概率. 19.如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, EF 的中点. (1)求证 AM∥平面 BDE; (2)试在线段 AC 上确定一点 P,使得 PF 与 CD 所成的角是 60°. ,AF=1,M 是线段
2

20.已知圆 E 过定点 A(a,0)(a>0),圆心 E 在抛物线 C:y2=2ax 上运动,MN 为圆 E 在 y 轴上截得的弦. (Ⅰ)求证:不论圆心 E 如何变化,弦 MN 的长是个定值; (Ⅱ)O 为坐标原点,当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时,抛物线 C 的准线与圆 E 有怎样的 位置关系?请说明你的理由. 21.已知函数 f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0,a≠1). (Ⅰ)求函数 f(x)单调区间;
4

(Ⅱ)若存在 x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1(e 是自然对数的底数), 求实数 a 的取值范围.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修 4-1: 几何证明选讲] 22.如图,圆 O 是等边三角形 ABC 的外接圆,点 P 在劣弧 (Ⅰ)求证:CQ=AP; (Ⅱ)当点 P 是劣弧 的中点时,求 S△ABC 与 S△BPQ 的比值. 上,在 CP 的延长线上取 PQ=PB.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.选修 4﹣4:坐标系与参数方程 平面直角坐标系 xOy 中,点 A(2,0)在曲线 C1: ,(a>0,φ 为参数)上.以

原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为:ρ =acosθ (Ⅰ)求曲线 C2 的普通方程 (Ⅱ)已知点 M,N 的极坐标分别为(ρ 1,θ ),( ),若点 M,N 都在曲线

C1 上,求

+

的值.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知关于 x 的不等式|x﹣1|+|4﹣x|<m 的解集不是空集. (Ⅰ)求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f(m)=m+ 的最小值及对应的 m 的值.

5

2016 年湖南省郴州市高考数学三模试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出四个选项,只有一个 选项符合题目要求. 1.已知 i 为虚数单位,复数 z=2i+ A. B. C. D.2 ,则复数 z 的模为( )

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题;规律型;转化思想;定义法;数系的扩充和复数. 【分析】直接利用复数的代数形式混合运算,化简求解即可. 【解答】解:复数 z=2i+ 复数 z 的模为: 故选:B. 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算,考查计算能力. . =2i+ =2i+1﹣i=1+i.

2.命题“所有实数的平方都是正数”的否定为( A.所有实数的平方都不是正数 B.有的实数的平方是正数 C.至少有一个实数的平方是正数 D.至少有一个实数的平方不是正数 【考点】命题的否定. 【专题】阅读型.



【分析】原命题给出的是全称命题,全称命题的否定一定是特称命题. 【解答】解:∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”, ∴命题“所有实数的平方都是正数”的否定是: “至少有一个实数的平方不是正数”. 故选 D.

6

【点评】 命题的否定即命题的对立面. “全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的 表述.如“对所有的?都成立”与“至少有一个?不成立”;“都是”与“不都是”等,所 以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”,“存在性命题”的否定一定是“全称命 题”.

3.将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低分,7 个剩余分数的平均分为 91, 现场做的 9 个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以 x 表示:则 7 个剩余 分数的方差为( )

A.

B.

C.36

D.

【考点】茎叶图;极差、方差与标准差. 【专题】概率与统计. 【分析】根据题意,去掉两个数据后,得到要用的 7 个数据,先根据这组数据的平均数,求 出 x,再用方差的个数代入数据和平均数,做出这组数据的方差. 【解答】解:∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后, 所剩数据的数据是 87,90,90,91,91,94,90+x. ∴这组数据的平均数是 ∴这这组数据的方差是 (16+1+1+0+0+9+9)= 故选:B. 【点评】本题考查茎叶图,当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个 有效数字, 两边的数字表示个位数, 在刻画样本数据的分散程度上, 方差和标准差是一样的, 但在解决实际问题时,一般多采用标准差. . =91,∴x=4.

