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2015-2016学年浙江省温州中学高一(下)期末数学试卷(解析版)


2015-2016 学年浙江省温州中学高一(下)期末数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={2,3,4},B={2,4,6,8},C={(x,y)|x∈A,y∈B,且 logxy∈N*}, 则 C 中元素个数是( ) A.9 B.8 C.3 D.4 2.已知△A

BC 的内角 A,B,C 满足 sin2A+sin(A﹣B+C)=sin(C﹣A﹣B)+ ,面积 S 满足 1≤S≤2,记 a,b,c 分别为 A,B,C 所对的边,在下列不等式一定成立的是( A.bc(b+c)>8 B.ab(a+b)>16 C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24 )

3.若函数 f(x)=x2+ex﹣ (x<0)与 g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于 y 轴对称的点, 则 a 的取值范围是( A. (﹣ ) ) B. ( ) C. ( ) D. ( )

4.函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移 的一个可能的值为( A. B. C.0 ) D.

个单位后,得到一个偶函数的图象,则 φ

5.在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点 A,B 满足| |=| |= ? 集{P| =λ +μ ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是( ) A. B. C. D. 6.下列说法正确的是( ) A.存在 α∈(0, ) ,使 sinα+cosα=

=2,则点

B.y=tanx 在其定义域内为增函数 C.y=cos2x+sin( D.y=sin|2x+ ﹣x)既有最大、最小值,又是偶函数

|的最小正周期为 π

7.如图,半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线 l1,l2 之间,l∥l1,l 与半圆 相交于 F,G 两点,与三角形 ABC 两边相交于 E,D 两点.设弧 的长为 x(0<x<π) , y=EB+BC+CD,若 l 从 l1 平行移动到 l2,则函数 y=f(x)的图象大致是( )

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A.

B.

C.

D.

8.在如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别为(0,0,2) , (2, 2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) ,给出的编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的 正视图和俯视图分别为( )

A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和② 9. 设等差数列{an}满足: =1,

公差 d∈(﹣1,0) .若当且仅当 n=9 时,数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值,则首项 a1 取 值范围是( ) A. ( , ) B. ( , ) C .[ , ] D.[ , ]

10.已知二次函数 f(x)=ax2+bx(|b|≤2|a|) ,定义 f1(x)=max{f(t)|﹣1≤t≤x≤1}, f2(x)=min{f(t)|﹣1≤t≤x≤1},其中 max{a,b}表示 a,b 中的较大者,min{a,b}表 示 a,b 中的较小者,下列命题正确的是( ) A.若 f1(﹣1)=f1(1) B.若 f2(﹣1)=f2(1) ,则 f(﹣1)>f(1) ,则 f(﹣1)>f (1) C.若 f2(1)=f1(﹣1) ,则 f1(﹣1)<f1(1) D.若 f2(1)=f1(﹣1) ,则 f2(﹣1)> f2(1) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分. 11.设 θ 为第二象限角,若 ,则 sinθ+cosθ= . .

12.若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3,则实数 a 的值为
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13.若 x,y 满足条件

,当且仅当 x=y=3 时,z=ax﹣y 取最小值,则实数 a

的取值范围是 . 14. 某医院为了提高服务质量, 对挂号处的排队人数进行了调查, 发现: 当还未开始挂号时, 有 N 个人已经在排队等候挂号;开始挂号后排队的人数平均每分钟增加 M 人.假定挂号的 速度是每个窗口每分钟 K 个人,当开放一个窗口时,40 分钟后恰好不会出现排队现象;若 同时开放两个窗口时,则 15 分钟后恰好不会出现排队现象.根据以上信息,若要求 8 分钟 后不出现排队现象,则需要同时开放的窗口至少应有 个. 15.在正项等比数列{an}中, ,a6+a7=3,则满足 a1+a2+…+an>a1a2…an 的最大正整数 =λ

n 的值为 . 16.已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°,点 E、F 分别在边 BC、DC 上, =μ .若 =1, ? =﹣ ,则 λ+μ= .



