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双曲线与直线


2.3.3

直线与双曲线

一.教学目标 1.掌握直线与双曲线的位置关系 2.掌握直线与双曲线相交的弦长公式 3.对比椭圆进一步研究中点等常见问题 二.知识解析 (一)直线与双曲线的位置关系 一般的,直线与双曲线的位置关系有四种 仅有一个公共点(相交) ,无公共点,有且只有一个公共点(相切) ,两个相异的公共点。 设直线 l: y=kx+m (m≠0) , 双曲线 C: - =1 (a> , b>0) , 由 -2mkx- - =0 (1) 当二次项系数 - =0 时,k=± ,此时直线 l 与双曲线的渐近线平行,所 以 l 与双曲线 C 相交,只有一个公共点,只有一个公共点 (2) 当二次项系数 - ≠0 时,则它的判别式△= -4ac,则 △>0 时,直线与双曲线相交于不同的两点 △=0 时,直线与双曲线相切与一点 △<0 时,直线与双曲线没有公共点 (二)直线与双曲线相交时的弦长公式 斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点(,) ,(,) ,由两点间距离公式 变形可得,| |= (k≠0) 注:当斜率 k 不存在时,可求出交点坐标,直接运算 三.例题讲解 例 1.直线 l 在双曲线 - =1 上截得的弦长为 4,其斜率为 2,求直线 l 在 y 轴上的截 距m


= + 消去 y, 得 ( - ) ? =

?



? ? =| - | + 或 | |=| - | +



例2

已知双曲线- =1,过点 P(1,1)能否作一条直线 l,与双曲线交于 A,B 两




点,且 P 是线段 AB 的中点?

例3

直线 l:y=kx+1 与双曲线 2-=1 的右支交于不同的两点 A,B (1) 求实数 k 的取值范围 (2) 是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若 存在,求出 k 的值,不存在则说明理由。

四.随堂练习 (1)过双曲线 - =1 的右焦点 ,倾斜角为 30°的直线交双曲线于 A,B 两点,则|AB|=




) 。△AF1B的周长为(

) 。

(2)直线 l 过点( ,0)且与双曲线-=2 仅有一个公共点,则这样的直线有 A 1条 B 2条 C 3条 D 4条

五.巩固提高 (一)选择题

(1)设双曲线的一个交点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条 渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为 A B C
+

D

+

(2) 已知双曲线 E 的中心为原点, F (3, 0) 是 E 的焦点, 过 F 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点,且 AB 的中点 N(-12,-15) ,则 E 的方程为 (3)设 , 分别为双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点。若在双曲线右支上


存在点 P,满足|P |=| |,且 到直线 P 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线 渐进线方程为 A 3x± 4y=0 B 3x± 5y=0 C 4x± 3y=0 D 5x± 4y=0 (4)设 O 为坐标原点, , 是双曲线 - =1(a>0,b>0)的焦点,若在双曲线上


存在点 P,满足∠ P =60°,|OP|= a,则该双曲线的渐近线方程为 A x± y=0 B x± y=0 C x± y=0 D x± y=0 (5)已知双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过 F 且斜率为 的直线交


C 于 A、B 两点,若 =4 ,则 C 的离心率为


A



B



C



D



(二)填空题 (6)方程 ? + - + + = 可化简为() (7)如图所示,ABCDEF 为正六边形,则以 F,C 为焦点,且经过 A、E、D、B 四点的双曲 线的离心率为() 。

(8)在双曲线-=1 的一支上有不同的三点 A(,) B( ,6) C(,)与 焦点 F 间的距离成等差数列,则+=() (9)已知点 P 是双曲线-=1(a> ,b>0)右支上的一点, 、 分别是双曲线的左右 焦点,I 为△P 的内心,则内心 I 的横坐标为定值() (10)求证 - =1(a> ,b>0)上任意一点到两条渐近线的距离之和为定值。




(11)-=1(a> ,b>0)的左右焦点分别为 (-C,0) 、 (C,0) ,若双曲线上存在 一点 P,使
∠ ∠



= ,求该双曲线离心率的取值范围。

(12)已知 A(3,1) F(2,0)在双曲线- =1 上求一点 P,使得|PA|+ |PF|的值最小,






并求出最小值

(13)已知双曲线 C: - =1,记 O 为坐标原点,过点 Q(0,2)的直线 L 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,若△OEF 的面积为 2 ,求直线 l 的方程。




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