4.已知集合 A={x∈R| <2x<8},B={x∈R|﹣1<x<m+1},若 x∈B 成立的一个充分不必要 的条件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是( A.m≥2 B.m≤2 C.m>2 D.﹣2<m<2 【考点】子集与真子集. )

7

【专题】计算题. 【分析】先化简集合,再由 x∈B 成立的一个充分不必要的条件是 x∈A,A 是 B 的一个子集 求解. 【解答】解:A={x∈R| <2x<8}={x|﹣1<x<3}, ∵x∈B 成立的一个充分不必要条件是 x∈A, ∴A?B, ∴m+1>3,即 m>2. 故选 C 【点评】本题主要通过简易逻辑来考查集合间的关系.

5.已知函数 f(x)=(1+cos2x)sin2x,x∈R,则 f(x)是( A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 C.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 的奇函数 的偶函数



【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 【分析】用二倍角公式把二倍角变为一倍角,然后同底数幂相乘公式逆用,变为二倍角正弦 的平方,再次逆用二倍角公式,得到能求周期和判断奇偶性的表示式,得到结论. 【解答】解:∵f(x)=(1+cos2x)sin x=2cos xsin x= sin 2x= 故选 D. 【点评】通过应用公式进行恒等变形,在不断提高学生恒等变形能力的同时,让学生初步认 识形式和内容的辩证关系.掌握两角和、两角差、二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式, 并运用这些公式以及三角函数的积化和差与和差化积等公式化简三角函数式、 求某些角的三 角函数值,证明三角恒等式等.
2 2 2 2

=



6.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 若 A,B,C 成等差数列,2a,2b,3c 成 等比数列,则 cosAcosC=( A.0 B. C. D. )

【考点】数列与三角函数的综合. 【专题】计算题;规律型;转化思想;等差数列与等比数列;解三角形.
8

【分析】由等比数列和正弦定理可得 sin B=sinAsinC,进而利用两角和的余弦函数化简,代 已知数据计算即可; 【解答】 解: 由题意可得 A, B, C 成等差数列, 可得 B=60°, 2a, 2b, 3c 成等比数列, 2b2=3ac, 由正弦定理可得 =3sinAsinC,∴sinAsinC= ∴cos(A+C)=cosAcosC﹣sinAsinC, ∵﹣ =cosAcosC﹣ ,∴cosAcosC=0, 故选:A. 【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式,涉及等比数列和正弦定理,属中档题.

2

7.已知△ABC 的外心 P 满足 A. B. C. D.

= (

+

),cosA=(



【考点】余弦定理. 【专题】平面向量及应用. 【分析】取 BC 得中点为 D,连接 AD,PD,先表示出 出三角形为等腰三角形,进而根据 cosA 可得. 【解答】解:取 BC 得中点为 D,连接 AD,PD 则 又 = = ( + ),可得 = = , + ,由 ? = + =( = + + + )?( , ﹣ )=0,可得 和 ,通过 ? =0 求得 = ,判断

的关系,判断出三角形为正三角形,求得 A,则

,又因向量

∴P 又是重心, ∴三角形为正三角形, ∴∠A=60°, ∴cosA= , 故选 A. 【点评】本题主要考查了向量的数量积的运算.注意数形结合思想的运用.

9

8.一只蚂蚁从正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点 A 处出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到 达顶点 C1 位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是( )

A.①② B.①③ C.③④ D.②④ 【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】根据空间几何体的三视图的画法结合正方体判断分析.

【解答】解:

①中线段为虚线, ②正确, ③中线段为实线, ④正确, 故选:D 【点评】本题考查了空间几何体的三视图的画法,属于中档题,空间想象能力.

9.在[0,π ]上随机取一个数 x,则事件“2sin cos +cosx≥ A. B. C. D.