17.定义在非零实数集上的函数 f(x)满足 f(xy)=f(x)+f(y) ,且 f(x)在(0,+∞) 上单调递增,则不等式 的解集为 .

三、解答题:本大题共 4 小题,共 39 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a2+b2+ ab=c2. (1)求 C; (2)设 cosAcosB= , = ,求 tanα 的值.

19.已知圆 O:x2+y2=4 和点 M(1,a) , (1)若过点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切,求实数 a 的值,并求出切线方程; (2)若 ,过点 M 的圆的两条弦 AC.BD 互相垂直,求 AC+BD 的最大值. 20.已知数列{an}满足 a1=1,|an+1﹣an|=pn,n∈N*. (Ⅰ)若{an}是递增数列,且 a1,2a2,3a3 成等差数列,求 p 的值; (Ⅱ)若 p= ,且{a2n﹣1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{an}的通项公式. 21.设 a 为实数,设函数 (Ⅰ)设 t= (Ⅱ)求 g(a) ; (Ⅲ)试求满足 的所有实数 a. 的最大值为 g(a) . ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) ;

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2015-2016 学年浙江省温州中学高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={2,3,4},B={2,4,6,8},C={(x,y)|x∈A,y∈B,且 logxy∈N*}, 则 C 中元素个数是( ) A.9 B.8 C.3 D.4 【考点】对数的运算性质. 【分析】由对数的运算性质,分别讨论 x 取 2,3,4 时,能使 logxy∈N*的集合 B 中的 y 值, 得到构成点(x,y)的个数. 【解答】解:∵logxy∈N*, ∴x=2 时,y=2,或 4,或 8; x=4 时,y=4. ∴C 中共有(2,2) , (2,4) , (2,8) , (4,4)四个点. 即 C 中元素个数是 4. 故选:D

2.已知△ABC 的内角 A,B,C 满足 sin2A+sin(A﹣B+C)=sin(C﹣A﹣B)+ ,面积 S 满足 1≤S≤2,记 a,b,c 分别为 A,B,C 所对的边,在下列不等式一定成立的是( ) A.bc(b+c)>8 B.ab(a+b)>16 C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24 【考点】正弦定理的应用;二倍角的正弦. 【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式,利用不等式的性质 进行证明即可得到结论. 【解答】解:∵△ABC 的内角 A,B,C 满足 sin2A+sin(A﹣B+C)=sin(C﹣A﹣B)+ , ∴sin2A+sin2B=﹣sin2C+ , ∴sin2A+sin2B+sin2C= , ∴2sinAcosA+2sin(B+C)cos(B﹣C)= , 2sinA(cos(B﹣C)﹣cos(B+C) )= , 化为 2sinA[﹣2sinBsin(﹣C)]= , ∴sinAsinBsinC= . 设外接圆的半径为 R, 由正弦定理可得: =2R,

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由 S=

,及正弦定理得 sinAsinBsinC=

= ,

即 R2=4S, ∵面积 S 满足 1≤S≤2, ∴4≤R2≤8,即 2≤R≤ 由 sinAsinBsinC= 可得

, ,显然选项 C,D 不一定正确,

A.bc(b+c)>abc≥8,即 bc(b+c)>8,正确, B.ab(a+b)>abc≥8,即 ab(a+b)>8,但 ab(a+b)>16 故选:A

,不一定正确,

3.若函数 f(x)=x2+ex﹣ (x<0)与 g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于 y 轴对称的点, 则 a 的取值范围是( A. (﹣ ) ) B. ( ) C. ( ) D. ( )

