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2013年高中数学竞赛辅导试题:指数函数与对数函数


第 3 节指数函数、对数函数
. 指数函数 y=a 与对数函数 y= log a x ,( a ? 0, a ? 1 )是互为反函数即 a x ? b ? x ? log a b
x

它是实现指数式与对数式相互转换的桥梁。 a>1 时, 当 两个函数在定义域内都递增; 0<a<1 当 时,两个函数在定义域内都递减。 [举

例 1]光线透过一块玻璃板,其强度要减弱

1 1 ,要使光线的强度减弱到原来的 以下,至 10 3 9 a ,透过 n 块玻璃板后其 10

少需要这样的玻璃板块。 (参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771) 解析:记光线原来的强度为 a ,透过一块玻璃板后其强度变为 强度变为: (

lg 3 9 n 9 1 9 1 ≈ ) a ,则 ( ) n a < a ,即 ( ) n < , ? n (2lg3-1)<-lg3 ? n ? 1 ? 2 lg 3 10 10 3 10 3

10.4,(注意:2lg3-1<0),∴ n =11.

2 ? 1 ,则 a 的取值范围是() 3 2 2 (A) (0, ) ? (1,+ ? ) (B) ( ,+ ? ) 3 3 2 2 2 (C) ( ,1 ) (D) (0, ) ? ( ,+ ? ) 3 3 3 2 2 2 解析:若 a>1,则 <a,∴a>1;若 0<a<1,则 >a, ∴0<a< ;综上,选 A。 (本题中视 1 为 3 3 3
[举例 2] loga logaa 是化“数”为“对数”的通法) 。 [巩固] 若 3 ? 0.618, a ? ?k , k ? 1? , k ? Z ,则 k =__________。
a

[提高] 方程 x+lgx=3,x+10 =3 的解分别为 x1,x2,则 x1+x2=____________ 3.关注对数函数的定义域,特别是在解对数不等式(留意对数变形的等价性)和研究对数 函数的单调性(函数有意义才谈得上增减)时。 [举例 1]函数 f(x)的图像与函数 g(x)=( 减区间为( ) (A) (0,1) (B)[1,+ ? ]

x

1 x 2 ) 的图像关于直线 y=x 对称,则 f(2x-x )的单调 2

(C) ? ,1) (D)[1,2] (2

解析: f(x)与 g(x)互为反函数, f(x)= log 1 x , f(2x-x )= log 1 (2 x ? x ) ,记 h(x)=2x-x , 即
2
2

2

2

则 h(x)递增( “外层”递减)且 h(x)>0(真数),∴x∈(0,1 ] ,故选 A。 (在函数定义域内区间 的“开” “闭”不影响函数的单调性,所以求函数单调区间时一般用开区间比较“稳妥”。 ) [举例 2]已知命题 p:

2 () ? x ;命题 q: log 2 x 2 >1;则命题 p 是命题 q 的: x

A.充分不必要条件,B.必要不充分条件, C.充要条件 D.既不必要也不充分条件

解析: 命题 p: ? x , 移项通分得:
2

2 x

x2 ? 2 “ 得: ? 0 , 序轴标根” x ∈ (? 2 ,0) ? ( 2 ,??) , x
2

命题 q:log 2 x >1 等价于: x 2 >2,即 x ∈ (??,? 2 ) ? ( 2 ,??) (注意:不等式 log 2 x >1 与不等式:2 log 2 x >1 不等价, log 2 x >1 等价于 2 log 2 | x | >1) ;从集合包含关系更容易 看清两个命题的逻辑关系,选 D。 [巩固]已知函数 f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞ ) 上递增,则实数 a 的取值范围是。
2

4.函数 y=a 的值域为(0,+ ? ) 。特别关注函数 y=a 的值与 1 的大小,函数 y= log a x 的值
x x

与 0 的大小。 [举例 1] 函数 y= (A) ?,?1 ) ((C) (-1,+ ? )
x

1 的值域是( 2 ?1
x



(B) ?, 0) ? (0,+ ? ) ((D) ? ,-1) ? (0,+ ? ) (-

解析:思路一: “逆求” 2 ? :

1? y ? 0 得: y >0 或 y <-1,选 D。思路二: 2 x ? 1 ? ?1, y
x

“取倒数”要特别注意不等式两边同号,若-1< 2 ? 1 <0,则

1 x <-1;若 2 ? 1 >0,则 2 ?1
x

1 >0,综上,选 D。 2 ?1
x

[举例 2] .若 logm9<logn9<0,那么 m,n 满足的条件是() (A)m>n>1 (B)n>m>1 (C)0<n<m<1 (D)0<m<n<1 解析:logm9 与 logn9 底数不同,比较大小不甚方便,注意到 logm9=

1 ,则由 log 9 m

logm9<logn9<0 ?

1 1 ? ? 0 ? log9n<log9m<0 ? 0<n<m<1,选 C。 log 9 m log 9 n
x ?1

[巩固] 已知 g(x)=loga x ? 1 (a>0 且 a ? 1)在(-1,0)上有 g(x)>0,则 f(x)=a (A)在(- ? ,0)上的增函数(B)在(- ? ,0)上的减函数 (C)在(- ? ,-1)上的增函数(D)在(- ? ,-1)上的减函数

是()

5. 函数 y= log a g ( x) ,( a ? 0, a ? 1 )的值域主要取决于 g(x)。 如: 0<g(x)≤4,则 log 1 g ( x)
2

∈[-2,+ ? ) ,其中 0<g(x)只是保证对数值存在的,并不限制对数值的范围。若 g(x)无最 (极) 大值 (即上无界) 则函数 y= log a g ( x) ,( a ? 0, a ? 1 )的值域为 R ? g(x)min≤0 , (特

别地:当 g(x)是二次项系数为正的二次函数时 g(x)min≤0 ? ⊿≥0) 函数 y= log a g ( x) 有 ; 最值 ? g(x)min≥0。 [举例]函数 y=log 1 (2x2-2x+1)的值域为。
2

解析:2x2-2x+1=2(x-

1 2 1 1 ) + ≥ , log 1 (2x2-2x+1)≤1,∴函数值域为(- ? ,1 ] 。 2 2 2 2
2

[巩固] 设函数 f(x)=lg(x +ax-a-1),给出下列命题:①f(x)有最小值;②当 a=0 时,f(x)值域 为 R;③当 a>0 时,在[2,+∞ ) 上有反函数;④若 f(x)在区间[2,+∞ ) 上单调递增,则实数 a 的 取值范围是 a≥-4.其中正确命题的序号是_____________

简答 2、 [巩固]-1,[提高]在同一坐标系内画函数 y=3-x,y=lgx,y=10x 的图象,交点为 A、B,A、 B 关于直线 y=x 对称,得 x1=3-x2;3、 [巩固] g(x)= x2-ax+3a 在区间[2,+∞ ) 上递增且 g(x)= x2-ax+3a>0 在区间[2,+∞ ) 上恒成立,即 a≤4 且 g(2)>0 得-4<a≤4; 4、 [巩固]C;5、 [巩固] ②③


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