”发生的概率为(



【考点】几何概型. 【专题】数形结合;转化法;概率与统计. 【分析】先化简不等式,确定满足 sin(x+ 何概型利用长度之比可得结论. 【解答】解:∵2sin cos +cosx≥ , )≥ 且在区间[0,π ]内 x 的范围,根据几

10

即 sinx+cosx≥ 即 sin(x+

, )≥ , ∈[ , ], )≥ 时, ,

∴sin(x+

)≥

又∵x∈[0,π ],∴x+ ∴在区间[ x+ ∈[ , ,

]内,满足 sin(x+ ],

∴在区间[0,π ]内,满足 sin(x+ x∈[ , ];

)≥

时,

∴事件“2sin cos +cosx≥

”发生的概率为

P= 故选:B.

= .

【点评】本题考查了几何概型与三角函数的图象与性质的应用问题,是综合性题目.

10.x、y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 7,

则 A.14

的最小值为( B.7 C.18

) D.13

【考点】基本不等式;简单线性规划. 【专题】计算题. 【分析】作出可行域,得到目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最优解,从而得到 3a+4b=7, 利用基本不等式即可.

【解答】解:∵x、y 满足约束条件

,目标函数 z=ax+by(a>0,b>0),作出

可行域:
11

由图可得,可行域为△ABC 区域,目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)经过可行域内的点 C 时, 取得最大值(最优解). 由 解得 x=3,y=4,即 C(3,4),

∵目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 7, ∴3a+4b=7(a>0,b>0), ∴ = (3a+4b)?( +16+ ) )= ×49=7(当且仅当 a=b=1 时取“=”).

= (9+ 故选 B.

)≥ (25+2

【点评】本题考查线性规划,作出线性约束条件下的可行域,求得其最优解是关键,也是难 点,属于中档题.

11.设 F1,F2 分别为双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P )

使得(|PF1|﹣|PF2|)2=b2﹣3ab,则该双曲线的离心率为( A. B. C.4 D.

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据(|PF1|﹣|PF2|)2=b2﹣3ab,由双曲线的定义可得(2a)2=b2﹣3ab,求得 a= , c= = b,即可求出双曲线的离心率.

【解答】解:∵(|PF1|﹣|PF2|)2=b2﹣3ab,
12

∴由双曲线的定义可得(2a) =b ﹣3ab, ∴4a2+3ab﹣b2=0, ∴a= , ∴c= ∴e= = 故选:D. 【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质,考查学生的计算能力,属于基础题. = . b,

2

2

12.定义:若函数 f(x)的图象经过变换 T 后所得图象对应函数的值域与 f(x)的值域相 同,则称变换 T 是 f(x)的同值变换.下面给出四个函数及其对应的变换 T,其中 T 不属于 f(x)的同值变换的是(
2



A.f(x)=(x﹣1) ,T 将函数 f(x)的图象关于 y 轴对称 B.f(x)=2x﹣1﹣1,T 将函数 f(x)的图象关于 x 轴对称 C.f(x)=2x+3,T 将函数 f(x)的图象关于点(﹣1,1)对称 D. 【考点】函数的图象. 【专题】计算题;新定义. 【分析】对于 A:T 是将函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,此变换不改变函数的值域;对于 B:f(x)=2
x﹣1

,T 将函数 f(x)的图象关于点(﹣1,0)对称

﹣1,其值域为(﹣1,+∞),将函数 f(x)的图象关于 x 轴对称,得到的

函数解析式是 y=﹣2x﹣1+1,再求出其值域即可进行判断;对于 C:f(x)=2x+3,T 将函数 f (x)的图象关于点(﹣1,1)对称,得到的函数解析式是 2﹣y=2(﹣2﹣x)+3,即 y=2x+3, 它们是同一个函数;对于 D: 0)对称,得到的函数解析式是 y= 得出答案. 【解答】解:对于 A:T 是将函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,此变换不改变函数的值域, 故 T 属于 f(x)的同值变换; 对于 B:f(x)=2x﹣1﹣1,其值域为(﹣1,+∞),将函数 f(x)的图象关于 x 轴对称,得 到的函数解析式是 y=﹣2x﹣1+1,值域为(1,+∞),T 不属于 f(x)的同值变换;
13