【考点】函数的图象. 【分析】由题意可得 ex0﹣ ﹣ln(﹣x0+a)=0 有负根,函数 h(x)=ex﹣ ﹣ln(﹣x+a) 为增函数,由此能求出 a 的取值范围. 【解答】解:由题意可得: 存在 x0∈(﹣∞,0) ,满足 x02+ex0﹣ =(﹣x0)2+ln(﹣x0+a) , 即 ex0﹣ ﹣ln(﹣x0+a)=0 有负根, ∵当 x 趋近于负无穷大时,ex0﹣ ﹣ln(﹣x0+a)也趋近于负无穷大, 且函数 h(x)=ex﹣ ﹣ln(﹣x+a)为增函数, ∴h(0)=e0﹣ ﹣lna>0, ∴lna<ln , ∴a< , ∴a 的取值范围是(﹣∞, 故选:A

) ,

4.函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移 的一个可能的值为( A. B. C.0 ) D.

个单位后,得到一个偶函数的图象,则 φ

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

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【分析】利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换可得函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左 平移 个单位后的解析式,利用其为偶函数即可求得答案.

【解答】解:令 y=f(x)=sin(2x+φ) , 则 f(x+ ∵f(x+ ∴ )=sin[2(x+ )为偶函数, , )+φ]=sin(2x+ +φ) ,

+φ=kπ+

∴φ=kπ+

,k∈Z, . .

∴当 k=0 时,φ=

故 φ 的一个可能的值为 故选 B.

5.在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点 A,B 满足| |=| |= ? 集{P| =λ +μ ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是( ) A. B. C. D.

=2,则点

【考点】平面向量的基本定理及其意义;二元一次不等式(组)与平面区域;向量的模. 【分析】由两定点 A,B 满足 = =2,说明 O,A,B 三点构成边长为 2

的等边三角形,设出两个定点的坐标,再设出 P 点坐标,由平面向量基本定理,把 P 的坐 标用 A,B 的坐标及 λ,μ 表示,把不等式|λ|+|μ|≤1 去绝对值后可得线性约束条件,画出 可行域可求点集 P 所表示区域的面积. 【解答】解:由两定点 A,B 满足 )2= = =2, = ﹣ ,则| |2=(



﹣2

?

+

=4,则|

|=2,说明 O,A,B 三点构成边长为 2 的等

边三角形. 不妨设 A( 由

) ,B( ,得:

) .再设 P(x,y) . .

所以

,解得

①.

由|λ|+|μ|≤1.

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所以①等价于









可行域如图中矩形 ABCD 及其内部区域,

则区域面积为 故选 D. 6.下列说法正确的是( A.存在 α∈(0,





) ,使 sinα+cosα=

B.y=tanx 在其定义域内为增函数 C.y=cos2x+sin( D.y=sin|2x+ ﹣x)既有最大、最小值,又是偶函数

|的最小正周期为 π

【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】用分析法可得 A 不正确.通过举反例来可得 B 不正确.化简函数的解析式为 2 (cosx+ )2﹣ ,可得 C 正确.y=sin|2x+ |不是周期函数,故 D 不正确.

【解答】解:要使使 sinα+cosα= ,只要 1+2sinαcosα= ,即 sinαcosα=﹣ , 故 α 不可能满足 α∈(0, ) ,故 A 不正确.

由于当 x=0 时,tanx=0,当 x=π 时,也有 tanx=0,π>0,故 y=tanx 在其定义域内不是增 函数,故 B 不正确.
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由于 y=cos2x+sin( 函数 y 为偶函数.

﹣x)=2cos2x﹣1+cosx=2(cosx+ )2﹣ ,由于 cosx 为偶函数,故

当 cosx=1 时,y 取得最大值为 由于 y=sin|2x+ 故选:C.

