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2.2.3-2.2.4反射变换、旋转变换


几种常见的平面变换 -----反射变换

问题情境
求圆C: ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 2 在矩阵
2 2

? ?1 0? M ?? ? 作用下变换所得的曲线. 0 1 ? ? y
( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 2
2 2

( x ? 2)2

? ( y ? 2)2 ? 2
(2, 2)

(?2, 2)
O

x

反思:两个几何图形有何特点?

问:我们能否找出其它类似的变换矩阵呢?
(1)

?1 0 ? 把一个几何图形变换为与之关于 x 轴 M2 ? ? ? 0 ? 1 ? ? 对称的图形;
??1 0 ? M3 ? ? ? 0 ? 1 ? ?

(2)

把一个几何图形变换为与之关于原点 对称的图形;

(3)

?0 1? 把一个几何图形变换为与之关于直线 M4 ? ? ? 1 0 ? ? y=x对称的图形;
? 0 ?1? M5 ? ? ? ? 1 0 ? ?

(4)

把一个几何图形变换为与之关于直线 y=-x对称的图形;

建构数学
一般地,称形如M1,M2,M3,M4,M5这 样的矩阵为反射变换矩阵,对应的变换 叫做反射变换,其中(2)叫做中心反 射,其余叫轴反射.其中定直线叫做反射 轴,定点称为反射点.

数学运用 2 y ? x 例1 求出曲线

( x ? 0) 在矩阵

?1 0 ? M ?? 作用下变换所得的图形 . ? ?0 ?1? y
y ? x2
1

( x ? 0)

O -1

1

x
y ? ? x2 ( x ? 0)

例2.求出曲线 y ? lg x( x 作用下变换得到的曲线.

?0 ? 0) 在矩阵 M ? ? ?1

1? ? 0?

y
y ? 10 x
1

y ? lg x

( x ? 0)

O

1

x

? 3 0? 例3.求直线l : 2 x ? y ? 7 ? 0 在矩阵 M ? ? ? ? ?1 1?

作用下变换得到的曲线.

? 3 0? 3 1? ? 思考1:若矩阵 M ? ??1 1? 改为矩阵 A ? ? ? ? ? ? 1 1 ? ?

则变换得到的曲线是什么?

思考2:我们从中能猜想什么结论?

变式训练:

a 0? a, b ? R 若 M ? ? ? ?1 b ? 所定义的线性变换把直线 ? ?

l : 2 x ? y ? 7 ? 0变换成另一直线l ? : x ? y ? 7 ? 0

求 a, b 的值.

例4.求直线l:y=4x在矩阵 得到的曲线.
?0 1 ? 思考1:若矩阵 M ? ? ? 1 0 ? ?

?0 1 ? M ?? 作用下变换 ? ?1 0 ?

则变换得到的曲线是什么?

?3 1? 改为矩阵 A ? ?1 0? ? ?

?3 1? ?3 1 ? 思考2:若矩阵 A ? ? ?再改为矩阵 B ? ? 呢? ? ?1 ?1? ?1 0?

思考3:我们从中能猜想什么结论?
一般地,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线(或点).

建构数学

M(l1a?l2b) ? l1Ma?l2Mb 上式表明,在矩阵M的作用下,直线 l1a?l2b 变成直线 l1Ma?l2Mb.

这种把直线变成直线的变换,通常叫做 线性变换。
' ? x ? ? ax ? by (即形如 ? ' 的几何变换叫做线性变换) ? ? y ? cx ? dy

反之,平面上的线性变换可以用矩阵来 表示,但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的 性变换。

建构数学
?0 0 ? 当a=b=c=d=0时, ?0 0 ? 把平面上所有点 ? ?

都变换到坐标原点(0,0),此时为线性变换的 退化情况. 因此,在研究平面上的多边形或直线在 矩阵的变换作用后形成的图形时,只需考察 顶(端)点的变化结果即可.

课堂反馈

? ?1 0? 作用下变换得 1、求平行四边形ABCD在矩阵 ? ? ? 0 1? 到的几何图形,并给出图示,其中 A(0,0), B(3,0),

C (4, 2), D(1, 2)
2、求出曲线 y ? 变换得到的曲线。
? 0 ?1? x 在矩阵 M ? ??1 0 ? 作用下 ? ?
? ? ? ? ? ? 1 2 3 2 3? ? ? 2 ? 作用下变换得到的图形, 1 ? ? 2 ?

3、求出△ABC在矩阵

并给出图示,其中 A(0,0), B(1, 3), C(0, 2)

变式训练
换把直线 l : 2 x ? y ? 7 ? 0 变换成另一直线 l? : x ? y ? 7 ? 0 求a,b的值.
? a 0? 1.设 a, b ? R , 若 M ? ??1 b? 所定义的线性变 ? ?

变式训练
2.二阶矩阵M对应的变换将 (1,-1)与(-2,1 ) 分别 变换成(5,7)与(-3,6) (1)求矩阵M (2)求直线 l : x ? y ? 4 在此变换下所变成的 直线 l ? 的解析式.

变式训练
?1 0? 3.求直线x=2在二阶矩阵 M ? ? 对应的 ? 1 0 ? ? 变换下所变成的图形。

问题情境
y

O

x

假设大风车的叶片在同一平面内转动,以 旋转中心为坐标原点建立直角坐标系,如上图。

问题情境
已知大风车上一点 P(x,y),它围绕旋转中 心O逆时针旋转q角到另 外一点P’(x’,y’).
因此,旋转前后叶 片上的点的位置变化可 以看做是一个几何变换.
O

y

P’(x’,y’)

q

a

r

P(x,y) x

思考:怎样用矩阵来刻画这一变换?

建构数学
?cos q ? sin q ? 矩阵 ? 通常叫做旋转变换矩阵. ? ? sin q cos q ? 对应的变换称做旋转变换.
其中的角q做旋转角. 点O叫做旋转中心. 旋转变换只改变几何图形的位置,不会 改变几何图形的形状. 图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.

数学应用
例1、已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩 形ABCD绕原点逆时针旋转900后所得到的图 形,并求出其顶点坐标,画出示意图.
变、将条件改为矩形ABCD绕原点顺时针旋 转300,其结果又会如何?

思考:
旋转变换与反射变换有什 么异同点?
y
m
L

n
O

x


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