,T 将函数 f(x)的图象关于点(﹣1, ,它们的值域都为[﹣1,1],从而

对于 C:f(x)=2x+3,T 将函数 f(x)的图象关于点(﹣1,1)对称,得到的函数解析式 是 2﹣y=2(﹣2﹣x)+3,即 y=2x+3,它们是同一个函数,故 T 属于 f(x)的同值变换; 对于 D: 函数解析式是 y= 变换; 故选 B. 【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数的图象、函数的图象变换等基础知识,考 查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于基础题. ,T 将函数 f(x)的图象关于点(﹣1,0)对称,得到的 ,它们的值域都为[﹣1,1],故 T 属于 f(x)的同值

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知流程图如图所示,输出的 y 值 ,则输入的实数 x 值 ﹣2 .

【考点】程序框图. 【专题】计算题;图表型;分类讨论;算法和程序框图. 【分析】 算法的功能是求 y= 时的 x 值即可得解. 【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求 y= 的值, 的值, 分当 x≥0 时和当 x<0 时求得输出 y=

当 x≥0 时,y=(x+2)2= ? x=﹣ (舍去)或﹣ (舍去); 当 x<0 时,y=3x= ? x=﹣2,
14

故答案为:﹣2. 【点评】本题考查了选择结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是关键,属于基 础题.

14.若(2﹣x)2015=a0+a1x+a2x2+?+a2015x2015,则 【考点】二项式定理的应用. 【专题】转化思想;综合法;二项式定理.

=



【分析】 在所给的等式中, 令 x=1, 可得 a0+a1+a2+?+a2015 =1 ①, 再令 x=﹣1, 可得 a0﹣a1+a2+? ﹣a2015 =32015 ②,由①②求得 a0+a2+a4+?+a2014 和 a1+a3+a5+?+a2015 ,从而求得要求式子的值. 【解答】解:∵(2﹣x)
2015

=a0+a1x+a2x +?+a2015x

2

2015



令 x=1,可得 a0+a1+a2+?+a2015 =1 ①, 再令 x=﹣1,可得 a0﹣a1+a2+?﹣a2015 =3 由①+②可得 a0+a2+a4+?+a2014 =
2015

②,



由①﹣②可得 a1+a3+a5+?+a2015 =





=



故答案为:



【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式的系数和常 用的方法是赋值法,属于基础题.

15.一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分,它的方程是 x2=2y,y∈[0,10],在杯内放 入一个清洁球,要求清洁球能擦净酒杯的最底部(如图),则清洁球的最大半径为 1 .

15

【考点】圆与圆锥曲线的综合. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】设小球圆心(0,y0) 抛物线上点(x,y),求得点到球心距离 r 平方的表达式, 进而根据若 r 最小值在(0,0)时取到,则小球触及杯底,需 1﹣y0≥0 进而求得 r 的范围. 【解答】解:设小球圆心(0,y0) 抛物线上点(x,y) 点到圆心距离平方为: r =x +(y﹣y0) =2y+(y﹣y0) =y +2(1﹣y0)y+y0 若 r 最小值在(0,0)时取到,则小球触及杯底 故此二次函数的对称轴位置应在 y 轴的左侧,所以 1﹣y0≥0? y0≤1, 所以 0<r≤1,从而清洁球的半径 r 的范围为 0<r≤1 则清洁球的最大半径为 1 故答案为:1. 【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、抛物线的应用、圆与圆锥曲线的综合等基础知 识,考查运算求解能力,考查解决实际问题的能力、化归与转化思想.属于基础题.
2 2 2 2 2 2 2 2

16.已知数列{an}为等差数列,若 am=a,an=b(n﹣m≥1,m,n∈N*),则 比上述结论, 对于等比数列{bn}

.类

, 若 bm=c, bn=d (n﹣m≥2, m, n∈N*) ,

则可以得到 bm+n= 【考点】类比推理. 【专题】归纳猜想型.