,当 cosx=﹣ 时,y 取得最小值为﹣ ,故 C 正确.

|不是周期函数,故 D 不正确,

7.如图,半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线 l1,l2 之间,l∥l1,l 与半圆 相交于 F,G 两点,与三角形 ABC 两边相交于 E,D 两点.设弧 的长为 x(0<x<π) , y=EB+BC+CD,若 l 从 l1 平行移动到 l2,则函数 y=f(x)的图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】由题意可知:随着 l 从 l1 平行移动到 l2,y=EB+BC+CD 越来越大,考察几个特殊 的情况,计算出相应的函数值 y,结合考查选项可得答案. 【解答】解:当 x=0 时,y=EB+BC+CD=BC= 当 x=π 时,此时 y=AB+BC+CA=3× 当 x= 时,∠FOG= =2 ; , ;

,三角形 OFG 为正三角形,此时 AM=OH=

在正△AED 中,AE=ED=DA=1, ∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣(AE+AD)=3× 又当 x= 时,图中 y0= + (2 ﹣ )= ﹣2×1=2 >2 ﹣2.如图. ﹣2.

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故当 x= 故选 D.

时,对应的点(x,y)在图中红色连线段的下方,对照选项,D 正确.

8.在如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别为(0,0,2) , (2, 2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) ,给出的编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的 正视图和俯视图分别为( )

A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和② 【考点】简单空间图形的三视图. 【分析】在坐标系中,标出已知的四个点,根据三视图的画图规则,可得结论. 【解答】解:在坐标系中,标出已知的四个点,根据三视图的画图规则,可得三棱锥的正视 图和俯视图分别为④②, 故选:D.

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9. 设等差数列{an}满足:

=1,

公差 d∈(﹣1,0) .若当且仅当 n=9 时,数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值,则首项 a1 取 值范围是( ) A. ( , ) B. ( , ) C .[ , ] D.[ , ]

【考点】等差数列的通项公式. 【分析】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式,根据公差 d 的范围求出公差的值,代入前 n 项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项 a1 取值 范围. 【解答】解:由 =1,

得:







由积化和差公式得:



整理得: ∴sin(3d)=﹣1. ∵d∈(﹣1,0) ,∴3d∈(﹣3,0) , 则 3d= ,d=﹣ .





=



对称轴方程为 n=



由题意当且仅当 n=9 时,数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值, ∴ ∴首项 a1 的取值范围是 故选:B. ,解得: . .

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10.已知二次函数 f(x)=ax2+bx(|b|≤2|a|) ,定义 f1(x)=max{f(t)|﹣1≤t≤x≤1}, f2(x)=min{f(t)|﹣1≤t≤x≤1},其中 max{a,b}表示 a,b 中的较大者,min{a,b}表 示 a,b 中的较小者,下列命题正确的是( ) A.若 f1(﹣1)=f1(1) B.若 f2(﹣1)=f2(1) ,则 f(﹣1)>f(1) ,则 f(﹣1)>f (1) C.若 f2(1)=f1(﹣1) ,则 f1(﹣1)<f1(1) D.若 f2(1)=f1(﹣1) ,则 f2(﹣1)> f2(1) 【考点】二次函数的性质. 【分析】由新定义可知 f1(﹣1)=f2(﹣1)=f(﹣1) ,f(x)在[﹣1,1]上的最大值为 f1 1 f 1 A B D C ( ) ,最小值为 2( ) ,即可判断 , , 错误, 正确. 【解答】解:对于 A,若 f1(﹣1)=f1(1) ,则 f(﹣1)为 f(x)在[﹣1,1]上的最大值, ∴f(﹣1)>f(1)或 f(﹣1)=f(1) .故 A 错误; 对于 B,若 f2(﹣1)=f2(1) ,则 f(﹣1)是 f(x)在[﹣1,1]上的最小值, ∴f(﹣1)<f(1)或 f(﹣1)=f(1) ,故 B 错误; 对于 C,若 f2(1)=f1(﹣1) ,则 f(﹣1)为 f(x)在[﹣1,1]上的最小值, 而 f1(﹣1)=f(﹣1) ,f1(1)表示 f(x)在[﹣1,1]上的最大值, ∴f1(﹣1)<f1(1) .故 C 正确; 对于 D,若 f2(1)=f1(﹣1) ,由新定义可得 f1(﹣1)≥f2(﹣1) , 则 f2(1)≥f2(﹣1) ,故 D 错误. C 故选: . 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分. 11.设 θ 为第二象限角,若 ,则 sinθ+cosθ= ﹣ .