16

【分析】通过等差数列的结论类比推理可得:若 bm=c,bn=d(n﹣m≥2,m,n∈N ),则可以 得到 bm+n= .

*

再利用等比数列的通项公式即可证明. 【解答】解:通过等差数列的结论类比推理可得:若 bm=c,bn=d(n﹣m≥2,m,n∈N ),则 可以得到 bm+n= .
*

证明如下:设等比数列的首项为 b1,公比为 q≠0.则





化为

,∴

=

=bm+n.

故答案为:



【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、类比推理,属于基础题.

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数 f(x)= sinω x+ cosω x(ω >0)的周期为 π .

(Ⅰ)求 ω 的值,并在下面提供的坐标系中画出函数 y=f(x)在区间[0,π ]上的图象; (Ⅱ)函数 y=f(x)的图象可由函数 y=sinx 的图象经过怎样的变换得到?

【考点】函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换;五点法作函数 y=Asin(ω x+φ )的图象. 【专题】作图题;图表型;数形结合;数形结合法;三角函数的图像与性质.

17

【分析】(Ⅰ)由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为 f(x)=sin(ω x+

),由

此根据周期为 π 求得 ω 的值.根据五点法,求出对应的五点,即可画出函数 y=f(x)在 区间[0,π ]上的图象. (Ⅱ)由条件利用函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,可得结论. 【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)= sinω x+ ∴T= =π ,解得:ω =2, ), cosω x=sin(ω x+ ),

∴f(x)=sin(2x+ 列表: x 2x+ sin(2x+ ) ﹣ 0 0

π 1 0 ﹣1

2π 0

描点得图象:

(Ⅱ)把 y=sinx 的图象向左平移

个单位,可得 y=sin(x+

)的图象; )的图象.

再把所得图象上的点的横坐标变为原来的 倍,可得 y=sin(2x+

【点评】本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的周期性,函数 y=Asin(ω x+φ )的图象 变换规律,考查了五点法作函数 y=Asin(ω x+φ )的图象,属于基础题.

18. 星城投公司到当地“美丽中国”旅行社统计了 100 名来到该市旅游的旅客的去处, 发现 游览科技馆,博物馆、海底世界三个景点的人数依次为 40,50,60 人,且客人是否游览哪
18

个景点互不影响,如果用频率作为概率,Y 表示旅客离开该市时游览的景点数和没有游览的 景点数之差的绝对值. (Ⅰ)求 Y 的分布列及数学期望; (Ⅱ)记“函数 f(x)=x2﹣3Yx+1 在区间[2,+∞)上单调递增”为事件 A,试求事件 A 的 概率. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【专题】概率与统计. 【分析】(1)分别记“客人游览科技馆”、“客人游览博物馆”、“客人游览海底世界” 为事件 A1、A2、A3,由已知 A1,A2,A3 相互独立,由题意 Y 的可能取值为 1,3,分别求出相 应的概率,由此能求出 Y 的分布列及数学期望. (Ⅱ)要使 f(x)在[2,+∞)上单调递增,当且仅不 A 的概率. 【解答】解:(1)∵星城投公司到当地“美丽中国”旅行社统计了 100 名来到该市旅游的 旅客的去处,发现游览科技馆,博物馆、海底世界三个景点的人数依次为 40,50,60 人, 分别记“客人游览科技馆”、“客人游览博物馆”、“客人游览海底世界”为事件 A1、A2、 A3,由已知 A1,A2,A3 相互独立, P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.6, Y 表示旅客离开该市时游览的景点数和没有游览的景点数之差的绝对值, ∴Y 的可能取值为 1,3, P(Y=3)=P(A1A2A3)+P( P(Y=1)=1﹣0.24=0.76, ∴Y 的分布列为: Y P 1 0.76 2 0.24 )=2×0.4×0.5×0.6=0.24, ,即 Y ,由此能求出事件

EY=1×0.76+2×0.24=1.24. (Ⅱ)∵函数 f(x)=x2﹣3Yx+1=(x﹣ ∴f(x)=x2﹣3Yx+1 在区间[ )2+1﹣ ,

)上单调递增, ,即 Y ,

要使 f(x)在[2,+∞)上单调递增,当且仅不

19

∴事件 A 的概率 P(A)=P(Y

)=P(Y=1)=0.76.

【点评】 本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法, 是中档题, 解题时要认真审题,注意对立事件概率计算公式的合理运用.

19.如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, EF 的中点. (1)求证 AM∥平面 BDE; (2)试在线段 AC 上确定一点 P,使得 PF 与 CD 所成的角是 60°.

,AF=1,M 是线段

【考点】用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面平行的判定. 【专题】空间角;空间向量及应用. 【分析】(1)由题意建立空间直角坐标系,利用向量平行得到线线平行,从而说明线面平 行; (2)设出线段 AC 上 P 点的坐标,由 PF 与 CD 所成的角是 60°,得到向量 的余弦值的绝对值等于 ,由此可求得 P 点的坐标. 【解答】(1)证明:如图建立空间直角坐标系.设 AC∩BD=N, 连结 NE,则 又 ∴ ∴ , . ,且 NE 与 AM 不共线, ,E(0,0,1)∴ , 与 所成的角

∴NE∥AM,又 NE? 平面 BDE,AM?平面 BDE, ∴AM∥平面 BDE. (2)设 P(t,t,0) 则 = , , = .

20

又∵



所成的角为 60°,∴



解之得



(舍去),

故点 P 为 AC 的中点时满足题意.

【点评】本题考查了直线与平面平行的判定,考查了直线与直线所成角的求法,解答的关键 是建立正确的右手系, 利用向量证明线面平行时, 最后要回归到直线与平面平行, 是中档题.

20.已知圆 E 过定点 A(a,0)(a>0),圆心 E 在抛物线 C:y2=2ax 上运动,MN 为圆 E 在 y 轴上截得的弦. (Ⅰ)求证:不论圆心 E 如何变化,弦 MN 的长是个定值; (Ⅱ)O 为坐标原点,当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时,抛物线 C 的准线与圆 E 有怎样的 位置关系?请说明你的理由. 【考点】圆与圆锥曲线的综合. 【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(Ⅰ)设圆心 E(x0,y0),且 =2ax0,圆 E 的半径 R=|AE|= ,由此能

证明不论圆心 E 如何变化,弦 MN 的长是个定值. (Ⅱ)设 M(0,y1),N(0,y2),在圆 E: 令 x=0,得 E 到抛物线准线距离 d= = 中,

,由|OA|是|OM|与|ON|的等差中项,得|OM|+|ON|=2a,由圆心 ≤a,得到抛物线 C 的准线与圆 E 相交. =2ax0, ,

【解答】证明:(Ⅰ)设圆心 E(x0,y0),且 圆 E 的半径 R=|AE|= ∴|MN|=2 =2 =

=2a(定值),

∴不论圆心 E 如何变化,弦 MN 的长是个定值 2a.
21

解: (Ⅱ)设 M(0,y1),N(0,y2),在圆 E: 令 x=0,得 ∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项, ∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a, 又|MN|=|y1﹣y2|=2a,∴|y1|+|y2|=|y1﹣y2|, ∴y1y2≤0,∴ 即 ≤0,∴0 ≤0, , ≤a, ,∴ ,

=

中,

圆心 E 到抛物线准线距离 d= 而圆 E 半径 R=

≥a,且上两式不能同时取等号,

故抛物线 C 的准线与圆 E 相交. 【点评】本题考查弦 MN 的长是个定值的证明,考查抛物线 C 的准线与圆 E 的位置关系的判 断,是中档题,解题时要认真审题,注意两点间距离公式、等差中项、圆的性质、抛物线性 质的合理运用.