【考点】两角和与差的正切函数;同角三角函数间的基本关系. 【分析】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简,求出 tanθ 的值,再根据 θ 为第二象限角,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinθ 与 cosθ 的值,即 可求出 sinθ+cosθ 的值. 【解答】解:∵tan(θ+ ∴tanθ=﹣ , 而 cos2θ= ∵θ 为第二象限角, ∴cosθ=﹣ =﹣ ,sinθ= = , )= = ,

=



则 sinθ+cosθ= 故答案为:﹣



=﹣



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12.若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3,则实数 a 的值为 ﹣4 或 8 . 【考点】绝对值三角不等式. 【分析】本题可分类讨论,将原函数转化为分段函数,现通过其最小值,求出参数 a 的值. 【解答】解: (1)当 ,即 a<2 时,



∴f(x)在区间(﹣∞, 当 时取最小值.

)上单调递减,在区间[﹣ ,+∞)上单调递增,

∵函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3, ∴ ∴a=﹣4. (2)当 ,即 a>2 时, .



∴f(x)在区间(﹣∞, 当 时取最小值.

)上单调递减,在区间[﹣ ,+∞)上单调递增,

∵函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3, ∴ ∴a=8. (3)当 ,即 a=2 时, .

f(x)=3|x+1|≥0,与题意不符. 综上,a=﹣4 或 a=8. 故答案为:a=﹣4 或 a=8.

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13.若 x,y 满足条件

,当且仅当 x=y=3 时,z=ax﹣y 取最小值,则实数 a

的取值范围是 (﹣ , ) . 【考点】简单线性规划. 【分析】先画出可行域,根据题中条件目标函数 z=ax﹣y (其中 a>0) ,在(3,3)处取得 最大值得到目标函数所在位置,求出其斜率满足的条件即可求出 a 的取值范围

【解答】解:条件

对应的平面区域如图:

因为目标函数 z=ax﹣y (其中 a>0) ,仅在(3,3)处取得最小值, 令 z=0 得 ax﹣y=0, 所以直线 ax﹣y=0 的极限位置应如图所示,

故其斜率 k=a 需满足

? ﹣ <a< .

故答案为: (﹣ , ) .

14. 某医院为了提高服务质量, 对挂号处的排队人数进行了调查, 发现: 当还未开始挂号时, 有 N 个人已经在排队等候挂号;开始挂号后排队的人数平均每分钟增加 M 人.假定挂号的 速度是每个窗口每分钟 K 个人,当开放一个窗口时,40 分钟后恰好不会出现排队现象;若 同时开放两个窗口时,则 15 分钟后恰好不会出现排队现象.根据以上信息,若要求 8 分钟 后不出现排队现象,则需要同时开放的窗口至少应有 4 个. 【考点】进行简单的合情推理. 【分析】根据题意,构造关于 M,N 的方程组,表示 M,N,K 的关系,进而由 8 分钟后不 出现排队现象,可得不等式,由此可得结论. 【解答】解:设要同时开放 x 个窗口才能满足要求,
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由(1) 、 (2)得 K=2.5M,N=60M, 代入(3)得 60M+8M≤8×2.5Mx, 解得:x≥3.4, 故至少同时开放 4 个窗口才能满足要求. 故答案为:4

15.在正项等比数列{an}中,

,a6+a7=3,则满足 a1+a2+…+an>a1a2…an 的最大正整数

n 的值为 12 . 【考点】等比数列的前 n 项和;一元二次不等式的解法;数列的函数特性;等差数列的前 n 项和. 【分析】设正项等比数列{an}首项为 a1,公比为 q,由题意可得关于这两个量的方程组,解 之可得数列的通项公式和 a1+a2+…+an 及 a1a2…an 的表达式,化简可得关于 n 的不等式,解之 可得 n 的范围,取上限的整数部分即可得答案. 【解答】解:设正项等比数列{an}首项为 a1,公比为 q, 由题意可得 ,解之可得:a1= ,q=2,

故其通项公式为 an= 记 Tn=a1+a2+…+an=

=2n﹣6.