21.已知函数 f(x)=a +x ﹣xlna(a>0,a≠1). (Ⅰ)求函数 f(x)单调区间; (Ⅱ)若存在 x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1(e 是自然对数的底数), 求实数 a 的取值范围. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 【专题】综合题;导数的综合应用. 【分析】(Ⅰ)求导数,利用导数的正负,可求函数 f(x)单调区间; (Ⅱ)f(x)的最大值减去 f(x)的最小值大于或等于 e﹣1,由单调性知,f(x)的最大 值是 f(1)或 f(﹣1),最小值 f(0)=1,由 f(1)﹣f(﹣1)的单调性,判断 f(1) 与 f(﹣1)的大小关系,再由 f(x)的最大值减去最小值 f(0)大于或等于 e﹣1 求出 a 的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)函数 f(x)的定义域为 R,f'(x)=a lna+2x﹣lna=2x+(a ﹣1)lna. 令 h(x)=f'(x)=2x+(ax﹣1)lna,h'(x)=2+axln2a, 当 a>0,a≠1 时,h'(x)>0,所以 h(x)在 R 上是增函数,?
22
x x

x

2

又 h(0)=f'(0)=0,所以,f'(x)>0 的解集为(0,+∞),f'(x)<0 的解集为(﹣ ∞,0), 故函数 f(x)的单调增区间为(0,+∞),单调减区间为(﹣∞,0)? (Ⅱ)因为存在 x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1 成立, 而当 x∈[﹣1,1]时|f(x1)﹣f(x2)|≤f(x)max﹣f(x)min, 所以只要 f(x)max﹣f(x)min≥e﹣1? 又因为 x,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示: x (﹣∞,0)0 0 (0,+∞) +

f'(x)﹣ f(x) 减函数

极小值增函数

所以 f(x)在[﹣1,0]上是减函数,在[0,1]上是增函数, 所以当 x∈[﹣1,1]时,f(x)的最小值 f(x)min=f(0)=1, f(x)的最大值 f(x)max 为 f(﹣1)和 f(1)中的最大值.? 因为 令 所以 ,因为 在 a∈(0,+∞)上是增函数. , ,

而 g(1)=0,故当 a>1 时,g(a)>0,即 f(1)>f(﹣1); 当 0<a<1 时,g(a)<0,即 f(1)<f(﹣1)? 所以,当 a>1 时,f(1)﹣f(0)≥e﹣1,即 a﹣lna≥e﹣1, 而函数 y=a﹣lna 在 a∈(1,+∞)上是增函数,解得 a≥e; 当 0<a<1 时,f(﹣1)﹣f(0)≥e﹣1,即 上是减函数,解得 . .? ,函数 在 a∈(0,1)

综上可知,所求 a 的取值范围为

【点评】 本题考查了基本函数导数公式, 利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上 函数的最值.属于难题.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修 4-1: 几何证明选讲]
23

22.如图,圆 O 是等边三角形 ABC 的外接圆,点 P 在劣弧 (Ⅰ)求证:CQ=AP; (Ⅱ)当点 P 是劣弧 的中点时,求 S△ABC 与 S△BPQ 的比值.

上,在 CP 的延长线上取 PQ=PB.