=



Sn=a1a2…an=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6= 由题意可得 Tn>Sn,即 化简得:2n﹣1> 因此只须 n> 解得 <n< > ,即 2n﹣ ,即 n2﹣13n+10<0 , ,



>1,

由于 n 为正整数,因此 n 最大为 故答案为:12

的整数部分,也就是 12.

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16.已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°,点 E、F 分别在边 BC、DC 上, =μ .若 =1, ? =﹣ ,则 λ+μ= .





【考点】平面向量数量积的运算;平面向量的基本定理及其意义. 【分析】利用两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义,由 ? =1,求得 4λ+4μ﹣2λμ=3 ①;再由 ? =﹣ ,求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣ ②.结合①②

求得 λ+μ 的值. 【解答】解:由题意可得若 ? =( + )?( + ) , = ? + ? + ? + ? =2×2×cos120°+ ?μ +λ ? +λ ?μ =﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120° =4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1, ∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①. ? =﹣ ?(﹣ )= ? =(1﹣λ) ?(1﹣μ) =(1﹣λ) ?(1﹣μ) =(1﹣λ) (1﹣μ)×2×2×cos120°=(1﹣λ﹣μ+λμ) (﹣2)=﹣ , 即﹣λ﹣μ+λμ=﹣ ②. 由①②求得 λ+μ= , 故答案为: .

17.定义在非零实数集上的函数 f(x)满足 f(xy)=f(x)+f(y) ,且 f(x)在(0,+∞) 上单调递增,则不等式 的解集为 [﹣1,0)∪(0,2]∪[3,5)∪

(5,6] . 【考点】抽象函数及其应用. 【分析】首先判断出函数 f(x)定义在非零实数集上的偶函数,再将抽象不等式利用函数 单调性转化成具体不等式﹣1≤ x(x﹣5)≤1 去解. 【解答】解:在 f(xy)=f(x)+f(y)中, 令 x=y=1,得 f(1)=2f(1) ,f(1)=0, 令 x=y=﹣1,得 f(1)=2f(﹣1) ,f(﹣1)=0 令 y=﹣1,得 f(﹣x)=f(x)+f(﹣1)=f(x) , 函数 f(x)定义在非零实数集上的 偶函数.
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不等式

可以化为 f[ x(x﹣5)]≤f(1 ) ,﹣1≤ x(x﹣5)≤1. ,

﹣6≤x(x﹣5)≤6.且 x≠0,x﹣5≠0. 在坐标系内,如图函数 y=x(x﹣5)图象与 y=6,y=﹣6 两直线.

由图可得 x∈[﹣1,0)∪(0,2]∪[3,5)∪(5,6] 故答案为:[﹣1,0)∪(0,2]∪[3,5)∪(5,6] 三、解答题:本大题共 4 小题,共 39 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a2+b2+ ab=c2. (1)求 C; (2)设 cosAcosB= , = ,求 tanα 的值.