【考点】与圆有关的比例线段. 【专题】综合题;立体几何. 【分析】(Ⅰ)证明△ABP≌△CBQ,可得 CQ=AP; (Ⅱ)设 AB=1,求出∠ABP=90°,∠APB=60°,可得 BP,利用 S△ABC:S△BPQ=AB :BP ,可得 结论. 【解答】(Ⅰ)证明:∵A,B,C,P 共圆,△ABC 为等边三角形, ∴∠QPB=∠BAC=60°,AB=BC? ∵PQ=PB,∴△QPB 为等边三角形, ∴∠Q=∠BPA=∠BCA=60°? ∴△ABP≌△CBQ? ∴CQ=AP;? (Ⅱ)解:设 AB=1, ∵点 P 是劣弧 的中点,AB=AC,
2 2

∴∠ABP=90°,∠APB=60°,? ∴ ,?
2 2

∴S△ABC:S△BPQ=AB :BP =3? 【点评】本题考查四点共圆,考查三角形全等的判断与运用,考查三角形面积的计算,属于 中档题.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.选修 4﹣4:坐标系与参数方程

24

平面直角坐标系 xOy 中,点 A(2,0)在曲线 C1:

,(a>0,φ 为参数)上.以

原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为:ρ =acosθ (Ⅰ)求曲线 C2 的普通方程 (Ⅱ)已知点 M,N 的极坐标分别为(ρ 1,θ ),( ),若点 M,N 都在曲线

C1 上,求

+

的值.

【考点】圆的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 【专题】计算题. 【分析】(Ⅰ)由点 A 在曲线 C1: ,(a>0,φ 为参数)上求出 a 的值,代入

ρ =acosθ 后化为普通方程可得曲线 C2 的普通方程; (Ⅱ)求出曲线 C1 的直角坐标方程,化点 M,N 的极坐标为直角坐标后代入曲线 C1 的直角坐 标方程,整理后即可得到 + 的值.

【解答】解:(Ⅰ)∵点 A(2,0)在曲线 C1 上,∴ ∵a>0,∴a=2,∴ρ =2cosθ . 由 ,得(x﹣1)2+y2=1.
2 2



所以曲线 C2 的普通方程为(x﹣1) +y =1; (Ⅱ)由(Ⅰ)得曲线 C1: 的普通方程为 .

由题意得点 M,N 的直角坐标分别为(ρ 1cosθ ,ρ 1sinθ ), . ∵点 M,N 在曲线 C1 上, ∴ , .



+

=

= .

【点评】本题考查了圆的参数方程,简单曲线的极坐标方程,考查了数学转化与化归的思想 方法,训练了三角函数的诱导公式.本题出现最多的问题是计算上的问题,是中档题.

25

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知关于 x 的不等式|x﹣1|+|4﹣x|<m 的解集不是空集. (Ⅰ)求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f(m)=m+ 的最小值及对应的 m 的值.

【考点】基本不等式在最值问题中的应用. 【专题】转化思想;分析法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】(Ⅰ)由|x﹣1|+|4﹣x|≥|(x﹣1)+(4﹣x)|=3,可得最小值 3,由题意可得 m >(|x﹣1|+|4﹣x|)min,即可得到 m 的范围; (Ⅱ)由 m﹣3>0,可得 f(m)=(m﹣3)+ +3= + + +3,

再由三元基本不等式,计算即可得到所求最小值及 m 的值. 【解答】解:(Ⅰ)由|x﹣1|+|4﹣x|≥|(x﹣1)+(4﹣x)|=3, 当(x﹣1)(4﹣x)≥0,即 1≤x≤4 时,取得最小值 3. 由不等式|x﹣1|+|4﹣x|<m 的解集不是空集, 可得 m>(|x﹣1|+|4﹣x|)min, 即为 m>3. 可得 m 的取值范围(3,+∞); (Ⅱ)函数 f(m)=m+ (m>3),

由 m﹣3>0,可得 f(m)=(m﹣3)+

+3

=

+

+

+3

≥3

+3=3+



当且仅当

=

,即 m=3+

,f(m)取得最小值 3+



26

【点评】本题考查绝对值不等式的性质及不等式有解的条件,考查函数的最值的求法,注意 运用三元均值不等式,考查运算能力,属于中档题.

27


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