【考点】余弦定理;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的余弦函数. 【分析】 (1)利用余弦定理表示出 cosC,将已知等式变形后代入求出 cosC 的值,由 C 为三 角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出 C 的度数; (2)已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简,再利用同角三角函数 间的基本关系弦化切,利用多项式乘多项式法则计算,由 A+B 的度数求出 sin(A+B)的值, 进而求出 cos(A+B)的值,利用两角和与差的余弦函数公式化简 cos(A+B) ,将 cosAcosB 的值代入求出 sinAsinB 的值, 将各自的值代入得到 tanα 的方程, 求出方程的解即可得到 tanα 的值. 【解答】解: (1)∵a2+b2+ ab=c2,即 a2+b2﹣c2=﹣ ab, ∴由余弦定理得:cosC= 又 C 为三角形的内角, 则 C= ; = =﹣ ,

(2)由题意

=

=



∴(cosA﹣tanαsinA) (cosB﹣tanαsinB)=



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即 tan2αsinAsinB﹣tanα(sinAcosB+cosAsinB)+cosAcosB=tan2αsinAsinB﹣tanαsin(A+B) +cosAcosB= ∵C= , ,cosAcosB= , ﹣sinAsinB= , 即 sinAsinB= ,

,A+B=

= ∴sin (A+B) ∴ tan2α﹣

cos =cosAcosB﹣sinAsinB= , (A+B) tanα+ =

,即 tan2α﹣5tanα+4=0,

解得:tanα=1 或 tanα=4. 19.已知圆 O:x2+y2=4 和点 M(1,a) , (1)若过点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切,求实数 a 的值,并求出切线方程; (2)若 ,过点 M 的圆的两条弦 AC.BD 互相垂直,求 AC+BD 的最大值. 【考点】圆的切线方程;直线和圆的方程的应用. 【分析】本题考查的是圆的切线方程,即直线与圆方程的应用. (1)要求过点 M 的切线方 程,关键是求出切点坐标,由 M 点也在圆上,故满足圆的方程,则易求 M 点坐标,然后代 入圆的切线方程,整理即可得到答案. (2)由于直线 AC、BD 均过 M 点,故可以考虑设两 个直线的方程为点斜式方程, 但由于点斜式方程不能表示斜率不存在的情况, 故要先讨论斜 0 率不存在和斜率为 的情况,然后利用弦长公式,及基本不等式进行求解. 【解答】解: (1)由条件知点 M 在圆 O 上, 2 ∴1+a =4 ∴a=± 当 a= 时,点 M 为(1, =﹣ ) ,kOM= (x﹣1) ,

此时切线方程为:y﹣ 即:x+ 当 a=﹣ y﹣4=0

时,点 M 为(1,﹣ =

) ,kOM=﹣



此时切线方程为:y+

(x﹣1)

即:x﹣ y﹣4=0 ∴所求的切线方程为:x+ y﹣4=0 或即:x﹣ y﹣4=0 (2)当 AC 的斜率为 0 或不存在时,可求得 AC+BD=2( 当 AC 的斜率存在且不为 0 时, 设直线 AC 的方程为 y﹣ =k(x﹣1) , 直线 BD 的方程为 y﹣ 由弦长公式 l=2 = (x﹣1) ,

+



可得:AC=2

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BD=2

∵AC2+BD2=4(

+

)=20

∴(AC+BD)2=AC2+BD2+2AC×BD≤2(AC2+BD2)=40 故 AC+BD≤2 即 AC+BD 的最大值为 2 20.已知数列{an}满足 a1=1,|an+1﹣an|=pn,n∈N*. (Ⅰ)若{an}是递增数列,且 a1,2a2,3a3 成等差数列,求 p 的值; (Ⅱ)若 p= ,且{a2n﹣1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{an}的通项公式. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (Ⅰ)根据条件去掉式子的绝对值,分别令 n=1,2 代入求出 a2 和 a3,再由等差中 项的性质列出关于 p 的方程求解,利用“{an}是递增数列”对求出的 p 的值取舍; (Ⅱ)根据数列的单调性和式子“|an+1﹣an|=pn”、不等式的可加性,求出 和 a2n+1﹣a2n= ,再对数列{an}的项数分类讨论,利用累加法

和等比数列前 n 项和公式,求出数列{an}的奇数项、偶数项对应的通项公式,再用分段函数 的形式表示出来. 【解答】解: (Ⅰ)∵数列{an}是递增数列,∴an+1﹣an>0, 则|an+1﹣an|=pn 化为:an+1﹣an=pn, 分别令 n=1,2 可得,a2﹣a1=p, 即 a2=1+p, , ,

∵a1,2a2,3a3 成等差数列,∴4a2=a1+3a3, 即 4(1+p)=1+3(p2+p+1) , 化简得 3p2﹣p=0,解得 或 0,

当 p=0 时,数列 an 为常数数列,不符合数列{an}是递增数列, ∴ ; , ,

(2)由题意可得,|an+1﹣an|= 则|a2n﹣a2n﹣1|=

,|a2n+2﹣a2n+1|=

∵数列{a2n﹣1}是递增数列,且{a2n}是递减数列, ∴a2n+1﹣a2n﹣1>0,且 a2n+2﹣a2n<0, 则﹣(a2n+2﹣a2n)>0,两不等式相加得 a2n+1﹣a2n﹣1﹣(a2n+2﹣a2n)>0,即 a2n+1﹣a2n+2>a2n﹣1﹣a2n,

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又∵|a2n﹣a2n﹣1|= ∴a2n﹣a2n﹣1>0,即

>|a2n+2﹣a2n+1|= ,



同理可得:a2n+3﹣a2n+2>a2n+1﹣a2n,即|a2n+3﹣a2n+2|<|a2n+1﹣a2n|, 则 a2n+1﹣a2n= 当数列{an}的项数为偶数时,令 n=2m(m∈N*) , , 这 2m﹣1 个等式相加可得, , ,…, ,

=

=







当数列{an}的项数为奇数时,令 n=2m+1(m∈N*) , 这 2m 个等式相加可得, , ,…, … ﹣ , …+

=



=



则 故

,且当 m=0 时 a1=1 符合, ,

综上得,



21.设 a 为实数,设函数 (Ⅰ)设 t= (Ⅱ)求 g(a) ;
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的最大值为 g(a) . ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) ;

(Ⅲ)试求满足 【考点】函数最值的应用. 【分析】 (I) (II)求 g(a)即求函数 数求最值的方法进行. (III)要求满足

的所有实数 a.

先求定义域,再求值域.由

转化. 的最大值.严格按照二次函

的所有实数 a,则必须应用 g(a)的解析式,它是分段函数,

必须分情况选择解析式进行求解. 【解答】解: (I) 要使有 t 意义,必须 1+x≥0 且 1﹣x≥0,即﹣1≤x≤1, ∴ t 的取值范围是 由①得 ∴m(t)=a( )+t= . ,t≥0①

(II)由题意知 g(a)即为函数 注意到直线 是抛物线 的对称轴,

的最大值.

分以下几种情况讨论. (1)当 a>0 时,函数 y=m(t) , 由 <0 知 m(t)在

的图象是开口向上的抛物线的一段, .上单调递增,

∴g(a)=m(2)=a+2 (2)当 a=0 时,m(t)=t, ∴g(a)=2. (3)当 a<0 时,函数 y=m(t) , 若 若 若 ,即 ,即 ,即 则

, 的图象是开口向下的抛物线的一段,

则 则 g(a)=m(2)=a+2

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综上有

(III)情形 1:当 a<﹣2 时 此时 由 情形 2:当 此时 解得, 情形 3:当 此时 所以 情形 4:当 此时 解得 情形 5:当 此时 g(a)=a+2, 由 解得 , 时, , 矛盾. , 时, , 与 矛盾. , , ,



,与 a<﹣2 矛盾. 时,

时,

, ,



矛盾.

情形 6:当 a>0 时, 此时 g(a)=a+2, 由 综上知,满足

,由 a>0 得 a=1. 的所有实数 a 为:
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,或 a=1

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2016 年 8 月 25 日

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